---

Er der nogle der har forstand på fraktaler?

Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
forkellig ud når de bruger samme iterationsformel?? Tag jer ikke af hvis jeg
er helt glat på den??

Er der evt. nogle der har noget gratis litteratur eller indformation om
emnet?

tak :)

---

"Anders" <kingguro@fjong.dk> writes:

> Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
> komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot??

I Mandelbrots mængde er c = z_0, altså det punkt man itererer ud fra
mens i Juliamængderne tegner man hele fraktalen med et konstant c.

--
Peter Makholm | Perhaps that late-night surfing is not such a
peter@makholm.net | waste of time after all: it is just the web
http://hacking.dk | dreaming
| -- Tim Berners-Lee

---

Scripsit Peter Makholm <peter@makholm.net>

> I Mandelbrots mængde er c = z_0,

Så så. Husk nu Knuth.

--
Henning Makholm "I have seen men with a *fraction* of
your trauma pray to their deity for death's
release. And when death doesn't arrive immediately,
they reject their deity and begin to beg to another."

---

Scripsit "Anders" <kingguro@fjong.dk>

> Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
> komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
> Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
> forkellig ud når de bruger samme iterationsformel??

Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
af iterationen for forskellige c.

Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.

Der er altså "i virkeligheden" tale om snit på forskellige leder
gennem en underliggende firedimensionel [1] fraktal.

[1] I den naive betydning: indlejret i R^4 \eqsim C². Jeg er ikke
sikker på hvad den fraktale dimension af selve overfladen er.

--
Henning Makholm "Hør, hvad er det egentlig
der ikke kan blive ved med at gå?"

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Der er altså "i virkeligheden" tale om snit på forskellige leder
> gennem en underliggende firedimensionel [1] fraktal.
>
> [1] I den naive betydning: indlejret i R^4 \eqsim C². Jeg er ikke
> sikker på hvad den fraktale dimension af selve overfladen er.

Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
formationer, ved brug af quaternions. Ved at bruge en af de fire
dimensioner som tid, kan man få nogle fantastisk animationer :)

--
Thomas Klietsch
m a t h n e s s @ z 4 2 . d k

---

Scripsit Mathness <mathness@z42.NO.SPAM.dk>

> Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
> formationer, ved brug af quaternions.

Hm, jeg tvivler. Eftersom iterationsformlen kun anvender kvadrering og
ikke multiplikation i almindelighed, vil en Mandelbrot-iteration (fra
z0=0) altid foregå i planen udspændt af 1 og c, og vil være isomorf
med den almindelige komplekse iteration.

For Julia-mængder kan man måske nok nå op på tre dimensioner, men den
fjerde tilføjer ikke nogen ny struktur.

Hvis vi sætter c=a+bi og z0=p+qi+rj, vil der aldrig opstå nogen
k-komponent i iterationen. z0 vil derfor opføre sig lige som
p+qi+rk, eller i almindelighed som p+qi+sj+tk hvor s²+t²=r².

--
Henning Makholm "He who joyfully eats soup has already earned
my contempt. He has been given teeth by mistake,
since for him the intestines would fully suffice."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
> > formationer, ved brug af quaternions.
>
> Hm, jeg tvivler.

Måske vil Thomas/Mathness ikke bruge kvaternionerne til selv itera-
tionen, men blot til at udregne hvordan rotationen af billedet skal
laves?

Hvis man kigger på (c,z0)-rummet C^2=R^4, må man i hvert fald kunne
lave nogle rumlige animationer ud fra den sædvanlige komplekse iteration
ved at lave tredimensionale »skrå« snit i dette R^4.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > > Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
> > > formationer, ved brug af quaternions.

> > Hm, jeg tvivler.

> Måske vil Thomas/Mathness ikke bruge kvaternionerne til selv itera-
> tionen, men blot til at udregne hvordan rotationen af billedet skal
> laves?

Det er selvfølgelig muligt, men det er da længe siden man brugte
kvaternioner i stedet for matricer til den slags, er det ikke?

--
Henning Makholm "The bread says TOAAAAAST."

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>
> Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> > Måske vil Thomas/Mathness ikke bruge kvaternionerne til selv itera-
> > tionen, men blot til at udregne hvordan rotationen af billedet skal
> > laves?

> Det er selvfølgelig muligt, men det er da længe siden man brugte
> kvaternioner i stedet for matricer til den slags, er det ikke?

Ved nøjere efterforskning med google viser det sig at den
multiplikative gruppe af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med
SO_3(R). Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden. Eftersom det
tydeligvis er meget lettere at regne med kvaternioner med 4 elementer
end med rotationsmatricer med 9 elementer, trækker jeg hermed min
påstand om at kvaternioner skulle være forældede, tilbage.

--
Henning Makholm "The compile-time type checker for this
language has proved to be a valuable filter which
traps a significant proportion of programming errors."

---

Henning Makholm wrote:

> Ved nøjere efterforskning med google viser det sig at den
> multiplikative gruppe af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med
> SO_3(R). Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
> rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden. Eftersom det
> tydeligvis er meget lettere at regne med kvaternioner med 4 elementer
> end med rotationsmatricer med 9 elementer, trækker jeg hermed min
> påstand om at kvaternioner skulle være forældede, tilbage.

Interessant. Det kunne de nu godt nævne i algebra


Henry Baker har for resten skrevet om anvendelsen af Gaussiske heltal
i forbindelse med to-dimensional grafik:

<http://home.pipeline.com/~hbaker1/Gaussian.html>

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:

> Interessant. Det kunne de nu godt nævne i algebra

Altså, at kvarternioner kan bruges i forbindelse med
grafikprogrammering.

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> Ved nøjere efterforskning med google viser det sig at den
> multiplikative gruppe af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med
> SO_3(R).

Ved endnu nøjere efterforskning viser det sig at det er løgn. Gruppen
af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med SU_2, som overdækker
SO_3(R) dobbelt. En kvaternion og dens negation beskriver dermed samme
rotation.

Denne isomorfi er så til gengæld også ekstremt naturlig:

a+bi+cj+dk --> (a+bi c+di)
(-c+di a-bi)

som er en injektiv ringhomomorfi fra hele kvaternionskævlegemet til GL_2(C).

--
Henning Makholm "Børge råbte: Åh!"

---

In <yah1xs6vdzk.fsf@tyr.diku.dk> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

>Ved nøjere efterforskning med google viser det sig at den
>multiplikative gruppe af enhedskvaternioner er naturligt isomorf med
>SO_3(R). Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
>rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden. Eftersom det
>tydeligvis er meget lettere at regne med kvaternioner med 4 elementer
>end med rotationsmatricer med 9 elementer, trækker jeg hermed min
>påstand om at kvaternioner skulle være forældede, tilbage.

>--
>Henning Makholm "The compile-time type checker for this
> language has proved to be a valuable filter which
> traps a significant proportion of programming errors."

Ah, det var derfor Hamilton pludseligt holdt op med at rotere

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Henning Makholm wrote:
> Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
> rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden.

Herbert Goldstein's Classical mechanics har vist et kapittel
om det i diskussionen om rotationer og intertimomenter.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Scripsit Carsten Svaneborg <zqex@sted.i.tyskland.de>
> Henning Makholm wrote:

> > Den slags ved folk der koder grafikting til dagligt vel på
> > rygmarven, men det indgik ikke i min paratviden.

> Herbert Goldstein's Classical mechanics har vist et kapittel
> om det i diskussionen om rotationer og intertimomenter.

Jo, men nu er jeg jo heller ikke mekaniker, blot en stakkels datalog
med lidt matematik gemt af vejen et eller andet sted.

--
Henning Makholm "Luk munden og se begavet ud!"

---

Henning Makholm wrote:
>
> Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
> af iterationen for forskellige c.
>
> Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
> plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.
>
> Der er altså "i virkeligheden" tale om snit på forskellige leder
> gennem en underliggende firedimensionel [1] fraktal.

