---

Hej

jeg har for nyligt stillet mine elever i 8. klasse en opgave, hvor de
skal designe en æske til at have tennisbolde i. Æsken skal minimum
indeholde 3 tennisbolde. Eleverne er nu godt igang med at konstruere
deres meget fantasifulde æsker, men nu er læreren stødt ind i et
problem. Jeg bad eleverne udregne rumfang og overfladeareal af deres
æsker samt tegne en udfoldning af æsken, men nu er der én af
konstruktionerne, som jeg selv har problemer med. En gruppe har
konstrueret et tetraeder, som kan indeholde 4 tennisbolde stablet i en
pyramide - hvordan beregner man rumfang af sådan en fætter?

Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. Eleverne har
prøvet sig frem og har fundet en størrelse, som er passende, men nu har
de spurgt om ikke jeg kan hjælpe dem med, hvordan man udregner den
optimale størrelse. Vi kender tennisboldenes omkreds og dermed
selvfølgelig også diameter mm. Vi kan dermed også beregne størrelsen af
den trekant, der netop passer rundt om tre cirkler med samme diameter
som boldene - men hvad gør vi når det hele bliver tredimensionelt?

Håber på hjælp til en lærer, som er kommet lidt på glatis på grund af
dygtige og kreative elever.

Rikke Mors

---

"Rikke Mors" <rikke.mors@stofanet.dk> skrev i en meddelelse
news:401e983b$0$17627$ba624c82@nntp01.dk.telia.net...
> Hej
>.....
>......
>....
>
> Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. .........

Uden at bruge papir og blyant kan man bruge følgende overvejelse.
Du har den trekant der netop rummer tre kugler. Af symmetrigrunde må alle
fire trekanter i tetraeder være ens og netop den trekant.
Deerefter skulle det være ren pythagoras i passende snit.
Venlig hilsen
Jens

---

"Jens Harming" <jensharming@oncable.dk> skrev vist nok noget
vrøvl.....basistrekanten er selvfølgelig større....skal bruge papir og
blyant....
undskyld
Jens

---

> "Jens Harming" <jensharming@oncable.dk> skrev vist nok noget
> vrøvl.....basistrekanten er selvfølgelig større....

Hvorfor er den det?
Man kan da dreje og vende systemet som man lyster, så alle fire sider må
have samme areal.

--
signing off.. Martin Sørensen

---

"Martin Sørensen" <mos@laxity.invalid> skrev i en meddelelse
news:bvmiln$1n8e$1@news.cybercity.dk...
> > "Jens Harming" <jensharming@oncable.dk> skrev vist nok noget
> > vrøvl.....basistrekanten er selvfølgelig større....
>
> Hvorfor er den det?
> Man kan da dreje og vende systemet som man lyster, så alle fire sider må
> have samme areal.

Lægger man 3 bolde i en trekant og tegner den mindste trekant muligt omkring
disse, er denne trekant for lille til at være basis trekant. Det bredeste
punkt på bolden er jo på midten af denne, og derfor skal basistrekanten
være lidt større for at boldene kan være inden i trekanten.

---

>>> vrøvl.....basistrekanten er selvfølgelig større....
>> Hvorfor er den det?
>> Man kan da dreje og vende systemet som man lyster, så alle fire
>> sider må have samme areal.
> Lægger man 3 bolde i en trekant og tegner den mindste trekant muligt
> omkring disse, er denne trekant for lille til at være basis trekant.
> Det bredeste punkt på bolden er jo på midten af denne, og derfor
> skal basistrekanten være lidt større for at boldene kan være inden i
> trekanten.

Ja, men hvordan er det forskelligt fra de tre andre flader?

--
signing off.. Martin Sørensen

---

Hej Rikke

"Rikke Mors" skrev i en meddelelse
>
> jeg har for nyligt stillet mine elever i 8. klasse en opgave, hvor de
> skal designe en æske til at have tennisbolde i.

Det samme har jeg, - dog i 9. kl

> En gruppe har
> konstrueret et tetraeder, som kan indeholde 4 tennisbolde stablet i en
> pyramide - hvordan beregner man rumfang af sådan en fætter?

Hverken 8 eller 9 kl. har lært den matematik der skal bruges her til,
nemlig tangens og cotangens relationerne.


> Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. Eleverne har
> prøvet sig frem og har fundet en størrelse, som er passende, ...

Det er i dette tilfælde også i orden, - også til examen.
Man kunne f.eks. lave en tegning i målestoksforholdet 1:1 af bunden (3
bolde), og så måle sig frem.

> men nu har de spurgt om ikke jeg kan hjælpe dem med, hvordan man udregner
den
> optimale størrelse.

Selvfølgelig kan det udregnes, - rent matematisk, se nyhedsgruppen dk.binaer
under titlen:
Tennisbolde
(man kan ikke vedhæfte billeder/filer i denne her gruppe)

> - men hvad gør vi når det hele bliver tredimensionelt?
Det bliver - af symetrigrunde - ikke nødvendigt, da vi kan nøjes med at
betrage f.eks bunden. (=2-dim)

Men hvis du også vil have højden i pyramiden skal vi til at betragte tingene
lidt 3-dim.
Dette kan dog også koges ned til et 2-dim snit.
Hertil skal man bruge:
højden i den store trekant
den vinkelrette på sidelinien fra højdernes skæringspunkt (dette er
nemlig "fodpunkt" for højden i pyramiden)

Dette gøres "let" ved hjælp af pythagoras, men da det allerede fundne
resultat også indgår ender det hele med at blive lidt "giftigt"
Hvis du ønsker skal jeg gerne sende beregningerne.


Mvh Poul C

---

Poul C:

>Selvfølgelig kan det udregnes, - rent matematisk, se nyhedsgruppen dk.binaer
>under titlen:
>Tennisbolde
>(man kan ikke vedhæfte billeder/filer i denne her gruppe)

>> - men hvad gør vi når det hele bliver tredimensionelt?
>Det bliver - af symetrigrunde - ikke nødvendigt, da vi kan nøjes med at
>betrage f.eks bunden. (=2-dim)

Bunden bliver da større end boldenes projicerede mål.

Venlig hilsen

Niels Foldager

---

Hej Niels

"N. Foldager" skrev:

> Bunden bliver da større end boldenes projicerede mål.

Det viser min formel da også:

Bunden = ligesidet trekant med sidelængden

s = 2*r*(cot(30)+1) = 5,4641*r
det stemmer da også fint med "øjemålet" hvis du kigger på min tegning.

... men det er måske slet ikke det du mener??

Mvh Poul C

---

Hej igen Niels

"Poul C" > skrev i en meddelelse
> Hej Niels
> "N. Foldager" skrev:
>
> > Bunden bliver da større end boldenes projicerede mål.
> Det viser min formel da også:
> Bunden = ligesidet trekant med sidelængden
> s = 2*r*(cot(30)+1) = 5,4641*r
> det stemmer da også fint med "øjemålet" hvis du kigger på min tegning.
> .. men det er måske slet ikke det du mener??

Ved genlæsning længere nede i tråden - vil det fremgå at Niels havde ret !!

Den ligesidede trekant jeg havde i tankerne ligger faktisk et stykke over
"bunden", helt præcis ligger den vel i en aftand der svarer til radius.
Jeg vil prøve at se om jeg kan koorigere min tegning og formler.

Tilbage til tegnebordet.....

Mvh Poul

---

Poul C wrote:
>
> Ved genlæsning længere nede i tråden - vil det fremgå at Niels havde ret !!
>
> Den ligesidede trekant jeg havde i tankerne ligger faktisk et stykke over
> "bunden", helt præcis ligger den vel i en aftand der svarer til radius.

Til gengæld var din tegning helt fin hvis man ville bestemme størrelsen
af en *prismeformet* æske der kun kunne indeholde *tre* bolde der lå ved
siden af hinanden.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit "Poul C" <telfnr@hafnet.dk>

> Hverken 8 eller 9 kl. har lært den matematik der skal bruges her til,
> nemlig tangens og cotangens relationerne.

Her er en analytisk løsning uden trigonometri. (Jeg påstår dog ikke at
man bør kunne finde på den i folkeskolen).

Lad radius af en tennisbold være 1. Vi starter med at være lidt smarte
og huske at et tetraeder kan indskrives i en terning ved at tage hvert
andet hjørne. Hvis vi drejer tetraederet rigtigt, kan vi altså let
beskrive den i et koordinatsystem; hjørnerne får koordinaterne

(0,0,0), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a)

for et passende a som vi skal bestemme. Derefter er kantlængden i
tetraederet let at beregne som a*sqrt2.

Af symmetrigrunde på centrum af kuglen tættest på (0,0,0) have
formen T=(t,t,t). Vi kan opskrive afstanden mellem den og en af kanterne
ved at bruge planens ligning: En normalvektor til en af de sider der
rører hjørnet er fx

(a,a,0)x(0,a,a) = (a²,-a²,a²)

som har længden a²*sqrt3, så ligningen for at afstanden T og siden
er 1, bliver altså

ta² - ta² + ta² = a²*sqrt3

som tydeligvis har løsningen t = sqrt3

Nu kan vi beregne centrum for to af boldene:

(sqrt3,sqrt3,sqrt3) og (a-sqrt3,a-sqrt3,sqrt3)

Deres afstand er sqrt((a-2sqrt3)²+(a-2sqrt3)²+0), som skal være 2

sqrt(2*(a-2sqrt3)²) = 2
=> 2*(a-2sqrt3)² = 4
=> (a-2sqrt3)² = 2
=> a-2sqrt3 = sqrt2
=> a = sqrt2+2sqrt3

Og kantlængden i tetraederet er så 2+2sqrt6 = 6,899

Det ser umiddelbart fornuftigt ud, for det antyder at vi lige så godt
kunne have regnet på et tetraeder der rummer netop én bold, og så
forlænget hver af siderne med 2*radius.

--
Henning Makholm "I didn't even know you *could* kill chocolate ice-cream!"

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87r7xdq8zu.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> => a = sqrt2+2sqrt3
>
> Og kantlængden i tetraederet er så 2+2sqrt6 = 6,899
>
Jeg vil blot nævne at min metode gav: x=sqrt(2)/3 y=sqrt(2)-1
og siden til 2*(1+sqrt(6)-sqrt(3)+sqrt(2))=6,2633

Årsagen til diskrepansen må findes senere.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:401f14bf$0$136$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87r7xdq8zu.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> > => a = sqrt2+2sqrt3
> >
> > Og kantlængden i tetraederet er så 2+2sqrt6 = 6,899
> >
> Jeg vil blot nævne at min metode gav: x=sqrt(2)/3 y=sqrt(2)-1

Et frygteligt korrekturkaos og jeg tør ikke renskrive.

Siden i den lodrette projektion ses let at være 2+2*sqrt(3)
Og vi får samme resultat. 2*y*sqrt(3)*(2+2*sqrt(3)) etc

Lad venligst være med at svare på indlæg som jeg har slettet.

Mvh
Martin

---

[snip ]
> Selvfølgelig kan det udregnes, - rent matematisk, se nyhedsgruppen
dk.binaer
> under titlen:
> Tennisbolde

> Mvh Poul C

Den ligger her news:401ed1e6$0$17619$d40e179e@nntp01.dk.telia.net (det er
lidt nemmere at henvise til Message ID)

--
Jacob

---

"Rikke Mors" <rikke.mors@stofanet.dk> skrev i en meddelelse news:401e983b$0$17627$ba624c82@nntp01.dk.telia.net...
>
> Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. Eleverne har
> prøvet sig frem og har fundet en størrelse, som er passende, men nu har
> de spurgt om ikke jeg kan hjælpe dem med, hvordan man udregner den
> optimale størrelse.

Man ser at et tetraeder hvor siderne hælder 60° passer om 4 bolde.
Jeg sætter radius til 1. Højden fra røringspunktet til "gulvet" er
1+sin(30°) = 1,5 . Afstanden fra dette punkt til kanten er så
1,5/tan(60°) = x. Projektionen af "tagudhænget" bliver så
x + cos(30°) - 1 . Den nævnte tan og cos er henh sqrt(3) og sqrt(3/2).
Kald nu dette y. Til sidelængden i den lodrette projektion
adderes altså 2*y/cos(30°).
Sidelængden i den lodrette projektion er 2+y.
Resten skulle være nemt.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:401ed6fd$0$124$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
>
> Sidelængden i den lodrette projektion er 2+y.
> Resten skulle være nemt.
>
2+2*y selvfølgelig.

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:401ed7c6$0$135$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:401ed6fd$0$124$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> >
> > Sidelængden i den lodrette projektion er 2+y.
> > Resten skulle være nemt.
> >
> 2+2*y selvfølgelig.
>
Lidt for hurtigt 4 + 2*y - resten er vist OK

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:bvmlaa$5s6$1@sunsite.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:401ed7c6$0$135$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> > "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:401ed6fd$0$124$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> > >
> > > Sidelængden i den lodrette projektion er 2+y.
> > > Resten skulle være nemt.
> > >
> > 2+2*y selvfølgelig.
> >
> Lidt for hurtigt 4 + 2*y - resten er vist OK

Der flere typos sqrt(3)/2. Min korrekturlæser er på ferie
>
>

---

> "Rikke Mors" <rikke.mors@stofanet.dk> skrev i en meddelelse news:401e983b$0$17627$ba624c82@nntp01.dk.telia.net...
> >
> > Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. Eleverne har
> > prøvet sig frem og har fundet en størrelse, som er passende, men nu har
> > de spurgt om ikke jeg kan hjælpe dem med, hvordan man udregner den
> > optimale størrelse.
>
Her er den rigtige version, forhåbentlig


Man ser at et tetraeder hvor siderne hælder 60° passer om 4 bolde.
Jeg sætter radius til 1. Højden fra røringspunktet til "gulvet" er
1+sin(30°) = 1,5 . Afstanden fra dette punkt til kanten er så
1,5/tan(60°) = x. Projektionen af "tagudhænget" bliver så
x + cos(30°) - 1 . Den nævnte tan og cos er henh sqrt(3) og sqrt(3)/2.
Kald nu dette y. Til sidelængden i den lodrette projektion
adderes altså 2*(y/cos(30°)+y/tan(30°))
Sidelængden i den lodrette projektion er 4+2*y.
Resten skulle være nemt.

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>

> Her er den rigtige version, forhåbentlig

> Man ser at et tetraeder hvor siderne hælder 60° passer om 4 bolde.

Men er kantvinklen i et (regulært) tetraeder virkelig 60°?

Jeg får den til 2*atan(sqrt(2/5)) = knap 65°.

