---

Jeg sidder og prøver på at finde
lim_{z->0} z*log(Gamma(z))
hvor z er kompleks.

(Gamma er Eulers gammfunktion.)
Jeg ved at grænseværdien må være 0, hvis den findes, for det er nemt nok
at regne ud grænseværdien ud når man kommer ind ad den positive reelle
akse.

Jeg kan ikke tro at det er særlig svært, men jeg kan ikke få den rigtige
idé.

Nogen der kan hjælpe?

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> Jeg sidder og prøver på at finde
> lim_{z->0} z*log(Gamma(z))
> hvor z er kompleks.

Gå ud fra formel (7) for ln o Gamma på
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html:

ln(Gamma(z)) = - gamma*z - ln z + sum_k over F(z/k)

hvor F er analytisk i 0 med F(0)=F'(0)=0. De to første led går let
mod 0 når vi ganger med z. Hvad angår den uendelige række kan vi
taylorekspandere F til anden grad:

F(w) = F"(0)w² + o(w²)

og vurdere

|F(w)| < c|w|²

for et passende c og tilstrækkelig små w. Derfor har vi

|sum_k over F(z/k)| < sum_k over c|z/k|²
= c|z|²*sum_k over (1/k²)
= c|z|²*zeta(2)
= |z|²*c*pi²/6

hvorfor hele den uendelige række går mod 0 for z->0. Det bliver den
naturligvis ved med når vi ganger med z. Ergo er din grænseværdi 0.

--
Henning Makholm "Nemo enim fere saltat sobrius, nisi forte insanit."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Jeg sidder og prøver på at finde
> > lim_{z->0} z*log(Gamma(z))
> > hvor z er kompleks.
>
> Gå ud fra formel (7) for ln o Gamma på
> http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html:
>
> ln(Gamma(z)) = - gamma*z - ln z + sum_k over F(z/k)

Samme side gør også noget ud af at der er flere måder at udvide
funktionen ln(Gamma(x)) af en reel variabel x til en funktion af en
kompleks variabel. Man kan enten bare bruge den sædvanlige konvention
for den komplekse logaritmefunktion, eller man kan opfatte logGamma
som én funktion af en reel variabel og så fortsætte denne funktion
analytisk. Det giver åbenbart en forskel.

Jeg er ikke klar over om denne bemærkning er relevant for løsningen
af (eller fortolkningen af) Henriks problem.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Man kan enten bare bruge den sædvanlige konvention for den komplekse
> logaritmefunktion, eller man kan opfatte logGamma som én funktion af
> en reel variabel og så fortsætte denne funktion analytisk. Det giver
> åbenbart en forskel.

Begge definitioner er jo analytiske fortsættelser af den reelle
funktion - forskellen er hvor man lægger de uundgåelige
diskontinuiteter.

> Jeg er ikke klar over om denne bemærkning er relevant for løsningen
> af (eller fortolkningen af) Henriks problem.

Lidt relevant er den vel. Grænseværdien er jo ihvertfald ikke 0 for
*ethvert* valg af komplekse logaritmer - fjenden kan jo fx vælge
imaginærdelen af ln(gamma(z)) større og større desto mindre
imaginærdelen af z af z er, så der slet ikke er nogen grænseværdi. Men
det ville jo være en temmelig ukonventionel opslidsning.

Hvis bare vi går ud fra en opslidsning, hvor der kun er endelig mange,
tilstrækkelig lige, snit i Riemannfladen der når 0, kan man stadig
udlede grænseværdien 0 fra mit argument - for forskellen mellem den
vilkårlige opslidsning og den standardvariant jeg gik ud fra, vil så
altid være begrænset (af n*2pi for et passende n). Derfor går
forskellen gange z også mod 0.

--
Henning Makholm "That's okay. I'm hoping to convince the
millions of open-minded people like Hrunkner Unnerby."

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Man kan enten bare bruge den sædvanlige konvention for den komplekse
> > logaritmefunktion, eller man kan opfatte logGamma som én funktion af
> > en reel variabel og så fortsætte denne funktion analytisk. Det giver
> > åbenbart en forskel.
>
> Begge definitioner er jo analytiske fortsættelser af den reelle
> funktion - forskellen er hvor man lægger de uundgåelige
> diskontinuiteter.

Ja. Men så vidt jeg forstår har Log°Gamma hvor Log er den sædvanlige
hovedgren for logaritmen (dens hovedværdi) en indviklet struktur af
forgreningssnit (altså linjer langs hvilke den er diskontinuert).
Forgreningssnittene for Log°Gamma er jo de z-punkter som Gamma sender
over i et negativt reelt tal.

Den anden funktion, LogGamma, som ikke laves som en komposition af
komplekse funktioner, kan derimod gøres så pæn at den kun har den
negative reelle akse som forgreningssnit.

Funktionen Gamma i sig selv er jo i øvrigt meromorf (og den har altså
ikke flere »grene«). Og funktionen 1/Gamma er hel.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Begge definitioner er jo analytiske fortsættelser af den reelle
> > funktion - forskellen er hvor man lægger de uundgåelige
> > diskontinuiteter.

> Ja. Men så vidt jeg forstår har Log°Gamma hvor Log er den sædvanlige
> hovedgren for logaritmen (dens hovedværdi) en indviklet struktur af
> forgreningssnit (altså linjer langs hvilke den er diskontinuert).

Ja, det fremgik af tegningerne i MathWorld.

> Funktionen Gamma i sig selv er jo i øvrigt meromorf (og den har altså
> ikke flere »grene«). Og funktionen 1/Gamma er hel.

Ok, det kunne jeg bare ikke lige finde en pålidelig påstand om. Hvis
det er tilfældet, bør det være noget lettere. Så kan vi skrive

z*Ln(Gamma(z)) = -z*Ln(1/Gamma(z))

der med hensyn til konvergens må opføre sig som

-z*Ln(p(z))

for et passende polynomium p i nærheden af 0 (med p(0)=0). Derfra
burde man kunne komme til konvergens mod 0 med et argument a la

|-z*Ln(p(z))| = |z|*|Ln(p(z))|

Re(Ln(p(z))) = O(ln(c|z|^n)) = O(n*ln(|z|)) = O(ln(|z|))

Im(Ln(p(z))) kan altid vælges begrænset af ±pi.

--
Henning Makholm "Punctuation, is? fun!"

---

Henning Makholm wrote:
>
> > Funktionen Gamma i sig selv er jo i øvrigt meromorf (og den har altså
> > ikke flere »grene«). Og funktionen 1/Gamma er hel.
>
> Ok, det kunne jeg bare ikke lige finde en pålidelig påstand om.

At funktionen 1/Gamma er hel, kan man læse flere steder på nettet
hvis man altså af en eller anden grund søger på "entire function" og
"gamma function". Jeg har bl.a. fundet følgende lille note om Gamma:

http://www.galcit.caltech.edu/~dale/acm95b/Gamma.pdf


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>
>
> > Jeg sidder og prøver på at finde
> > lim_{z->0} z*log(Gamma(z))
> > hvor z er kompleks.

> naturligvis ved med når vi ganger med z. Ergo er din grænseværdi 0.

Tak for hjælpen.

Angående logaritmerne så har jeg nok et par parenteser for meget, for
jeg mente egentlig logGamma(z) (den der kun er diskontinuert på den
negative reelle akse), mens den naturligste fortolkning af det jeg skrev
er den sammensatte afbildning (hvis diskontinuiteter er mere spredte).

..Henrik

--
"Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
-sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal