---

hvis jeg har f(x)=sqrt(x^2), så svarer det jo til f(x)=x og derfor er
f'(x)=1
Det er naturligvis nemt nok, men hvis jeg nu slår op i formelsamlingen for
difrentiering af kvadratrødder, så får jeg at
f(x)=sqrt(x^2)=>f'(x)=1/(2*sqrt(x^2)) og det passer ikke.

reelt siger formelsamlingen kun at sqrt(x) afledes til 1/(s*sqrt(x)), så min
fejl er nok at jeg ikke helt ved hvad jeg gør hvis det der står under
rodtegnet er et sammensat udtryk. Skal det så differentieres seperat, eller
skal det bare rykke indpå x's plads eller hvorledes?

I eksemplet fra før erstatter jeg x'et fra formelsamlingen med det
sammensatte udtryk x^2, hvilket ikke giver korrekt værdi. Hvis jeg
difrentierer x^2 til 2x og såtter det ind i formelen så får jeg
f'(x)=1/(2*sqrt(2x)) og det er jo heller ikke korrekt.

---

Niels O skrev:

> hvis jeg har f(x)=sqrt(x^2), så svarer det jo til f(x)=x og derfor er
> f'(x)=1
> Det er naturligvis nemt nok, men hvis jeg nu slår op i formelsamlingen for
> difrentiering af kvadratrødder, så får jeg at
> f(x)=sqrt(x^2)=>f'(x)=1/(2*sqrt(x^2)) og det passer ikke.

Nej, det er forkert.

Brug potensreglen der siger at man ganger med potensen og
reducerer den med1:

f(x) = x ^(1/2) => f'(x) = (1/2)*x^(1/2-1) = (1/2)*x^(-1/2)

eller omskrevet:

1
f'(x) = -------------
2 * sqrt(x)

Monm ikke også det er det der står i formelsamlingen?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   Fiduso: http://fiduso.dk/

---

"Niels O" <no@no.no> writes:

> Det er naturligvis nemt nok, men hvis jeg nu slår op i formelsamlingen for
> difrentiering af kvadratrødder, så får jeg at
> f(x)=sqrt(x^2)=>f'(x)=1/(2*sqrt(x^2)) og det passer ikke.

Nej, det får du ikke. Prøv at finde formlen for differentiation af
sammensatte udtryk, og brug så osse den.

--
Stefan Holm
"Hov, hov! Stop! ... jeg er død! Det hele er forbi."

---

Niels O wrote:
> hvis jeg har f(x)=sqrt(x^2), så svarer det jo til f(x)=x og derfor er
> f'(x)=1

Ok - du vil regne det på to måder.

f(x)=x => f'(x)=1

Den anden måde
____
/ 2
f(x) = v x

skal selvfølgelig give samme resultat.

> reelt siger formelsamlingen kun at sqrt(x) afledes til 1/(s*sqrt(x)), så min

Den er god nok:

___ __
g(x) = v x => g'(x) = 1 / ( 2 vx )


> f(x)=sqrt(x^2)=>f'(x)=1/(2*sqrt(x^2)) og det passer ikke.

Den er til gengæld ikke god.

Du glemmer at f er en sammensat funktion. Den yderste er kvadratroden g,
og den anden er x^2 som vi passende kan kalde h(x)=x^2.

f(x) = g(h(x))

Reglen for differentiation af sammensatte funktioner siger:

f'(x) = g'( h(x) ) * h'(x)

Det du glemte var, at gange med h'(x) = 2x. Nu får man nemlig:

____
f'(x) = 1 / ( 2 v x^2 ) * 2x = 1/(2x) * 2x = 1

Og så passer pengene igen.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard"
____
f'(x) = 1 / ( 2 v x^2 ) * 2x = 1/(2x) * 2x = 1

