---

Hvad består de reelle tal af? Jeg mener at huske, at de består af følgende
grupper, hvis foreningsmængde udgør de reelle tal:

De hele tal
De rationelle tal
De irrationelle tal
De transcendente tal

Er der andre grupper inden for det reelle tallegeme?

Hvordan definerer man i øvrigt et transcendent tal?


Venligst

Stefan Garvig

PS: Min bror foreslog spøgefuldt, at de reelle tal også indeholdt de
utålelige tal. "Sådanne måtte da findes!", mente min bror. Altså tal, der
slet og ret ikke vil blive tålt!

--
**********
Svar direkte ved at fjerne dyret i e-mail-adressen:
sgdataged@edb.dk
**********

---

"Stefan Garvig" <sgdataGED@edb.dk> writes:

> Hvad består de reelle tal af? Jeg mener at huske, at de består af følgende
> grupper, hvis foreningsmængde udgør de reelle tal:
>
> De hele tal
> De rationelle tal
> De irrationelle tal
> De transcendente tal

Husk lige at disse mængder overlapper hinandne en del. Alle hele tal
er også rationelle og alle trancendente tal er også irrationelle. Det
svare lidt til at sige at de hele tal består af følgende grupper, hvis
foreningsmængde udgør de hele tal:

Tal der ender med et 0
De lige tal
De ulige tal
Primtal

Helt korrekt, men ikke en specielt interessant observation.

> Hvordan definerer man i øvrigt et transcendent tal?

Man begynder med at definere de algebraiske tal. Det er tal der er rod
i et polynomium

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} ... a_1 x^1 + a_0

hvor alle a_n'erne er hele tal.

Alle reelle (eller komplekse) tal der ikke er algebraiske kaldes så
transcendente.

--
Peter Makholm | Ladies and gentlemen, take my advice, pull down your
peter@makholm.net | pants and slide on the ice
http://hacking.dk | -- Sidney Freedman

---

"Stefan Garvig" <sgdataGED@edb.dk> writes:

> Hvad består de reelle tal af? Jeg mener at huske, at de består af følgende
> grupper, hvis foreningsmængde udgør de reelle tal:
>
> De hele tal
> De rationelle tal
> De irrationelle tal
> De transcendente tal

De hele tal er også rationelle. De transcendente tal er også
irrationelle.

> Er der andre grupper inden for det reelle tallegeme?

Masser - jeg kan sikkert komme på endnu en gruppe tal, der fortjener
at blive nævnt, uanset hvilken liste du får skrevet ned. Hvis du vil
have en forening af ganske få disjunkte mængder, er det vel passende
at sige

De rationelle tal
De reelle algebraiske irrationelle tal
De transcendente tal

Vi er nødt til at have kriteriet "irrationelle" med ved de algebraiske
tal, da de ellers ville indeholde de rationelle. Mange algebraiske tal
er komplekse, of derfor skriver vi yderligere "reelle".

Et algebraisk tal er et tal x, for hvilke der eksistere et polynomium P
med heltalskoefficienter så at P(x)=0. Disse kan inddeles efter den
mindst mulige grad af dette polynomium, der også kalder graden af x.

> Hvordan definerer man i øvrigt et transcendent tal?

Et transcendent tal er et irrationelt tal, der ikke er
algebraisk. Eksempelvis er pi transcendent. Der findes også yderligere
indddelinger af disse (Mahlers hhv. Koksmas), men det fører vist for
vidt her.

Det er ofte meget svært at vise at et tal er irrationelt og endnu
sværere at vise at et tal er transcendent. Langt de fleste tal er
transcendente, men vi kommer næsten uvilkårligt til at give et
algebraisk tal, hvis vi bliver bedt om et tal.

Vi kunne naturligvis også have splittet de rationelle tal op i en lang
liste, der alle ville have talteoretisk interesse (f.eks. de hele tal,
primtal, rationelle tal med 2^n osv.). Der er masser af
muligheder.

Simon

--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin

---

Stefan Garvig wrote:
> Hvad består de reelle tal af? Jeg mener at huske, at de består af følgende
> grupper, hvis foreningsmængde udgør de reelle tal:
>
> De hele tal
> De rationelle tal
> De irrationelle tal
> De transcendente tal
>
> Er der andre grupper inden for det reelle tallegeme?