--
Henning Makholm "... popping pussies into pies
Wouldn't do in my shop
just the thought of it's enough to make you sick
and I'm telling you them pussy cats is quick ..."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87znc1qacl.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
>
> > Her er den rigtige version, forhåbentlig
>
> > Man ser at et tetraeder hvor siderne hælder 60° passer om 4 bolde.
>
> Men er kantvinklen i et (regulært) tetraeder virkelig 60°?
>
> Jeg får den til 2*atan(sqrt(2/5)) = knap 65°.
>
Det tænkte jeg også på at undersøge...
Er den ikke arccos(1/3) ca 70,5°

Beregningerne bliver de samme med andre vinkler.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:401eefa9$0$162$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:87znc1qacl.fsf@kreon.lan.henning.makholm.net...
> > Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> >
> > > Her er den rigtige version, forhåbentlig
> >
> > > Man ser at et tetraeder hvor siderne hælder 60° passer om 4 bolde.
> >
> > Men er kantvinklen i et (regulært) tetraeder virkelig 60°?
> >
> > Jeg får den til 2*atan(sqrt(2/5)) = knap 65°.
> >
> Det tænkte jeg også på at undersøge...
> Er den ikke arccos(1/3) ca 70,5°
>
> Beregningerne bliver de samme med andre vinkler.
>
Eller man kunne lade grundfladen være ligesidet og dermed
lidt større end dækfladerne som så måtte nøjes med at være
ligebenede. Så ville boldene heller ikke ligge og rasle.

Et spørgsmål kunne så være hvorledes vi får det mindste
volumen.

Mvh
Martin

---

Hej Martin

"Martin Larsen" skrev i en meddelelse

> Eller man kunne lade grundfladen være ligesidet og dermed
> lidt større end dækfladerne som så måtte nøjes med at være
> ligebenede. Så ville boldene heller ikke ligge og rasle.

Ja, det er det opgaven går ud på.

> Et spørgsmål kunne så være hvorledes vi får det mindste
> volumen.

Jeps, - og det er det mit svar omhandler højere oppe i denne tråd.
Tegening + formler likker i dk.binaer under "Tennisbolde."


Mvh Poul C

---

Hej igen

"Poul C" skrev i en meddelelse

> Hej Martin

> Tegening + formler likker i dk.binaer under "Tennisbolde."

Ja, -temmelig pinlig ik' ? ^^
=================

Det skulle selvfølgelig være "ligger"

Så fik vi det på plads

Med venlig "morgen-hilsen"

Poul C

---

Martin Larsen wrote:
>
> > Jeg får den til 2*atan(sqrt(2/5)) = knap 65°.
> >
> Det tænkte jeg også på at undersøge...
> Er den ikke arccos(1/3) ca 70,5°

Jo Martin, her har du ret.

Betragt fx det regulære tetraeder med hjørnerne
A(+1,+1,+1)
B(+1,-1,-1)
C(-1,+1,-1)
D(-1,-1,+1)
der naturligt ligger inde i terningen (±1,±1,±1).

Så er midtpunktet M på kanten AB naturligvis
M(+1,0,0)

Den søgte vinkel er så vinklen mellem vektor(MC) og vektor(MD). Disse
to vektorer har jo koordinaterne (-2,+1,-1) og (-2,-1,+1). Ved hjælp af
den sædvanlige formel for vinklen v mellem vektorer får vi så

cos v = (4-1-1)/(sqrt{6}·sqrt{6}) = 2/6 = 1/3


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Martin Larsen wrote:

> > > Jeg får den til 2*atan(sqrt(2/5)) = knap 65°.

> > Er den ikke arccos(1/3) ca 70,5°

> Jo Martin, her har du ret.

Jeg får også 70,5° når jeg forsøger min metode (som var mere
kompliceret end den du angiver) igen. Jeg husker dunkelt at femtallet
fremkom som (1+½²)/½² - jeg må have glemt at der var to gange ½ i de
vektorer (1,½,½) og (0,½,½) jeg forsøgte at finde vinklen mellem.

--
Henning Makholm "We will discuss your youth another time."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Her er den rigtige version, forhåbentlig
>
> > Man ser at et tetraeder hvor siderne hælder 60° passer om 4 bolde.
>
> Men er kantvinklen i et (regulært) tetraeder virkelig 60°?
>
> Jeg får den til 2*atan(sqrt(2/5)) = knap 65°.

Snakker I om vinklen mellem to sideflader eller om vinklen mellem to
[ikke-modstående] kanter?

Det er klart at den sidste er 60° da den er vinkel i en ligesidet tre-
kant.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:401FA52A.D9BD5452@jeppesn.dk...
> Henning Makholm wrote:
> >
> > Men er kantvinklen i et (regulært) tetraeder virkelig 60°?
> >
> Snakker I om vinklen mellem to sideflader

Vinklen mellem fladerne acos(1/3) ca 70,5°
(Fås nemt ud fra mediansætningen)

Som jeg bruger til at beregne afstanden fra trekanten der
omslutter projektionen af boldene til tetraederets kant.