Din udledning gælder kun for x > 0, hvis x < 0 er f'(x) = -1

Aage

---

"Niels O" <no@no.no> skrev i en meddelelse news:42bec4ef$0$78279$157c6196@dreader1.cybercity.dk...
> hvis jeg har f(x)=sqrt(x^2), så svarer det jo til f(x)=x og derfor er
> f'(x)=1
> Det er naturligvis nemt nok, men hvis jeg nu slår op i formelsamlingen for
> difrentiering af kvadratrødder, så får jeg at
> f(x)=sqrt(x^2)=>f'(x)=1/(2*sqrt(x^2)) og det passer ikke.
>
Du glemmer vist at du skal bruge formlen for sammensat funktion:
f(g(x))' = g'(x)f'(g(x))

Med andre ord glemmer du at gange med x²' = 2x

Mvh
Martin

---

"Niels O"
> hvis jeg har f(x)=sqrt(x^2), så svarer det jo til f(x)=x og derfor er
> f'(x)=1

Ikke helt korrekt. Saa banalt er det ikke.

sqrt(x^2) = x, hvis x > 0,
sqrt(x^2) = -x, hvis x < 0,

derfor er:

f´(x) = 1 hvis x > 0 og
f'(x) = -1 hvis x< 0

For x = 0 er f(x) ikke differentiabel.

Aage

---

Aage Andersen wrote:

> sqrt(x^2) = -x, hvis x < 0,

Prøv at læse det igen.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard"

> sqrt(x^2) = -x, hvis x < 0,

Prøv at læse det igen.

Det har jeg saa gjort.

Prøv du at læse igen.

Aage

---

"Aage Andersen" <aaa(REMOVE)@email.dk> wrote in news:42bee042$0$714
$edfadb0f@dread16.news.tele.dk:

læs det igen...
læs det igen...

lol :)
--
| lars gjerløw jørgensen | e-mail: remove dots |
| N55 43.184 E12 32.405 | www.lgj.dk | oz2lgj |
"Blinky Watts is not blind. He suffers from Bozeman's
Simplex. He actually sees 25.62 times as much as we do."

---

"Lars Gjerløw Jørgensen" >
> læs det igen...
> læs det igen...

Jeg har andre ting at gøre end at læse mine egne indlæg igen igen.

Hvis du mener der er en alvorlig fejl, vil jeg bede dig om at paavise den.

Aage

ps

sqrt( x^2) = -x for x < 0. Er det den der støder dig?

Prøv at indsætte x = -2

---

"Aage Andersen" <aaa(REMOVE)@email.dk> wrote in
news:42bf0102$0$655$edfadb0f@dread16.news.tele.dk:

> Hvis du mener der er en alvorlig fejl, vil jeg bede dig om at paavise
> den.

jamen det var bare fordi der var to postere der lige
efter hinanden skrev til hinanden at den anden skulle
"læse det igen". Det var såmænd bare pudsigheden i det
jeg grinede ad :)

Jeg kan ikke huske meget om differentiering - det er
lidt for mange år siden jeg har brugt det :( og nu
er mine matematik-bøger oven i købet pakket i flyttekasser
så jeg kan ikke engang se hvad det er der er rigtigt.

/hilsner
--
| lars gjerløw jørgensen | e-mail: remove dots |
| N55 43.184 E12 32.405 | www.lgj.dk | oz2lgj |
"Blinky Watts is not blind. He suffers from Bozeman's
Simplex. He actually sees 25.62 times as much as we do."

---

"Lars Gjerløw Jørgensen" >
> jamen det var bare fordi der var to postere der lige
> efter hinanden skrev til hinanden at den anden skulle
> "læse det igen". Det var såmænd bare pudsigheden i det
> jeg grinede ad :)

Ja, matematik er en alvorlig sag, saa det gælder om at se det sjove i det


Aage

---

"Aage Andersen" <aaa(REMOVE)@email.dk> wrote in
news:42bf073c$0$700$edfadb0f@dread16.news.tele.dk:

> Ja, matematik er en alvorlig sag, saa det gælder om at se det sjove i
> det

Det prøver jeg også desperat at få mine elever til at
indse - at matematik sagtens kan være sjovt. Heldigvis
lykkes det faktisk af og til ;)

Det er skønt hvis man kan dele lidt ud af sin egen
begejstring og se det smitte og fænge.