Ja. Mandelbrot mængden kan siges at gengive c-planen, mens Julia-mængden
er en slags z0-plan (eller et affint rum parallelt med z0-planen c=0).

Hvad sker der hvis man laver snit af typen z0=konstant, altså »Mandel-
brotmængder« der ligger parallelt med den rigtige Mandelbrotmængde?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Hvad sker der hvis man laver snit af typen z0=konstant, altså »Mandel-
> brotmængder« der ligger parallelt med den rigtige Mandelbrotmængde?

Da jeg engang i min vilde ungdom (ca 1990) legede med Fractint, kunne
den lave sådan nogen under betegnelsen "warped Mandelbrot sets" eller
noget i den retning. Så vidt jeg husker havde dem jeg prøvede en
lignende som den almindelig mandelbrotmængde, men havde mere uskønne
proportioner, og hang ikke altid sammen over det hele.

--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."

---

Mathness <mathness@z42.NO.SPAM.dk> writes:

> Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
> formationer, ved brug af quaternions. Ved at bruge en af de fire
> dimensioner som tid, kan man få nogle fantastisk animationer :)

Ah, tror ikke jeg fik fortalt det helt rigtigt. I stedet for at bruge
komplekse tal, bruges quaternions. Hvis man ikke selv lige vil rode med
et program til at beregn og vise dem, kan Povray anbefales (
http://www.povray.org/ ). Fractint har selvfølgelig også det indbygget
;p

Povray eksempler kan f.eks ses her;
http://www.3d-gfx.com/fractals/quats.html

--
Thomas Klietsch
m a t h n e s s @ z 4 2 . d k

---

Scripsit Mathness <mathness@z42.NO.SPAM.dk>
> Mathness <mathness@z42.NO.SPAM.dk> writes:

> > Der kan beregnes nogle vældig flotte sky agtige Mandelbrot/Julia
> > formationer, ved brug af quaternions.

> Ah, tror ikke jeg fik fortalt det helt rigtigt. I stedet for at bruge
> komplekse tal, bruges quaternions.

> Povray eksempler kan f.eks ses her;
> http://www.3d-gfx.com/fractals/quats.html

Det fremgår ikke rigtig hvordan de figurer fremkommer. Er det
juliamængder? Det synes jeg de ser for glatte ud til.

--
Henning Makholm "However, the fact that the utterance by
Epimenides of that false sentence could imply the
existence of some Cretan who is not a liar is rather unsettling."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Det er selvfølgelig muligt, men det er da længe siden man brugte
> kvaternioner i stedet for matricer til den slags, er det ikke?

Joh, det er bare sådan jeg lærte det i tidernes morgen, og da jeg
stadig bruger det meste af koden fra den gang har jeg ikke tænkt så
meget over det. Noget med gamle hunde og nye tricks ;)

--
Thomas Klietsch
m a t h n e s s @ z 4 2 . d k

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit "Anders" <kingguro@fjong.dk>
>
> > Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
> > komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
> > Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
> > forkellig ud når de bruger samme iterationsformel??
>
> Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
> af iterationen for forskellige c.

Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.

> Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
> plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.

Næsten rigtigt. Juliamængden for et givet c er _randen_ af den mængde
af z'er, der ved iteration af z := z^2+c ikke divergerer. Den tegnes
normalt ved at invertere formlen, dvs. z := sqrt(z-c), hvor man
starter med et vilkårligt z_0, som ikke ligger på den reelle akse. De
første iterationer skal bruges på at komme ind til mængden, så de
smides væk. Der er to løsninger til sqrt(z-c). I reglen vælges bare
en vilkårlig af disse.

   Torben

---

In <w5ad6uqc53.fsf@pc-032.diku.dk> torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:

>Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

>> Scripsit "Anders" <kingguro@fjong.dk>
>>
>> > Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
>> > komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
>> > Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
>> > forkellig ud når de bruger samme iterationsformel??
>>
>> Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
>> af iterationen for forskellige c.

>Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
>være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.

>> Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
>> plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.

>Næsten rigtigt. Juliamængden for et givet c er _randen_ af den mængde
>af z'er, der ved iteration af z := z^2+c ikke divergerer. Den tegnes
>normalt ved at invertere formlen, dvs. z := sqrt(z-c), hvor man
>starter med et vilkårligt z_0, som ikke ligger på den reelle akse. De
>første iterationer skal bruges på at komme ind til mængden, så de
>smides væk. Der er to løsninger til sqrt(z-c). I reglen vælges bare
>en vilkårlig af disse.

>   Torben

Ja og der er nogle juliamængder, der er svære at få tegnet pænt på den
måde, så der er forskellige varianter over temaet.

Her er nogle eksempler på pæne mængder:
http://www.246.dk/julia.html

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Kai Birger Nielsen wrote:
>
> Her er nogle eksempler på pæne mængder:
> http://www.246.dk/julia.html

Skulle du ikke skifte domænenavn til 276.dk, jf. den anden deltråd om
»alikvotfølger«?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

In <3FBCEE1B.823709FC@jeppesn.dk> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

>Kai Birger Nielsen wrote:
>>
>> Her er nogle eksempler på pæne mængder:
>> http://www.246.dk/julia.html

>Skulle du ikke skifte domænenavn til 276.dk, jf. den anden deltråd om
>»alikvotfølger«?

>--
>Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

>"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
>hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

Enten er det meget fredag eller også var den lige en tand for
indforstået. Jeg forstod i alt fald ikke hvad du mente.
De 246 hentyder til den præst, der står i min indkørsel og
er dobbelt så godt som 123 som sikkert er taget

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Kai Birger Nielsen wrote:
>
> >> http://www.246.dk/julia.html
>
> >Skulle du ikke skifte domænenavn til 276.dk, jf. den anden deltråd om
> >»alikvotfølger«?
>
> Enten er det meget fredag eller også var den lige en tand for
> indforstået. Jeg forstod i alt fald ikke hvad du mente.

Det var noget jeg skrev om et andet sted i tråden. Hvis for et helt tal
n>1 vi lader f(n) betegne summen af divisorer i n (hvor 1 medregnes som
divisor, med n selv *ikke* medregnes), så er det interessant at betragte
iterationen

n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...

Startværdien n=276 er den første for hvilken man ikke véd om følgen går
mod uendelig. De andre muligheder er at den bliver endelig (fordi man
på et tidspunkt rammer et primtal), samt at den bliver periodisk.

Man kan kalde f for »alikvot-funktionen«.
Der er mere info her:
http://home.t-online.de/home/Wolfgang.Creyaufmueller/aliquote.htm


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

torbenm@diku.dk (Torben Ægidius Mogensen) writes:

> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> > Juliamængder fremkommer ved at vælge et c og holde det konstant, og
> > plotte resultatet af iterationen for forskellige z0.
>
> Næsten rigtigt. Juliamængden for et givet c er _randen_ af den mængde
> af z'er, der ved iteration af z := z^2+c ikke divergerer.

Du beder selv om det!

> > Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
> > af iterationen for forskellige c.
>
> Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
> være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.

Det er bare de billeder man sædvanligvis laver. Strengt matematisk er
Mandelbrotmængden randen af den mængde af c'er for hvilke Juliamængden
for det tilsvarende c er sammenhængende.

..Henrik

--
Portland cement, see Concrete (in another book).
    -- fra indexet i "Concrete Mathematics"

---

Henrik Christian Grove wrote:
>
> > > Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
> > > af iterationen for forskellige c.
> >
> > Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
> > være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.
>
> Det er bare de billeder man sædvanligvis laver. Strengt matematisk er
> Mandelbrotmængden randen af den mængde af c'er for hvilke Juliamængden
> for det tilsvarende c er sammenhængende.

