---

---

"Michael Vittrup" <vittrup@ima.auc.dk> wrote in message
news:Pine.GSO.4.21.0311101527000.29578-100000@dumbo.servers.ima.auc.dk...
>
> Hejsa, jeg er bare nysgerrig - er der en talteoretisk årsag til at man
> beregner PI med milliarder og atter milliarder af decimaler?

Det tror jeg ikke. Det er nok mest for sportens skyld.

> Jeg mener at have hørt, at nogle teorier bryder sammen, hvis det viser
> sig, at PI faktisk ikke er et irrationelt tal. Er der noget om det? Eller
> andre grunde til interessen?

Pi _er_ irrationelt. Det er bevist for flere hundrede år siden. På det her
punkt adskiller matematik sig fra andre videnskaber. Når noget er bevist, er
der tale om en absolut sandhed, med mindre der er fejl i beviset.

Mvh,
Henrik

---

Henrik Schmidt skrev:

>punkt adskiller matematik sig fra andre videnskaber. Når noget er bevist, er
>der tale om en absolut sandhed, med mindre der er fejl i beviset.

Så er det jo heller ikke bevist.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Henrik Schmidt wrote:
> På det her punkt adskiller matematik sig fra andre videnskaber.
> Når noget er bevist, er der tale om en absolut sandhed, med
> mindre der er fejl i beviset.

Eller med mindrer man finder på et mere produktivt sæt af
aksiomer.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Carsten Svaneborg wrote:
>
> > På det her punkt adskiller matematik sig fra andre videnskaber.
> > Når noget er bevist, er der tale om en absolut sandhed, med
> > mindre der er fejl i beviset.
>
> Eller med mindrer man finder på et mere produktivt sæt af
> aksiomer.

Uden at ændre aksiom-sæt kan man jo også risikere at man arbejder inden
for et inkonsistent system. Desværre kan dette ifølge Gödel ikke ude-
lukkes. Hvis det er tilfældet, er der bevis for og imod hvad som helst,
og man kan derfor ikke kalde noget som helst for »en absolut sandhed«.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Hvis det er tilfældet, er der bevis for og imod hvad som helst,
> og man kan derfor ikke kalde noget som helst for »en absolut sandhed«.

Er det en absolut sandhed?

)

---

Ronny Nielsen wrote:
>
> > Hvis det er tilfældet, er der bevis for og imod hvad som helst,
> > og man kan derfor ikke kalde noget som helst for »en absolut sandhed«.
>
> Er det en absolut sandhed?

Det tror jeg ikke.

Er »Hvis P, så P« en absolut sandhed? Ikke at det er helt det samme.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Carsten Svaneborg" <zqex@sted.i.tyskland.de> wrote in message
news:oum481-ek5.ln1@dhcp024.mpipks-dresden.mpg.de...
> Henrik Schmidt wrote:
> > På det her punkt adskiller matematik sig fra andre videnskaber.
> > Når noget er bevist, er der tale om en absolut sandhed, med
> > mindre der er fejl i beviset.
>
> Eller med mindrer man finder på et mere produktivt sæt af
> aksiomer.
>


Ja men så er beviset stadig sandt. Det ligger jo implicit at hvis beviset er
gyldigt, så gælder resultatet for de givne antagelser.

At antagelserne ændres ændrer ikke på bevisets gyldighed, men gør bare at
det samme resultat multigvis ikke er muligt at opnå ved et gyldigt bevis
under de nye antagelser.

Søren

---

Søren Kongstad wrote:
> At antagelserne ændres ændrer ikke på bevisets gyldighed, men gør bare at
> det samme resultat multigvis ikke er muligt at opnå ved et gyldigt bevis
> under de nye antagelser.

Hvilket jeg er helt enig i. Hvorfor jeg mener at også inden for
matematik (som alle andre områder) giver "absolut sandhed" ikke
nogen mening.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Er »Hvis P, så P« en absolut sandhed? Ikke at det er helt det samme.

Hvis vi ikke adskiller det at tillægge udsagnet en semantisk betydning
fra det at tillægge udsagnet en sandshedsværdi tror jeg ikke vi kan
komme langt.

