|
|
 | Tricky opgave
Fra : Tais |
Dato : 25-10-03 17:58 |
|
Vi har på mit matematik hold modtaget følgende "for sjov" opgave; problemet
er at jeg ikke kan gennemskue den.
"En gymnasieelev, der lige var kommet hjem fra gymnasiet, havde lyst til at
vise sin mor, hvor dygtig hun var. Hun skød et stort cirkulært bord op hen i
et hjørne af stuen, så det rørte begge væggene. Derefter pegede hun på en
blækklat på den yderste rand af bordet. "Her er en lille opgave for dig,
mor", sagde hun. "Denne plet er nøjagtig 24 cm fra den ene væg og 27 cm fra
den anden væg. Kan du så, uden at måle, sige mig, hvor stor bordets radius
er ?"
Det kunne hun ikke - kan du ? "
Nogen der kan give mig et hint (Ikke et svar) til løsning af opgaven.
Mvh. Tais
| |
 Peter Lind (25-10-2003)
| Kommentar
Fra : Peter Lind |
Dato : 25-10-03 18:19 |
|
Tais wrote:
> Vi har på mit matematik hold modtaget følgende "for sjov" opgave;
> problemet er at jeg ikke kan gennemskue den.
>
> "En gymnasieelev, der lige var kommet hjem fra gymnasiet, havde lyst
> til at vise sin mor, hvor dygtig hun var. Hun skød et stort cirkulært
> bord op hen i et hjørne af stuen, så det rørte begge væggene.
> Derefter pegede hun på en blækklat på den yderste rand af bordet.
> "Her er en lille opgave for dig, mor", sagde hun. "Denne plet er
> nøjagtig 24 cm fra den ene væg og 27 cm fra den anden væg. Kan du så,
> uden at måle, sige mig, hvor stor bordets radius er ?"
> Det kunne hun ikke - kan du ? "
>
> Nogen der kan give mig et hint (Ikke et svar) til løsning af
> opgaven.
Det tror jeg da - hvis pletten er på kanten af bordet, så vil den være i
'radius' afstand fra cirklens centrum.
Cirklen rører den ene væg ved 0 grader og den anden væg ved 90 grader. Hvis
pletten er 24 cm fra 90 grader væggen, så vil den være sin(vinkel)*radius cm
fra 0 grader væggen, som er det samme som radius-24 cm. Modsat vil den være
cos(vinkel)*radius cm fra den anden væg = radius-27.
Så burde det være ligetil at opsætte nogle ligninger til at finde punktets
vinkel, og dermed bordets radius.
Blæret gymnasieelev iøvrigt...
--
Mvh
Peter Lind
| |
Martin Larsen (25-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 25-10-03 18:36 |
|
"Tais" <taisclaridge@hotmail.com> skrev i en meddelelse news:3f9aabb5$0$27388$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
>
> Nogen der kan give mig et hint (Ikke et svar) til løsning af opgaven.
>
Jeg gætter på at det er 74,92728548643266cm
Mvh
Martin
| |
Martin Larsen (25-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 25-10-03 18:45 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:3f9ab342$0$27417$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> "Tais" <taisclaridge@hotmail.com> skrev i en meddelelse news:3f9aabb5$0$27388$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> >
> > Nogen der kan give mig et hint (Ikke et svar) til løsning af opgaven.
> >
> Jeg gætter på at det er 74,92728548643266cm
>
Sludder, glem det
| |
Jeppe Stig Nielsen (25-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 25-10-03 18:39 |
|
Tais wrote:
>
> "En gymnasieelev, der lige var kommet hjem fra gymnasiet, havde lyst til at
> vise sin mor, hvor dygtig hun var. Hun skød et stort cirkulært bord op hen i
> et hjørne af stuen, så det rørte begge væggene. Derefter pegede hun på en
Hvis du indlægger et koordinatsystem sådan at akserne følger de to
vægge (stuen ligger i koordinatsystemets første kvadrant), så må
cirklens ligning være
(x-r)² + (y-r)² = r²
Forklar selv hvorfor! Ved at indsætte det kendte punkt på x's og y's
plads, får du en simpel andengradsligning i r. Jeg gætter på at der
er to løsninger (svarende til at pletten kan ligge enten på den inderste
kvartcirkel eller på den ydre trekvartcirkel).
