|
|
 | Hjæælp til differentialligning
Fra :  SNIPET | Vist : 1232 gange
300 point
Dato : 18-12-07 12:56 |
|
Hej
Jeg er i gang med at lave et forsøg med varmetransmission, hvor jeg har opvarmet en rockwoolkasse med en pære, med kendt effekt.
Jeg fik at vide man kunne opstille en differentialligning for modellen for temperaturen som funktion af tiden. Den ser sådan ud:
C*("delta"Temp)/("delta"tid)= P-k*(indretemp-ydretemp)
P= 40watt
(indretemp-ydretemp)= 104 graderC
Jeg kan give nogle punkter på grafen, hvis der var nogle der var så søde at hjælpe mig:
f(60sekunder)= 23 graderC
f(210) = 31
f(630)=50
f(930s) = 60
f(2010) = 90
f(5474) =111
Problemet er jeg næsten ikke har haft noget om differentialligninger, så hvordan løses sådan en?
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et  |
Dato : 18-12-07 13:06 |
|
Jeg kan gi dig det færdige udtryk:
Tslut - T(t) = (Tslut - Tstart) * exp(-t/tau)
hvor Tslut er Tstart + P * termisk modstand, T(t) er den aktuelle temp som funktion af tiden, exp() læses "e opløftet i ()", tau er produktet af termisk modstand og termisk kapacitet.
Og termisk modstand og termisk kapacitet er de interessante størrelser i regnestykket.
mvh
pbp
| |
|
Systemet er vist ikke beskrevet nok til at kunne opskrive differential ligningen
for temperatur udviklingen?
Hvordan er begyndelses tilstanden: Temperaturen inde og udenfor (vel samme T0)
når du tænder pæren?
Og de 104 grader delta T forstår jeg ikke??
Opvarmes kassen ikke så delta T hele tiden vokser???
(er de 104 grader måske en asymptotisk grænse temperatur forskel)
Prøv at afbilde temperaturen som funktion af tiden,
nok et første ordens system, hvis det siger dig noget... Svend
| |
| Kommentar
Fra : SNIPET |
Dato : 18-12-07 13:43 |
|
de 104grader er når systemet har opnået ligevægt altså hvor temperaturen ikke kan stige mere pga den ydre temp.
Begyndelses temp er den samme for ydre og indre = 21 grader
Slut temp hvor ligevægten er indtruffet =125
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 18-12-07 13:48 |
|
De 104 er Tslut - Tstart og altså lig med effekten ganget med den termiske modstand - men selv uden den oplysning burde man sagtens kunne rekonstruere start- og slutværdien (især hvis man bruger min foræringsformel)
Den termiske modstand er altså 104 grader divideret med 40 Watt, altså 2,6 Kelvin/Watt. Så resterer der vel bare at finde tidskonstant og termisk kapacitet
| |
| Kommentar
Fra : SNIPET |
Dato : 18-12-07 13:55 |
|
Termisk kapacitet er det det samme som varmekapacitet?
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 18-12-07 14:08 |
| | |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 18-12-07 14:17 |
|
Skriv ligningen en smule om, så den hedder
C*d(Ti - Ty)/dt = P- k(Ti - Ty)
Divider så på hver side med (Ti - Ty)
| |
| Kommentar
Fra : SNIPET |
Dato : 18-12-07 14:26 |
|
Mit c er rockwools varmekapacitet
| |
|
Sådan som k er udtrykt her er det ikke den termiske modstand men ledningsevnen
k=40/104=0.3846 W/deg C
(du pbp_et angiver vist den reciprokke? og hvorfor deg Kelvin??)
Hele Rockwool kassens varkapacitet C er vist omkring 800 Joule/deg C,
men jeg kan ikke helt få tids temperatur målingerne til at stemme
med et rent først ordens system...
Svend der er hydrauliker, ikke termo dynamik ekspert
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 18-12-07 17:02 |
|
Jeps; k er her varmeledningsevnen, men her i mit regi bruger vi reciprokken termisk modstand. Og C i regnestykket er IKKE rockwools varmekapacitet, men denne bestemte rockwoolkomponents varmekapacitet.
Er du klar - det fylder en A¤-side med håndskrift:
C * d(Ti - Ty)/dt = P - k(Ti - Ty)
P er her det samme som k*(Tslut - Tydre), der skrives om:
C*d(Ti - Ty)/dt = k*(Tslut - Ty - [Ti - Ty]) = k*(Tslut - Ti)
Nu omorganiserer jeg lidt, tag selv ved med papir og blyant:
d(Ti -Ty)/(Tslut - Ti) = (k/C)*dt
og hvis du ser på første led, er det differentialet, altså ændringen at en størrelse, der indeholder en konstant. Da konstanten ikke ændrer sig, kan vi kalde den alt muligt andet, som passer bedre i vores opgave. Jeg vælger helt tilfældigt at kalde den Tslut!!
d(Ti - Tslut)/(Tslut - Ti) = (k/C)*dt og ændrer et par fortegn
-d(Tslut - Ti)/(Tslut - Ti) = (k/C)*dt.
