---

Hej,

Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?

Hvem har et bevis eller en forklaring - det er da ikke indlysende...

Jeg kender ikke svaret men jeg kan forestille mig man måske kan bruge en
kompleks formulering gående på:

cos(v) = 1/2 * [ e^(i*v) + e^(-i*v) ], samt
sin(v) = 1/(2*i) * [ e^(i*v) - e^(-i*v) ]


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Af min formelsamling fra gymnasiet fremgår, at:

sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)

Heraf kan man nemt udlede din formel, men hvordan man i første omgang nåede
frem til ovenstående, har jeg glemt i mellemtiden. Det er helt sikkert her
du skal starte og ikke med komplekse tal.

hilsen
Uffe


"Martin Jørgensen" <unoder.spam@spam.jay.net> wrote in message
news:43809a37$0$47088$edfadb0f@dread15.news.tele.dk...
> Hej,
>
> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>
> Hvem har et bevis eller en forklaring - det er da ikke indlysende...
>
> Jeg kender ikke svaret men jeg kan forestille mig man måske kan bruge en
> kompleks formulering gående på:
>
> cos(v) = 1/2 * [ e^(i*v) + e^(-i*v) ], samt
> sin(v) = 1/(2*i) * [ e^(i*v) - e^(-i*v) ]
>
>
> Med venlig hilsen / Best regards
> Martin Jørgensen
>
> --
> --------------------------------------------------------------------------
-
> Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

Uffe Kousgaard wrote:
> Af min formelsamling fra gymnasiet fremgår, at:
>
> sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)
>
> Heraf kan man nemt udlede din formel, men hvordan man i første omgang nåede
> frem til ovenstående, har jeg glemt i mellemtiden. Det er helt sikkert her
> du skal starte og ikke med komplekse tal.

Det kan også vises med de komplekse tal. Man skal bare starte med

2*sin(t)*cos(t)

....og indsætte de komplekse definitioner som Martin selv bringer:

cos(v) = 1/2 * [ e^(i*v) + e^(-i*v) ], samt
sin(v) = 1/(2*i) * [ e^(i*v) - e^(-i*v) ]

Så kan man regne det ud, helt uden at forstå hvorfor det passer

Mvh. Michael.
--
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

Michael Zedeler wrote:
-snip-
> 2*sin(t)*cos(t)
>
> ...og indsætte de komplekse definitioner som Martin selv bringer:
>
> cos(v) = 1/2 * [ e^(i*v) + e^(-i*v) ], samt
> sin(v) = 1/(2*i) * [ e^(i*v) - e^(-i*v) ]
>
> Så kan man regne det ud, helt uden at forstå hvorfor det passer

Nu fik jeg det til at passe, takker. Har ikke tid til at udlede de andre
løsninger, selvom jeg uden held forsøgte, f.eks. vha. sin-relationen og
syntes det kunne være interessant at se men det må så være op til folk
selv om de vil gøre mere ud af det og ellers er jeg tilfreds.


Med venlig hilsen / Best regards
Martin Jørgensen

--
---------------------------------------------------------------------------
Home of Martin Jørgensen - http://www.martinjoergensen.dk

---

"Michael Zedeler" <michael@zedeler.dk> wrote in message
news:354gf.707$Cl2.5395@news000.worldonline.dk...
>
> Det kan også vises med de komplekse tal. Man skal bare starte med

Jeg havde helt sikkert ikke lært om komplekse tal, da jeg lærte den anden
formel. Gætter på 2g.

hilsen
Uffe

---

Uffe Kousgaard wrote:
> "Michael Zedeler" <michael@zedeler.dk> wrote in message
> news:354gf.707$Cl2.5395@news000.worldonline.dk...
>
>>Det kan også vises med de komplekse tal. Man skal bare starte med
>
> Jeg havde helt sikkert ikke lært om komplekse tal, da jeg lærte den anden
> formel. Gætter på 2g.

Men det har Martin, så det er ikke relevant hvad du vidste i 2g.

Mvh. Michael.
--
Which is more dangerous? TV guided missiles or TV guided families?
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

"Michael Zedeler" <michael@zedeler.dk> wrote in message
news:696gf.726$Cl2.5468@news000.worldonline.dk...
>
> Men det har Martin, så det er ikke relevant hvad du vidste i 2g.

Jo, det er, for formlen er med "garanti" ikke udledt udfra kompleks talteori
i første omgang. Hvad Jens Axel Søgaard også viser med geometri.

Hvis man skal bevise f.eks. løsningsformlen for en 2. gradsligning, så
skulle det helst heller ikke være nødvendigt at inddrage komplekse tal, vel?

hilsen
Uffe

---

Uffe Kousgaard wrote:
> "Michael Zedeler" <michael@zedeler.dk> wrote in message
> news:696gf.726$Cl2.5468@news000.worldonline.dk...
>
>>Men det har Martin, så det er ikke relevant hvad du vidste i 2g.
>
> Jo, det er, for formlen er med "garanti" ikke udledt udfra kompleks talteori
> i første omgang. Hvad Jens Axel Søgaard også viser med geometri.
>
> Hvis man skal bevise f.eks. løsningsformlen for en 2. gradsligning, så
> skulle det helst heller ikke være nødvendigt at inddrage komplekse tal, vel?

Når nu Martin selv skriver at han er klar til at løse problemet med
komplekse tal, synes jeg det er temmelig forfejlet at skrive

> Af min formelsamling fra gymnasiet fremgår, at
> [...]
> Det er helt sikkert her
> du skal starte og ikke med komplekse tal.

Hvis du havde givet noget lignende Jens Axels glimrende forklaring,
havde jeg synes det var flot, men at henvise til en formelsamling giver
da ikke den store indsigt i disse trigonometriske identiteter. Du kunne
næsten lige så godt have skrrevet "det er rigtigt fordi det står i min
formelsamling". Jeg når i det mindste at bekræfte at man godt kan udlede
dem ad algebraisk vej.

Iøvrigt er der en ny regnemetode til geometri på vej, som afskaffer
sinus og cosinus. Der er ikke tale om en slags ny, matematisk teori, men
snarere en nemmere måde at regne algebraisk på geometriske problemer,
der indtil nu har forudsat kendskab til sinus og cosinus.

Bogen hedder "Divine Proportions" og er skrevet af N. J. Wildberger.

En af fordelene ved denne metode er, at man får nemmere adgang til nogle
geometriske beregninger på legemer og ringe, hvor man hidtil har skulle
ud i lange udredninger fordi at sinus og cosinus ikke var veldefinerede.

Metoden har iøvrigt ikke umiddelbart noget med beregninger med komplekse
tal at gøre. Jeg kan kun anbefale den.

Mvh. Michael.
--
Which is more dangerous? TV guided missiles or TV guided families?
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

"Michael Zedeler" <michael@zedeler.dk> wrote in message
news:JC6gf.731$Cl2.5445@news000.worldonline.dk...
>
> Hvis du havde givet noget lignende Jens Axels glimrende forklaring,
> havde jeg synes det var flot, men at henvise til en formelsamling giver
> da ikke den store indsigt i disse trigonometriske identiteter.

I forhold til, at det er 20 år siden jeg sidst anvendte disse formler, synes
jeg egentlig det var ret godt husket, at de stod i formelsamlingen og dermed
kunne give Martin et skub i den rigtige retning. At anvende komplekse tal
til at udlede formlen med mener jeg fortsat er en misforståelse. Man kan
sikkert også finde endnu mere snørklede metoder, men udgangspunktet for et
"standard-bevis" på Martins sætning må alt andet lige være baseret på de
enkelst mulige matematiske begreber.


> Iøvrigt er der en ny regnemetode til geometri på vej, som afskaffer
> sinus og cosinus. Der er ikke tale om en slags ny, matematisk teori, men
> snarere en nemmere måde at regne algebraisk på geometriske problemer,
> der indtil nu har forudsat kendskab til sinus og cosinus.
>
> Bogen hedder "Divine Proportions" og er skrevet af N. J. Wildberger.
>
> En af fordelene ved denne metode er, at man får nemmere adgang til nogle
> geometriske beregninger på legemer og ringe, hvor man hidtil har skulle
> ud i lange udredninger fordi at sinus og cosinus ikke var veldefinerede.

Lyder interessant. Specielt, hvis det ligefrem kan ændre på rækkefølgen af
indlæring af matematisk stof i grundskole og gymnasium. Så må det være
revolutionerende.

hilsen
Uffe

---

Uffe Kousgaard wrote:
> "Michael Zedeler" <michael@zedeler.dk> wrote in message
> news:JC6gf.731$Cl2.5445@news000.worldonline.dk...
>
>>Hvis du havde givet noget lignende Jens Axels glimrende forklaring,
>>havde jeg synes det var flot, men at henvise til en formelsamling giver
>>da ikke den store indsigt i disse trigonometriske identiteter.

> At anvende komplekse tal
> til at udlede formlen med mener jeg fortsat er en misforståelse.

Så er det fordi du har svært ved at regne med komplekse tal. Det fylder
kun to linier:

cos(t)sin(t) = 1/4i (exp(it) + exp(-it))(exp(it) - exp(-it))
= 1/4i (exp(i2t) - exp(i2t)) := 1/2 sin(2t)

> Man kan
> sikkert også finde endnu mere snørklede metoder, men udgangspunktet
> for et "standard-bevis" på Martins sætning må alt andet lige være
> baseret på de enkelst mulige matematiske begreber.

Hvis du først kender de komplekse tal og formlerne for sinus og cosinus
udtrykt med eksponentialfunktioner, er det suverænt den nemmeste måde at
løse problemet på. Langt de fleste trigonometriske identiteter kan
relativt enkelt udledes på den måde og det kræver ikke meget tænkeri
undervejs.

Jeg har altid haft aversioner imod formelsamlinger med trigonometriske
identiteter, fordi det virker som de er grebet ud af den blå luft. Først
når man lærer at udlede dem selv (f. eks. med komplekse tal) opdager man
hvordan det hænger sammen.

>>En af fordelene ved denne metode er, at man får nemmere adgang til nogle
>>geometriske beregninger på legemer og ringe, hvor man hidtil har skulle
>>ud i lange udredninger fordi at sinus og cosinus ikke var veldefinerede.
>
> Lyder interessant. Specielt, hvis det ligefrem kan ændre på rækkefølgen af
> indlæring af matematisk stof i grundskole og gymnasium. Så må det være
> revolutionerende.

Enig. På den led tror jeg at det er noget af et scoop.

Mvh. Michael.
--
Which is more dangerous? TV guided missiles or TV guided families?
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

Michael Zedeler fortalte:
>
> Jeg har altid haft aversioner imod formelsamlinger med trigonometriske
> identiteter, fordi det virker som de er grebet ud af den blå luft.