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Gert Krabsen (25-10-2003)
| Kommentar
Fra : Gert Krabsen |
Dato : 25-10-03 20:12 |
|
Sat, 25 Oct 2003 19:38:54 +0200, Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
skrev:
> eller på den ydre trekvartcirkel).
>
Men så bliver det et meget lille spisebord!
mvh
Krabsen
--
Sendt via Opera.
www.krabsen.dk
www.responsnord.dk
mfl
| |
Tais (26-10-2003)
| Kommentar
Fra : Tais |
Dato : 26-10-03 13:53 |
|
"Jeppe Stig Nielsen" <mail@jeppesn.dk> skrev i en meddelelse
news:3F9AB52E.83DCC29F@jeppesn.dk...
> Hvis du indlægger et koordinatsystem sådan at akserne følger de to
> vægge (stuen ligger i koordinatsystemets første kvadrant), så må
> cirklens ligning være
>
> (x-r)² + (y-r)² = r²
>
> Forklar selv hvorfor! Ved at indsætte det kendte punkt på x's og y's
> plads, får du en simpel andengradsligning i r. Jeg gætter på at der
> er to løsninger (svarende til at pletten kan ligge enten på den inderste
> kvartcirkel eller på den ydre trekvartcirkel).
Tak for hjælpen, nu har jeg fået resultatet til at være 15.......
| |
 Jeppe Stig Nielsen (26-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 26-10-03 14:54 |
|
Tais wrote:
>
> > Hvis du indlægger et koordinatsystem sådan at akserne følger de to
> > vægge (stuen ligger i koordinatsystemets første kvadrant), så må
> > cirklens ligning være
> >
> > (x-r)² + (y-r)² = r²
> >
> > Forklar selv hvorfor! Ved at indsætte det kendte punkt på x's og y's
> > plads, får du en simpel andengradsligning i r. Jeg gætter på at der
> > er to løsninger (svarende til at pletten kan ligge enten på den inderste
> > kvartcirkel eller på den ydre trekvartcirkel).
>
> Tak for hjælpen, nu har jeg fået resultatet til at være 15.......
I opgaven stod *stort* cirkulært bord, så måske er det den anden løs-
ning til andengradsligningen der er relevant.
(x-r)² + (y-r)² = r²
x² - 2xr + r² + y² - 2yr + r² = r²
r² - 2(x+y)r + (x²+y²) = 0
Når man løser for r, kommer der to rødder:
r = ( 2(x+y) ± sqrt{2²(x+y)² - 4(x²+y²)} ) / 2
= x+y ± sqrt{(x+y)² - (x²+y²)}
= x+y ± sqrt{2xy}
Med x og y på 24 og 27 giver dette løsningerne
r = 51 ± 36
Den store løsning svarer til et bord med diameter 2·87 cm = 174 cm.
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
Per A. Hansen (26-10-2003)
| Kommentar
Fra : Per A. Hansen |
Dato : 26-10-03 13:53 |
|
"Tais" <taisclaridge@hotmail.com> skrev i en meddelelse
news:3f9aabb5$0$27388$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> Vi har på mit matematik hold modtaget følgende "for sjov" opgave;
problemet
> er at jeg ikke kan gennemskue den.
>
> "En gymnasieelev, der lige var kommet hjem fra gymnasiet, havde lyst til
at
> vise sin mor, hvor dygtig hun var. Hun skød et stort cirkulært bord op hen
i
> et hjørne af stuen, så det rørte begge væggene. Derefter pegede hun på en
> blækklat på den yderste rand af bordet. "Her er en lille opgave for dig,
> mor", sagde hun. "Denne plet er nøjagtig 24 cm fra den ene væg og 27 cm
fra
> den anden væg. Kan du så, uden at måle, sige mig, hvor stor bordets radius
> er ?"
> Det kunne hun ikke - kan du ? "
Ja.
Der kan være et kvadratisk bord med sidelængden 25.5 cm
mellem det cirkulære bord og hjørnet.
( 24 cm + 27 cm)/2 = 25.5 cm)
Bruges Phytagoras på den opstilling fås:
r^2 + r^2 = sqr(r^2+ sqr(24^2+27^2))
Hvis der så findes 2 løsninger svarer det til, at pletten
kan være 2 steder - på bordkanten nærmest hjørnet eller
på bordets modstatte kant.