Men er det ikke ækvivalent med at den nævnte iterationsfølge er be-
grænset (og faktisk holder sig inden for cirklen med radius 2)?

Naturligvis kan man ikke *bevise* at en følge er begrænset ved kun at
beregne de første n elementer i den.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Naturligvis kan man ikke *bevise* at en følge er begrænset ved kun at
> beregne de første n elementer i den.

Jo, hvis beregningen kun afhænger af det foregående element (og altså
ikke positionen i følgen) og man er heldig nok til at ramme en eksakt
cykel.

--
Henning Makholm "Vend dig ikke om! Det er et meget ubehageligt syn!"

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Naturligvis kan man ikke *bevise* at en følge er begrænset ved kun at
> > beregne de første n elementer i den.
>
> Jo, hvis beregningen kun afhænger af det foregående element (og altså
> ikke positionen i følgen) og man er heldig nok til at ramme en eksakt
> cykel.

Helt sikkert. Men i det aktuelle tilfælde, Mandelbrotmængder, foretager
computeren bestemt afrundinger, og en cykel kan derfor være »falsk«.

Men når man laver følger af hele tal, har du helt klart ret.

Et interessant eksempel: Lad f: N\{1} -> N være funktionen der er
fastlagt ved at f(n) er summen af alle divisorer i n undtagen n selv.

Så er et tal P fuldkomment, netop hvis f(P)=P, et fikspunkt.

Det er interessant at start med et tal n, og se om iterationsfølgen

n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...

er endelig eller uendelig. Hvis den er uendelig, kan den være periodisk,
men man har ikke vished for om den kan være uendelig uden at være peri-
odisk.

Det er klart at følgen går mod plus uendelig hvis den ikke er periodisk
eller endelig.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Henning Makholm wrote:
> >
> > > Naturligvis kan man ikke *bevise* at en følge er begrænset ved kun at
> > > beregne de første n elementer i den.
> >
> > Jo, hvis beregningen kun afhænger af det foregående element (og altså
> > ikke positionen i følgen) og man er heldig nok til at ramme en eksakt
> > cykel.
>
> Helt sikkert. Men i det aktuelle tilfælde, Mandelbrotmængder, foretager
> computeren bestemt afrundinger, og en cykel kan derfor være »falsk«.

Nu laver du generaliseringer. Hvis du har c=a+ib, hvor a og b er
rationelle og starter din iteration ved z_0 = 0, så vil alle tallene i
følgen have rationelle realdele og imaginærdele. Det er derfor muligt
at beregne disse tal eksakt og derfor opdage cykler. Man kommer dog
godt nok til at skulle bruge en god bid plads til at repræsentere
tallene efter et par tusind iterationer.

> Men når man laver følger af hele tal, har du helt klart ret.

Ikke kun hele tal, men enhver form for tal der kan repræsenteres på en
sådan måde at spørgsmålet x=y er afgørligt. Det kræver selvfølgelig
at talrummet er lukket under de operationer, der laves på tallene.

Hvis man holder sig til de fire regnearter, gælder det som nævnt
bl.a. rationelle tal og komplekse tal med rationelle real- og
imaginærdele, men også f.eks. for tal med periodiske kædebrøker.

> Et interessant eksempel: Lad f: N\{1} -> N være funktionen der er
> fastlagt ved at f(n) er summen af alle divisorer i n undtagen n selv.
>
> Så er et tal P fuldkomment, netop hvis f(P)=P, et fikspunkt.
>
> Det er interessant at start med et tal n, og se om iterationsfølgen
>
> n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...
>
> er endelig eller uendelig. Hvis den er uendelig, kan den være periodisk,
> men man har ikke vished for om den kan være uendelig uden at være peri-
> odisk.
>
> Det er klart at følgen går mod plus uendelig hvis den ikke er periodisk
> eller endelig.

Et andet kendt eksempel er Collatzfølger, dvs. n, f(n), f(f(n)),..., hvor

f(n) = if even(n) then n/2 else 3*n+1

For alle starttal man har prøvet (og det er mange) vil følgen på et
tidspunkt nå perioden 1, 4, 2, 1,..., men dette er ikke bevist (eller
modbevist) undtagen for tal af en bestemt form (f.eks. potenser af 2).
Der er udsat en præmie for bevis/modbevis.

   Torben

---

"Torben Ægidius Mogensen" wrote:
>
> Hvis man holder sig til de fire regnearter, gælder det som nævnt
> bl.a. rationelle tal og komplekse tal med rationelle real- og
> imaginærdele, men også f.eks. for tal med periodiske kædebrøker.

Tallene sqrt(2) og sqrt(3) har som bekendt periodiske kædebrøker, man
hvis man bruger den første af de fire regningsarter man kommer på (det
er addition!), på dem, får man vist ikke et tal med periodisk kædebrøk.

Men i øvrigt er jeg helt enig i din tankegang.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse news:3FBB9CE4.1C06A7E5@jeppesn.dk...

> Et interessant eksempel: Lad f: N\{1} -> N være funktionen der er
> fastlagt ved at f(n) er summen af alle divisorer i n undtagen n selv.
>
> n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...
>
> er endelig eller uendelig. Hvis den er uendelig, kan den være periodisk,
> men man har ikke vished for om den kan være uendelig uden at være peri-
> odisk.
>
Har du exempel på et n, hvor følgen er uendelig og uperiodisk?

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:bpi387$2h$1@sunsite.dk...
> >
> Har du exempel på et n, hvor følgen er uendelig og uperiodisk?

Jeg skulle have sagt, et n man mistænker.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> > >
> > Har du exempel på et n, hvor følgen er uendelig og uperiodisk?
>
> Jeg skulle have sagt, et n man mistænker.

De første værdier for hvilke man ikke er sikker på om følgen går mod
uendelig, er 276, 552, 564, 660 og 966.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Det er interessant at start med et tal n, og se om iterationsfølgen
> n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...
> er endelig eller uendelig. Hvis den er uendelig, kan den være
> periodisk, men man har ikke vished for om den kan være uendelig
> uden at være periodisk.

Burde Lyapunov eksponenten ikke give dig et godt estimat?
Er den <0 er den periodisk/fixpunkt mens >0 er kaotisk.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Henrik Christian Grove wrote:
> >
> > > > Mandelbrotmængden fremkommer ved at sætte z0=0 og plotte resultatet
> > > > af iterationen for forskellige c.
> > >
> > > Hvor resultatet er antallet af iterationer før |z| > 2. Da det kan
> > > være uendeligt, sættes i reglen en grænse for antallet af iterationer.
> >
> > Det er bare de billeder man sædvanligvis laver. Strengt matematisk er
> > Mandelbrotmængden randen af den mængde af c'er for hvilke Juliamængden
> > for det tilsvarende c er sammenhængende.
>
> Men er det ikke ækvivalent med at den nævnte iterationsfølge er be-
> grænset (og faktisk holder sig inden for cirklen med radius 2)?

Jo, men Torben begyndte selv at skelne mellem Juliamængder og en
beskrivelse af hvordan man sædvanligvis laver billeder af dem.

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Det fremgår ikke rigtig hvordan de figurer fremkommer. Er det
> juliamængder? Det synes jeg de ser for glatte ud til.

De fleste jeg har set fremkommer ved at lade figurene være resultatet
af en fastlagt iterationsværdi, f.eks. 20. Derved er billederne ikke
af Mandelbrot/Julia mængden, men derimod af det farvet område man ser
på "almindelige" komplekse (2D) udgaver (det sorte område er oftes
mængden).

--
Thomas Klietsch
m a t h n e s s @ z 4 2 . d k

---

"Anders" <kingguro@fjong.dk> writes:

> Er der evt. nogle der har noget gratis litteratur eller indformation om
> emnet?