Kunne det være fordi du aldrig har lært nogen
Hvis det er en uoverkommelig belastning af hukommelsen at lære 3-5
trigonometriske formler er det sandsynligvis fordi man har valgt forkert
fag og/eller er blevet et sagesløst offer for "moderne læring".
Det forholder sig jo således, at kan man nogle få formler, har man
støttepunkter i hukommelsen til resten. Kan man fx de 2 (cos og sin)
dobbeltvinkelformler har man også skelettet til sumformlerne og derfra
videre til prosthaphaeresisformlerne
(http://mathworld.wolfram.com/ProsthaphaeresisFormulas.html)
som blev benyttet af vor lokale kosmolog Tyge Brahe i stedet for
logaritmer, der først kom til en 15 år efter Tyge. Og måske lærer man
lidt historie samtidig

Mvh
Martin
--
That which is not forbidden is required

---

Martin Larsen wrote:
> Michael Zedeler fortalte:
>
>> Jeg har altid haft aversioner imod formelsamlinger med trigonometriske
>> identiteter, fordi det virker som de er grebet ud af den blå luft.
>
> Kunne det være fordi du aldrig har lært nogen
>
> Hvis det er en uoverkommelig belastning af hukommelsen at lære 3-5
> trigonometriske formler er det sandsynligvis fordi man har valgt forkert
> fag og/eller er blevet et sagesløst offer for "moderne læring".

Jeg har utroligt svært ved at lære ting udenad. Specielt ting, jeg ved
at jeg ikke får brug for. Det er ligesom decimalerne i Pi. De volder
altså kvaler

> Det forholder sig jo således, at kan man nogle få formler, har man
> støttepunkter i hukommelsen til resten. Kan man fx de 2 (cos og sin)
> dobbeltvinkelformler har man også skelettet til sumformlerne og derfra
> videre til prosthaphaeresisformlerne
> (http://mathworld.wolfram.com/ProsthaphaeresisFormulas.html)
> som blev benyttet af vor lokale kosmolog Tyge Brahe i stedet for
> logaritmer, der først kom til en 15 år efter Tyge. Og måske lærer man
> lidt historie samtidig

Jeg har opbygget hele min matematiske kunnen på at lære få formler
udenad og så iøvrigt huske nogenlunde hvordan man udleder resten. En
slags kompakt matematik, som ikke er specielt hurtig, men som kan klare
det meste. Hvis man regner med trigonometri hver dag, tror jeg sådan set
at det er fint at lære alle formlerne udenad. Det gør jeg bare ikke og
jeg regner aldrig med at komme til det.

Hvis man ikke satser på at huske en masse matematiske formler og ved at
der vil gå lang tid imellem at man bruger dem, er det uden tvivl en
fordel at kunne huske sin(t) = 1/2i(e^it - e^-it) frem for f. eks. sin
3t = 3 sin t - 4 (sin t)^3.

Du kan se hvordan Uffe og jeg reagerede forskelligt på spørgsmålet. Uffe
havde svært ved at udlede formlen. Jeg gjorde det i hånden på 5
minutter. Det er 15 år siden jeg havde trigonometri på HTX og over 10 år
siden jeg lærte om komplekse tal. Jeg har ikke brugt dem i nævneværdig
grad siden.

Mvh. Michael.
--
Which is more dangerous? TV guided missiles or TV guided families?
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

Michael Zedeler fortalte:

> Martin Larsen wrote:
>> Michael Zedeler fortalte:
>>
>>> Jeg har altid haft aversioner imod formelsamlinger med
>>> trigonometriske identiteter, fordi det virker som de er grebet ud
>>> af den blå luft.
>>
>> Kunne det være fordi du aldrig har lært nogen
>>
>> Hvis det er en uoverkommelig belastning af hukommelsen at lære 3-5
>> trigonometriske formler er det sandsynligvis fordi man har valgt
>> forkert fag og/eller er blevet et sagesløst offer for "moderne
>> læring".
>
> Jeg har utroligt svært ved at lære ting udenad. Specielt ting, jeg ved
> at jeg ikke får brug for. Det er ligesom decimalerne i Pi. De volder
> altså kvaler

Det er vist ikke så nemt at overskue hvad man evt kan få brug for.
Skal man drive det til noget indenfor matematik, må man have en skarp
hukommelse. Jeg mener Andrew Wiles kunne pi med 300 decimaler som knægt.
Tilsvarende historier findes for de fleste matematikere.

Mvh
Martin
--
Hvis en god sag ikke hurtigt kan forklares i medierne
er det ikke en god sag

---

Martin Larsen wrote:
> Michael Zedeler fortalte:
>
>> Martin Larsen wrote:
>>
>> Jeg har utroligt svært ved at lære ting udenad. Specielt ting, jeg ved
>> at jeg ikke får brug for. Det er ligesom decimalerne i Pi. De volder
>> altså kvaler
>
> Det er vist ikke så nemt at overskue hvad man evt kan få brug for.
> Skal man drive det til noget indenfor matematik, må man have en skarp
> hukommelse.

Jeg har ingen ambitioner om at blive noget indenfor matematikken.
Desuden tvivler jeg på at det er så vigtigt at have en skarp hukommelse.
Der er da sikkert mange områder hvor det er vigtigt, men jeg kan komme
på et par stykker hvor det er mindre vigtigt.

> Jeg mener Andrew Wiles kunne pi med 300 decimaler som knægt.
> Tilsvarende historier findes for de fleste matematikere.

De fleste meget kendte matematikere som f. eks. Euler og Gauss var vel
genier med en IQ der ville kunne give dem adgang til Prometeus, hvis de
havde levet idag.

Heldigvis er der osse noget for alle os andre at lave. Jeg har i hvert
fald ikke problemer med at finde opgaver, der er små nok til at jeg kan
overkomme dem

Mvh. Michael.
--
Which is more dangerous? TV guided missiles or TV guided families?
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

Martin Larsen <mlarsen@post7.tele.dk> wrote:

> Jeg mener Andrew Wiles kunne pi med 300 decimaler som knægt.

Mon ikke han havde mere relevante interesser?