QED
--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen
| |
Martin Larsen (26-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 26-10-03 15:30 |
|
"Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk> skrev i en meddelelse news:bsPmb.1797$5C3.1576@news.get2net.dk...
>
> Ja.
> Der kan være et kvadratisk bord med sidelængden 25.5 cm
> mellem det cirkulære bord og hjørnet.
> ( 24 cm + 27 cm)/2 = 25.5 cm)
Den er helt gal Per.
Det kvadrat du taler om skal siden være (r*sqrt(2)-r)/sqrt(2)
Mvh
Martin
| |
Per A. Hansen (26-10-2003)
| Kommentar
Fra : Per A. Hansen |
Dato : 26-10-03 21:08 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:3f9bd957$0$27462$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk> skrev i en meddelelse
news:bsPmb.1797$5C3.1576@news.get2net.dk...
> >
> > Ja.
> > Der kan være et kvadratisk bord med sidelængden 25.5 cm
> > mellem det cirkulære bord og hjørnet.
> > ( 24 cm + 27 cm)/2 = 25.5 cm)
>
> Den er helt gal Per.
> Det kvadrat du taler om skal siden være (r*sqrt(2)-r)/sqrt(2)
Hmm. Du har ret - der er en fejl.
Men prøv at dreje bordet 90 grader ( d.v.s. pletten spejles) - så
er bordet jo 27cm*24cm.
Projiceres bordets korteste afstand til hjørnet ned på væggen, vil den ramme
på afstanden 25.5 cm fra hjørnet - altså midt mellem de 24 og 27 cm. fra
hjørnet..
Afstand fra hjørne til bordets centrum er så:
( r+ sqr(25.5^2+25.5^2)) = hypothenusen, hvor kateterne er r.
Jeg har ikke haft tid til at regne den igennem, det må
være Tais opgave.
--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen
| |
Per A. Hansen (27-10-2003)
| Kommentar
Fra : Per A. Hansen |
Dato : 27-10-03 09:37 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:3f9bd957$0$27462$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk> skrev i en meddelelse
news:bsPmb.1797$5C3.1576@news.get2net.dk...
> >
> > Ja.
> > Der kan være et kvadratisk bord med sidelængden 25.5 cm
> > mellem det cirkulære bord og hjørnet.
> > ( 24 cm + 27 cm)/2 = 25.5 cm)
>
> Den er helt gal Per.
> Det kvadrat du taler om skal siden være (r*sqrt(2)-r)/sqrt(2)
Nu har jeg fået lidt tid til at regne på tallene.
Afstanden fra bordet til hjørnet af stuen er sqr(1300.5)
2. grads ligningens 2 rødder er henholdsvis:
r1 = 87 cm ( uden decimaler) - svarende til Jeppes resultat.
r2 = -15 cm, hvilket må være et imaginært bord eller skygge-
billede.
Det svarer til Tais´s løsning - bortset fra fortegnet -
--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen
| |
Martin Larsen (27-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 27-10-03 10:24 |
|
"Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk> skrev i en meddelelse news:OO4nb.232$Z_.82@news.get2net.dk...
>
> > > Der kan være et kvadratisk bord med sidelængden 25.5 cm
> > > mellem det cirkulære bord og hjørnet.
> > > ( 24 cm + 27 cm)/2 = 25.5 cm)
> >
> > Den er helt gal Per.
> > Det kvadrat du taler om skal siden være (r*sqrt(2)-r)/sqrt(2)
>
> Nu har jeg fået lidt tid til at regne på tallene.
> Afstanden fra bordet til hjørnet af stuen er sqr(1300.5)
> 2. grads ligningens 2 rødder er henholdsvis:
>
> r1 = 87 cm ( uden decimaler) - svarende til Jeppes resultat.
Ja, du er tæt på. Men det rigtige er et heltal (uden afrundede
decimaler). Du kan ikke tage gennemsnittet af 24 og 27 fordi
det er en cirkelbue og ikke en ret linie.
Mvh
Martin
| |
Per A. Hansen (28-10-2003)
| Kommentar
Fra : Per A. Hansen |
Dato : 28-10-03 12:00 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:3f9ce313$0$27473$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
>
> "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk> skrev i en meddelelse
news:OO4nb.232$Z_.82@news.get2net.dk...
> >
> > r1 = 87 cm ( uden decimaler) - svarende til Jeppes resultat.
