---

Hej,

Et magisk kvadrat er defineret som et kvadrat hvor summen af hver rækker,
hver søjle er ens og de 2 diagonaler er ens.

Hvor mange 3x3 magiske kvadrater eksisterer der, hvis diagonalreglen IKKE
skal opfyldes (altså kun ens række- og søjlesum)?
Vil "den magiske sum" altid være 15?
Kan det bevises?

Med venlig hilsen,
Ole

---

"Ole Konrad" <ole@konrad.us> wrote in message
news:dk22vc$qv5$1@news.net.uni-c.dk...
> Hej,
>
> Et magisk kvadrat er defineret som et kvadrat hvor summen af hver rækker,
> hver søjle er ens og de 2 diagonaler er ens.
>
> Hvor mange 3x3 magiske kvadrater eksisterer der, hvis diagonalreglen IKKE
> skal opfyldes (altså kun ens række- og søjlesum)?
> Vil "den magiske sum" altid være 15?
> Kan det bevises?

Hov.. som yderligere restriktion er det kun tallene fra 1 til 9, der må stå
i hvert felt.

---

2005-10-30 Ole Konrad wrote
> "Ole Konrad" <ole@konrad.us> wrote in message
> news:dk22vc$qv5$1@news.net.uni-c.dk...
>> Hej,
>>
>> Et magisk kvadrat er defineret som et kvadrat hvor summen af hver rækker,
>> hver søjle er ens og de 2 diagonaler er ens.
>>
>> Hvor mange 3x3 magiske kvadrater eksisterer der, hvis diagonalreglen IKKE
>> skal opfyldes (altså kun ens række- og søjlesum)?
>> Vil "den magiske sum" altid være 15?
>> Kan det bevises?
>
> Hov.. som yderligere restriktion er det kun tallene fra 1 til 9, der må stå
> i hvert felt.

Så det er ok at fylde 3-taller i samtlige felter?


/Morten

---

"Morten Guldager" <Morten.Guldager@gmail.com> wrote in message
news:slrndm99mt.uq7.Morten.Guldager@linuxine.mogul.dk...
> Så det er ok at fylde 3-taller i samtlige felter?

Hm nej.
Grunden til spørgsmål er, at jeg forsøger at finde et tal på, hvor mange
såkalte magiske sudokuer, der findes - altså sudokuer hvor hvert af de 3x3
delkvadrater er et magisk kvadrat - men jeg kan ikke helt gennemskue det.

Jeg ved at antallet af almindelige sudokuer ikke er nemt at regne sig frem
til med simpel kombinatorik, men jeg går ud fra, at den yderligere
restriktion reducerer antallet kraftigt.

Reglerne for en 9x9 magisk sudoku er altså:
Alle tallene fra 1 til 9 skal forekomme netop 1 gang i hver række og søjle
og i de 9 3x3 kvadrater
For hvert af de 9 delkvadrater gælder desuden at række- og søjlesummene skal
være en .

Eksempler kunne være:
1 9 5 | 6 7 2 | 3 4 8
8 4 3 | 1 5 9 | 7 2 6
6 2 7 | 8 3 4 | 5 9 1
---------------------
2 7 6 | 9 1 5 | 8 3 4
4 3 8 | 2 6 7 | 1 5 9
9 5 1 | 4 8 3 | 6 7 2
---------------------
7 6 2 | 3 4 8 | 9 1 5
5 1 9 | 7 2 6 | 4 8 3
3 8 4 | 5 9 1 | 2 6 7


1 9 5 | 7 2 6 | 3 8 4
8 4 3 | 5 9 1 | 7 6 2
6 2 7 | 3 4 8 | 5 1 9
---------------------
5 1 9 | 8 3 4 | 2 7 6
7 6 2 | 1 5 9 | 4 3 8
3 8 4 | 6 7 2 | 9 5 1
---------------------
2 7 6 | 4 8 3 | 1 9 5
9 5 1 | 2 6 7 | 8 4 3
4 3 8 | 9 1 5 | 6 2 7