/hilsner
--
| lars gjerløw jørgensen | e-mail: remove dots |
| N55 43.184 E12 32.405 | www.lgj.dk | oz2lgj |
"Blinky Watts is not blind. He suffers from Bozeman's
Simplex. He actually sees 25.62 times as much as we do."

---

Aage Andersen wrote:
> "Jens Axel Søgaard"
>
>>sqrt(x^2) = -x, hvis x < 0,
>
>
> Prøv at læse det igen.
>
> Det har jeg saa gjort.
>
> Prøv du at læse igen.

Hov! Der var lige en detalje, jeg havde
overset

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> writes:

> Aage Andersen wrote:
>
>> sqrt(x^2) = -x, hvis x < 0,
>
> Prøv at læse det igen.

Det ser da meget rigtig ud, også anden gang jeg læser det (uden ellers
at have læst tråden, så hvis problemet er i noget der ikke er citeret,
så er det derfor :)

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

hvis jeg har et udtryk
f(x)=( sqrt( (x-10)^2+25)-2 )^2
og vil differentiere det, så er der to funktioner af funktioner. Der er
sqrt((x-10)^2+25) og der er ( sqrt( (x-10)^2+25)-2 )^2
altså g(h(x)), hvor g(x)=x^2 og h(x)=sqrt( (x-10)^2+25)-2

Forstår jeg det korrekt hvis jeg differentierer indefra, så jeg starter med
at finde
h'(x) som bliver (håber jeg)
(2x-20) / (2*sqrt((x-10)^2+25))

derefter finder jeg g'(x)
som 2x*(sqrt( (x-10)^2+25)-2)*(2x-20) / (2*sqrt((x-10)^2+25))

og det er f'(x).

jeg differentierer altså den indre funktion h(x)=sqrt((x-10)^2+25)
og får h'(x)=(2x-20) / (2*sqrt((x-10)^2+25))

For at differentiere den ydre funktion g(x)=x^2 hvor x er h(x)
skal jeg sige g'(x)=h'(x)*h(x) og jeg har allerede h og h'

For funktioner som f(x)=sqrt(sqrt(sqrt(x)-4)*2) kan samme metode bruges. man
ser på inderste funktion som er sqrt(x)-4 og navngiver den og differentierer
den. Derefter arbejder man sig udad og differentierer efter princippet med
f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)?

Jeg er generelt ikke hjernelam, så jeg burde kunne genlære dette selvom det
er længe siden, og jeg absolut ikke skal bruge det til noget. Jeg håber bare
at jeg udtrykker mig klart nok uden for mange dumme fejl.

På forhånd tak for enhver hjælp jeg kan få.

---

Hej Niels O,

Måske er det en hjælp at eksperimentere lidt
med differentiation i et computerprogram?
For eksempel kan Derive anbefales:

<http://education.ti.com/us/product/software/derive/down/download.html>

--
Jens Axel Søgaard

---

>Måske er det en hjælp at eksperimentere lidt
>med differentiation i et computerprogram?
>For eksempel kan Derive anbefales:
><http://education.ti.com/us/product/software/derive/down/download.html>

Det gør det nok.
Jeg har hentet programmet, og sidder og roder nu.
Jeg vil nu stadig gerne høre en kort lille svar på mit spørgsmål version 2,
hvis det er muligt.

---

Jeg prøver lige hurtigt et eksempel mere som måske er mere tydeligt og viser
præcis hvor jeg laver mine fejl, for matlab er i hvert fald ikke enig med
mig

f(x)=( sqrt( (x-4)^2)-2 )^2
Jeg søger f'(x) så jeg opstiller to funktioner som følgende

g(x)=x^2
h(x)=sqrt( (x-4)^2)-2
så f(x)=g(h(x))

jeg mener at f'(x)=g'(h(x))*h'(x)
Det kræver altså at jeg finder g'(x) og h'(x)

g(x)=x^2 => g'(x)=2x
h(x)=sqrt( (x-4)^2)-2 => h'(x)= (2x-8) / 2*sqrt( (x-4)^2)

dermed er g'(h(x))*h'(x) bare

(2*sqrt( (x-4)^2)-2) * ( (2x-8) / 2*sqrt( (x-4)^2) )

som kan omskrives til

(2*sqrt( (x-4)^2)-2)* (2x-8) / 2*sqrt( (x-4)^2)

Hvis det skulle være tydeligere

Nu er linierne klarlagte. Hvorfor de så er forkerte, det er spørgsmålet til
de der er bedre til det her end jeg er.