>
> Ja, du er tæt på. Men det rigtige er et heltal (uden afrundede
> decimaler). Du kan ikke tage gennemsnittet af 24 og 27 fordi
> det er en cirkelbue og ikke en ret linie.
Du har ret i, at det er en "approximation" - som ikke giver et eksakt tal -
( 87.04) - derfor skal der naturligvis afrundes.
Den lille forskel, som du helt korrekt påpeger, ligger langt indenfor
måleusikkerhederne på tallene, men jeg bøjer mig naturligvis
for din og Jeppes mere matematisk stringente løsning, som
man forventer i den slags opgaver.
--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen
| |
Martin Larsen (28-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 28-10-03 14:28 |
|
"Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk> skrev i en meddelelse news:d6snb.666$ll.143@news.get2net.dk...
>
> Du har ret i, at det er en "approximation" - som ikke giver et eksakt tal -
> ( 87.04) - derfor skal der naturligvis afrundes.
Du kan sagtens finde en (eksakt) geometrisk løsning uden
brug af kendskab til cirklens ligning. Tegn de 2 radier til
punktet a og til x-aksen og linien y=a. Og af den retvinklede
trekant fås r^2=(r-a)^2+(r-b)^2
Mvh
Martin
| |
Per A. Hansen (29-10-2003)
| Kommentar
Fra : Per A. Hansen |
Dato : 29-10-03 10:26 |
|
"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:3f9e6da2$0$27474$edfadb0f@dread16.news.tele.dk...
> "Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk> skrev i en meddelelse
news:d6snb.666$ll.143@news.get2net.dk...
> >
> > Du har ret i, at det er en "approximation" - som ikke giver et eksakt
tal -
> > ( 87.04) - derfor skal der naturligvis afrundes.
>
> Du kan sagtens finde en (eksakt) geometrisk løsning uden
> brug af kendskab til cirklens ligning. Tegn de 2 radier til
> punktet a og til x-aksen og linien y=a. Og af den retvinklede
> trekant fås r^2=(r-a)^2+(r-b)^2
Det har du ret i - men jeg har nu ikke brugt cirklen til
løsningen.
Jeg har regnet på den retviklede trekant, hvor katerne jo
svarer til bordets radius og hypotenusen er linien fra centrum
til hjørnet i stuen. Den afstand jeg med stor tilnærmelse til
gennemsnittet mellem 24 og 27.
Det mest interessante i denne opgave er at se på, hvordan
det ser ud, når man benytter målene for det "lille bord"
( den "falske" løsning i 2. grads-ligningen.)
Men jeg medgiver, at sådanne opgaver skal beregnes
eksakt.
--
Med venlig hilsen
Per A. Hansen
| |
Martin Larsen (29-10-2003)
| Kommentar
Fra : Martin Larsen |
Dato : 29-10-03 12:03 |
|
"Per A. Hansen" <xper.hansen@get2net.dk> skrev i en meddelelse news:eILnb.744$JA4.576@news.get2net.dk...
>
> Det mest interessante i denne opgave er at se på, hvordan
> det ser ud, når man benytter målene for det "lille bord"
> ( den "falske" løsning i 2. grads-ligningen.)
Så vidt jeg har forstået har du sagt
r^2+r^2 = (r+sqrt(25,5^2+25,5^2))^2
r = (2+sqrt(2))*25,5 = 87,06244584
Jeg ser kun een løsning.
Hvis du derimod insisterer på at vi skal tage negative
kvadratrødder i betragtning, får du hele 4 løsninger.
Dette ville jeg dog også mene er useriøst.
Mvh
Martin
| |
Jeppe Stig Nielsen (27-10-2003)
| Kommentar
Fra : Jeppe Stig Nielsen |
Dato : 27-10-03 15:35 |
|
"Per A. Hansen" wrote:
>
> r1 = 87 cm ( uden decimaler) - svarende til Jeppes resultat.
> r2 = -15 cm, hvilket må være et imaginært bord eller skygge-
> billede.
Jeg får både r = +87 cm og r = +15 cm med min metode, men jeg
forkaster den lille løsning fordi opgaven taler om et »stort« bord.
Disse løsninger er, som Martin skriver, eksakte (ingen afrundinger).
--
Jeppe Stig Nielsen <URL: http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)
| |
|
|