Hvis vi vælger at tillægee semantisk betydning i forhold til en
passende formalisering af førsteordens logik, giver vi udsagnet
betydningen 'P => P'.

Så kan vi vise at sandhedsværdien ikke afhænger af nogle antagelser,
altså '|- P => P'. Det mener jeg er normalt at kalde det for
'absolutte sandheder' eller en 'tautologi'

Men det bygger på en antagelse om at vi definerer semantisk betydning
på en bestemt måde.


Så er spørgsmålet: Er "'Hvis P, så P' er en absolut sandhed" en
absolut sandhed?

--
Peter Makholm | One thing you do is prevent good software from
peter@makholm.net | being written. Who can afford to do professional
http://hacking.dk | work for nothing?
| -- Bill Gates

---

---

Michael Vittrup <vittrup@ima.auc.dk> wrote in
news:Pine.GSO.4.21.0311101527000.29578-100000@dumbo.servers.ima.auc.dk:

>
> Hejsa, jeg er bare nysgerrig - er der en talteoretisk årsag til at man
> beregner PI med milliarder og atter milliarder af decimaler?
>
Nej. Det kan dog bruges til at checke at en ny ALU eller algoritme regner
rigtigt.


> Jeg mener at have hørt, at nogle teorier bryder sammen, hvis det viser
> sig, at PI faktisk ikke er et irrationelt tal. Er der noget om det? Eller
> andre grunde til interessen?
>
Det kan bevises at pi ikke er et rationelt tal, så det sker ikke :) Men jeg
erindrer ingen resultater der beror på at pi's irrationalitet.

---

Claus Christiansen <claus_christiansen_nospam@hotmail.com> writes:

> Det kan bevises at pi ikke er et rationelt tal, så det sker ikke :) Men jeg
> erindrer ingen resultater der beror på at pi's irrationalitet.

Cirklens kvadratur, evt.? Hvis pi var rational, ville det i hvert fald
være muligt, men på den anden side er irrationalitet jo ikke nok.

--
Stefan Holm
"Be sure to dress warm on those other planes of existence!"

---

Claus Christiansen <claus_christiansen_nospam@hotmail.com> writes:

>
>> Jeg mener at have hørt, at nogle teorier bryder sammen, hvis det viser
>> sig, at PI faktisk ikke er et irrationelt tal. Er der noget om det? Eller
>> andre grunde til interessen?
>>
> Det kan bevises at pi ikke er et rationelt tal, så det sker ikke :) Men jeg
> erindrer ingen resultater der beror på at pi's irrationalitet.
>

Umiddelbart kan jeg heller ikke komme i tanke om noget som bygger på
at pi er irrationel. Men umuligheden af det klassiske problem om
cirklens kvadratur følger af det lidt stærkere udsagn at pi er
transcendent (dvs. ikke rod i noget polynomium med heltallige
koefficienter).

Mvh Rasmus

--

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> Claus Christiansen <claus_christiansen_nospam@hotmail.com> writes:
>
>> Det kan bevises at pi ikke er et rationelt tal, så det sker ikke :) Men jeg
>> erindrer ingen resultater der beror på at pi's irrationalitet.
>
> Cirklens kvadratur, evt.? Hvis pi var rational, ville det i hvert fald
> være muligt, men på den anden side er irrationalitet jo ikke nok.
>

.... til at afvise umuligheden, vel at mærke.

Mvh Rasmus

--

---

Rasmus Villemoes <burner+usenet@imf.au.dk> writes:

> ... til at afvise umuligheden, vel at mærke.

Ja. Dårlig formulering fra min side.

--
Stefan Holm
"She speaks with a strange evenness and
selects her words a shade too precisely."

---

Michael Vittrup wrote:
>
> Hejsa, jeg er bare nysgerrig - er der en talteoretisk årsag til at man
> beregner PI med milliarder og atter milliarder af decimaler?

Den vigtigste grund er nok: Fordi man kan.

>
> Jeg mener at have hørt, at nogle teorier bryder sammen, hvis det viser
> sig, at PI faktisk ikke er et irrationelt tal. Er der noget om det? Eller
> andre grunde til interessen?