---

Scripsit "Niels O" <no@no.no>

> For funktioner som f(x)=sqrt(sqrt(sqrt(x)-4)*2) kan samme metode bruges. man
> ser på inderste funktion som er sqrt(x)-4 og navngiver den og differentierer
> den. Derefter arbejder man sig udad og differentierer efter princippet med
> f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)?

Ja, men hvis man kan få sig til at bruge dy/dx-notationen, kan man
huske det færdige resultat lettere. Start med at give navne til
mellemresultaterne:

z = sqrt(x)-4
w = sqrt(z)*2
y = sqrt(w)

Omskriv så dy/dx ved at forlænge med differentialet af hvert mellemresultat:

dy/dx = dy/dw * dw/dz * dz/dx

Udregn de enkelte led i kæden:

dy/dx = 1/2sqrt(w) * 2/2sqrt(z) * 1/2sqrt(x)

og indsæt definitionerne af w og z:

dy/dx = 1/2sqrt(sqrt(sqrt(x)-4)*2) * 1/sqrt(sqrt(x)-4) * 1/2sqrt(x)

Voila!


Lige præcis for denne funktion ville det i øvrigt nok være lettere at
starte med at skrive om til

y = sqrt(2) * (sqrt(x)-4)^(1/4).

Så er der kun to led i kæden, og man kan anvende gymnasieformlen direkte.

--
Henning Makholm "Det er du nok fandens ene om at
mene. For det ligger i Australien!"

---

> Ja, men hvis man kan få sig til at bruge dy/dx-notationen, kan man
> huske det færdige resultat lettere. Start med at give navne til
> mellemresultaterne:

> z = sqrt(x)-4
> w = sqrt(z)*2
> y = sqrt(w)
>
> Omskriv så dy/dx ved at forlænge med differentialet af hvert
> mellemresultat:
>
> dy/dx = dy/dw * dw/dz * dz/dx

Ja, det virker mildest talt som en nemmere måde at skrive det på!
Jeg var ikke opmærksom på at man kunne skrive/regne på den led.
Mange tak. Det er jo genialt

---

Scripsit "Niels O" <no@no.no>

> > Omskriv så dy/dx ved at forlænge med differentialet af hvert
> > mellemresultat:
> >
> > dy/dx = dy/dw * dw/dz * dz/dx

> Jeg var ikke opmærksom på at man kunne skrive/regne på den led.

Det er bedst at betragte det som en let måde at huske reglen for
differentiation af sammensat funktion, snarere end en måde at regne
på. Hvis man opfatter det som en måde at "regne" på, ender man let med
at glemme at skelne mellem differentialer og almindelige tal
overhovedet i sine mellemregninger, og så risikerer man at komme ud i
noget rod i mere komplicerede situationer, fx hvis der er funktioner
af flere variable indblandet.

For eksempel: Hvis vi har

w = f(x)
z = g(x)
y = h(w,z)

er den korrekte formel

dy/dx = dy/dw * dw/dx + dy/dz * dz/dx

hvilket ikke umiddelbart passer på ubekymret regning med
differentialer. (Standardnotation foreskriver at man her bør skrive
dy/dw og dy/dz med særlige "partiel"-tegn i stedet for d'er, blandt
andet netop for at undgå at man kommer til at forkorte dw og dx ud.
Men den slags tricks kan ikke i sig selv forebygge alle fejl).

--
Henning Makholm "I've been staying out of family
conversations. Do I get credit for that?"