8 6 1 | 2 9 4 | 3 5 7
3 7 5 | 6 1 8 | 4 9 2
4 2 9 | 7 5 3 | 8 1 6
---------------------
5 3 7 | 8 6 1 | 2 4 9
9 4 2 | 3 7 5 | 6 8 1
1 8 6 | 4 2 9 | 7 3 5
---------------------
7 5 3 | 1 8 6 | 9 2 4
2 9 4 | 5 3 7 | 1 6 8
6 1 8 | 9 4 2 | 5 7 3

---

Hvis man anskuer sudokuen som ni vandrette rækker, er løsningsantallet så
ikke 9!*8!*7!......2!*1! eller 1834933472251084800000. Ud fra teorien at
første tal kan vælges på 9 måder, næste vandrette på 8, næste 7 og ved skift
til række 2 fra oven kan første tal skrives på 8 måder (tallet ovenover må
ikke gentages), derefter 7 osv.

mvh Per
Andreasen

"Ole Konrad" <ole@konrad.us> skrev i en meddelelse
news:dk29rt$s5a$1@news.net.uni-c.dk...
> "Morten Guldager" <Morten.Guldager@gmail.com> wrote in message
> news:slrndm99mt.uq7.Morten.Guldager@linuxine.mogul.dk...
>> Så det er ok at fylde 3-taller i samtlige felter?
>
> Hm nej.
> Grunden til spørgsmål er, at jeg forsøger at finde et tal på, hvor mange
> såkalte magiske sudokuer, der findes - altså sudokuer hvor hvert af de 3x3
> delkvadrater er et magisk kvadrat - men jeg kan ikke helt gennemskue det.
>
> Jeg ved at antallet af almindelige sudokuer ikke er nemt at regne sig frem
> til med simpel kombinatorik, men jeg går ud fra, at den yderligere
> restriktion reducerer antallet kraftigt.
>
> Reglerne for en 9x9 magisk sudoku er altså:
> Alle tallene fra 1 til 9 skal forekomme netop 1 gang i hver række og søjle
> og i de 9 3x3 kvadrater
> For hvert af de 9 delkvadrater gælder desuden at række- og søjlesummene
> skal være en .
>
> Eksempler kunne være:
> 1 9 5 | 6 7 2 | 3 4 8
> 8 4 3 | 1 5 9 | 7 2 6
> 6 2 7 | 8 3 4 | 5 9 1
> ---------------------
> 2 7 6 | 9 1 5 | 8 3 4
> 4 3 8 | 2 6 7 | 1 5 9
> 9 5 1 | 4 8 3 | 6 7 2
> ---------------------
> 7 6 2 | 3 4 8 | 9 1 5
> 5 1 9 | 7 2 6 | 4 8 3
> 3 8 4 | 5 9 1 | 2 6 7
>
>
> 1 9 5 | 7 2 6 | 3 8 4
> 8 4 3 | 5 9 1 | 7 6 2
> 6 2 7 | 3 4 8 | 5 1 9
> ---------------------
> 5 1 9 | 8 3 4 | 2 7 6
> 7 6 2 | 1 5 9 | 4 3 8
> 3 8 4 | 6 7 2 | 9 5 1
> ---------------------
> 2 7 6 | 4 8 3 | 1 9 5
> 9 5 1 | 2 6 7 | 8 4 3
> 4 3 8 | 9 1 5 | 6 2 7
>
>
> 8 6 1 | 2 9 4 | 3 5 7
> 3 7 5 | 6 1 8 | 4 9 2
> 4 2 9 | 7 5 3 | 8 1 6
> ---------------------
> 5 3 7 | 8 6 1 | 2 4 9
> 9 4 2 | 3 7 5 | 6 8 1
> 1 8 6 | 4 2 9 | 7 3 5
> ---------------------
> 7 5 3 | 1 8 6 | 9 2 4
> 2 9 4 | 5 3 7 | 1 6 8
> 6 1 8 | 9 4 2 | 5 7 3
>

---

Scripsit "Per Andreasen" <per.andreasen@vip.cybercity.dk>

> Hvis man anskuer sudokuen som ni vandrette rækker, er løsningsantallet så
> ikke 9!*8!*7!......2!*1! eller 1834933472251084800000.

Nej; den udregning rummer også "løsninger" som

123456789
912345678
891234567
789123456
678912345
567891234
456789123
345678912
234567891

hvor hver række og søjle ganske vist rummer tallene fra 1 til 9, men
småkvadraterne på 3×3 felter ikke gør.