In[30]:=N[Ï€,300]
Out[30]=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459
230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058
223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881
097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664
821339360726024914127
--
Per Erik Rønne

---

"Per Rønne" fortalte:

> Martin Larsen <mlarsen@post7.tele.dk> wrote:
>
>> Jeg mener Andrew Wiles kunne pi med 300 decimaler som knægt.
>
> Mon ikke han havde mere relevante interesser?
>
> In[30]:=N[Ï€,300]
> Out[30]=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459
> 230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058
> 223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881
> 097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664
> 821339360726024914127

Ja, ja Per - vi har fundet ud af at du har erhvervet en Mathematica med
rabat. Se du hellere at finde ud af om det kan bruges til andet end at
printe tal ud med mange cifre

Mvh
Martin
--
Tomorrow, we will have learned to understand and
express all of physics in the language of information

---

Michael Zedeler wrote:
> Iøvrigt er der en ny regnemetode til geometri på vej, som afskaffer
> sinus og cosinus. Der er ikke tale om en slags ny, matematisk teori, men
> snarere en nemmere måde at regne algebraisk på geometriske problemer,
> der indtil nu har forudsat kendskab til sinus og cosinus.
>
> Bogen hedder "Divine Proportions" og er skrevet af N. J. Wildberger.

Som service for andre nysgerrige, så er første kapitel her:

<http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/papers/Chapter1.pdf>

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit "Uffe Kousgaard" <oh@no.no>

> At anvende komplekse tal til at udlede formlen med mener jeg fortsat
> er en misforståelse.

Det er jeg fuldstændig uenig i. Det er meget lettere at huske den
generelle metode med komplekse tal end at skulle til at huske en masse
forskellige sum- og differensformler for forskellige trigonometriske
funktioner udenad.

De diskrete formler minder mig mest om den måde man regnede ligninger
på i renæssancen, hvor man skulle gå og huske på forskellige
løsningsformler til ax²+bx=c, ax²+c=bx, og ax²=bx+c fordi man ikke
havde et sikkert nok begreb om negative tal til at kunne se at de alle
bare er specialtilfælde af [-b±sqrt(b²-4ac)]/2a.

> Man kan sikkert også finde endnu mere snørklede metoder, men
> udgangspunktet for et "standard-bevis" på Martins sætning må alt
> andet lige være baseret på de enkelst mulige matematiske begreber.

Den enklest måde at udlede (og huske) alle sum- og differensformlerne
_er_ ved at udlede dem med komplekse tal.

At bevise dem direkte fra euklidisk geometri er derimod ulideligt
snørklet. Det var den eneste metode _før_ man havde komplekse tal
eller koordinatsystemer til rådighed, men _når_ man først har det, er
det en omvej.

--
Henning Makholm "I Guds Faders namn, och Sonens, och den Helige
Andes! Bevara oss från djävulens verk och från Muhammeds,
den förbannades, illfundigheter! Med dig är det värre än med
någon annan, ty att lyssna till Muhammed är det värsta av allt."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit "Uffe Kousgaard" <oh@no.no>
>
>>At anvende komplekse tal til at udlede formlen med mener jeg fortsat
>>er en misforståelse.
>
>
> Det er jeg fuldstændig uenig i. Det er meget lettere at huske den
> generelle metode med komplekse tal end at skulle til at huske en masse
> forskellige sum- og differensformler for forskellige trigonometriske
> funktioner udenad.
De skal da ikke huskes udenad? Det er overkill at bruge
kompleksalgebra.ligesom det heller ikke giver stor indsigt..
En enhdsvektor. e(u) med vinklen u til x-aksen har koordinaterne
e(u)=(cosu,sinu)
Da 'cosinus' er det samme som 'projektion' indses umiddelbart
cos(u+v)=e(u)(prik)e(-v)=
(cos(u),sin(u))prik(cos(v),-sin(v))=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
og da 'sinus' er det samme som 'projektion på tværvektoren' indses det
lige så trivielt at
sin(u+v)=(cos(u),sin(u))prik(sin(v),cos(v))=cos(u)sin(v)+sin(u)cos(v)
og demed at
sin(2t)=2sin(t)cos(t)
(Dette kræver ikke papir og blyant, medmindre at prikprodukter
og tværvektorer og/eller definition af cosinus/sinus er glemt)


> De diskrete formler minder mig mest om den måde man regnede ligninger
> på i renæssancen, hvor man skulle gå og huske på forskellige
> løsningsformler til ax²+bx=c, ax²+c=bx, og ax²=bx+c
At afgøre om en parabel skærer x-aksen eller ikke, forsudsætter hverken
kompleksteori.eller brug af forskellige løsningsmetoder.

fordi man ikke
> havde et sikkert nok begreb om negative tal til at kunne se at de alle
> bare er specialtilfælde af [-b±sqrt(b²-4ac)]/2a.
>
>
>>Man kan sikkert også finde endnu mere snørklede metoder, men
>>udgangspunktet for et "standard-bevis" på Martins sætning må alt
>>andet lige være baseret på de enkelst mulige matematiske begreber.
>
>
> Den enklest måde at udlede (og huske) alle sum- og differensformlerne
> _er_ ved at udlede dem med komplekse tal.
Vrøvl
>
> At bevise dem direkte fra euklidisk geometri er derimod ulideligt
> snørklet. Det var den eneste metode _før_ man havde komplekse tal
> eller koordinatsystemer til rådighed, men _når_ man først har det, er
> det en omvej.
>

Med venlig hilsen
Jørn Hedegaard Povlsen

---

Scripsit "@(none)" <""jhp\"@(none)">
> Henning Makholm wrote:

>> Det er jeg fuldstændig uenig i. Det er meget lettere at huske den
>> generelle metode med komplekse tal end at skulle til at huske en masse
>> forskellige sum- og differensformler for forskellige trigonometriske
>> funktioner udenad.

