Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:
> Her er en lille opgave til folk der keder sig, eller som savner et
> påskud for ikke at gøre deres sure pligter:
Jeg vælger den sidste :)
> Lad os kalde et naturligt tal n for »meget rundt« hvis det har følgende
> egenskab: For ethvert naturligt tal a der er mindre end n, gælder at
> hvis a er indbyrdisk primisk med n, så er a enten 1 eller et primtal.
>
> Eksempelvis er 12 et meget rundt tal idet alle tallene 1,5,7,11 er
> enten 1 eller primtal.
>
> Opgaven (ikke alt for svær): Bestem samtlige meget runde tal.
En alternativ beskrivesle af meget runde tal:
Alle tal, hvor kvaratet af det mindste primtal der ikke går op i
tallet, er større end tallet.
(da kvadratet på det primtal er det mindste sammensatte tal der er
indbyrdes primisk med vores tal. Hvis der er noget sammensat tal der
er mindre end og indbyrdesk primisk med det valgte tal, så er det
mindste også)
For at få overblik tjekker vi lige de første tyve tal
2 triviel
3 triviel
4 - ja, 3*3 er større
5 - nej, 2*2 er mindre (gælder alle ulige tal herfra)
6 - ja, < 5*5
8 - ja, < 3*3
10 - nej, > 3*3
12 - ja, < 5*5
14 - nej, > 3*3
16 - nej, > 3*3
18 - ja, < 5*5
20 - nej, > 3*3
Det ser ud til at et krav er at alle primfaktorer er mindre end
alle primtal der ikke er faktorer i tallet. Er det nødvendigt eller
tilstrækkeligt?
Tilstrækkeligt: Nej. 2^4 fejler.
Nødvendigt: Ja. Bevis ved viften med hånden.
hvis x = 2^k_1 + 3^k_2 + ... + p_n^k_n
og k_i (i<n, i minimal) er nul, så er p_i^2 < x.
da 2*3*...*p(i-1) > pi (fordi, viften med hånden, sådan er det bare. Er
det ikke?).
Så vi blev lidt klogere. Er der en grænse hvor det ikke holder mere, hvor
der ikke kan være flere meget runde tal?
2 < 3*3
2*3 = 6 < 5*5
2*3*5 = 30 < 7*7
2*3*5*7 = 210 > 11*11
Så jeg vil vædde med at der ingen meget runde tal er over 49.
Så er der jo bare at fortsætte rækken fra før op til 49.
Vi kan droppe de ulige tal, da de er større end 2*2 og indbyrdes
primisk med det.
22 - nej, >3*3
24 - ja, <5*5
26 - nej, >5*5
28 - nej, >5*5
30 - ja, < 7*7
32,34,36,38 - nej, > 5*5 (og tre af dem også >3*3)
40 - nej, > 3*3
42,44,46,48 - nej, > 5*5
Altså, de meget runde tal er:
[2,3,4,6,8,12,18,30]
Kun lidt viften med hænderne undervejs :)
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
Art D'HTML: <URL:
http://www.infimum.dk/HTML/randomArtSplit.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'