Nu har man allerede bevis for at pi er irrational, så det er ikke så
spændende. Man har endda bevis for at pi er transcendent.

Disse ting udelukker selvfølgelig ikke at der skulle være et hidtid
uopdaget »system« i decimalerne for pi. Men de færreste forventer det.

Man véd ikke om pi er et normalt tal, altså om alle decimaler (og grup-
per af decimaler) forekommer »lige ofte« i det lange løb. Jeg kunne
forestille mig at man ikke engang véd om et bestemt ciffer, lad os sige
7, forekommer uendeligt mange gange som decimal.

Man ved heller ikke om tal som pi+e , pi/e , ln(pi) er rationale.

Der er dog ingen grund til at tro at beregning af endnu flere cifre af
pi skulle føre til overraskende svar på disse spørgsmål. Og det kan i
hvert fald aldrig føre til et bevis for noget som helst.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Man ved heller ikke om tal som pi+e , pi/e , ln(pi) er rationale.

Jeg finder på nettet lidt modstridende oplysninger om hvorvidt det er
kendt at produktet e·pi er irrationalt eller endda transcendent. Er der
nogen der tilfældigvis med sikkerhed véd hvad status er for dette tal?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Jeppe Stig Nielsen wrote:
>>
>> Man ved heller ikke om tal som pi+e , pi/e , ln(pi) er rationale.
>
> Jeg finder på nettet lidt modstridende oplysninger om hvorvidt det er
> kendt at produktet e·pi er irrationalt eller endda transcendent. Er der
> nogen der tilfældigvis med sikkerhed véd hvad status er for dette tal?
>

På http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html står der, at
e·pi er irrationel, og at det skulle følge fra Gelfonds sætning. På
http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html står at læse,
at mindst ét af tallene e+pi og e·pi er transcendente. Men jeg kan
ikke se om e·pi rent faktisk er transcendent som følge af Gelfonds
sætning; jeg synes ikke det er oplagt hvordan a og b skal vælges.

Mvh Rasmus

--

---

Rasmus Villemoes wrote:
> >
> > Jeg finder på nettet lidt modstridende oplysninger om hvorvidt det er
> > kendt at produktet e·pi er irrationalt eller endda transcendent. Er der
> > nogen der tilfældigvis med sikkerhed véd hvad status er for dette tal?
>
> På http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html står der, at
> e·pi er irrationel, og at det skulle følge fra Gelfonds sætning. På

Det kan være en trykfejl. Hvis a og b simpelthen kan vælges så Gelfond
kan bruges direkte, så får man jo at e·pi er *bevist* transcendent, og
det er i strid med hvad man kan læse flere andre steder.

Se fx
http://groups.google.dk/groups?selm=358dcdf2.5545793%40news.seanet.com
og andre gamle usenet-indlæg.

> http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html står at læse,
> at mindst ét af tallene e+pi og e·pi er transcendente.

Beviset for dette er jo i øvrigt elegant:

Antag at både e·pi og e+pi skulle være algebraiske. Så var polynomiet

p(x) = x² - (e+pi)x + (e·pi)

et polynomium med algebraiske koefficienter. Dermed skulle dets rødder
selv være algebraiske. Men rødderne er naturligvis e og pi, og de blev
bevist transcendente i 1800-tallet.

Men hvis man allerede véd at e·pi er transcendent (hvad jeg ikke tror
man gør), er der jo ingen brug for ovenstående bevis.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Rasmus Villemoes wrote:
>> >
>> > Jeg finder på nettet lidt modstridende oplysninger om hvorvidt det er
>> > kendt at produktet e·pi er irrationalt eller endda transcendent. Er der
>> > nogen der tilfældigvis med sikkerhed véd hvad status er for dette tal?
>>
>> På http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html står der, at
>> e·pi er irrationel, og at det skulle følge fra Gelfonds sætning. På
>
> Det kan være en trykfejl. Hvis a og b simpelthen kan vælges så Gelfond
> kan bruges direkte, så får man jo at e·pi er *bevist* transcendent, og
> det er i strid med hvad man kan læse flere andre steder.
>

Sådan tolker jeg det også umiddelbart. Men det _kan_ jo være, at
transcendensen af et eller andet bestemt tal a^b medfører, at e·pi er
irrationel. Jeg har dog meget svært ved at se hvordan (specielt fordi
jeg ikke kender de pågældende a og b).