> De skal da ikke huskes udenad?

Næh, kun hvis man har brug for dem meget oftere end et par gange om året.

> Det er overkill at bruge kompleksalgebra.

Nej, omvendt. Det er overkill at kaste sig ud i en masse frugtesløs
udenadslære, når det nødvendige resultat helt let og problemløst kan
udledes når man bar brug for det.

>> De diskrete formler minder mig mest om den måde man regnede ligninger
>> på i renæssancen, hvor man skulle gå og huske på forskellige
>> løsningsformler til ax²+bx=c, ax²+c=bx, og ax²=bx+c

> At afgøre om en parabel skærer x-aksen eller ikke,

Nu er du meget senere end det tidspunkt jeg taler om.
Forbindelsen mellem andengradsligninger og parabler blev *tidligst*
klar med Descartes i det 17. århundrede.

>> Den enklest måde at udlede (og huske) alle sum- og differensformlerne
>> _er_ ved at udlede dem med komplekse tal.

> Vrøvl

Det kan du selv være.

--
Henning Makholm # good fish ...
# goodfish, goodfish ...
# good-good FISH! #

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit "@(none)" <""jhp\"@(none)">
>
>>Henning Makholm wrote:
>
>
>>>Det er jeg fuldstændig uenig i. Det er meget lettere at huske den
>>>generelle metode med komplekse tal end at skulle til at huske en masse
>>>forskellige sum- og differensformler for forskellige trigonometriske
>>>funktioner udenad.
>
>
>>De skal da ikke huskes udenad?
>
>
> Næh, kun hvis man har brug for dem meget oftere end et par gange om året.
>
>
>>Det er overkill at bruge kompleksalgebra.
>
>
> Nej, omvendt. Det er overkill at kaste sig ud i en masse frugtesløs
> udenadslære, når det nødvendige resultat helt let og problemløst kan
> udledes når man bar brug for det.
Der er jo ikke Henning tale om udenadslære.

Skar du friskt og frejdigt udledningen af additionsformlerne væk?

Forhold dig venligst til dem, og forklar dernæst hvad denne udledning
har med udenadsllære at gøre.
>
>
>>>De diskrete formler minder mig mest om den måde man regnede ligninger
>>>på i renæssancen, hvor man skulle gå og huske på forskellige
>>>løsningsformler til ax²+bx=c, ax²+c=bx, og ax²=bx+c
>
>
>>At afgøre om en parabel skærer x-aksen eller ikke,
>
>
> Nu er du meget senere end det tidspunkt jeg taler om.
> Forbindelsen mellem andengradsligninger og parabler blev *tidligst*
> klar med Descartes i det 17. århundrede.

Hvad har så "sammenligningen" med nærværende at gøre?

>
>>>Den enklest måde at udlede (og huske) alle sum- og differensformlerne
>>>_er_ ved at udlede dem med komplekse tal.
>
>
>>Vrøvl
>
>
> Det kan du selv være.
Det forbliver vrøvl, hvad du siger, med mindre du modbeviser det er vrøvl.
Med venlig hilsen
Jørn Hedegaard Povlsen

---

Scripsit "@(none)" <""jhp\"@(none)">

>>>Vrøvl

>> Det kan du selv være.

> Det forbliver vrøvl, hvad du siger, med mindre du modbeviser det er vrøvl.

Bliv du trygt ved med at mene det.

--
Henning Makholm "Jeg køber intet af Sulla, og selv om uordenen griber
planmæssigt om sig, så er vi endnu ikke nået dertil hvor
ordentlige mennesker kan tillade sig at stjæle slaver fra
hinanden. Så er det ligegyldigt, hvor stærke, politiske modstandere vi er."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit "@(none)" <""jhp\"@(none)">
>
>>>>Vrøvl
>
>
>>>Det kan du selv være.
>
>
>>Det forbliver vrøvl, hvad du siger, med mindre du modbeviser det er vrøvl.
Jeg synes du plejer at være bedre i argumentationen.
Hvorfor, jeg gentager dit svar skal en additionsformel,huskes/udledes
vha af den komplekse eksponentialfunktion? I gymnasiet, og vel også der
hvor du har lært matematik, "bevises" den komplekse
ekspnentielfunnktion (som defineres fra regnereglen exp(a+b==exp(a)exp(b) og
en differentialkvotient) netop ved hjælp af additionsformlerne.
I gymnasiet er komplekse tal (på matematisk linje) ikke obligatorisk .

En forklaring af sin(2t)=2sin(t)cos(t), ved hjælp af den komplekse
exponentialfunktion, er en (kompliceret) konstatering, men ikke et bevis.
At cosinus og sinus, er projektioner, har vel intet med udenadslære at
gøre.? Og forstås projektioner, er additionsformlernene vel trivielle?

Med venlig hilsen
jhp




>
> Bliv du trygt ved med at mene det.
>

---

@(none) wrote:

> Hvorfor, jeg gentager dit svar skal en additionsformel,huskes/udledes
> vha af den komplekse eksponentialfunktion?

Fordi det er det letteste når man kender en smule til komplekse tal. Der er
tale om direkte udregninger, hvor man faktisk overhovedet ikke behøver
tænke sig om, men blot udnytte de velkendte regneregler for
eksponentialfunktionen.

> I gymnasiet, og vel også der
> hvor du har lært matematik, "bevises" den komplekse
> ekspnentielfunnktion (som defineres fra regnereglen exp(a+b==exp(a)exp(b) og
> en differentialkvotient) netop ved hjælp af additionsformlerne.

