---

Hej

Hvordan finder jeg grænseværdien af

lim   _lg(n!)_
n->oo   lg(n^n)


Mathcad fortæller mig grænseværdien er 1, men det er langtfra noget jeg
vil stole på. Den ligger mellem ½ og 1 - det er jeg overbevist om, men
hvordan ser jeg hvad den EGENTLIGE grænseværdi er eller kan man ikke
komme tættere på.


Mvh / Preben

--
If your Dell laptop is unstable, try change the power supply - it works!
But the Dell will still stink! Nothing can change that!!!

---

Preben wrote:
>
> Hvordan finder jeg grænseværdien af
>
> lim _lg(n!)_
> n->oo lg(n^n)
>
> Mathcad fortæller mig grænseværdien er 1, men det er langtfra noget jeg
> vil stole på.

Stirlings række (formel (21) på siden
http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html ) giver så vidt jeg kan se
Mathcad ret (idet jo lg(n^n)=n·lg(n) naturligvis). Så kan man spørge om
du vil bevise Stirlings formel.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Preben wrote:
>
>>Hvordan finder jeg grænseværdien af
>>
>> lim _lg(n!)_
>>n->oo lg(n^n)
>>
>>Mathcad fortæller mig grænseværdien er 1, men det er langtfra noget jeg
>>vil stole på.
>
>
> Stirlings række (formel (21) på siden
> http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html ) giver så vidt jeg kan se
> Mathcad ret (idet jo lg(n^n)=n·lg(n) naturligvis). Så kan man spørge om
> du vil bevise Stirlings formel.
>


Sjovt nok - Mathematica ville ikke løse den..

Hmm.. men det er jo lg(n!)/lg(n^n)
dvs. svarer jo til (lg(n) + lg(n-1) + ... + lg(2) + lg(1))/(lg(n) +
lg(n) + ... + lg(n) + lg(n))

man kan vel skrive at grænseværdien er
lim >= n/2*lg(n/2) / n*lg(n) = 1/2


Det vil jo aldrig blive én. lg(n!) er jo væsentligt mindre end lg(n^n),
men selvfølgelig er uendelighedsbegrebet jo en svær ting at have med at
gøre.. Jeg vil lige kigge lidt nærmere på ham Stirling.. Han var jo
måske ikke så dum igen *gg*



/ Preben

--
If your Dell laptop is unstable, try change the power supply - it works!
But the Dell will still stink! Nothing can change that!!!

---

Preben wrote:
> lim _lg(n!)_
> n->oo lg(n^n)

Stirlings approximation:
log(n!) approx= n log(n)-n

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

> Hvordan finder jeg grænseværdien af
>
> lim _lg(n!)_
> n->oo lg(n^n)


Hej Alle - Mange tak for Jeres svar. Det er lækkert at vide nogen kender
til Stirlings rækkeudvikling når jeg nu ikke lige gjorde det. Tak for
det i skarpe matematikere/dataloger som har kendskab til den slags..

Jeg er kommet frem til:

ln(n!) ~ ½ln(2Pi) + (n + ½)ln(n) - n + 1/12n^-1 - ...

Og da lg(n!)/lg(n^n) kan skrives som (ln(n!)/ln(2)) / (ln(n^n)/ln(2)) =
ln(n!)/ln(n^n)

Dvs. vores grænseværdi bliver således:

lim ln(n!)/ln(n^n) = (½ln(2Pi) + (n + ½)ln(n) - n + 1/12 n^-1) / n*ln(n)

Dvs. vi kan hurtigt blive enige om at 1/12 n^-1 går mod nul:

lim = ½( ln(2Pi)/n*ln(n) + ln(n)/n*ln(n) ) + n*ln(n)/n*ln(n) - n/n*ln(n)
= ½( 0 + 1/n ) + 1 - 1/ln(n)
= ½( 0 + 0 ) + 1 - 0
= 1


Takker for Jeres hjælp og her en afslutning på mit spørgsmål!


Mvh / Preben


--
If your Dell laptop is unstable, try change the power supply - it works!
But the Dell will still stink! Nothing can change that!!!