Mvh
Martin

---

"Rikke Mors" <rikke.mors@stofanet.dk> skrev i en meddelelse news:401e983b$0$17627$ba624c82@nntp01.dk.telia.net...
>
> Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. Eleverne har
> prøvet sig frem og har fundet en størrelse, som er passende, men nu har
> de spurgt om ikke jeg kan hjælpe dem med, hvordan man udregner den
> optimale størrelse. Vi kender tennisboldenes omkreds og dermed
> selvfølgelig også diameter mm. Vi kan dermed også beregne størrelsen af
> den trekant, der netop passer rundt om tre cirkler med samme diameter
> som boldene - men hvad gør vi når det hele bliver tredimensionelt?
>
Efter nogen korrektur fik jeg dette. Ideen skulle i det mindste fremgå.

Man ser at et tetraeder hvor siderne hælder 60° passer om 4 bolde.
Jeg sætter radius til 1. Højden fra røringspunktet til "gulvet" er
1+sin(30°) = 1,5 . Afstanden fra dette punkt til kanten er så
1,5/tan(60°) = x. Projektionen af "tagudhænget" bliver så
x + cos(30°) - 1 . Den nævnte tan og cos er henh sqrt(3) og sqrt(3)/2.
Kald nu dette y. Til sidelængden i den lodrette projektion
adderes altså 2*(y/cos(30°)+y*tan(30°))
Sidelængden i den lodrette projektion er 4+2*y.
Resten skulle være nemt.

Mvh
Martin

---

Tak for hjælpen so far.

Jeg vil prøve at få tid til at få læst alle jeres indlæg grundigt
igennem senere idag.
Bare for en god ordens skyld - jeg forventer så absolut ikke at eleverne
skal kunne løse denne opgave selv - selvom jeg fra starten havde stillet
dem den, men da det er et par elever med særligt gode matematiske evner,
tror jeg godt at vi sammen kan bruge lidt nyttig tid på at snakke om
løsningen - når altså bare lige jeg selv har forstået den :)

Rikke Mors

---

Scripsit Rikke Mors <rikke.mors@stofanet.dk>

> men da det er et par elever med særligt gode matematiske evner, tror
> jeg godt at vi sammen kan bruge lidt nyttig tid på at snakke om
> løsningen - når altså bare lige jeg selv har forstået den :)

Husk at bemærke at hovedproblemet med tetraedere ikke er at de er
svære at regne på, men snarere at de ikke lader sig stable.

--
Henning Makholm "Larry wants to replicate all the time ... ah, no,
all I meant was that he likes to have a bang everywhere."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Rikke Mors <rikke.mors@stofanet.dk>
>
> > men da det er et par elever med særligt gode matematiske evner, tror
> > jeg godt at vi sammen kan bruge lidt nyttig tid på at snakke om
> > løsningen - når altså bare lige jeg selv har forstået den :)
>
> Husk at bemærke at hovedproblemet med tetraedere ikke er at de er
> svære at regne på, men snarere at de ikke lader sig stable.

SPOILER:

Hvis man leder lidt på google kan man finde en næsten komplet
gennemregning. Jeg må indrømme at jeg ikke selv har regnet den efter.

http://mathforum.org/library/drmath/view/51776.html

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard) writes:

> Hvis man leder lidt på google kan man finde en næsten komplet
> gennemregning. Jeg må indrømme at jeg ikke selv har regnet den
> efter.

Her er en kort version fra hoften. Jeg håber at den er uden
fejl. Hvis man har en tetraede kan man definere to længder

a er sidelængden
r er afstanden fra centrum til midten af en side

De er forbundne via følgende formel (13)
http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

r = sqrt(6)/12 * a

(Her angiver sqrt kvadratrodsfunktionen). lad os nu kigge på to
forskellige tetraeder.

Vi kan konstruere et tetraede ved at forbinde centrummerne på
tennisboldene. Dette tetrader er beskrevet ved a1 og r1. Vi kan
indsætte i formelen ovenfor og få

r1 = sqrt(6)/12 * a1

Lad nu R angive radius på tennisbolden. Hvis man tegner en graf kan
desuden se at

a1 = 2 * R

Det giver os

r1 = 2*sqrt(6)/12 * R = 1/sqrt(6) * R

Nu kan vi indføre et andet tetraede, der svarer til elevernes box.
Dette tetrader er beskrevet ved a2 og r2. Man kan tegne en graf og
overbevise sig om at

r2 = r1 + R

(Det letteste er at lave en graf der svarer til side view på siden fra
mathworld). Vi indsætter og får

r2 = 1/sqrt(6) * R + R

I starten af denne post postulerede jeg at alle tetraeder opfylder

r = sqrt(6)/12 * a

Derfor må elevernes box opfylde

r2 = sqrt(6)/12 * a2

Jeg indsætter og får

a2 = 12*(sqrt(6) + 1)R

På siden fra mathoworld er der en formel for volumenet (Her burde jeg
citere en anden artikel i denne tråd for at have fundet siden på
mathworld først.)