Hvis du er heldig så har dit lokale bibliotek bøger skrevet af
Mandelbrot og bøger udgivet af "Springer" (kan ikke lige huske det
eksakte navn) forlaget, disse kræver dog et hvis niveau i matematik.

Generelt set så jo nyere bøgerne er omkring emnet, des mere
filosofiske bliver de. Personligt holder jeg mig mest til dem før
90'erne.

Der blev, på dansk, udgivet nogle hæfter til matematisk undervisning
på gymnasiet, hvor de mest simple fraktaler og kaos modeler blev
gennemgået. Og herunder hvordan de kunne laves som programmer.

En søgning på nettet burde give et hav af informationer omkring emnet,
der er også nogle usenet grupper.

--
Thomas Klietsch
m a t h n e s s @ z 4 2 . d k

---

"Mathness" <mathness@z42.NO.SPAM.dk> skrev i en meddelelse news:bpaqpe$1j1o$1@news.cybercity.dk...
> "Anders" <kingguro@fjong.dk> writes:
>
> > Er der evt. nogle der har noget gratis litteratur eller indformation om
> > emnet?
>
> Hvis du er heldig så har dit lokale bibliotek bøger skrevet af
> Mandelbrot og bøger udgivet af "Springer" (kan ikke lige huske det

Peitgen og Richter's bog?

> Generelt set så jo nyere bøgerne er omkring emnet, des mere
> filosofiske bliver de.

Hvad er det for noget filosofi?

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
>
> > Generelt set så jo nyere bøgerne er omkring emnet, des mere
> > filosofiske bliver de.
>
> Hvad er det for noget filosofi?

Lomme-.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Peitgen og Richter's bog?

Ja, det lyder som den. Kan efterhånden kun huske de bøger på hvordan
de ser ud ;p

--
Thomas Klietsch
m a t h n e s s @ z 4 2 . d k

---

Mathness skrev:
>> Peitgen og Richter's bog?
> Ja, det lyder som den. Kan efterhånden kun huske de bøger på
> hvordan de ser ud ;p

"The Beauty of Fractals"
H.-O. Peitgen - P.H. Richter, Springer-Verlag, 1986

Flot bog!
--
Med venlig hilsen Herluf Holdt

---

Ja, hvad kan jeg siger mere end tak :) Jeg fik i hvert fald besvart mine
spørgsmål :)

"Anders" <kingguro@fjong.dk> skrev i en meddelelse
news:3fb8da8f$0$69937$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
> Er der nogle der har forstand på fraktaler?
>
> Så vidt jeg kan se kan man plotte iterationsfunktionen (f(z)=z^2+c) i den
> komplekse plan både ud fra Julia og Mandelbrot?? Men hvad er forskellen på
> Julia og Mandelbrot, eftersom udseendet af de to fraktaler komme til at se
> forkellig ud når de bruger samme iterationsformel?? Tag jer ikke af hvis
jeg
> er helt glat på den??
>
> Er der evt. nogle der har noget gratis litteratur eller indformation om
> emnet?
>
> tak :)
>
>

---

Anders <kingguro@fjong.dk> skrev:
> Ja, hvad kan jeg siger mere end tak :) Jeg fik i hvert fald besvart mine
> spørgsmål :)

Hvis du er interesseret, kan du også læse min større skriftlige opgave jeg
skrev i 3.g i matematik om netop det emne. Den hedder "Iterative systemer i
den komplekse plan - Julia-mængder og Mandelbrot-mængden".

Den kan hentes her (samt vedlagt software): http://bwp.dk/download/sso/
Hvis du downloader det program jeg har lavet, foreslår jeg at du blot
downloader selve programmet og ser om det kan køre - hvis det ikke kan,
bliver du nok nød til at hente installationen (Som jeg kalder for "Hele
CD-ROM'en"). I det program kan man se sammenhængen mellem Mandelbrot-mængden
og Julia-mængder rent grafisk - det er faktisk ret sjov at sidde og lege
med.

Mvh. Bjarke