---

For undergruppen L_5 i S_5 har jeg brug for at kende samtlige undergrupper i
L_5 og deres indbyrdes relationer, i.e. hvem sidder inden i hvem og hvor
stor er ordenen af hver undergruppe, er gruppen abelsk, cylisk, ect. Findes
der ikke et sted på Nettet hvor sådanne oplysninger kan findes?

--
Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

Jes Hansen wrote:
>
> For undergruppen L_5 i S_5 har jeg brug for at kende samtlige undergrupper i
> L_5 og deres indbyrdes relationer,

Betyder L_5 den alternerende gruppe på fem objekter (gruppeorden 60)
eller hvad?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Betyder L_5 den alternerende gruppe på fem objekter (gruppeorden 60)
> eller hvad?
Nej, det er A_5. L_5 er den lineære gruppe.

--
Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

Jes Hansen wrote:
>
> > Betyder L_5 den alternerende gruppe på fem objekter (gruppeorden 60)
> > eller hvad?
> Nej, det er A_5. L_5 er den lineære gruppe.

Kan du ikke forklare lidt nærmere?

Hvis man betragter et n-dimensionalt vektorrum (lineært rum) over et
legeme k, så plejer gruppen af lineære bijektioner på dette rum (de
lineære automorfier) at blive kaldt GL_n(k). Eksempel GL_5(R). Men om
dette har jeg ikke set notationen L_5 brugt.

Jeg kan se at Weisstein

http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLinearGroup.html

bruger L_5(q) om gruppen der fremkommer ud fra den specielle (ie.
determinant 1) lineære gruppe over legemet med orden q ved at faktori-
sere undergruppen »multiplikation med en (passende) skalar« væk. Har
det noget med det at gøre?

Er det noget man bruger i fysik?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Kan du ikke forklare lidt nærmere?

Jo. Jeg skal bruge gruppe strukturen af L_5 til en opgave i Galoisteori,
hvor jeg skal finde samtlige mellemlegemer mellem Q og spaltningslegemet for
x^5-2. Jeg har lige konsulteret Maple, og den kalder denne gruppe for F(5).
Det er den undergruppe i S_5, der er frembragt af de to cykler (1 2 3 4 5)
og (1 2 4 3). Gruppen har orden 20. Jeg mener at man har følgende
gruppediagram:
S_5
/ \
/ \
A_5 L_5
\ /
\ /
\ /
D_5
|
|
Z/Z5

Håber det er nok til at lede dig på sporet. Det er et diagram af denne type
som jeg leder efter, bare hvor der kun vises (samtlige) undergrupperne i
F(5).

--
Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

Jes Hansen wrote:

>>Kan du ikke forklare lidt nærmere?

> Jo. Jeg skal bruge gruppe strukturen af L_5 til en opgave i Galoisteori,
> hvor jeg skal finde samtlige mellemlegemer mellem Q og spaltningslegemet for
> x^5-2. Jeg har lige konsulteret Maple, og den kalder denne gruppe for F(5).
> Det er den undergruppe i S_5, der er frembragt af de to cykler (1 2 3 4 5)
> og (1 2 4 3). Gruppen har orden 20. Jeg mener at man har følgende
> gruppediagram:
> S_5
> / \
> / \
> A_5 L_5
> \ /
> \ /
> \ /
> D_5
> |
> |
> Z/Z5

Lad os kalde gruppen frembragt af cyklerne a=(1 2 3 4 5) og b=(1 2 4 3)
for G, altså G=<a,b>. Ved at benytte relationen ba = a^2b kan
man bevise, at elementerne a^i b^j med i=0,1,2,3,4 og j=0,1,2,3
alle er forskellige. Dermed har gruppen orden 20.

Da gruppen har orden 20 er de mulige ordener for undergrupper
1, 2, 4, 5, 10 og 20.

En Sylow-p-undergruppe af G er en undergruppe af orden p^r af G,
hvor p^r går op i ordenen af F, mens p^(r+1) ikke går op.
Mængden af Sylow-p-undergrupper betegnes Syl_p(G).

Sylows første sætning: |Syl_p(G)| >= 1
Sylows tredje sætning: |Syl_p(G)| = 1 modulo p
Endvidere: |Syl_p(G)| går op i |G|


I vores tilfælde er ordenen af G 20=2^2*5, så vi ser på
Sylow-2- og Sylow-5-undergrupper.

Antallet af Sylow-5-undergrupper er 1 modulo 5.
og en af 1, 2, 4, 5, 10 og 20. Det vil sige, antallet
af Sylow-5-undergrupper er 1.