Niels

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

Scripsit gnalle@ruc.dk (Niels L. Ellegaard)

> r2 = 1/sqrt(6) * R + R
> r2 = sqrt(6)/12 * a2

> Jeg indsætter og får

Hvordan får du det?

> a2 = 12*(sqrt(6) + 1)R

Det bliver godt nok en gevaldig kasse - din faktor 12(sqrt(6)+1) er
41,39.

I stedet ville jeg regne

> r2 = 1/sqrt(6) * R + R
> r2 = sqrt(6)/12 * a2

Altså

sqrt(6)/12 * a2 = 1/sqrt(6) * R + R
sqrt(6) * a2 = 12/sqrt(6) * R + 12R
a2 = 12/6 * R + 12/sqrt(6) * R
a2 = (2 + 2sqrt(6)) * R

(Hvilket heldigt nok er samme resultat som jeg nåede frem til i min
første udregning).

--
Henning Makholm "What a hideous colour khaki is."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> sqrt(6)/12 * a2 = 1/sqrt(6) * R + R
> sqrt(6) * a2 = 12/sqrt(6) * R + 12R
> a2 = 12/6 * R + 12/sqrt(6) * R
> a2 = (2 + 2sqrt(6)) * R
>
> (Hvilket heldigt nok er samme resultat som jeg nåede frem til i min
> første udregning).

Tak for rettelsen :)

Niels

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

Rikke Mors wrote:
>
> konstruktionerne, som jeg selv har problemer med. En gruppe har
> konstrueret et tetraeder, som kan indeholde 4 tennisbolde stablet i en
> pyramide - hvordan beregner man rumfang af sådan en fætter?

At beregne kantlængden i tetraederet ud fra radiussen for tennisboldene
er ret svært, men se Hennings løsning.

En opgave som folkeskoleelever muligvis kan klare, er så at finde højden
inde i et regulært tetraeder med kantlængde 1. Til dette skal de først
kigge på den vandrette højde der ligger nede på grundfladen. Hvor lang
er den, og over hvilket punkt på den står den lodrette rumhøjde?

Til sidst bruges Pythagoras på en passende lodret trekant hvis ene
katete er den søgte rumhøjde.

Når højden af pyramiden er fundet, bruger man jo den sædvanlige formel
for rumfanget af en pyramide, nemlig V = (1/3)·h·G .

Hvis man vil »snyde« og blot have serveret formlerne, kan man kigge på
http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html hvor man bl.a. kan se at
rumfanget af et regulært tetraeder med kantlægde a er
V = (1/12)·sqrt(2)·a³ .

Man finder flere andre nyttige formler og udledelser, samt rumlige
illustrationer der kan drejes med musen, bemærk fx dem oven over formel
nummer (20).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:401FA930.DFE05D56@jeppesn.dk...
> Rikke Mors wrote:
> >
> > konstruktionerne, som jeg selv har problemer med. En gruppe har
> > konstrueret et tetraeder, som kan indeholde 4 tennisbolde stablet i en
> > pyramide - hvordan beregner man rumfang af sådan en fætter?
>
> At beregne kantlængden i tetraederet ud fra radiussen for tennisboldene
> er ret svært, men se Hennings løsning.
>
Jaeh, det kan gøres på flere måder. Ideen til en geometrisk løsning
skulle fremgå af det jeg allerede har skrevet.

Nu har jeg så en ide til en noget enklere model.

Betragt tetraederets side med projektion af de 3 kuglers centrer og
tegn den lille trekant der forbinder punkterne.

Afstanden fra bunden af den store til den lilles bund er sqr2

(dette er nok det vanskeligste (1/tan(v/2), hvor v=acos(1/3),
v er fladens hældning (dihedralvinklen hedder det vist))

Afstanden fra bunden af den lille til det fælles meridianpunkt
er sqr3/3

Meridianen i den store er 3(sqr2+sqr3/3) = m

Kanten er 2m/sqr3 = 2 + 2*sqr6

QED

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:402008c5$0$175$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...

> Meridianen

Øhm, det hedder medianen.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
> (dihedralvinklen hedder det vist))

Diedervinkel på dansk.

Anders.

---

Hej Rikke Mors

Der er mange som har givet et bud på jeres problem.
Jeg vil prøve at udtrykke problemstillingen i et bogstavelig talt andet
'perspektiv'.

Jeg vil antage at det er relativt enkelt med passer og lineal at konstruere
de tre kugler og deres omskrevne cirkel. Enkelt, men hvad er det lige vi her
konstruerer ...
når vi tegner i to dimensioner et tredimensionelt objekt slipper vi ikke
uden om at gennemføre en eller anden form for projektion af emnet ned på en
flade/plan. Ud over genstanden og planet er der derfor et tredie 'punkt' at
overveje .... hvorfra betragter vi genstanden.
Hvis du anbringer dit øje i tetraedets toppunkt, så vil den trekant vi
indledningsvist konstruerede, og den vi har brug for falde sammen. Men hvor
i rummet (hvilket plan beskriver det) er egentlig den indledende trekant?
.... Jo, det er det plan som går gennem kuglernes centrum, løftet
'kugleradius' over det plan som vi skal beskrive.

