---

Jeg fik et spørgsmål i dag jeg ikke kunne svare på, det kan være I kan:

Lad X være et lokalkompakt topologisk rum. Lad D være systemet af kompakte
mængder. Gælder det så at enhver åben mængde V er indeholdt i \sigma(D)?

--
Med venlig hilsen
Jes Hansen

---

"Jes Hansen" <snyde@mail.dk> writes:

> Jeg fik et spørgsmål i dag jeg ikke kunne svare på, det kan være I kan:
>
> Lad X være et lokalkompakt topologisk rum. Lad D være systemet af kompakte
> mængder. Gælder det så at enhver åben mængde V er indeholdt i \sigma(D)?
>

Hvis jeg forstår spørgsmålet rigtigt er svaret generelt nej. Thi lad X
være mængden af reelle tal forsynet med den diskrete topologi. Så er
en mængde kompakt hvis og kun hvis den er endelig. Dermed består dit
\sigma(D) (som jeg antager er sigma-algebraen frembragt af D) af alle
tællelige foreninger af endelige mængder (det giver alle tællelige
delmængder), samt komplementer til disse. Men fx er mængden V af
positive reelle tal åben i X; men V er ikke et element i \sigma(D).

Hvis du tilføjer en betingelse om, at X er andentælleligt virker det
mere "plausibelt", at man måske kan vise det ønskede; men måske findes
der også modeksempler i dette tilfælde.

Standardeksemplet på at ovenstående går godt må være R^n med den
sædvanlige topologi. Er der andre gode eksempler? (Evt. nogle
topologiske rum som har færre "pæne" egenskaber end R^n).

Mvh Rasmus

--