Den komplekse eksponentialfunktion indføres normalt som en Taylor-række.
Sammenlign med de tilsvarende rækker for sinus og cosinus og du har alle
nødvendige ingredienser.

> I gymnasiet er komplekse tal (på matematisk linje) ikke obligatorisk .

Og hvad så? Spørgeren kendte til komplekse tal, og når man gør det, er det
den letteste tilgang.

> En forklaring af sin(2t)=2sin(t)cos(t), ved hjælp af den komplekse
> exponentialfunktion, er en (kompliceret) konstatering, men ikke et bevis.

Det er et bevis. At din viden om komplekse tal og kompleks analyse så
åbenbart er utilstrækkelig, er en anden sag.

--
Stefan Holm
"Much to my dismay, my Klein Bottle unsuccessfully
tried to leap into two-dimensional space..."

---

Stefan Holm wrote:

>>En forklaring af sin(2t)=2sin(t)cos(t), ved hjælp af den komplekse
>>exponentialfunktion, er en (kompliceret) konstatering, men ikke et bevis.
>
> Det er et bevis. At din viden om komplekse tal og kompleks analyse så
> åbenbart er utilstrækkelig, er en anden sag.

Apropos noget helt andet: Hvis man kan huske formlen for sinus
til den dobbelte vinkel, er det nemt at finde formlen for
cosinus til den dobbelte vinkel:

(sin(2t))' = 2cos(2t)

og
2 2
(2sin(t)cos(t))'= 2 cos (t) - 2 sin (t),

altså er

2 2
cos(2t) = cos (t) - sin (t)

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard fortalte:

> Stefan Holm wrote:
>
>>> En forklaring af sin(2t)=2sin(t)cos(t), ved hjælp af den komplekse
>>> exponentialfunktion, er en (kompliceret) konstatering, men ikke et
>>> bevis.
>>
>> Det er et bevis. At din viden om komplekse tal og kompleks analyse så
>> åbenbart er utilstrækkelig, er en anden sag.
>
> Apropos noget helt andet: Hvis man kan huske formlen for sinus
> til den dobbelte vinkel, er det nemt at finde formlen for
> cosinus til den dobbelte vinkel:
>
> (sin(2t))' = 2cos(2t)
>
> og
> 2 2
> (2sin(t)cos(t))'= 2 cos (t) - 2 sin (t),
>
> altså er
>
> 2 2
> cos(2t) = cos (t) - sin (t)

Hvis man interesserer sig for flere fjollede metoder, så er det nemt at
huske de første 2 Chebyshev polynomier p0=1, p1=x.
Med følgende rekursion pn = 2x*p[n-1] - p[n-2] fås p2 = 2x²-1 og når x
erstattes med cos(v): cos(2v) = 2cos(v)² -1
Så kan man differentiere for at få sin(2v) eller gå videre med Chebyshev
af 2. art.

Mvh
Martin
--
Folk i DK vil være danskere, ikke forlorne amerikanere

---

Martin Larsen wrote:
> Hvis man interesserer sig for flere fjollede metoder, så er det nemt at
> huske de første 2 Chebyshev polynomier p0=1, p1=x.
> Med følgende rekursion pn = 2x*p[n-1] - p[n-2] fås p2 = 2x²-1 og når x
> erstattes med cos(v): cos(2v) = 2cos(v)² -1
> Så kan man differentiere for at få sin(2v) eller gå videre med Chebyshev
> af 2. art.

Her er en anden "fjollet".

Vi begynder med

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) .

For at komme af med cosinus omskriver vi det til

sin(2x) = 2 sin(x) kvrod(1-sin^2(x)) .

Nu ombyttes sin(x) med z

sin(2asin(z)) = 2 z kvrod(1-z^2) .

Dernæst skaffer vi os af med sinus

2 asin(z) = asin( 2 z kvrod(1-z^2) ).

Da asin(0) = 0 ses at begge sider stemmer overens,
når z=0.

Nu differentierer vi begge sider (vi husker at
asin(z)' = (1-z^2)^(-1/2) )


Venstresiden differentieret:
2
------------
2
kvrod(1 - z )

Højresiden differentieret:

2
kvrod(1 - z )
-----------------------------
2 2
kvrod(1 - 4 z (1 - z ))


Voila! Alle de trælse trigonometriske funktioner
er forsvundet.

Til sidst tjekker man at

venstresiden^2 - højresiden^2

er nul. Men det er der ingen ben i.


Se Zeilberger m.fl.s bog "A=B" side 11:

<http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/AeqB.pdf>

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard fortalte:
>
> Se Zeilberger m.fl.s bog "A=B" side 11:
>
> http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/AeqB.pdf

Kender den. Glimrende bog hvis emne iøvrigt ikke har så meget med det her
at gøre.

Mvh
Martin
--
Hvem fortalte dig, at du var nøgen?

---

Martin Larsen wrote:
> Jens Axel Søgaard fortalte:
>> Se Zeilberger m.fl.s bog "A=B" side 11:
>>
>> http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/AeqB.pdf
>
> Kender den. Glimrende bog hvis emne iøvrigt ikke har så meget med det
> her at gøre.

Pånær side 11

--
Jens Axel Søgaard

---

Martin Jørgensen fortalte:

> Hej,
>
> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>
> Hvem har et bevis eller en forklaring - det er da ikke indlysende...

http://mathworld.wolfram.com/deMoivresIdentity.html

Eller se et glimrende indlæg fra 23/9:
news:4333f5a9$0$49019$14726298@news.sunsite.dk


Mvh
Martin
--
Det blev ikke jugend, men skønvirke

---

Martin Jørgensen wrote:
> Hej,
>
> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>
> Hvem har et bevis eller en forklaring - det er da ikke indlysende...