Hvorfor det besværlige 'perspektiv'?
Jo, for herfra er det enkelt: Den lineære forskel på de to planer er
konstant (k), og arealforskelle er k^2

hvis kugleradius = r
og trekant-højde = h
så får jeg h = 3r + r*sqr(3) ..... retvinklede trekanter og pytagoras
..... hvis det er forkert er det alligevel rigtigt at det lineære forhold
mellem de to planer er
(h + r)/h ( = k)

Med andre ord, konstruerer du en linje L eller areal A, så er den længde du
skal bruge
L*(h + r)/h
og arealet
A*((h + r)/h)^2

.....................................

Jeg kan ikke lige volumet på sådan en fætter

VH Carsten Troelsgaard


"Rikke Mors" <rikke.mors@stofanet.dk> skrev i en meddelelse
news:401e983b$0$17627$ba624c82@nntp01.dk.telia.net...
> Hej
>
> jeg har for nyligt stillet mine elever i 8. klasse en opgave, hvor de
> skal designe en æske til at have tennisbolde i. Æsken skal minimum
> indeholde 3 tennisbolde. Eleverne er nu godt igang med at konstruere
> deres meget fantasifulde æsker, men nu er læreren stødt ind i et
> problem. Jeg bad eleverne udregne rumfang og overfladeareal af deres
> æsker samt tegne en udfoldning af æsken, men nu er der én af
> konstruktionerne, som jeg selv har problemer med. En gruppe har
> konstrueret et tetraeder, som kan indeholde 4 tennisbolde stablet i en
> pyramide - hvordan beregner man rumfang af sådan en fætter?
>
> Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. Eleverne har
> prøvet sig frem og har fundet en størrelse, som er passende, men nu har
> de spurgt om ikke jeg kan hjælpe dem med, hvordan man udregner den
> optimale størrelse. Vi kender tennisboldenes omkreds og dermed
> selvfølgelig også diameter mm. Vi kan dermed også beregne størrelsen af
> den trekant, der netop passer rundt om tre cirkler med samme diameter
> som boldene - men hvad gør vi når det hele bliver tredimensionelt?
>
> Håber på hjælp til en lærer, som er kommet lidt på glatis på grund af
> dygtige og kreative elever.
>
> Rikke Mors
>

---

Scripsit "Carsten Troelsgaard" <carsten.troelsgaard@mail.dk>

> Jeg vil antage at det er relativt enkelt med passer og lineal at konstruere
> de tre kugler og deres omskrevne cirkel. Enkelt, men hvad er det lige vi her
> konstruerer ...
[...]
> Hvis du anbringer dit øje i tetraedets toppunkt,

Det er ihvertfald ikke det du beskriver ovenfor.

Vi kan godt tegne tre cirkler der rører hinanden og sige at de er en
projektion af de nederste tre kugler. Men den øverste kugle bliver
ikke projiceret i deres omskrevne cirkel.

Snarere: Hvis vi tegner de tre kugler, kan vi let konstruere den omskrevne
*trekant* ved at parallelforskyde linjerne mellem centrene 1 radius
udaf. Trekantens sider svarer til tetraederets sider set fra
toppunktet. Så den øverste kugle bliver projiceret i denne trekants
*indskrevne* cirkel - og den er langtfra stor nok til at omskrive alle
de nederste oprindelige cirkler.

--
Henning Makholm "Punctuation, is? fun!"

---

> > Jeg vil antage at det er relativt enkelt med passer og lineal at
konstruere
> > de tre kugler og deres omskrevne cirkel. Enkelt, men hvad er det lige vi
her
> > konstruerer ...

tre kugler og deres omskrevne TREKANT, right

snip

> Snarere: Hvis vi tegner de tre kugler, kan vi let konstruere den omskrevne
> *trekant* ved at parallelforskyde linjerne mellem centrene 1 radius
> udaf. Trekantens sider svarer til tetraederets sider set fra
> toppunktet. Så den øverste kugle bliver projiceret i denne trekants
> *indskrevne* cirkel -

snip

Det var det jeg mente, men er det egentligt rigtigt?
Et af kuglernes side-planer skærer jo ikke de nederste kuglers midterplan
(kan man kalde det den plan-paralelle projection på grundfladen forskudt r
opad) i samme højde som side-fladen berører de nederste kugler.... og gør
derfor det jeg ellers har skrevet til noget vås.
Den 'højde' jeg angiver (h = 3r + r*sqr(3)) må iøvrigt også være h =
sin(60)*(3r + r*sqr(3))

Carsten

---

Scripsit "Carsten Troelsgaard" <carsten.troelsgaard@mail.dk>
(og det er mig han citerer, selvom han forsøger at skjule det)

> > Snarere: Hvis vi tegner de tre kugler, kan vi let konstruere den omskrevne
> > *trekant* ved at parallelforskyde linjerne mellem centrene 1 radius
> > udaf. Trekantens sider svarer til tetraederets sider set fra
> > toppunktet. Så den øverste kugle bliver projiceret i denne trekants
> > *indskrevne* cirkel -

> Det var det jeg mente, men er det egentligt rigtigt?

Næh, ved nøjere eftertanke er det jo fuldstændig vås. De tre nederste
kugler projicerer ikke til cirkler men til ellipser - og det er ikke
spor klart hvordan man konstruerer de tre ellipser korrekt uden at
have løst problemet allerede.

--
Henning Makholm "Nett hier.
Aber waren Sie schon mal in Baden-Württemberg?"

---

>Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. Eleverne har
>prøvet sig frem og har fundet en størrelse, som er passende, men nu har
>de spurgt om ikke jeg kan hjælpe dem med, hvordan man udregner den
>optimale størrelse. Vi kender tennisboldenes omkreds og dermed
>selvfølgelig også diameter mm. Vi kan dermed også beregne størrelsen af
>den trekant, der netop passer rundt om tre cirkler med samme diameter
>som boldene - men hvad gør vi når det hele bliver tredimensionelt?

Jeg har prøvet at lave lidt geometriske betragtninger og fået det splittet
op i nogle 2D-komponenter.

Hvis tetraederen lige nøjagtigt skal passe, så alle bolde er holdt helt
fast, så er der kun en mulig løsning. Så er alle 4 sider identiske og
ligesidede trekanter, dvs. med 60° vinkler i alle hjørner.

Sidelængden på disse trekanter får jeg til:
l = 2r + 3r / sin(60°)
hvor l er sidelængden og r er radius på boldene.

Det totale overfladeareal udregner jeg til:
A = 18r^2 / sin(60°) + 24r^2 + 8r^2 * sin(60°)
- hvilket giver ~51,713r^2.

Har boldene således en radius på 5cm er overfladearealet af boksen på
1292,82cm^2 og trekanternes sidelængde er på 27,32cm. Resultaterne er ikke
efter-kontrollerede, men ser rimeligt passende ud. Det kunne evt. tegnes i
AutoCAD for at se om det passer, men det program er der jo ikke så
forfærdeligt mange der har adgang til.

Hvis det ser rimeligt ud, så kan jeg godt uddybe udregningerne hvis det
ønskes.
Jeg er godt klar over at sin/cos ikke er kendt i 8. klasse, men derudover
bruges der ikke så mange 'sjove' ting i udregningen.

--
signing off.. Martin Sørensen

---

Scripsit "Martin Sørensen" <mos@laxity.invalid>

> Sidelængden på disse trekanter får jeg til:
> l = 2r + 3r / sin(60°)
> hvor l er sidelængden og r er radius på boldene.

Hvordan kommer du til det resultat? Det afviger med over 1 radius fra
den sidelængde jeg regnede mig frem til.

--
Henning Makholm "Det er jo svært at vide noget når man ikke ved det, ikke?"

---

>> Sidelængden på disse trekanter får jeg til:
>> l = 2r + 3r / sin(60°)
>> hvor l er sidelængden og r er radius på boldene.
> Hvordan kommer du til det resultat? Det afviger med over 1 radius fra
> den sidelængde jeg regnede mig frem til.

Det passer heller ikke. Efter at have kontrolleret mine optegninger igen,
kan jeg se at jeg lavede en fejl i min opsplitning til 2D-objekter, og det
ser ikke umiddelbart nemt ud at rette.
Mit resultat skal der derfor ses bort fra.

--
signing off.. Martin Sørensen

---

Rikke Mors wrote:
> [klip] En gruppe har
> konstrueret et tetraeder, som kan indeholde 4 tennisbolde stablet i en
> pyramide - hvordan beregner man rumfang af sådan en fætter?

Søgning efter "platonic solid volume" på Google gav:

http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html

> Et andet problem er selve konstruktionen af tetraederet. Eleverne har
> prøvet sig frem og har fundet en størrelse, som er passende, men nu har
> de spurgt om ikke jeg kan hjælpe dem med, hvordan man udregner den
> optimale størrelse. Vi kender tennisboldenes omkreds og dermed
> selvfølgelig også diameter mm. Vi kan dermed også beregne størrelsen af
> den trekant, der netop passer rundt om tre cirkler med samme diameter
> som boldene - men hvad gør vi når det hele bliver tredimensionelt?

Det er et sjovt problem som kræver en masse tegneri med trekanter og
cirkler. Desværre har jeg ikke tid til selv at regne det igennem, så...

Søgning efter "sphere packing 4 tetrahedron" gav:

http://mathforum.org/library/drmath/view/51776.html

Mvh. Michael.

---

"Michael Zedeler" <michael@zedeler.dk> skrev i en meddelelse news:H17Ub.84808$jf4.5373962@news000.worldonline.dk...
>
> Søgning efter "platonic solid volume" på Google gav:
>
Hvis man starter med at søge i den tråd man befinder sig,
kan megen #!§½%&* ulejlighed spares ;->

Mvh
Martin