Nu foretager jeg bestemt integration fra tidspunkt 1 til tidspunkt 2 på begge sider af lighedstegnet
og får
[-ln(Tslut - Ti)] fra t1 til t2 = (k/C) * [t] fra t1 til t2
og efter en masse flytten rundt, gangen ind og skiften fortegn fås
ln[[Tslut - Ti2)/(Tslut - Ti1)] = -(k/C)*(t2 - t1)
og tager man exponentialfunktionen på begge sider, fås:
(Tslut - T2)/(Tslut - T1) = e^(-[t2 - t1]/tau)
hvor T1 og T2 er de indre temperaturer på tidspunkterne t1 og t2 og tau er tidskonstanten C/k og måles i sekunder.
mvh
pbp
| |
|
>>C*("delta"Temp)/("delta"tid)= P-k*(indretemp-ydretemp)
langt mere forståelig:
>C*d(Ti - Ty)/dt = P- k(Ti - Ty)
men da Ty er en konstant =T0, er d(Ti-Ty) = dT den variable kasse temperatur
C*dT/dt = P - k * (T-T0) = P - k*T - k *To)
det vil de fleste regulerings eksperter kunne forstå...
og hvis nogle har lært at bruge Laplace operatoren s
(k + C*s) * T = P - k * T0
T = (P/k + T0 ) / (1 + C/k * s) = Tslut/(1+ tau * s)
Er k = 0.3846 er den stationære værdi Tslut = 40/0.3846+21= 125.
Tidskonstanten tau er ikke så mærkeligt = C/k.
tau burde fremgå af indsvingnings forløbet, (som jeg ikke helt kan få til at stemme)
og så er C= tau * k.
Er I enige??
Hilsen igen Svend
| |
|
Godt, jeg så ikke denne udregning før jeg kom med mit 1. ordens system.
Vi er vist enige om forløbet...
Hvad er så tau og C?
Svend
| |
|
Og hvorfor arbejder I baglæns i termodynamik?
Til tiden t=0 er der T0=21 grader ude og inde og så tændes pæren...
Dette er en proces hvor temperaturen stiger exponentielt og lander på 125 grader
efter meget lang tid...
Hvorfor ikke focusere på hvad der sker i nutiden? Svend
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 18-12-07 18:20 |
|
Nåjamen konstanterne kan man da let finde bare ved at sætte nogen talpar ind i min første foræringsformel fra kl. 13:06. Tidskonstanten tau er jo produktet af C og den termiske modstand, og den finder man jo lynhurtigt ud fra opgivelserne 40 W og 104 K: Rtherm = 104/40 = 2,6 Kelvin/Watt.
Noget andet er, at i sådan en opgave fra virkeligheden er hverken R eller C "lumped parameters" men derimod fordelte, så der bliver snarere tale om en art transmissionsledning med distribuerede egenskaber (men 1. ordens-tilnærmelsen holder dog så nogenlunde)
mvh
pbp
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 18-12-07 18:29 |
|
>Svend Jomen i nutiden ville man jo anvende en sparepære og så bekymre sig om, hvordan man får sine bilruder tøet op i morgen tidlig. Der påstår en flok mennesker her på sitet hårdnakket, at det er noget med en masse kemikalier, mens jeg har det fint med en 1½ liters flaske uden pant, som jeg fylder med ca. 40 grders vand og hælder ned af bilruderne. Keine Hexerei nur Behändigkeit
mvh
| |
|
>>ved at sætte nogen talpar ind ...
og hvad så hvis du får (vidt?) forskellige tau og C ??
har du prøver med de opgivne data???
(sikkert ikke, så ville du ikke være så "skrå" sikker).
>ville man jo anvende en sparepære...
eller styre, hvornår man skal tænde og slukke...
Hvis vi anvendte de baglæns exponentielle formler til at temperatur styre
vore hydrauliske regulerings systemer, ville vi dø varme døden...
Hvad er så tau? og C??
Og undskyld SNIPET, at jeg bruger dit spørgsmål til at beklage mig...
(du har ikke fortalt, hvad du studerer, læser til...).
Nu er du blevet klogere... Vælg det virkelige liv, hvad sker der her og nu? Svend
| |
 | Kommentar
Fra : perchris |
Dato : 18-12-07 20:43 |
|
f(x) = y
Weibull Model: y=112.35-91.3*exp(-c*x^d)
Coefficient Data:
a = 112.60603
b = 90.121354
c = 0.00019494932
d = 1.1639758
y=112.60603-90.121354*exp(-0.00019494932*x^1.1639758)
| |
| Kommentar
Fra : perchris |
Dato : 18-12-07 20:44 |
|
rettelse:
f(x) = y
Weibull Model: y=a-b*exp(-c*x^d)
Coefficient Data:
a = 112.60603
b = 90.121354
c = 0.00019494932
d = 1.1639758
y=112.60603-90.121354*exp(-0.00019494932*x^1.1639758)
| |
| Kommentar
Fra : perchris |
Dato : 18-12-07 20:58 |
|
Tager vi SNIPETs begyndelse f(0) = 21 og f(uendelig) = 125
med i datasættet:
f(0) = 21
f(60) = 23
f(210) = 31
f(630) = 50
f(930) = 60
f(2010) = 90
f(5474) = 111
f(100000) = 125
MMF Model: y=(a*b+c*x^d)/(b+x^d)
Coefficient Data:
a = 21.53604
b = 15696.358
c = 125.03744
d = 1.3476442
| |
|
Er det så et godt fit?
følger de opgivne værdier den eksponential funktion som pbp_et fandt??
hvad er så tau og C??? Med hvilken nøjagtighed???
Var der iøvrigt ikke 6 observationer?
Hvorfor har du kun medtaget 4 i dine kurvetilpasninger??
Måske er det de to sidste, der er de rigtige??
Har du prøvet at plotte SNIPET' s værdier (alle 6) sammen med dine estimater??? Svend
| |
| Kommentar
Fra : perchris |
Dato : 18-12-07 21:33 |
|
datasættet:
f(60) = 23
f(210) = 31
f(630) = 50
f(930) = 60
f(2010) = 90
f(5474) = 111
MMF Model: y=(a*b+c*x^d)/(b+x^d)
Coefficient Data:
a = 21.382052
b = 11918.788
c = 125.83394
d = 1.3071021
MMF Model: y=(a*b+c*x^d)/(b+x^d)
Residual Table:
60 -0.1987771177
210 0.9037293701
630 -0.288756658
930 -2.012110124
2010 2.240757761
5474 -0.8290358388
S= Standard Error: 2.31262864
r= Correlation Coefficient: 0.99907855
-------------------
samme datasæt
Weibull Model: y=a-b*exp(-c*x^d)
Coefficient Data:
a = 112.37328
b = 91.281139
c = 0.00025315127
d = 1.1313722
Weibull Model: y=a-b*exp(-c*x^d)
Residual Table:
60 -0.4356994083
210 0.6190532242
630 0.5553579656
930 -1.15676102
2010 0.5440256969
5474 -0.1264351034
S= Standard Error: 1.12506204
r= Correlation Coefficient: 0.99978200
--------------------
datasættet:
f(0) = 21
f(60) = 23
f(210) = 31
f(630) = 50
f(930) = 60
f(2010) = 90
f(5474) = 111
f(100000) = 125
MMF Model: y=(a*b+c*x^d)/(b+x^d)
Coefficient Data:
a = 21.53604
b = 15696.358
c = 125.03744
d = 1.3476442
MMF Model: y=(a*b+c*x^d)/(b+x^d)
Residual Table:
0 -0.536039974
60 -0.1527245414
210 1.281123666
630 0.1092169576
930 -1.84065662
2010 1.902098008
5474 -1.021567158
100000 0.2585488855
S= Standard Error: 1.5874752
r= Correlation Coefficient: 0.9995592
| |
|
og hvad for én er så den rigtige?
har du plottet (t, Tmålt) og (t, Texp(t)) og sammenlignet ??
hvad er tau og C så i dit bedste curve fit???
Godnat Svend
| |
| Kommentar
Fra : perchris |
Dato : 19-12-07 00:09 |
|
der er ikke nogen der er den rigtige.
Det kommer an på hvordan den skal bruges
og hvad nøjagtigheden er på tallene
men hvis man ønsker at f(0) skal nærme sig 21
og at f(undelig) skal nærme sig 125
skal man vælge formlen for det datasæt
Jeg angiver blot en formel der kommer meget tæt på målingerne
for den bestemte kasse, og den kan bestemt ikke bruges generelt.
men tastes formlen ind i en regnemaskine kan den sige hvor varmt der vil være i
kassen efter et valgt antal sekunder.
jeg fandt et polynomium der gav bedre nøjagtighed i alle punkter
men den havde et toppunkt der var for højt.
| |
|
Ja perchris
der rører du ved noget vigtigt....
uden kendskab til den fysiske virksomhed kan man ikke vælge den rigtige funktion:
Her er der ingen masser fjedre eller spoler, altså ingen stored energi...
og vi kan ikke få svingninger som ved 2. ordens systemer eller højere, der kan blive ustabile.