/|
1 / |
/ | sin(x)
/x |
-----|
\x |
\ | sin(x)
1 \ |
\| <- 90-x

Brug sinusrelationen på vinklen 2x.
Isoler sin(2x).
Brug sin(90-x)=cos(x).

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> Martin Jørgensen wrote:
>
>> Hej,
>>
>> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>>
>> Hvem har et bevis eller en forklaring - det er da ikke indlysende...
>
>
>
> /|
> 1 / |
> / | sin(x)
> /x |
> -----|
> \x |
> \ | sin(x)
> 1 \ |
> \| <- 90-x
>
> Brug sinusrelationen på vinklen 2x.

Så får man

sin(2x) 1
--------- = ----------
2*sin(x) sin(90-x)

> Isoler sin(2x).
> Brug sin(90-x)=cos(x).

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard fortalte:

>>
>> Brug sinusrelationen på vinklen 2x.
>
> Så får man
>
> sin(2x) 1
> --------- = ----------
> 2*sin(x) sin(90-x)

Det var da trist :(

Iøvrigt kan jeg stærkt anbefale at kontemplere over det glimrende indlæg
med geometrisk løsning jeg linkede til. Her ses formlen i eet blik (når
det er forstået). Og der kræves stort set ikke større forudsætninger end
at man kan finde en komplementvinkel.

Mvh
Martin
--
I ain't looking for nothing in anyone's eyes

---

Martin Larsen wrote:
> Jens Axel Søgaard fortalte:
>
>>>
>>> Brug sinusrelationen på vinklen 2x.
>>
>>
>> Så får man
>>
>> sin(2x) 1
>> --------- = ----------
>> 2*sin(x) sin(90-x)
>
>
> Det var da trist :(

Hvorfor det?

Nåh - jeg byttede i skynding om på tæller og nævner.

sin(2x) sin(90-x)
--------- = -------------
2*sin(x) 1

Så nu behøver du ikke være trist længere.

--
Jens Axel Søgaard

---

Martin Jørgensen <unoder.spam@spam.jay.net> wrote:

> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?

Min Mathematica siger ellers at:

In[4]:=Solve[Sin[2t] == 2Sin[t]Cos[t], t]
Out[4]={{}}

Men samtidig at:

In[9]:=Sin[2Ï€] == 2Sin[Ï€]Cos[Ï€]
Out[9]=True
--
Per Erik Rønne

---

"Per Rønne" fortalte:

> Martin Jørgensen <unoder.spam@spam.jay.net> wrote:
>
>> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>
> Min Mathematica siger ellers at:
>
> In[4]:=Solve[Sin[2t] == 2Sin[t]Cos[t], t]
> Out[4]={{}}

Du kunne fx prøve at sige Sin[2t] - 2Sin[t]Cos[t], hvis du er i tvivl.

Mvh
Martin
--
Ne quid nimis

---

Martin Larsen <mlarsen@post7.tele.dk> wrote:

> "Per Rønne" fortalte:
>
> > Martin Jørgensen <unoder.spam@spam.jay.net> wrote:
> >
> >> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
> >
> > Min Mathematica siger ellers at:
> >
> > In[4]:=Solve[Sin[2t] == 2Sin[t]Cos[t], t]
> > Out[4]={{}}
>
> Du kunne fx prøve at sige Sin[2t] - 2Sin[t]Cos[t], hvis du er i tvivl.

Det siger nu ikke meget:

In[18]:=Sin[2t] - 2Sin[t]Cos[t]
Out[18]=-2 Cos[t] Sin[t] + Sin[2 t]

Og det hjælper ikke engang at gøre følgende:

In[19]:=Sin[2t]-2Sin[t]Cos[t]//N
Out[19]=-2. Cos[t] Sin[t]+Sin[2. t]
--
Per Erik Rønne

---

>>"Per Rønne" fortalte:

>>>Min Mathematica siger ellers at:
>>>
>>>In[4]:=Solve[Sin[2t] == 2Sin[t]Cos[t], t]

Lur mig om ikke du lige har spurgt Mathematica om følgende: giv mig de
værdier af t, hvor Sin[2t] == 2Sin[t]Cos[t]. Da relationen er gyldig for
alle t, fåes alle værdier af t. Prøv at skrive

Solve[t == t, t]

og se om ikke du får det samme resultat.

I Maple får jeg

> solve(sin(2*t) = 2*sin(t)*cos(t),t);

t

Mvh. Michael.
--
Which is more dangerous? TV guided missiles or TV guided families?
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

Michael Zedeler <michael@zedeler.dk> wrote:

> >>"Per Rønne" fortalte:
>
> >>>Min Mathematica siger ellers at:
> >>>
> >>>In[4]:=Solve[Sin[2t] == 2Sin[t]Cos[t], t]
>
> Lur mig om ikke du lige har spurgt Mathematica om følgende: giv mig de
> værdier af t, hvor Sin[2t] == 2Sin[t]Cos[t]. Da relationen er gyldig for
> alle t, fåes alle værdier af t. Prøv at skrive
>
> Solve[t == t, t]
>
> og se om ikke du får det samme resultat.

Det gør jeg.

> I Maple får jeg
>
> > solve(sin(2*t) = 2*sin(t)*cos(t),t);
>
> t

Måske skulle jeg få installeret Maple? Den skole jeg underviser på har
købt en licens, der lovliggør at lærerne kan installere programmet på
deres egne maskiner.

> Mvh. Michael.