Antallet af Sylow-2-undergrupper er 1 modulo 2 og
en af 1, 2, 4, 5, 10 og 20. Det vil sige, antallet
af Sylow-2-undergrupper er enten 1 eller 5.
Da elementet ab=(1 3 2 5) har orden 4 og <a> og <ab>
snitter trivielt har G mere end 1 undergruppe af orden 4.
Dermed er der 5 undergrupper af orden 4.

Husk, at der er 4 elementer i en Sylow-2-undergruppe,
og at to forskellige Sylow-2-undergrupper snitter trivielt.

Da der er 5 forskellige Sylow-2-undergrupper er der
i alt

| U P | = 5*(4-1)+1 = 16
P i Syl_2(G)

elementer i foreningsmængden af Sylow-2-undergrupperne.

Dermed må de resterende 4 elementer være med i
Sylow-5-undergruppen.

Alle elementer i G er altså med i enten en Sylow-2-undergruppe
eller en Sylow-5-undergruppe.

Konklusion:
1 undergruppe af orden 5
5 undergrupper af orden 4

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> Jes Hansen wrote:

>> Jo. Jeg skal bruge gruppe strukturen af L_5 til en opgave i Galoisteori,
>> hvor jeg skal finde samtlige mellemlegemer mellem Q og
>> spaltningslegemet for
>> x^5-2. Jeg har lige konsulteret Maple, og den kalder denne gruppe for
>> F(5).
>> Det er den undergruppe i S_5, der er frembragt af de to cykler (1 2 3
>> 4 5)
>> og (1 2 4 3). Gruppen har orden 20.


> Alle elementer i G er altså med i enten en Sylow-2-undergruppe
> eller en Sylow-5-undergruppe.
>
> Konklusion:
> 1 undergruppe af orden 5
> 5 undergrupper af orden 4

Jeg er lige faldet over programmet GAP, som kan lave
alverdens udregninger med permutationsgrupper. Hvis man har X-windows
kan det sågar tegne de diagrammer, de øsnker. [Jeg sidder i skrivende
stund desværre på Windows]

<http://www.gap-system.org/Manual4/htm/ref/CHAP037.htm>

Permutationer indtastest med runde parenteser:

gap> (1,2,3,4,5)*(1,2,4,3);
(1,4,5,2)

Mængder angives med firkantede parenteser.
Lad os finde alle elementerne af formen a^i*b^j:

gap> G:=[];
[ ]
gap> for i in [0..4] do
for j in [0..3] do
AddSet(G, (a^i)*(b^j));
od;
od;

Det viser sig, som forudsagt, at der er 20 elementer.

gap> G;
[ (), (2,3,5,4), (2,4,5,3), (2,5)(3,4), (1,2)(3,5), (1,2,3,4,5),
(1,2,4,3), (1,2,5,4), (1,3,4,2), (1,3)(4,5),
(1,3,5,2,4), (1,3,2,5), (1,4,5,2), (1,4,3,5), (1,4)(2,3),
(1,4,2,5,3), (1,5,4,3,2), (1,5,3,4), (1,5,2,3), (1,5)(2,4) ]

Man kan nu også lade GAP regne det ud selv.

gap> a := (1,2,3,4,5);
(1,2,3,4,5)
gap> b := (1,2,4,3);
(1,2,4,3)

gap> G:=Group( a,b );
Group([ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ])

Lad os spørge til nogle egenskaber:

gap> Size(G);
20
gap> IsAbelian(G);
false
gap> IsPerfect(G);
false

Funktionen SylowSubgroup giver en af de mulige undergrupper.
Der er kun en undergruppe af orden 5, så resultatet er ikke
overraskende:

gap> SylowSubgroup(G,5);
Group([ (1,2,3,4,5) ])

Mere interessant er Sylow-2-undergrupperne, som der skal
være 5 af.

gap> SylowSubgroup(G,2);
Group([ (2,3,5,4), (2,5)(3,4) ])

Her giver GAP en af disse. For at få fat i resten så
kan man benytte sig af sætningen om, at alle Sylow-p-undergrupper
kan fås ved at konjugere en bestemt undergrupper.

gap> ConjugateSubgroups(G,SylowSubgroup(G,2));
[ Group([ (2,3,5,4), (2,5)(3,4) ]),
Group([ (1,2,4,3), (1,4)(2,3) ]),
Group([ (1,3,2,5), (1,2)(3,5) ]),
Group([ (1,4,5,2), (1,5)(2,4) ]),
Group([ (1,5,3,4), (1,3)(4,5) ]) ]

Her ser vi altså de 5 Sylow-2-undergrupper.

