---

Hejsa!

Jeg har i forbindelse med et kryptologi projekt undret mig over følgende:
hvis man kigger på alle tal fra 0 til 24 - og finder de tal der har en
multiplikativ invers til tallet 24, så finder man følgende:

[tallet,tallets multiplikative invers]
[1,1]
[5,5]
[7,7]
[11,11]
[13,13]
[17,17]
[19,19]
[23,23]

Er der en grund til at dette sker?! At tallet der har en multiplikativ
invers i forbindelse med 24, netop har sig selv som multiplikativ invers?!
Og er der en grund til at det hele er primtal?

Ligeledes springer det i øjnene at det første tal + det sidste, det andet +
det andet sidste - osv.. Giver 24 - er dette altid tilfældet?

På forhånd tak!
Jesper Christiansen

---

"Jesper Christiansen" <raze@ostenfeld.dk> writes:

> Hejsa!
>
> Jeg har i forbindelse med et kryptologi projekt undret mig over følgende:
> hvis man kigger på alle tal fra 0 til 24 - og finder de tal der har en
> multiplikativ invers til tallet 24, så finder man følgende:
>
> [tallet,tallets multiplikative invers]
> [1,1]
> [5,5]
> [7,7]
> [11,11]
> [13,13]
> [17,17]
> [19,19]
> [23,23]
>
> Er der en grund til at dette sker?!

Tjah, grund og grund. Basalt set er den bedste grund vel at 24 er det
tal det nu engang er; og at dets primfaktorisering er 2³·3. De tal,
der har en multiplikativ invers modulo 24 er også kendt som enhederne
i ringen Z/24Z, og det er ikke svært at vise, at

Z/24Z ~= Z/8Z × Z/3Z (dette resultat er kendt som den kinesiske
restklassesætning)

og videre at

(Z/24Z)* ~= (Z/8Z)* × (Z/3Z)*

Højresiden er isomorf med et produkt af fire kopier af Z/2Z, hvilket
forklarer hvorfor alle elementer ovenfor er deres egen
(multiplikative) inverse.

> At tallet der har en multiplikativ invers i forbindelse med 24,
> netop har sig selv som multiplikativ invers?! Og er der en grund
> til at det hele er primtal?
>

At alle de nævnte tal er primtal er selvfølgelig ikke helt tilfældigt;
hvis p er et primtal mellem 1 og 24 som ikke er en af 24's
primfaktorer, er p klart primisk med 24. Omvendt er det mindste
ikke-primtal som ikke indeholder en af 24's primfaktorer tallet 25 =
5², og derfor vil ethvert tal i intervallet 1 <= n < 24 som er primisk
med 24 være et primtal.

>
> Ligeledes springer det i øjnene at det første tal + det sidste, det
>andet + det andet sidste - osv.. Giver 24 - er dette altid tilfældet?
>

Tjah, n og k er primiske hvis og kun hvis n og n-k er primiske; altså
optræder k på listen hvis og kun hvis n-k også optræder.

Mvh Rasmus

--

---

"Jesper Christiansen" <raze@ostenfeld.dk> writes:

> Ligeledes springer det i øjnene at det første tal + det sidste, det andet +
> det andet sidste - osv.. Giver 24 - er dette altid tilfældet?

Ja. For hvis n*n=1 (mod M) er også (-n)*(-n)=1 (mod M) og n+(-n)=0=N (mod N).

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

Ah ja, ang. det sidste af mine spørgsmål.. Det kan jeg egentlig sagtens se,
var mig der ikk lige var vågen! :)

...og til Rasmus - tusind tak for din udredning af mine første spørgsmål.
meget af det forstår jeg ikke så meget af.. men vil lige studere det
nærmere! :) Tak!

"Henrik Christian Grove" <grove@sslug.dk> wrote in message
news:7gznfhnw1l.fsf@serena.fsr.ku.dk...
> "Jesper Christiansen" <raze@ostenfeld.dk> writes:
>
> > Ligeledes springer det i øjnene at det første tal + det sidste, det
andet +
> > det andet sidste - osv.. Giver 24 - er dette altid tilfældet?
>
> Ja. For hvis n*n=1 (mod M) er også (-n)*(-n)=1 (mod M) og n+(-n)=0=N (mod
N).
>
> .Henrik
>
> --
> "Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
> "Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe