---

I jagten på formler med pi, Catalantal og binomialkoefficienter
er jeg faldet over denne nydelige formel:

k
oo k 2
pi + 3 = sum --------
k=1 K(2k,k)

hvor K(n,r) er en binomialkoeffecient.

Hvem fandt den?
Hvordan udleder man den?


Hvis man hellere vil have en formel med Catalantal,
så kan vi dividere med k+1:

k
oo k 2
pi + 3 = sum ---------
k=1 k+1 C(k)



--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f813449$0$97164$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
> I jagten på formler med pi, Catalantal og binomialkoefficienter
> er jeg faldet over denne nydelige formel:
>
> k
> oo k 2
> pi + 3 = sum --------
> k=1 K(2k,k)
>
> hvor K(n,r) er en binomialkoeffecient.
>
> Hvem fandt den?
> Hvordan udleder man den?
>

Der findes en alternerende udgave (uden forfatter)

pi-3 = Sum (-1)^(k+1)/(k(k+1)(2k+1))

og endnu en

pi+3 = Sum (k!^2)k2^k/(2k)!

Og en af Gosper:

pi = Sum(fra 0) (25k-3)k!(2k)!/(2^(k-1)(3k)!)

Nu vi er igang vil jeg gerne vise endnu
et mærkeligt sted hvor pi dukker op.

Tag 2 tilfældige tal mange gange. Andelen af par uden fælles
divisorer vil da være 6/pi^2

Hvordan forbinder vi dette med 1/zeta(2) ?

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@jasoegaard.dk> skrev i en meddelelse news:3f813449$0$97164$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
>>I jagten på formler med pi, Catalantal og binomialkoefficienter
>>er jeg faldet over denne nydelige formel:
>>
>> k
>> oo k 2
>> pi + 3 = sum --------
>> k=1 K(2k,k)
>>
>>hvor K(n,r) er en binomialkoeffecient.
>>
>>Hvem fandt den?
>>Hvordan udleder man den?

> Der findes en alternerende udgave (uden forfatter)
>
> pi-3 = Sum (-1)^(k+1)/(k(k+1)(2k+1))

> og endnu en
>
> pi+3 = Sum (k!^2)k2^k/(2k)!

Men 1/K(2k,k) = k!^2 / (2k)! så det er den samme som
den første.

Jeg er særlig interesseret i oprindelsen af den første formel.
Den optræder i algoritmen til at udregne det n'te decimale
ciffer i pi (uden at beregne de andre selvfølgelig).


> Tag 2 tilfældige tal mange gange. Andelen af par uden fælles
> divisorer vil da være 6/pi^2

Den er god. Jeg kan godt lide denne formulering:

Stil dig i (0,0) og vend dig i en tilfældig retning.
Forestil dig nu, at der i alle heltallige koordinatpar
er stillet en pæl.

Hvad er sandsynligheden for, at udsynet ikke blokeres
af en pæl?

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard <usenet@jasoegaard.dk> writes:

>
>> Tag 2 tilfældige tal mange gange. Andelen af par uden fælles
>> divisorer vil da være 6/pi^2
>
> Den er god. Jeg kan godt lide denne formulering:
>
> Stil dig i (0,0) og vend dig i en tilfældig retning.
> Forestil dig nu, at der i alle heltallige koordinatpar
> er stillet en pæl.
>
> Hvad er sandsynligheden for, at udsynet ikke blokeres
> af en pæl?
>

Jeg kan ikke lige se sammenhængen. Så vidt jeg forstår Jens' opgave
skal man vælge et tilfældigt tal t i (-pi, pi], og så spørges der om
hvad sandsynligheden er for at dette tal svarer til en retning, hvor
man støder på et heltalligt koordinatpar. Men da arctan(Q) er en
tællelig delmængde af (-pi, pi] (udfyld selv detaljer) har den mål 0,
og dette (divideret med 2pi) er så sandsynligheden for at møde en
pæl. Den ønskede sandsynlighed er så 1. Eller hvad?

Mvh Rasmus

(undskyld til Jens at jeg først kom til at svare direkte til ham).

--

---

Rasmus Villemoes wrote:
> Jens Axel Søgaard <usenet@jasoegaard.dk> writes:
>
>
>>>Tag 2 tilfældige tal mange gange. Andelen af par uden fælles
>>>divisorer vil da være 6/pi^2
>>
>>Den er god. Jeg kan godt lide denne formulering:
>>
>> Stil dig i (0,0) og vend dig i en tilfældig retning.
>> Forestil dig nu, at der i alle heltallige koordinatpar
>> er stillet en pæl.
>>
>> Hvad er sandsynligheden for, at udsynet ikke blokeres
>> af en pæl?

> Jeg kan ikke lige se sammenhængen.

Det kan jeg godt forstå. Jeg huskede desværre helt forkert.

Stil dig i (0,0). Vælg et vilkåligt punkt (x,y) med
heltallige koordinater.

Hvad er sandsynligheden for, at du kan se (x,y),
når du stiller dig i (0,0). Man kan ikke se "gennem"
andre punkter med heltallige koordinater.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> I jagten på formler med pi, Catalantal og binomialkoefficienter
> er jeg faldet over denne nydelige formel:
>
> k
> oo k 2
> pi + 3 = sum --------
> k=1 K(2k,k)
>
> hvor K(n,r) er en binomialkoeffecient.
>
> Hvem fandt den?

Jeg har nu fundet denne formel tilskrevet Euler:

n 2
oo 2 (n!)
pi = 2 sum ----------
n=0 (2n+1)!

Efter en hel del regnerier kan jeg godt komme
fra Eulers formel til ovenstående.

> Hvordan udleder man den?

Er man så heldig, at der er nogen, der kender historien
bag Eulers formel?

--
Jens Axel Søgaard