Hej Stefan

De mest "intuitive" tal er de naturlige. Det er tallene 1,2,3,4,....
altså de tal man kan tælle med.

Du kan se et naturligt tal f.eks 4 som en betegnelse for antallet af
elementer i en gruppe med 4 vilkårlige elementer

altså 4= |{A,B,C,D}| hvor A,B,C,D er 4 vilkårlige ikke ens elementer.

Ud fra den definition får vi nemt definitionen for 0, som er unik i
denne sammenhæng nemlig 0=|{}|, antallet af elementer i den tomme mængde.

Når vi nu ser på to medlemmer af de naturlige tal, M og N, så kan vi
definere addition (+) som følger:
Summen af to naturlige tal er betegnet ved M+N og M+N er antallet af
elementer i foreningsmængden af tilsvarende mængder for M+N
Altså hvis M=2 og N=1
er M+N = 2+1 = |{A,B} forenet med {C}| = |{A,B,C}| = 3

Bemærk at addition har den specielle egenskab at for to vilkårlige tal
fra de naturlige tal så gælde at summen af de to tal ligeledes er et
naturligt tal. Dette kalder man at mængden af naturlige tal er lukket
ved addition.

Når vi har defineret addition som er en funktion over de naturlige tal
og nul, så er det næste skridt at se på den omvendte funktion. lad os
kalde den minus og betegne den (-)

For den gælder at hvis M+N=P så er P-M=N og P-N=M

(Jeg tror jeg snyder lidt her, definitionen halter lidt - hvorfor gælder
f.eks ikke at M-P=N? Input modtages med kyshånd)

Populært sagt så virke minus ved at fjerne et tilsvarende antal elementer

Vi prøve med M=3 N=2 og P=5

P-M=N <=> 5-3=2 <=> |{A,B,C,D,E}|- |{F,G,H}| = |{I,J}|

Vi fjerner altså 3 elementer fra 5 gruppen for at få 2 gruppen.

Bemærk at vi nu løber ind i problemer, for hvad er 2-3?

Resultatet af dette er ikke et naturligt tal!

Jeg forlader nu guppe notationen idet det ikke er ligetil at definere
negative tal med denne notation.

Vi vil gerne vide hvad 2-3 er. Vi ved at resultatet ikke er et naturligt
tal, altså må vi udvide vores mængde.

Jeg snyder lidt for at komme frem til en ny notation for denne udvidelse
af de naturlige tal
Der gælder at M-N = -(N-M)
Hvis M er mindre end N betegner vi simpelthen resultatet som højre side
af lighedstegnet

altså 2-3 = -(3-2) = -1

Vi betegner resultatet af M-N hvor M er mindre end N som -(N-M).
det foranstillede - fortæller at ved addition skal det naturlige tal som
det står foran trækkes fra, og ved subtraktion skal det adderes.

Bemærk nu at addition af de negative tal vi netop har defineret virker
præcis som addition i de naturlige tal.

Vores nye gruppe af tal kalder vi Z, mængden af hele tal.
Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Vi indfører nu en ny regneoperation gange (*)
M*N=N+N+N+...+N, hvor antallet af additioner er N.

Da vi ved at de hele tal er lukket over for addition så er de også
lukkede over for multiplikation.

(Der er nogle vigtige tal i forbindelse med gange. 0*M=M*0=0 for alle M,
1*M=M*1=M for alle M.)

Vi kigge igen på den modsatte operation vi kalde den division (/)
M*N=P => P/M=N og P/N=M

De hele tal er ikke lukkede over for division.
Eksemplet er
For 2/3 findes der ikke noget helt tal N så 2/3=N
Vi udvide derfor vores talmængde med tal af formen M/N.
Her skal vi dog bemærke at der ikke kan findes nogen omvendt funktion
for at gange med 0. For alle tal N gælder at N*0=0*N=0, så det giver
ikke mening at bruge definitionen og sige at 0*N=0 => 0/0 = N
Derfor gælder division ikke for tallet 0!

Vi kalder mængden af hele tal forenet med mængden af tal af formen (M/N)
for de rationelle tal. Faktisk er det dobbeltkonfekt.
Vi ved at ethvert helt tal kan repræsenteres som M/1, det vil sige at de
rationelle tal er alle tal af formen M/N hvor M og N er hele tal, men N
ikke er 0.



Det her er en lang - og måske rodet forklaring på hvordan vi går fra en
gruppe af tal til en større. Hver gang vi finder nogen huller prøver vi
at fylde dem ud. Sådan kommer vi rimeligt enkelt de rationelle tal.

Overgangen til de reele tal kan vi lave på flere måder.

Vi skal finde nogle tal vi ikke kan ramme med betegnelsen M/N.

Et eksempel er kvadratroden af 2 (sqr(2))

Det kan bevises således
antag at sqr(2) = M/N hvor M,N er hele tal og N<>0.

Da M/N er en brøk kan forkorte den. (dividere tæller og nævner med
fælles divisorer). Antag at M/N ikke kan forkortes mere.

Det vil sige at der ikke findes nogen fælles divisorer mellem M og N


Definitionen af sqrt(2) siger så at
(M/N)(M/N)=2 => M*M / N*N = 2 => M*M = 2*N*N.

Det vil sige M er et lige tal, dermed findes et tal K så M=2*K

Vi erstatter i ligningen ovenfor M*M = 2*N*N => 2*K*2*K=2*N*N =>
2*K*K = N*N

Men så er N ligeledes et lige tal.

Men hvis både M og N er lige så kan brøken M/N forkortes med 2, dette er
i modstrid med vores antagelse, og dermed kan sqrt(2) ikke være et
rationelt tal.

Netop kvadratroden af et tal er interessant. Hvis du forestiller dig et
kvadrat med sidelængden 1, hvad længde har diagonalen så?
Pythagoras sige A*A+B*B=C*C, for A=1 og B=1 har vi 1+1=C*C => C=sqrt(2).

Det vil sige at længder ikke kan beskrives med de rationelle tal alene.
Den talmængde som kan beskrive længder kalder vi de reele tal. Den
består af de rationelle tal, og de tal som ikke er rationelle.

De irationelle tal kan deles op i algebraiske tal. Disse tal er
løsninger til n'te gradsligninger med heltallige koefficienter
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ ... + a_1 x^1 + a_0 = 0

Derudover består de irationelle af de transcendente tal, som ikke kan
være løsning til en sådan ligning.

Bæandt transcendente tal er f.eks pi.

At Pi er transcedent betyder at længden pi ikke kan konstrueres med
passer og lineal, dermed kan man ikke med passer og lineal konstruere et
kvadrat med samme areal som en given cirkel.

For at opsummere

Så er de naturlige tal en ægte delmængde af de hele tal, som er en ægte
delmængde af de algebraiske tal.

De irationelle tal består af de algebraiske tal, som ikke er rationelle
forenet med de transcendente tal De transcendente tale er disjunkte med
de algebraiske.

/Søren

---

"Stefan Garvig" <sgdataGED@edb.dk> wrote in
news:cg5sff$2m0j$1@news.cybercity.dk:

> Hvad består de reelle tal af? Jeg mener at huske, at de består af
> følgende grupper, hvis foreningsmængde udgør de reelle tal:
>
> De hele tal
> De rationelle tal
> De irrationelle tal
> De transcendente tal
>
Du tænker sikkert på de 'naturlige' trinvise udvidelser:

Først, har vi de hele positive tal N. En stor mangel er, at + operationen
ikke har inverse elementer. Derfor udvides med negative tal:

Nu har vi alle hele tal: Z. Nu har * operationen ikke inverse. Altså
udvides med brøker.

Så fik vi de rationelle tal Q. Der findes så i Q nogle Cauchy-følger som
konvergerer men ikke mod et element i Q. Næste udvidelse...

Så fik vi R, som osse har en mangel mht antal rødder i polynomier; og
derfor kan udvides til de komplekse tal C.


> Er der andre grupper inden for det reelle tallegeme?
>
Gode svar allerede i tråden.


> Hvordan definerer man i øvrigt et transcendent tal?
>
Osse besvaret i tråden.

/Claus