---

Hej gruppe

Jeg har diskuteret brugen af de to tegn "medfører" (=>) og
"ensbetdende med" (<=>) med to af mine venner (der i parantes bemærket
er lærer og lærerstuderende)

Hvis opgaven er at løse ligningen x+2=5 mhp x, så er min påstand at
det noteres på følgende måde:

x+2=5 <=> x=3 (altså "ensbetydende")

medens mine såkaldte venner påstår det skal noteres på følgende måde:

x+2=5 => x=3 (altså "medfører")

Hvilken notation er korrekt og hvorfor?

mvh
Qrt

---

Qrt wrote:

> Jeg har diskuteret brugen af de to tegn "medfører" (=>) og
> "ensbetdende med" (<=>) med to af mine venner (der i parantes bemærket
> er lærer og lærerstuderende)

Mumle, parentes, mumle.

> Hvis opgaven er at løse ligningen x+2=5 mhp x, så er min påstand at
> det noteres på følgende måde:
>
> x+2=5 <=> x=3 (altså "ensbetydende")
>
> medens mine såkaldte venner påstår det skal noteres på følgende måde:
>
> x+2=5 => x=3 (altså "medfører")
>
> Hvilken notation er korrekt og hvorfor?

Begge dele er korrekte udsagn.

Ligningen x+2=5 er et ufuldstændigt udsagn. Hvis man indsætter
et tal på x's plads, så får man et udsagn (der enten kan være
sandt eller falsk).

Sætter man <=> mellem to ufuldstændige udsagn betyder det, at
hvis man erstatter x med et tal, vil de to udsagn man får,
enten begge være sande eller begger være falske.

Sætter man => mellem to udsagn betyder det, at hver gang
man ved indsættelse i det første ufuldstændige udsagn får
et sandt udsagn, også vil få et sandt udsagn i det andet.
Hm - det var lidt kringlet. At P(x) => Q(x), betyder
at hver gang P(a) er sand, så er også Q(a) sand.

Hvornår skal man så bruge det ene eller det andet? Det kommer
an på situationen.

Her er nogle eksempler:

x=1 v x=-1 => x^2 = 1 => x^2 - 1 = 0

Her vises, at -1 og 1 er løsninger til ligningen x^2-1=0.

Hvad man ikke kan se af ovenstående er om, der er andre løsninger.


x^2-1 = 0 => x^2 = 1 => x=-1 v x=1

Her vises, at hvis man har en løsning til x^2-1, så er de eneste
muligheder -1 og 1. Hvad der ikke vises, er om -1 og 1 nu også
er løsninger. Det kan kontrolleres ved indsættelse.

x=-1 v x=1 <=> x^2=1 <=> x^2-1=0

Her vises at -1 og 1 er løsninger til x^2-1=0, samt at der ikke
findes andre løsninger.


Hvis man får en opgave, der begynder med "Vis at 2 er en løsning
til ...", så er det nok at arbejde med medfører.

Hvis man får en opgave, der begynder med "Find alle løsninger
til ...", så skal man arbejde med ensbetydende.


Bemærk: I situationer, hvor det er korrekt at benytte ensbetydende
tegn, men ikke har brug for at vide andet end medfører, bør man
anvende medfører.

--
Jens Axel Søgaard

---

On Wed, 06 Apr 2005 01:05:35 +0200, Jens Axel Søgaard
<usenet@soegaard.net> wrote:

>Bemærk: I situationer, hvor det er korrekt at benytte ensbetydende
>tegn, men ikke har brug for at vide andet end medfører, bør man
>anvende medfører.

Tak for et fint i øvrigt fint svar, men hvorfor nu ovenstående
slutbemærkning?
Er det ud fra pædagogiske overvejelser, af hensyn til læsbarheden
eller noget helt tredie (estetik?)? Hvis vi taler ren matematik så må
den fornemmeste opgave vel være at producere noget, der er så
fyldestgørende som muligt?

