---

Der skulle være nogle russere der har bevist at de reelle tal er
tællelige: (http://front.math.ucdavis.edu/math.GM/0403169)

Abstract: The proofs that the real numbers are denumerable will be
shown, i.e., that there exists one-to-one correspondence between the
natural numbers $N$ and the real numbers $\Re$. The general element
of the sequence that contains all real numbers will be explicitly
specified, and the first few elements of the sequence will be
written. Remarks on the Cantor's nondenumerability proofs of 1873
and 1891 that the real numbers are noncountable will be given.

Hele artiklen findes på

- http://il.arxiv.org/ps/math.GM/0403169 (Postscript)
- http://il.arxiv.org/pdf/math.GM/0403169 (PDF)

Jeg mente at Cantors diagonalbevis var generelt accepteret. Er det
kooks eller er der noget om sagen?

--
Peter Makholm | There are 10 kinds of people. Those who count in
peter@makholm.net | binary and those who don't
http://hacking.dk |

---

Peter Makholm wrote:
>
> Der skulle være nogle russere der har bevist at de reelle tal er
> tællelige: (http://front.math.ucdavis.edu/math.GM/0403169)

Er det en joke eller hvad? For øvrigt er de vist kroater, ikke russere.

Hele verden bryder naturligvis sammen hvis de reelle tal er tællelige.
I hvert fald forsvinder hele målteorien og grundlaget for megen analyse
og sandsynlighedsteori. Sikkert også resten af matematikken.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> Jeg mente at Cantors diagonalbevis var generelt accepteret. Er det
> kooks eller er der noget om sagen?

Det finns flera tokar på nätet som vederlägger Cantor - under de
senaste tio åren har det förekommit tusentals artiklar i news om
sådant. De skickar även in artiklar till tidskrifter. Om detta, se
Hodges "An editor recalls some hopeless papers",
www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0401/0401-001.ps

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> Der skulle være nogle russere der har bevist at de reelle tal er
> tællelige: (http://front.math.ucdavis.edu/math.GM/0403169)

[snip]

> Jeg mente at Cantors diagonalbevis var generelt accepteret. Er det
> kooks eller er der noget om sagen?
>

Lad os lige en gang for alle slå dette fast: De reelle tal er _ikke_
tællelige. Af en eller anden grund morer det nogle folk at påstå det
modsatte, og nedskrive aldeles obskure "beviser", som de ovenikøbet
belaster diverse preprint-servere (a la arXiv) med.

I går aftes postedes et link til en lige så tåbelig artikel på vores
lokale nyhedsgruppe, imf.chat. Denne artikel har den fordel, at den er
nem at grine af, fordi det er let at se hvor fejlene begås (og der er
MANGE; fx er det svært at finde et eneste udsagn som er en logisk
konsekvens af de foregående (falske) udsagn). Interesserede kan finde
den her:

http://front.math.ucdavis.edu/math.GM/0403169


Nuvel, ovenstående påstande er jo ikke meget bedre end fjolsernes
argumenter for de reelle tals tællelighed, så lad mig udpege et sted i
arXiv-artiklen hvor argumentet fejler: Efter ligning (4) på side 4
står følgende (på dårligt engelsk):

Therefore, with (1), in any arbitrary chosen interval one can
generate infinitely many algebraic and transcendental numbers,
which is actually the continuum[32].

Dette er åbenlyst forkert; tag alle rationale tal og alle rationale
multipla af pi som ligger i intervallet (0, 1). Så har jeg uendelig
mange algebraiske tal og uendelig mange transcendente tal i
intervallet, men jeg har ikke _hele_ intervallet. Typisk for den slags
artikler kommer der ved en sådan påstand en obskur reference som den
uopmærksomme læser antager har noget med sagen at gøre og som skulle
forklare det hele.

Mvh Rasmus

--

---

Scripsit Peter Makholm <peter@makholm.net>

> Jeg mente at Cantors diagonalbevis var generelt accepteret. Er det
> kooks eller er der noget om sagen?

Tydeligvis kooks.

Deres "bevis" for den påståede enumering af R argumenterer blot for at
sekvensen er *tæt* i ethvert interval, hvilket tydeligvis er rigtigt,
men langt fra nok til at kunne sige at ethvert reelt tal bliver ramt.

Deres bemærkninger efter "teorem 2" (beviset så fuldt af
non-sequiturer at det næppe giver mening at slå ned på et bestemt af
dem) synes at påstå at enhver tæt delmængde af R har den
kontinuitetsegenskab de påstår definerer de reelle tal.

Diagonalbeviset har de tydeligvis overhovedet ikke fattet - de snakker
om flere (= en sekvens af?) diagonalelementer, ikke om et entydigt
diagonalelement. Med lidt god vilje kan deres argument mod
diagonalbeviset cirka koges ned til:

Cantor påstår at diagonalelementet er forskelligt fra ethvert
element i den oprindelige sekvens, men bemærk at forskellen kan
gøres vilkårligt lille. Ved at tage grænseværdien (!) af
forskellene finder vi at den virkelige forskel mellem
diagonalelementet og sekvensen er 0, altså er diagonalelementet
ikke forskelligt fra sekvensen alligevel.