--
Henning Makholm "Han råber og skriger, vakler ud på kørebanen og
ind på fortorvet igen, hæver knytnæven mod en bil,
hilser overmådigt venligt på en mor med barn, bryder ud
i sang og stiller sig til sidst op og pisser i en port."

---

Du har selvfølgelig ret. Hvad så hvis man dividerer resultatet fra før med
(3!*2!*1!)^9. Det er vel det antal kombinationsmuligheder der er, når
småkvadraterne også skal opfylde kriteriet.
Er det noget vrøvl? mvh Per


"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:87wtjvc4py.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Per Andreasen" <per.andreasen@vip.cybercity.dk>
>
>> Hvis man anskuer sudokuen som ni vandrette rækker, er løsningsantallet så
>> ikke 9!*8!*7!......2!*1! eller 1834933472251084800000.
>
> Nej; den udregning rummer også "løsninger" som
>
> 123456789
> 912345678
> 891234567
> 789123456
> 678912345
> 567891234
> 456789123
> 345678912
> 234567891
>
> hvor hver række og søjle ganske vist rummer tallene fra 1 til 9, men
> småkvadraterne på 3×3 felter ikke gør.
>
> --
> Henning Makholm "Han råber og skriger, vakler ud på kørebanen
> og
> ind på fortorvet igen, hæver knytnæven mod en
> bil,
> hilser overmådigt venligt på en mor med barn, bryder
> ud
> i sang og stiller sig til sidst op og pisser i en
> port."

---

Scripsit "Per Andreasen" <per.andreasen@vip.cybercity.dk>

> Du har selvfølgelig ret. Hvad så hvis man dividerer resultatet fra før med
> (3!*2!*1!)^9. Det er vel det antal kombinationsmuligheder der er, når
> småkvadraterne også skal opfylde kriteriet.

Det virker heller ikke. Hvis vi har en 9×9-sudoku, kan vi udlede 3!^6
_forskellige_ løsninger ved først at vælge en permutation af rækkerne
1,2,3, så en af rækkerne 4,5,6 så en af rækkerne 7,8,9, og dernæst
permutere søjlerne tilsvarende. Antallet af 9×9-sudokuer er derfor
deleligt med 3!^6.

Men i primfaktoropløsningen af (9!·8!·7!·6!·5!·4!·3!·2!·1!)/(3!·2!·1!)^9
indgår faktoren 3 kun i 5. potens.

Mere konkret: Hvis det generelle princip du antyder, holder, skulle
der kun være (4!·3!·2!·1!)/(2!·1!)^4 = 18 mini-sudokuer i størrelse
4×4. Men faktisk er der 288, nemlig for hver af de følgende 12
skeletter 24 der fremkommer ved at tildele 1,2,3,4 til a,b,c,d i
forskellige rækkefølger:

a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d
c d a b c d a b c d a b c d a b c d b a c d b a
b a d c b c d a d a b c d c b a b a d c d c a b
d c b a d a b c b c d a b a d c d c a b b a d c

a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d
d c b a d c b a d c b a d c b a d c a b d c a b
b a d c b d a c c a d b c d a b b a d c c d b a
c d a b c a d b b d a c b a d c c d b a b a d c

Interessant nok er 288 også lig 4!·3!·2!·1!, selv om vi ikke har talt
ikke-løsninger som

a b c d
b c d a
c d a b
d a b c

med. Det viser at allerede ræsonnementet bag 9!·8!·...·1! var galt.

--
Henning Makholm "The Board views the endemic use of PowerPoint
briefing slides instead of technical papers as an
illustration of the problematic methods of technical communicaion at NASA."

---

Scripsit "Ole Konrad" <ole@konrad.us>

> Vil "den magiske sum" altid være 15?
> Kan det bevises?

Ja.

magisk = 3*magisk/3
= (sumRække1+sumRrække2+sumRække3)/3
= (sumAfHeleKvadratet)/3
= sum(1..9)/3
= 45/3
= 15

--
Henning Makholm "De kan rejse hid og did i verden nok så flot
Og er helt fortrolig med alverdens militær"