---

Hejsa

Kan det lade sig gøre med en eller anden formel at beregne en decimal i pi
alene ud fra hvilket nr det har??

På forhånd tak
Søren

---

In <BNIha.2459$mI2.499182@news000.worldonline.dk> "Søren \"Pengman\" Pedersen" <pengmeister@hotmail.com> writes:

>Hejsa

>Kan det lade sig gøre med en eller anden formel at beregne en decimal i pi
>alene ud fra hvilket nr det har??

Nej.

/Martin

---

tusk@daimi.au.dk (Martin Moller Pedersen) writes:

> In <BNIha.2459$mI2.499182@news000.worldonline.dk> "Søren \"Pengman\" Pedersen" <pengmeister@hotmail.com> writes:

> >Kan det lade sig gøre med en eller anden formel at beregne en decimal i pi
> >alene ud fra hvilket nr det har??
>
> Nej.

"Incredibly, there are algorithms that can calculate the nth decimal
of pi without calculating the previous digits! Simon Plouffe derived
one such algorithm that works in hexadecimal. He also is listed in the
1975 Guinness Book of World Records for reciting 4096 digits of pi
from memory. "

<URL:http://www.people.fas.harvard.edu/~dgreenf/math.html>

Det skulle give noget at søge på. :)
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
Art D'HTML: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/randomArtSplit.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

In <znnc7dwd.fsf@hotpop.com> Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:

>tusk@daimi.au.dk (Martin Moller Pedersen) writes:

>> In <BNIha.2459$mI2.499182@news000.worldonline.dk> "Søren \"Pengman\" Pedersen" <pengmeister@hotmail.com> writes:

>> >Kan det lade sig gøre med en eller anden formel at beregne en decimal i pi
>> >alene ud fra hvilket nr det har??
>>
>> Nej.

>"Incredibly, there are algorithms that can calculate the nth decimal
>of pi without calculating the previous digits! Simon Plouffe derived
>one such algorithm that works in hexadecimal. He also is listed in the
>1975 Guinness Book of World Records for reciting 4096 digits of pi
>from memory. "

><URL:http://www.people.fas.harvard.edu/~dgreenf/math.html>
>
>Det skulle give noget at søge på. :)
>/L
>--
>Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
> Art D'HTML: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/randomArtSplit.html>
> 'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

Her er lidt om tidskompleksiteten af algoritmerne (afhængig af hvad
man kalder en formel og hvad man kalder en algoritme, kan vi vist
svare ja eller nej til Sørens spørgsmål, som det passer os):
http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_n2/pi_n2.html

Eller man kan krybe udenom og komme med en formel som
int(pi * 10^n) modulo 10, men det er vel snyd ?

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Kai Birger Nielsen skrev:

>Eller man kan krybe udenom og komme med en formel som
>int(pi * 10^n) modulo 10, men det er vel snyd ?

Det kommer an på om du kan lave en algoritme på det grundlag som
ikke kræver beregning af de første cifre. Jeg vil nok mene at dit
udgangspunkt er lidt skidt set i lyset af det krav.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

In <nipe8vovm71ejjvck55m97f1d6sfkj6a0t@news.stofanet.dk> Bertel Lund Hansen <nospamfor@lundhansen.dk> writes:

>Kai Birger Nielsen skrev:

>>Eller man kan krybe udenom og komme med en formel som
>>int(pi * 10^n) modulo 10, men det er vel snyd ?

>Det kommer an på om du kan lave en algoritme på det grundlag som
>ikke kræver beregning af de første cifre. Jeg vil nok mene at dit
>udgangspunkt er lidt skidt set i lyset af det krav.

>--
>Bertel
>http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

Jeg vedgik jo også at det nok var snyd, men det er da lidt
interessant at overveje hvad vi mener, når vi skriver "formel".
(Det er vel som sådan en formel, der giver den n'te decimal ?)

Fx er der algoritmer til at beregne pi, som giver dobbelt så
meget decimaler for hvert skridt, mens Eulers konstant er
mere besværlig (til gengæld er der ingen, der ved at Eulers
konstant er irrationel, så teoretisk set kan det være at der
er en helt simpel formel for den n'te decimal af den).
Det er lidt ligesom det i praksis ubrugelige polynomie, hvis
positive værdier præcis er primtallene.

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Kai Birger Nielsen skrev:

>Jeg vedgik jo også at det nok var snyd, men det er da lidt
>interessant at overveje hvad vi mener, når vi skriver "formel".
>(Det er vel som sådan en formel, der giver den n'te decimal ?)

Din formel opfylder ikke det krav der blev stillet. Den kan ikke
angive den n'te decinmal uden at de mellemliggende beregnes.

Du har godt nok opskrevet et talnavn for den n'te decimal, men
"den n'te decimal" er et meget kortere og lettere sådant.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Scripsit Bertel Lund Hansen <nospamfor@lundhansen.dk>

> Din formel opfylder ikke det krav der blev stillet. Den kan ikke
> angive den n'te decinmal uden at de mellemliggende beregnes.

Hvordan definerer du "uden at de mellemliggende beregnes"?

--
Henning Makholm "Joyce! May! Wayne! Carol! Majored!"

---

Henning Makholm skrev:

>Hvordan definerer du "uden at de mellemliggende beregnes"?

Nødigt.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Scripsit bnielsen@daimi.au.dk (Kai Birger Nielsen)

> (til gengæld er der ingen, der ved at Eulers konstant er irrationel,
> så teoretisk set kan det være at der er en helt simpel formel for
> den n'te decimal af den).