Det er meningen at ovenstående skal stå i signaturen {under linien med
kun '-- '} - jeg nævner det kun én gang. På den måde behøver man ikke at
fjerne linien manuelt, når man svarer på et indlæg fra dig.
--
Per Erik Rønne

---

Per Rønne wrote:
> Michael Zedeler <michael@zedeler.dk> wrote:
>>Solve[t == t, t]
>>
>>og se om ikke du får det samme resultat.
>
> Det gør jeg.

Så er det nok bare Mathematicas måde at sige noget pænt til dig.

> Måske skulle jeg få installeret Maple? Den skole jeg underviser på har
> købt en licens, der lovliggør at lærerne kan installere programmet på
> deres egne maskiner.

Jeg har brugt Mathematica rigtig meget før i tiden og nu Maple i kortere
tid. Indtil videre er den eneste nævneværdige forskel syntakse.
Nedenunder ser de ud til at fungere meget ens.

> Det er meningen at ovenstående skal stå i signaturen {under linien med
> kun '-- '} - jeg nævner det kun én gang. På den måde behøver man ikke at
> fjerne linien manuelt, når man svarer på et indlæg fra dig.

Jeg bruger det under de to bindestreger til noget andet, som du kan se.
Har overrvejet også at putte "Mvh. Michael" derind, men jeg vil gerne
have at folk ved at jeg faktisk _skrev_ det. En fjollet kæphest, men
sådan er det nu en gang.

Mvh. Michael.

(Se selv
--
Which is more dangerous? TV guided missiles or TV guided families?
Visit my home page at http://michael.zedeler.dk/
Get my vcard at http://michael.zedeler.dk/vcard.vcf

---

"Per Rønne" fortalte:

> Martin Larsen <mlarsen@post7.tele.dk> wrote:
>
>> "Per Rønne" fortalte:
>>
>>> Martin Jørgensen <unoder.spam@spam.jay.net> wrote:
>>>
>>>> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>>>
>>> Min Mathematica siger ellers at:
>>>
>>> In[4]:=Solve[Sin[2t] == 2Sin[t]Cos[t], t]
>>> Out[4]={{}}
>>
>> Du kunne fx prøve at sige Sin[2t] - 2Sin[t]Cos[t], hvis du er i
>> tvivl.
>
> Det siger nu ikke meget:
>
> In[18]:=Sin[2t] - 2Sin[t]Cos[t]
> Out[18]=-2 Cos[t] Sin[t] + Sin[2 t]
>
> Og det hjælper ikke engang at gøre følgende:
>
> In[19]:=Sin[2t]-2Sin[t]Cos[t]//N
> Out[19]=-2. Cos[t] Sin[t]+Sin[2. t]

Jeg kender ikke Mathematica, men jeg er sikker på at der må være en
variabel eller switch du kan sætte, så den kan reducere trigonometriske
formler.

Mvh
Martin
--
Det eneste der morer mig, er alt det der keder andre

---

Martin Larsen <mlarsen@post7.tele.dk> wrote:

> Jeg kender ikke Mathematica, men jeg er sikker på at der må være en
> variabel eller switch du kan sætte, så den kan reducere trigonometriske
> formler.

Der var en funktion:

In[1]:=Simplify[Sin[2t]-2Sin[t]Cos[t]]
Out[1]=0

In[2]:=Simplify[Sin[2t]==2Sin[t]Cos[t],t]
Out[2]=True

Når man ikke bruger et produkt dagligt, er man tilbøjelig til at glemme
sådanne ting;-(.
--
Per Erik Rønne

---

Martin Jørgensen wrote:
> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>
> Hvem har et bevis eller en forklaring - det er da ikke indlysende...

Tricket består i at finde en simpel figur, hvor både 2v og v forekommer.

Betragt denne figur:

A
'
|\ '
| \ ' E
sin(2v) | \ '
| \ '
| 2v\ ' v
--------------'
C B D
cos(v) 1

I trekant ABC er vinkel ABC = 2v og

AC = sin(2v)
CB = cos(2v)
AB = 1

Trekant ABD er ligebenet med

AB=BD=1 .

Det indses let at vinklerne i ABD er 180-2v, v og v.

Dermed er
AC sin(2v)
sin(v) = sin (D) = ---- = ----------- ,
AD 2 cos(v)

for med E midtpunkt (og vi husker, at medianen og
højde falder sammen i en ligebenet trekant) for AD er

AD = 2 ED = 1 * cos(v) .

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard fortalte:

> Martin Jørgensen wrote:
>> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>>
>> Hvem har et bevis eller en forklaring - det er da ikke indlysende...
>
> Tricket består i at finde en simpel figur, hvor både 2v og v
> forekommer.

Gad vide om ingen forstod det bevis jeg bragte -
prøver igen (for sidste gang

90°
'
´|`
´ | ` `
sin v´ | ` v ` cos v
´ | ` `
´ | `½ `
´ | ` `
´½sin2v| 2v` v`
´---------------`---------------`
½ \ \ ½
\ \
højde median

Man se umiddelbart ½sin2v(½+½) = cos v * sin v
og lærer samtidig at højde = ½sin2v i retvinklet 3kant.

Mvh
Martin
--
Ne quid nimis

---

Martin Jørgensen wrote:
> Se subj: hvorfor er sin(2t) = 2*sin(t)*cos(t) ?
>
> Hvem har et bevis eller en forklaring - det er da ikke indlysende...

Sæt
f(x) = sin(2x)
og
g(x) = 2sin(x)cos(x) .

Så er
f''(x) = ... = -4 sin(2x) = -4 f(x)
og
g''(x) = ... = -8 sin(x)cos(x) = -4 g(x) .

Da f(0) = g(0) og f'(0)=g'(0) har vi altså at f=g.

--
Jens Axel Søgaard