Kun et 1. ordens systen, en tidskonstant med en begrænset slutværdi...
Så du må kun vælge eksponential funtioner med negativ eksponent som pbp_et rigtigt fandt.
"a fool with a tool is still a fool"
nu skal vi bare vise at vi ikke kun bevistløs bruger kurvetilpasnings programmer,
vi skal vælge den rigtige kurve, finde tau og dermed C.
hilsen igen Svend
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 19-12-07 10:12 |
|
Jeg nøjedes med at beskrive den teoretiske tilstand med en koncentreret termisk kapacitet og en koncentreret termisk modstand
og selvfølgelig løsning på den viste ligning
mvh
| |
|
Ja og den er rigtig nok,
problemet er at de oplyste temperaturer som funktion af tiden
ikke helt ligget på en exponential funktion...
benytter jeg at Ttau er ca 0.632 af den stationære værdi tilvækst 104 =65.728 +21 = 86.728
fåt jeg tau ca lig 1850 sec og C ca lig 711.5. Joule/deg C.
Skal den sidste observation med er C nærmere 800, som jeg sagde i går, Svend
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 19-12-07 12:14 |
|
Der har måske været en lærer/vejleder, der ikke læste det med småt! Jeg kender situationen, er selv lærer/vejleder, men er blevet klogere. Når mine studerende spørger, får de altid at vide, at virkeligheden har det endelige svar, men jeg kan da som oftest fyre et førsteordensforslag af. Og når jeg blir spurgt, hvad jeg synes om dette og hint regneresultat, er svaret tit: "Besøg virkeligheden!"
Vor spørger SNIPET har fået at vide, at man kan opstille en differentialligning. Ja det er fuldstændig sandt! Men det betyder ikke, at den er rigtig i det foreliggende tilfælde.
mvh
| |
|
Når nu der er en tendens til at beholderen kræver mere tilført varme ved højere temperatur.
Hvad mon så grunden er? Hvilke faktorer ændrer sig?? Eller kommer der nye til???
begynder der at opstå cirkulation i rummet inde i kassen?
reduceres ledningsevnen; mætning ved højt dT??
afgiver pæren mindre end 40 Watt, når der er varm luft omkring den???
osv...
Jeg er ikke så god til temodynamik, men vi har ofte temperatur problemer i vore hydraulik systemer og må indbygge/øge kølere...Vi sælger også Fan Drive Systemer.
Arbejder i Sauer-Danfoss med simulering af hydrauliske regulerings systemer, Svend
| |
| Kommentar
Fra : pbp_et |
Dato : 19-12-07 14:24 |
|
Når kassens overflade bliver varmere, vil de omkringliggende luftmasser bevæge sig hurtigere og dermed blive bedre til at transportere varme væk. Skorstenseffekten bliver større! Det fænomen ser man også i datablade for kølefinner til effektelektronik uden blæser på (naturlig konvektion).
Når de afprøves med eksempelvis 3, 10 og 30 Watt belastning, vil man se tre forskellige termiske modstande (= 1/k), med den laveste modstand = laveste k ved den høje effekt
mvh
| |
| Accepteret svar
Fra : pbp_et | 
Modtaget 300 point
Dato : 19-12-07 14:35 |
|
Hvis der ikke havde været den forsinkende virkning af termisk kapacitet, kunne vi konstatere, at funktionen kassetemperatur = f(tilført effekt) ikke ville være lineær men en "udfladende" funktion.
Egentlig en lidt kedelig tendens, idet den antyder, at hvis differencen mellem inde- og udetemperatur bliver fordoblet, så bliver behovet for power til rumopvarmning betydeligt mere end fordoblet. Bare pokkers besværligt at måle på, idet vi for bygninger snakker om termiske tidskonstanter på dage, mens vi for kølefinner til elektronik (min afdeling) taler om femmere minutter. Allerede der er det en langvarig affære at måle på konsekvenser af finnernes orientering; der nås ikke meget på en dobbeltlektion.
mvh
| |
| Kommentar
Fra : SNIPET |
Dato : 20-12-07 00:52 |
|
Tak for hjælpen alle sammen! I har været Super!
Hvis bare jeg kunne give point til jer alle...
men jeg har et nyt spørgsmål hvis der er nogle der har lyst til at hjælpe igen:
http://kandu.dk/Spg114236.aspx
Mvh
| |
| Godkendelse af svar
Fra : SNIPET |
Dato : 20-12-07 00:53 |
| | |
 | Du har følgende muligheder | |
|
Eftersom du ikke er logget ind i systemet, kan du ikke skrive et indlæg til dette spørgsmål.
Hvis du ikke allerede er registreret, kan du gratis blive medlem, ved at trykke på "Bliv medlem" ude i menuen.
| |
|
|