Mvh Rasmus

--

---

Michael Vittrup <vittrup@ima.auc.dk> writes:

> Hejsa, jeg er bare nysgerrig - er der en talteoretisk årsag til at man
> beregner PI med milliarder og atter milliarder af decimaler?

Nej, mig bekendt egentlig ikke.

> Jeg mener at have hørt, at nogle teorier bryder sammen, hvis det viser
> sig, at PI faktisk ikke er et irrationelt tal.

Det er bevist at PI ikke er et rationelt tal (og heller ikke
algebraisk, dvs. rod i et polynomium med heltallige koefficienter).
Så hvis "det viser sig" at pi rent faktisk er rationelt alligevel, så
er grundlaget for beviset (vistnok Peanos aksiomatiske system)
inkonsistent (da begrebet "rationel" også er definerbart ud fra
aksiomerne). Men man kan ikke bevise at pi er rationelt ved at
beregne nok så mange decimaler af det, og netop spørgsmålet om
hvorvidt pi er rationelt eller ej er ikke mere afgørende end alle
andre udsagn, som er bevist fra samme aksiomatiske system -- hvis bare
et af disse udsagn er falske, vil systemet være inkonsistent.

   Torben

---

"Michael Vittrup" <vittrup@ima.auc.dk> skrev i en meddelelse
news:Pine.GSO.4.21.0311101527000.29578-100000@dumbo.servers.ima.auc.dk...
>
> Hejsa, jeg er bare nysgerrig - er der en talteoretisk årsag til at man
> beregner PI med milliarder og atter milliarder af decimaler?

Der er flere årsager.
1. Rekorden giver international prestige.
2. Man anvender beregningen på at teste computerens effektivitet
som talknuser.
3. Det er af interesse at se, om der er en vis periodicitet i tallet

Selve tallets nøjagtighed i beregninger er uden større betydning.

--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen

---

Scripsit "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk>
> "Michael Vittrup" <vittrup@ima.auc.dk> skrev i en meddelelse

> > beregner PI med milliarder og atter milliarder af decimaler?
[...]

> Selve tallets nøjagtighed i beregninger er uden større betydning.

s/større//

--
Henning Makholm "In my opinion, this child don't
need to have his head shrunk at all."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yah8ymn6pco.fsf@tyr.diku.dk...
> Scripsit "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk>
> > "Michael Vittrup" <vittrup@ima.auc.dk> skrev i en meddelelse
>
> > > beregner PI med milliarder og atter milliarder af decimaler?
> [...]
>
> > Selve tallets nøjagtighed i beregninger er uden større betydning.
>
> s/større//

Hmm.
Skal de pudsige tegn forstås således, at du mener at
10 milliarder decimaler giver en bedre nøjagtighed end en enkelt
milliard i beregninger ; -)

--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen

---

Scripsit "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
> > Scripsit "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk>

> > > Selve tallets nøjagtighed i beregninger er uden større betydning.

> > s/større//

> Skal de pudsige tegn forstås således, at du mener at
> 10 milliarder decimaler giver en bedre nøjagtighed end en enkelt
> milliard i beregninger ; -)

Nej, de skal forstås således at jeg foreslåt at du sletter ordet
"større" i din sætning.

--
Henning Makholm "It was intended to compile from some approximation to
the M-notation, but the M-notation was never fully defined,
because representing LISP functions by LISP lists became the
dominant programming language when the interpreter later became available."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahwua5h458.fsf@tyr.diku.dk...
> Scripsit "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk>
> > "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
> > > Scripsit "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk>
>
> > > > Selve tallets nøjagtighed i beregninger er uden større betydning.
>
> > > s/større//
>
> > Skal de pudsige tegn forstås således, at du mener at
> > 10 milliarder decimaler giver en bedre nøjagtighed end en enkelt
> > milliard i beregninger ; -)
>
> Nej, de skal forstås således at jeg foreslåt at du sletter ordet
> "større" i din sætning.

Accepteret!


--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen