---

Jeg har fundet på et sjovt problem:

Forestil dig, at du netop har vasket en t-shirt i hånden og skal til at
skylle så meget vaskemiddel ud som muligt. Til rådighed har du 20 liter rent
vand.

Under hver skylning fordeles vaskemidlet fra stoffet homogent i vandet, og
dernest vrides t-shirten således at den indeholder 0,1 liter vand (med samme
vaskemiddelkoncentration som skyllevandet).

Spørgsmålet er nu, om det er bedst at skylle t-shirten en enkelt gang ved
brug af alt vandet, eller over flere gange med mindre vand.

Mvh,

Lasse

---

Scripsit "LR" <asfda@das.dd>

> Spørgsmålet er nu, om det er bedst at skylle t-shirten en enkelt gang ved
> brug af alt vandet, eller over flere gange med mindre vand.

Lad S være antallet af deciliter rent vand vi har til rådighed.

Hvis man deler de S dl op i N lige store portioner, vil hver skylning
bruge S/N dl rent vand, og derfor medføre at koncentrationen i trøjen
bliver ganget med N/(N+S). Efter samtlige N skyldninger er
koncentrationen nedsat til (N/(N+S))^N.

Lidt differentialregning giver at funktionen N |-> (N/(N+S))^N er
monotont aftagende for N >= 0.

Derfor gælder det om at skylle i så mange hold man kan overkomme at
dele sit rene vand op i.

--
Henning Makholm "What a hideous colour khaki is."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit "LR" <asfda@das.dd>
>
> > Spørgsmålet er nu, om det er bedst at skylle t-shirten en enkelt gang ved
> > brug af alt vandet, eller over flere gange med mindre vand.
>
> Lad S være antallet af deciliter rent vand vi har til rådighed.
>
> Hvis man deler de S dl op i N lige store portioner, vil hver skylning
> bruge S/N dl rent vand, og derfor medføre at koncentrationen i trøjen
> bliver ganget med N/(N+S). Efter samtlige N skyldninger er
> koncentrationen nedsat til (N/(N+S))^N.
>
> Lidt differentialregning giver at funktionen N |-> (N/(N+S))^N er
> monotont aftagende for N >= 0.
>
> Derfor gælder det om at skylle i så mange hold man kan overkomme at
> dele sit rene vand op i.

Endvidere kan man se, at hvis du deler op i N portioner, er det
optimale at gøre det ligeligt.

Torben

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> Lidt differentialregning giver at funktionen N |-> (N/(N+S))^N er
> monotont aftagende for N >= 0.

Her skulle have stået N>0 (funktionen er ikke veldefineret for N=0),
men resultatet er stadig det samme.

--
Henning Makholm "... and that Greek, Thucydides"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87wts7suh3.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
>
> Her skulle have stået N>0 (funktionen er ikke veldefineret for N=0),
> men resultatet er stadig det samme.
>
Fandt vi ikke ud af at 0^0 = 1 sidst vi havde en laang tråd om det?

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev

>> Her skulle have stået N>0 (funktionen er ikke veldefineret for N=0),
>> men resultatet er stadig det samme.

> Fandt vi ikke ud af at 0^0 = 1 sidst vi havde en laang tråd om det?

Hm, det kan godt være. Men ræsonnementet der leder frem til funktionen
bryder under alle omstændigheder sammen for N=0. Hvis du skyller nul
gange i uendeligt meget vand, således at du ialt har brugt 29 liter,
hvad bliver så resulatatet?

--
Henning Makholm "Det er du nok fandens ene om at
mene. For det ligger i Australien!"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:878y4nsl9g.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> > "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev
>
> >> Her skulle have stået N>0 (funktionen er ikke veldefineret for N=0),
> >> men resultatet er stadig det samme.
>
> > Fandt vi ikke ud af at 0^0 = 1 sidst vi havde en laang tråd om det?
>
> Hm, det kan godt være. Men ræsonnementet der leder frem til funktionen
> bryder under alle omstændigheder sammen for N=0. Hvis du skyller nul
> gange i uendeligt meget vand, således at du ialt har brugt 29 liter,
> hvad bliver så resulatatet?

Det passer da fint at hvis vi skyller 0 gange
er vi ikke nået længere end før vi begyndte.

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev

>> Hm, det kan godt være. Men ræsonnementet der leder frem til funktionen
>> bryder under alle omstændigheder sammen for N=0. Hvis du skyller nul
>> gange i uendeligt meget vand, således at du ialt har brugt 29 liter,
>> hvad bliver så resulatatet?

> Det passer da fint at hvis vi skyller 0 gange
> er vi ikke nået længere end før vi begyndte.

Heller ikke hvis hver af de 0 gange skyller med så meget vand at der i
alt er brugt 20 liter når de 0 gange er overstået?

--
Henning Makholm "*Vi vil ha wienerbrød!*"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87r7ifr5us.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
>
> Heller ikke hvis hver af de 0 gange skyller med så meget vand at der i
> alt er brugt 20 liter når de 0 gange er overstået?
>
Den generelle formel ser ud til at være en bedre beskrivelse af
fænomenet end det specielle ræsonnement du brugte i udledningen.

Mvh
Martin

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87r7ifr5us.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
>
>> Det passer da fint at hvis vi skyller 0 gange
>> er vi ikke nået længere end før vi begyndte.
>
> Heller ikke hvis hver af de 0 gange skyller med så meget vand at der i
> alt er brugt 20 liter når de 0 gange er overstået?
>


Jeg tror, man må give hr. Makholm ret i, at ræsonnementet bryder sammen
for n -> 0 ...

--
http://www.modspil.dk
- fordi tiden kræver et MODSPIL

---

"Carsten Agger" <agger at NOSPAM bolignet-aarhus.NOSPAM> skrev i en meddelelse news:423b2f92$0$29280$14726298@news.sunsite.dk...
>
> Jeg tror, man må give hr. Makholm ret i, at ræsonnementet bryder sammen
> for n -> 0 ...
>
Du og Makholm sludrer. Når man skyller 0 gange får man
ikke brug for vand - prøv at spørge en tilfældig husmoder.

Mvh
Martin

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Lad S være antallet af deciliter rent vand vi har til rådighed.
> Hvis man deler de S dl op i N lige store portioner, vil hver
> skylning bruge S/N dl rent vand, og derfor medføre at
> koncentrationen i trøjen bliver ganget med N/(N+S). Efter samtlige N
> skyldninger er koncentrationen nedsat til (N/(N+S))^N.

Jeg tror at S skal angive forholdet mellem to volumener
V1: Mængden af vand i en vredet trøje
V2: mængden af rent vand man har til rådighed.
S = V2/V1

> Lidt differentialregning giver at funktionen N |-> (N/(N+S))^N er
> monotont aftagende for N >= 0. Derfor gælder det om at skylle i så
> mange hold man kan overkomme at dele sit rene vand op i.

Man kan regne grænseværdien ud

(N/(N+S))^N = (1+s/N)^(-N) -> exp(-S) for N -> uendelig

Hvor hurtigt mon ligevægten at indstiller sig? (Får det rigtige
resultat ved at indsætte micellens radius og vandets viskositet i
Stokes Einstein?)


Niels

---

Scripsit gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard)
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

>> Lad S være antallet af deciliter rent vand vi har til rådighed.

> Jeg tror at S skal angive forholdet mellem to volumener
> V1: Mængden af vand i en vredet trøje
> V2: mængden af rent vand man har til rådighed.
> S = V2/V1

Ja. I det givne tilfælde angav opgaven at V1=1 dl, så jeg sprang over
over gærdet var lavest.

--
Henning Makholm "I ... I have to return some videos."

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Carsten Agger" <agger at NOSPAM bolignet-aarhus.NOSPAM>

>> Jeg tror, man må give hr. Makholm ret i, at ræsonnementet bryder sammen
>> for n -> 0 ...

> Du og Makholm sludrer.

Nej.

> Når man skyller 0 gange får man ikke brug for vand

Netop. Og opgaven går ud på at bruge 20 liter; derfor giver det ikke
mening at forestille sig at skylle 0 gange.

--
Henning Makholm "Og når de får killinger siger de miav."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87k6o3jx9v.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
>
> > Du og Makholm sludrer.
>
> Nej.
>
> > Når man skyller 0 gange får man ikke brug for vand
>
> Netop. Og opgaven går ud på at bruge 20 liter; derfor giver det ikke
> mening at forestille sig at skylle 0 gange.
>
Enig.

Der er dog en alvorlig ting du har glemt. Vand er ikke et kontinium, men
består af molekyler. Vi må derfor forlange at antallet af vandmolekyler
altid er deleligt med antallet af skyl.

Mvh
Martin

---

> Der er dog en alvorlig ting du har glemt. Vand er ikke et kontinium, men
> består af molekyler. Vi må derfor forlange at antallet af vandmolekyler
> altid er deleligt med antallet af skyl.

Yikes. Det vælger jo også hele matematikken i det, med grænseværdier og det
hele.

- Lasse

---

LR wrote:

>Jeg har fundet på et sjovt problem:
>
>Forestil dig, at du netop har vasket en t-shirt i hånden og skal til at
>skylle så meget vaskemiddel ud som muligt. Til rådighed har du 20 liter rent
>vand.
>
>Under hver skylning fordeles vaskemidlet fra stoffet homogent i vandet, og
>dernest vrides t-shirten således at den indeholder 0,1 liter vand (med samme
>vaskemiddelkoncentration som skyllevandet).
>
>Spørgsmålet er nu, om det er bedst at skylle t-shirten en enkelt gang ved
>brug af alt vandet, eller over flere gange med mindre vand.
>
>Mvh,
>
>Lasse
>
>
>
>
Det er bedst at bruge så lidt vand ad gangen som muligt.

I princpet kan du bruge en stor mængte til sidst,
når der næsten ikke er nogen sæberester tilbage,
så er der heller ikke så storrisiko for at der bliver afsat stoffet fra
vandet til tøjet.

---

Lasse:
> Forestil dig, at du netop har vasket en t-shirt i hånden og skal til at
> skylle så meget vaskemiddel ud som muligt.
> Til rådighed har du 20 liter rent vand.

Det gælder om, at hver dråbe man kan vride ud af t-shirten,
har så stor koncentration af vaskemiddel som muligt,
derfor skal du fortynde t-shirt-vandet så lidt som muligt.

> Under hver skylning fordeles vaskemidlet fra stoffet homogent i vandet,
> og dernest vrides t-shirten således at den indeholder 0,1 liter vand
> (med samme vaskemiddelkoncentration som skyllevandet).

Man vil nok ikke kunne fordele en dråbe jævnt til hele t-shirten,
men hvis man propper t-shirten i et rør,
kan man tilsætte en dråbe i den ene ende,
og tvinge en næsten ufortyndet dråbe ud af den anden.
Det handler altså også om at "vride" på en smart måde.

> Spørgsmålet er nu, om det er bedst at skylle t-shirten en enkelt gang ved
> brug af alt vandet, eller over flere gange med mindre vand.

Nu er 20 liter skyllevand groteskt meget til en t-shirt.
De der kender til vandmangel kender problemet med,
hvor mange skyl man skal bruge med 1 liter,
hvis resultatet skal være lige så godt som et skyl med 20 liter.