---

Hello!

Opgave: Betragt 2 afbildninger f: X -> Y og g :Y -> Z
Den sammensatte funktion er g(f(x)): X -> Z.
Vis hvis f og g er injektive, så er g(f(x)) injektiv.

Efter at have repeteret stoffet om afbildninger, sammensatte
funktioner og læst om injektivitet, forstår jeg opgaven
Kan der gives et hint til løsning ?

Martin.

---

Martin Andersen <martin@al-data.dk> writes:

> Kan der gives et hint til løsning ?

Direkte anvendelse af definitionen er din ven.

--
Stefan Holm
"Onsdag: Min badering klemmer."

---

On Tue, 03 Feb 2004 18:12:13 +0100, Stefan Holm wrote:

> Martin Andersen <martin@al-data.dk> writes:
>
>> Kan der gives et hint til løsning ?
>
> Direkte anvendelse af definitionen er din ven.

ok. En injektiv funktion mapper en-til en, så
for hver x findes der højst 1 f(x).
For hver y findes der højst 1 g(y).
Så g(f(x)) giver højst 1 værdi for hver f(x).
Det lyder ikke så overbevisende

Martin.

---

Martin Andersen <martin@al-data.dk> writes:

> ok. En injektiv funktion mapper en-til en,

Ja, det er synonymt.

> så
> for hver x findes der højst 1 f(x).
> For hver y findes der højst 1 g(y).

Nej, det er definitionen af at være en funktion (som du skriver det,
måske ikke som du mener det).

> Så g(f(x)) giver højst 1 værdi for hver f(x).
> Det lyder ikke så overbevisende

Næh, det gælder jo for alle funktioner at g(f(x)) har netop en værdi.

Den definition af injektivitet jeg husker er:

Funktionen f:A->B er injektiv hvis og kun hvis
for alle a1,a2 i A gælder:
f(a1) = f(a2) => a1 = a2

Så, hvis du har f:A->C og g:C->B, så skal du bare vise at
hvis vi antager at g(f(x)) = g(f(y)), så kan vi vise at x=y.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

On Tue, 03 Feb 2004 22:42:28 +0100, Lasse Reichstein Nielsen wrote:

> Martin Andersen <martin@al-data.dk> writes:
>
>> ok. En injektiv funktion mapper en-til en,
>
> Ja, det er synonymt.
>
>> så
>> for hver x findes der højst 1 f(x).
>> For hver y findes der højst 1 g(y).
>
> Nej, det er definitionen af at være en funktion (som du skriver det,
> måske ikke som du mener det).

I mine notater har jeg: f kaldes injektiv, hvis hvert element i Y
rammes af højst 1 x, dvs hvis f(x1) = f(x2) så er x1 = x2 (Jakob
Stoklund Olesen).

Definitionen af en funktion: for hvert x er der nøjagtig 1 værdi af
f(x), for x i X.

>
>> Så g(f(x)) giver højst 1 værdi for hver f(x).
>> Det lyder ikke så overbevisende
>
> Næh, det gælder jo for alle funktioner at g(f(x)) har netop en værdi.

>
> Den definition af injektivitet jeg husker er:
>
> Funktionen f:A->B er injektiv hvis og kun hvis
> for alle a1,a2 i A gælder:
> f(a1) = f(a2) => a1 = a2
>
> Så, hvis du har f:A->C og g:C->B, så skal du bare vise at
> hvis vi antager at g(f(x)) = g(f(y)), så kan vi vise at x=y.
>
> /L
Jeg bliver svimmel af det her, kigger på det lidt senere

Martin.

---

Martin Andersen <martin@al-data.dk> writes:

> I mine notater har jeg: f kaldes injektiv, hvis hvert element i Y
> rammes af højst 1 x, dvs hvis f(x1) = f(x2) så er x1 = x2 (Jakob
> Stoklund Olesen).

Så da f og g er injektive, vil vi have at hvis f(x1)=f(x2), så er
x1=x2, og hvis g(y1)=g(y2) så er y1=y2. Det du skal vise er at hvis
g(f(x1))=g(f(x2)) så er x1=x2.

--
Stefan Holm
"Whoa, whoa, a fat sarcastic Star Trek fan.
You must be a devil with the ladies."

---

Martin Andersen wrote:
>
> Opgave: Betragt 2 afbildninger f: X -> Y og g :Y -> Z
> Den sammensatte funktion er g(f(x)): X -> Z.
> Vis hvis f og g er injektive, så er g(f(x)) injektiv.
>
> Efter at have repeteret stoffet om afbildninger, sammensatte
> funktioner og læst om injektivitet, forstår jeg opgaven

Hvis man virkelig har forstået opgaven, er der næsten ikke noget at
bevise.

En afbildning er injektiv netop hvis forskellige punkter i definitions-
mængden altid har forskellige billeder. Betragt da to forskellige punk-
ter i X. Anvender du f på dem, bliver billederne forskellige da f er
injektiv. Anvender du dernæst g på disse nye elementer, får du atter to
forskellige billeder da også g er injektiv. Men så har du víst at de to
billeder under g¤f af x1 og x2 var forskellige, som ønsket.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)