For at oplysninger til at tegne diagrammet, skal
man benytte LatticeSubgroups.

gap> l:=LatticeSubgroups(G);
<subgroup lattice of Group([ (1,2,3,4,5), (1,2,4,3) ]),
6 classes, 14 subgroups>

gap> ConjugacyClassesSubgroups(l);
[ Group( () )^G,
Group( [ (2,5)(3,4) ] )^G,
Group( [ (2,3,5,4) ] )^G,
Group( [ (1,2,3,4,5) ] )^G,
Group( [ (1,5,4,3,2), (1,4)(2,3) ] )^G,
Group( [ (1,5,4,3,2), (1,4)(2,3), (1,2,4,3) ] )^G ]

Notationen ^G betyder konjugeringsklasser.

GAP kan *mange* flere ting end beskrevet ovenfor.
Se mere i manualen.

Apropos, så er der et eksempel med Rubiks terning:
<http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~gap/Intro/rubik.html>

--
Jens Axel Søgaard

---

> For at oplysninger til at tegne diagrammet, skal
> man benytte LatticeSubgroups.
....
> Group( [ (1,5,4,3,2), (1,4)(2,3), (1,2,4,3) ] )^G ]

Kan du forklare lidt nærmere, hvordan det bliver til et diagram? Du har i
øvrigt glemt D_5. Den sidder også inden i gruppen, som jeg nu har fundet ud
af hedder Frobeniusgruppen af orden 20.

--
Jes

---

Jes Hansen wrote:
>>For at oplysninger til at tegne diagrammet, skal
>>man benytte LatticeSubgroups.

>> Group( [ (1,5,4,3,2), (1,4)(2,3), (1,2,4,3) ] )^G ]

> Kan du forklare lidt nærmere, hvordan det bliver til et diagram?

Se i manualen for at få GAP til ar udregne de oplysninger, du mangler.

> Du har i øvrigt glemt D_5.

Diedergruppen af orden 10. Sørme så. Men det havde GAP ikke:

gap> ConjugacyClassesSubgroups(l);
[ Group( () )^G,
Group( [ (2,5)(3,4) ] )^G, <- konj.klasserne af orden 2
Group( [ (2,3,5,4) ] )^G, <- konj.klasserne af orden 4
Group( [ (1,2,3,4,5) ] )^G, <- konj.klasserne af orden 5
Group( [ (1,5,4,3,2), (1,4)(2,3) ] )^G, <- diedergruppen af orden 10
Group( [ (1,5,4,3,2), (1,4)(2,3), (1,2,4,3) ] )^G ]

Kontrol:

gap> d:=(1,5,4,3,2);
(1,5,4,3,2)
gap> e:=(1,4)(2,3);
(1,4)(2,3)

gap> e*d*e^-1;
(1,2,3,4,5)
gap> d^-1;
(1,2,3,4,5)

Så da e*d*e^-1 = d og orden af e er 2 og ordenen af d er 5,
frembringer d og e diedergruppen af orden 10.

Apropos, så er en skidt idé kun at bruge bogens gruppebetegnelser.
En uddybende beskrivelse er nødvendig, når man ikke ved om
læseren har samme bog. Hvad er beskrivelsen af F(5) i Maples manual?
(Jeg har ikke Maple)

> Den sidder også inden i gruppen, som jeg nu har fundet ud
> af hedder Frobeniusgruppen af orden 20.

Du har set, at GAP også kan bruges direkte til Galois teori?

<http://mystic.math.neu.edu/gap-manual/CHAP016.htm>

--
Jens Axel Søgaard

---

Jes Hansen wrote:
>
> > Kan du ikke forklare lidt nærmere?
>
> Jo. Jeg skal bruge gruppe strukturen af L_5 til en opgave i Galoisteori,
> hvor jeg skal finde samtlige mellemlegemer mellem Q og spaltningslegemet for
> x^5-2. Jeg har lige konsulteret Maple, og den kalder denne gruppe for F(5).
> Det er den undergruppe i S_5, der er frembragt af de to cykler (1 2 3 4 5)
> og (1 2 4 3). Gruppen har orden 20.

Kært barn har sikkert mange navne. Jeg er ikke inde i alle detaljer i
algebra. Men på den gamle side
http://www.math.usf.edu/~eclark/algctlg/small_groups.html
finder man en liste over alle grupper af orden 20 (der er fem). Den
gruppe du snakker om, kaldes også dér Frobenius-gruppe.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)