Thomas wrote:
> Hej,
>
> Nedenstående dobbeltintegral giver arealet af en cirkel med radius r:
>
> \int _{-r} ^r (\int _{-\sqrt{r^2-x^2}} ^{\sqrt{r^2 - x^-2}} dy) dx = \pi r^2
>
> Burde man ikke kunne ændre integrationsrækkefølgen jævnfør Fubinis teorem
> og derved få samme resultat ved:
>
> \int _{-\sqrt{r^2-x^2}} ^{\sqrt{r^2-x^2}} (\int _{-r} ^r dx) dy
>
> Men det får jeg til 4r\sqrt{r^2-x^2}. Hvad har jeg misforstået?
Der er noget galt med grænserne i den sidste linje. Hvis vi
ser på det yderste integral, så er det:
\int _{-\sqrt{r^2-x^2}} ^{\sqrt{r^2-x^2}} ... dy
Hvad er x?
Hvis du visualiserer det første integral int (int ... dy) dx, som
en "sum" af lodrette linjer, så skal din omskrivning være en
"sum" af vandrette linjer. Noget a la:
\int _{-r} ^r (\int _{-\sqrt{r^2-y^2}} ^{\sqrt{r^2 - y^-2}} dx) dy
I den klassiske Fubini ryger du ikke ind i problemer med grænserne
da du integrerer over et kvadrat.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini's_theorem
Hvis du vil anvende kvadratudgaven af Fubini's sætning direkte,
kan du indføre en indikatator funktion i(x,y) som er 1, hvis (x,y)
tilhører cirkelskiven og 0 udenfor.
Fubini siger så:
r r r r
int int i(x,y) dy dx = int int i(x,y) dx dy
-r -r -r -r
Betragt nu vestresiden. For et fast x mellem -r og r
er i(x,y)=0 for y udenfor [-rod(r^2-x^2),+rod(r^2-x^2].
Det vil sige:
r r r rod(r^2-x^2]
int int i(x,y) dy dx = int int i(x,y) dy dx
-r -r -r -rod(r^2-x^2)
Tilsvarende fås for højresiden:
r r r rod(r^2-y^2]
int int i(x,y) dx dy = int int i(x,y) dx dy
-r -r -r -rod(r^2-y^2)
--
Jens Axel Søgaard