Generelt synes de at forveksle algebraiske tal med rationelle ditto,
hvilket heller ikke tyder på nogen videre matematisk modenhed.

--
Henning Makholm "Jeg forstår mig på at anvende sådanne midler på
folks legemer, at jeg kan varme eller afkøle dem,
som jeg vil, og få dem til at kaste op, hvis det er det,
jeg vil, eller give afføring og meget andet af den slags."

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> Der skulle være nogle russere der har bevist at de reelle tal er
> tællelige: (http://front.math.ucdavis.edu/math.GM/0403169)
....
> Jeg mente at Cantors diagonalbevis var generelt accepteret. Er det
> kooks eller er der noget om sagen?

Mit første indskud er at det er kooks. Diagnoalbeviset er så simpelt
at jeg ikke tror på at en fejl har kunnet overleve indtil nu.

Ok, lad mig kigge på det de har skrevet ...

Uden at forstå deres eget bevis, så tror jeg ikke på deres modbevis på
Cantors diagnaliseringsbevis. Det lyder mest som en stråmand. De
hænger sig i at afsnitssummerne for diagnoal-konstruktionen alle er
endelige (duh), og derfor måske kan findes senere i sekvensen. Men
Cantor bruger ikke induktion til at lave diagnoal-nummeret, så deres
"modargument" er fuldstændigt ligegyldigt (derfor: stråmand).

Hvis man tror på at
oo
sum 10^-i * d_i (d_i tilhører {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9})
i=0
har en reel værdi for alle sekvenser (d_i)_i in N, så er der ikke
noget problem.

Jeg dømmer Kooks! Jeg håber ikke den er kommet igennem peer review.
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:

> Der skulle være nogle russere der har bevist at de reelle tal er
> tællelige: (http://front.math.ucdavis.edu/math.GM/0403169)

Jeg har fået to artikler (af samme brasilianske forfatter) til review.
Den ene påstår også at de reelle tal er tællelige og den anden at
standsningsproblemet er løseligt. Jeg har ikke læst dem endnu, men
jeg regner ikke med at anbefale publikation.

   Torben

---

Scripsit torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen)

> Jeg har fået to artikler (af samme brasilianske forfatter) til review.
> Den ene påstår også at de reelle tal er tællelige og den anden at
> standsningsproblemet er løseligt.

Hov, fy! Som reviewer forventes du at behandle resultater fra de
indsendte arbejder fortroligt, indtil de bliver officielt publiceret.
Især i tilfælde som dette, hvor resultaterne er potentielt
revolutionerende - tænk blot på hvor store fremskridt indenfor
programanalyse en HALT-solver ville bevirke.

Nå, der er vel ikke meget *peer* review over det i dette tilfælde, så
du er måske nok undskyldt.

Hm, jeg forstår egentlig godt at man kan få diagonalbeviset for
|R|>|N| galt i halsen, fordi man skal vride hjernen rundt om en
uendelig konstruktion af diagonalelementet. Men det tilsvarende
argument for standsningsproblemet er det da svært at skyde ned - det
angiver jo en endelig, konstruktiv, procedure for at konstruere et
program som den påståede HALT-solver svarer forkert på.

--
Henning Makholm "Monsieur, vous êtes fou."

---

Henning Makholm wrote:
>
> Hm, jeg forstår egentlig godt at man kan få diagonalbeviset for
> |R|>|N| galt i halsen, fordi man skal vride hjernen rundt om en
> uendelig konstruktion af diagonalelementet.

Så I det bevis for at R *ikke* er tællelig som de kroatiske(?) for-
fattere selv fremhævede? Det er da meget lækkert.

Til dem der ikke véd hvad jeg hentyder til:

Lad r1, r2, r3, ... være en følge af reelle tal (som vi befrygter kan
medtage alle reelle tal). Vælg et lukket interval I1 som ikke inde-
holder r1 som element. Vælg et lukket delinterval I2 af I1 sådan at
I2 ikke indeholder r2. Etc. Nu er snittet af alle In en ikketom mængde.
Men et element i denne fællesmængde kan ikke have været med i den op-
rindelige liste (r1, r2, r3, ...).

Fordelen ved dette bevis er at man slipper for decimalbrøker. Ulempen
er at man på forhånd skal have bevíst at intervaller af denne slags
ikke kan snitte tomt.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Så I det bevis for at R *ikke* er tællelig som de kroatiske(?) for-
> fattere selv fremhævede? Det er da meget lækkert.

Det er, så vidt jeg er orienteret, Cantors oprindelige.

> Fordelen ved dette bevis er at man slipper for decimalbrøker. Ulempen
> er at man på forhånd skal have bevíst at intervaller af denne slags
> ikke kan snitte tomt.

Og det er da ikke fuldstændig trivielt. På den anden side: hvis man
først skal til at kostruere decimalbrøkudviklinger stringent, er
diagonalbeviset måske heller ikke så enkelt som vi går og tror.

På den tredje side *er* det let og enkelt at diagonalisere sig frem
til at P(N) er stærkt større end N, og med Cantor-Bernsteins
ækvivalenssætning i baghånden ses det forholdsvis let at P(N) og R har
samme kardinalitet.

--
Henning Makholm "De kan rejse hid og did i verden nok så flot
Og er helt fortrolig med alverdens militær"

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote:
> Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
>
> > Fordelen ved dette bevis er at man slipper for decimalbrøker. Ulempen
> > er at man på forhånd skal have bevíst at intervaller af denne slags
> > ikke kan snitte tomt.
>
> Og det er da ikke fuldstændig trivielt.

Hvis man ved at afsluttede intervaller er kompakte, er det.

--
Stefan Holm

---

Scripsit nospam@algebra.dk (Stefan Holm)
> Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote:

> > Og det er da ikke fuldstændig trivielt.

> Hvis man ved at afsluttede intervaller er kompakte, er det.

Jeg godtager i almindelighed ikke kompakthedsargumenter som
"fuldstændig trivielt".

--
Henning Makholm "Den nyttige hjemmedatamat er og forbliver en myte.
Generelt kan der ikke peges på databehandlingsopgaver af
en sådan størrelsesorden og af en karaktér, som berettiger
forestillingerne om den nye hjemme- og husholdningsteknologi."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> wrote:
>
> Jeg godtager i almindelighed ikke kompakthedsargumenter som
> "fuldstændig trivielt".

Rimeligt nok.

Dette er dog stadig et af de simplere kompakthedsargumenter, da
resultatet falder direkte ud af overdaekningsdefinitionen af
kompakthed (men man skal selvfoelgelig saa kende den og vide lidt om
de reelle tals topologi og saadan).

--
Stefan Holm

---

Stefan Holm wrote:
>
> > Jeg godtager i almindelighed ikke kompakthedsargumenter som
> > "fuldstændig trivielt".
>
> Rimeligt nok.
>
> Dette er dog stadig et af de simplere kompakthedsargumenter, da
> resultatet falder direkte ud af overdaekningsdefinitionen af
> kompakthed (men man skal selvfoelgelig saa kende den og vide lidt om
> de reelle tals topologi og saadan).

De kroatiske forfattere til den patologiske matematik-artikel som
startede denne tråd, synes jo at mene at argumentet lige så vel kan
bruges til at bevise at de *rationale* tal er en overtællelig mængde.

Det er dog »klart« (for os der véd alt i forvejen) at en aftagende
følge af »lukkede« »intervaller« af rationale tal sagtens kan snitte
tomt.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> De kroatiske forfattere til den patologiske matematik-artikel som
> startede denne tråd, synes jo at mene at argumentet lige så vel kan
> bruges til at bevise at de *rationale* tal er en overtællelig mængde.

Detta är ett standardresonemang i hundratals artiklar på nätet.

---

Torkel Franzen wrote:

> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

>>De kroatiske forfattere til den patologiske matematik-artikel som
>>startede denne tråd, synes jo at mene at argumentet lige så vel kan
>>bruges til at bevise at de *rationale* tal er en overtællelig mængde.

> Detta är ett standardresonemang i hundratals artiklar på nätet.

Forhåbentligt ikke

--
Jens Axel Søgaard

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> wrote:
>
> De kroatiske forfattere til den patologiske matematik-artikel som
> startede denne tråd, synes jo at mene at argumentet lige så vel kan
> bruges til at bevise at de *rationale* tal er en overtællelig mængde.

Det er da osse helt urimeligt at et saa udbredt topologisk rum som Q
ikke er lokalkompakt.

--
Stefan Holm

---

torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:

> Peter Makholm <peter@makholm.net> writes:
>
> > Der skulle være nogle russere der har bevist at de reelle tal er
> > tællelige: (http://front.math.ucdavis.edu/math.GM/0403169)
>
> Jeg har fået to artikler (af samme brasilianske forfatter) til review.
> Den ene påstår også at de reelle tal er tællelige og den anden at
> standsningsproblemet er løseligt. Jeg har ikke læst dem endnu, men
> jeg regner ikke med at anbefale publikation.

Jeg har nu læst den første, og den bruger en antagelse om at alle
reelle tal kan konstrueres ved endelig komposition af endeligt mange
funktioner (fra R til R) anvendt på rationelle tal. Der er ikke gjort
noget forsøg på at underbygge denne antagelse, som da også er forkert.

Altså direkte til skrotbunken.

   Torben

---

Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> writes:

> Torkel Franzen wrote:

[argument for de rationelle tals overtællelighed]
>> Detta är ett standardresonemang i hundratals artiklar på nätet.
>
> Forhåbentligt ikke

Så længe de bare holder sig på nettet, og ikke bliver accepteret til
udgivelse, så lyder det såmænd ganske sandsynligt :)

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'