Qrt

---

> Tak for et fint i øvrigt fint svar, men hvorfor nu ovenstående
> slutbemærkning?
> Er det ud fra pædagogiske overvejelser, af hensyn til læsbarheden
> eller noget helt tredie (estetik?)? Hvis vi taler ren matematik så må
> den fornemmeste opgave vel være at producere noget, der er så
> fyldestgørende som muligt?

Kan man ikke sige at ved brug af => svarer man paa det, der bliver spurgt
om,
mens man ved brug af <=> oplyser noget mere ( som der ikke blev spurgt om)?

Aage

---

Aage Andersen wrote:
>>Tak for et fint i øvrigt fint svar, men hvorfor nu ovenstående
>>slutbemærkning?
>>Er det ud fra pædagogiske overvejelser, af hensyn til læsbarheden
>>eller noget helt tredie (estetik?)? Hvis vi taler ren matematik så må
>>den fornemmeste opgave vel være at producere noget, der er så
>>fyldestgørende som muligt?
>
>
> Kan man ikke sige at ved brug af => svarer man paa det, der bliver spurgt
> om,
> mens man ved brug af <=> oplyser noget mere ( som der ikke blev spurgt om)?

Jo, det er såmænd ganske udmærket formuleret. Ved brug af <=> skal man
også huske at overveje om det nu også gælder begge veje, det er spildt
arbejde hvis => havde været tilstrækkeligt.

Søren Mors

---

Scripsit Qrt <okilikethembig at "varmpost".com>
> Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> wrote:

>>Bemærk: I situationer, hvor det er korrekt at benytte ensbetydende
>>tegn, men ikke har brug for at vide andet end medfører, bør man
>>anvende medfører.

> Tak for et fint i øvrigt fint svar, men hvorfor nu ovenstående
> slutbemærkning?
> Er det ud fra pædagogiske overvejelser, af hensyn til læsbarheden
> eller noget helt tredie (estetik?)?

Det skyldes mest pædagogiske overvejelser. Hvis man er vant til at
skrive <=> overalt, er det nærliggende også at komme til at skrive
<=> når kun => kan vises, og derfor komme til at konkludere noget
forkert.

> Hvis vi taler ren matematik så må den fornemmeste opgave vel være at
> producere noget, der er så fyldestgørende som muligt?

I ren matematik er den fornemste opgave at hitte ud af hvad det ville
være interessant at kunne bevise. Faktisk at bevise det er også
respektabelt, men kommer i anden række. Man får ikke meget kredit for
et kompliceret men korrekt bevis for en helt uinteressant egenskab.

--
Henning Makholm "It was intended to compile from some approximation to
the M-notation, but the M-notation was never fully defined,
because representing LISP functions by LISP lists became the
dominant programming language when the interpreter later became available."

---

Qrt <okilikethembig at "varmpost".com> wrote:

> Hej gruppe
>
> Jeg har diskuteret brugen af de to tegn "medfører" (=>) og
> "ensbetdende med" (<=>) med to af mine venner (der i parantes bemærket
> er lærer og lærerstuderende)
>
> Hvis opgaven er at løse ligningen x+2=5 mhp x, så er min påstand at
> det noteres på følgende måde:
>
> x+2=5 <=> x=3 (altså "ensbetydende")
>
> medens mine såkaldte venner påstår det skal noteres på følgende måde:
>
> x+2=5 => x=3 (altså "medfører")
>
> Hvilken notation er korrekt og hvorfor?

Du kan oversætte <=> til et lighedstegn, hvor værdierne på begge sider
af lighedstegnet er logiske, altså sande eller falske. Det gjorde jeg
selv tidligt i folkeskolen, blen irettesat - og mødte det så igen i en
lærebog på universitetet.

Altså: (x + 2 = 5) = (x = 3),

som så betyder at hvis og kun hvis x + 2 = 5 er sand, så er x = 3 også
sand.

Men det var naturligvis et sidespring, som dog muligvis kan bruges i
undervisningen.
--
Per Erik Rønne

---

Per Rønne skrev:

> Altså: (x + 2 = 5) = (x = 3),
>
> som så betyder at hvis og kun hvis x + 2 = 5 er sand, så er x = 3 også
> sand.

Det er så spørgsmålet, om det er det, det betyder.

Hvis vi har et udsagn

x = y

så er det uklart, om det er en påstand (jeg påstår, at x og y er lig
hinanden) eller et boolsk udtryk (der kan evaluere til Sandt eller Falsk
alt efter om x er lig y).

Når du skriver
(x + 2 = 5) = (x = 3)
Så betyder det midterste lighedstegn "påstand" (du "påstår" at de to
sider altid har samme værdi) mens de yderste lighedstegn definerer
boolske værdier (du påstår IKKE, at x altid er lig 3).
Det er derfor, det er rart, at have lidt forskellige tegn. På den måde
kan man gøre det tydeligere, om man mener det ene eller det andet.
Men det er bestemt lidt rodet - og de to tegn "=" og "<=>" er langt fra
nok, til at man altid kan entydiggøre brugen af tegnene.

I gymnasiematematik bruges <=>, => og <= IIRC kun "påstående" - så hvis
en elev skriver "A <=> B" så betyder det, at eleven mener, at A og B er
ensbetydende. Dette gør det lidt vanskeligt for gymnasieelever at snakke
om definitionen af de tre symboler, da en sådan definition uværgeligt
vil involvere overvejelser om, hvornår en implikation /ikke/ gælder.
F.eks. kan vi sige at "(A => B) <=> (~B => ~A)". Men det er lidt svært
at forklare en gymnasieelev, at dette er et udsagn, der gælder, både når
enkeltimplikationerne er sande og falske.

= bruges på begge måder - også i gymnasiet - og det giver jævnligt
problemer når man skal argumentere for, om man på korrekt vis har
angivet en løsning på det, man er blevet spurgt om.
Hvis man bliver bedt om at løse ligningen "x+2 = 5" og svarer "x = 3"
har man så løst den, eller har man bare omskrevet den til en ligning,
det er nemmere at løse?

-Rune

---

Rune Zedeler <rz@daimi.au.dk> wrote:

> Hvis vi har et udsagn
>
> x = y
>
> så er det uklart, om det er en påstand (jeg påstår, at x og y er lig
> hinanden)

Jeg ville nu mene at du påstår, at /værdien/ af x og y er lig hinanden.
Men det er måske fordi jeg er datalog.

> Når du skriver
> (x + 2 = 5) = (x = 3)
> Så betyder det midterste lighedstegn "påstand" (du "påstår" at de to
> sider altid har samme værdi) mens de yderste lighedstegn definerer
> boolske værdier (du påstår IKKE, at x altid er lig 3).

Nej, men jeg påstår at sandhedsværdien af den første ligning er lig
sandhedsværdien af den anden.

> I gymnasiematematik bruges <=>, => og <= IIRC kun "påstående" - så hvis
> en elev skriver "A <=> B" så betyder det, at eleven mener, at A og B er
> ensbetydende. Dette gør det lidt vanskeligt for gymnasieelever at snakke
> om definitionen af de tre symboler, da en sådan definition uværgeligt
> vil involvere overvejelser om, hvornår en implikation /ikke/ gælder.
> F.eks. kan vi sige at "(A => B) <=> (~B => ~A)".

Jep, brugen af lighedstegn i boolsk sammenhæng, kan ikke erstatte brugen
af de to implikationsoperatorer.

> Men det er lidt svært at forklare en gymnasieelev, at dette er et udsagn,
> der gælder, både når enkeltimplikationerne er sande og falske.

Jep. I øvrigt sidder jeg og overvejer i hvilket omfang disse
overvejelser, altså dem øverst oppe {som kun går på brugen af
lighedstegn ved biimplikation}, gælder ved alle udsagn, altså også
ikke-numeriske udsagn. Tænk på klassebegrebet. Og man kan jo altså have
flere hierarkier af boolske udsagn.
--
Per Erik Rønne