Taler du om 2.7182818...? Jeg troede det var velkendt at den ikke
alene er irrationel men transcendental. (Men jeg indrømmer at jeg
aldrig har set det bevist).

Hm, Mathworld nævner også en "Euler-Mascheroni-konstant", som er
grænseværdien for forskellen mellem den harmoniske rækkes afnitssummer
og den naturlige logaritme. Det angives at man ikke ved om den er
rationel eller ej.

--
Henning Makholm "Det er sympatisk du håner dig selv. Fuldt
berettiget. Men det gør dig ikke til en kristen."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit bnielsen@daimi.au.dk (Kai Birger Nielsen)
>
> > (til gengæld er der ingen, der ved at Eulers konstant er irrationel,
> > så teoretisk set kan det være at der er en helt simpel formel for
> > den n'te decimal af den).
>
> Taler du om 2.7182818...? Jeg troede det var velkendt at den ikke
> alene er irrationel men transcendental. (Men jeg indrømmer at jeg
> aldrig har set det bevist).

Hedder det ikke "transcendent" på dansk? Eller er der valgfrihed?
Beviset for irrationaliteten af e er ret let at vise; det er stort set
samme måde som man viser irrationaliteten af \sqrt{2}. Transcendensen
er efter sigende _meget_ svær at bevise.

>
> Hm, Mathworld nævner også en "Euler-Mascheroni-konstant", som er
> grænseværdien for forskellen mellem den harmoniske rækkes
> afnitssummer og den naturlige logaritme. Det angives at man ikke ved
> om den er rationel eller ej.

Det er den der i daglig tale normalt kaldes Eulers konstant, i hvert
fald i de lærebøger jeg er faldet over. I Mathematica hedder den
EulerGamma. Fra hjælpefunktionen: "EulerGamma is Euler's constant
\[Gamma], with numerical value \[TildeEqual]0.577216."

Mvh

Rasmus Villemoes

--

---

Rasmus Villemoes wrote:

> Hedder det ikke "transcendent" på dansk? Eller er der valgfrihed?

Jeg har aldrig hørt folk, jeg stoler på, sige andet end transcendent.

> Beviset for irrationaliteten af e er ret let at vise; det er stort set
> samme måde som man viser irrationaliteten af \sqrt{2}. Transcendensen
> er efter sigende _meget_ svær at bevise.

Det er vel, som man tager det. Vi to har en aftale i morgen. Vil du se
et bevis?

/Michael

---

In <yahof3rvpv9.fsf@pc-043.diku.dk> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

>Scripsit bnielsen@daimi.au.dk (Kai Birger Nielsen)

>> (til gengæld er der ingen, der ved at Eulers konstant er irrationel,
>> så teoretisk set kan det være at der er en helt simpel formel for
>> den n'te decimal af den).


>Hm, Mathworld nævner også en "Euler-Mascheroni-konstant", som er
>grænseværdien for forskellen mellem den harmoniske rækkes afnitssummer
>og den naturlige logaritme. Det angives at man ikke ved om den er
>rationel eller ej.

Mathworld har sikkert ret, men jeg mindes at den kun blev
kaldet Euler-konstant, da jeg havde begyndermatematik paa universitet
for mange aar siden.

/Martin

---

Martin Møller Pedersen skrev:

>> [ Mathworld nævner også en "Euler-Mascheroni-konstant" ]
>
> Mathworld har sikkert ret, men jeg mindes at den kun blev
> kaldet Euler-konstant, da jeg havde begyndermatematik paa
> universitet for mange aar siden.

Jeg kender den osse kun som Euler-konstanten, men det er dog
ikke så mange år siden at man ikke var gået over til bolle-å.


// Klaus

--
><>    unselfish actions pay back better

---

Henning Makholm wrote:
>
> > (til gengæld er der ingen, der ved at Eulers konstant er irrationel,
> > så teoretisk set kan det være at der er en helt simpel formel for
> > den n'te decimal af den).
>
> Taler du om 2.7182818...? Jeg troede det var velkendt at den ikke
> alene er irrationel men transcendental. (Men jeg indrømmer at jeg
> aldrig har set det bevist).

Når folk siger »Eulers konstant«, mener de som regel tallet

gamma = 0,5772...

men indimellem ser man folk der irriterende nok kalder

e = 2,718...

for »Eulers konstant«.

For at undgå forvirring kan man kalde den første for Euler-Mascheronis
konstant, og blot referere til den sidste som tallet e (grundtallet for
den naturlige logaritme).

Om irrationaliteten af Euler-Mascheronis konstant véd man ganske rigtigt
ingenting. Måske er decimalbrøken endelig ...

At tallet e er transcendent er velkendt (som du siger), bevíst af
Hermite i 1873. Den svagere påstand at e er irrational, kan man finde
et helt elementært bevis for i bogen W. Rudin: Principles of
Mathematical Analysis (bogen kaldes »lille Rudin« af nogle).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

In <3E887835.8A6BCE29@jeppesn.dk> Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

>At tallet e er transcendent er velkendt (som du siger), bevíst af
>Hermite i 1873. Den svagere påstand at e er irrational, kan man finde
>et helt elementært bevis for i bogen W. Rudin: Principles of
>Mathematical Analysis (bogen kaldes »lille Rudin« af nogle).

Morsomt. Den kunne jeg nå fra min stol. Hmm, s.49 i min udgave.
Det er standardtricket: Hvis du har for mange for gode rationelle
tilnærmelser, kan du ikke være rationel
Der er for resten også et kort bevis for at pi er
irrationel, men det kan jeg ikke huske i hovedet.
(Ivan Niven på s 276 i Pi, a source book.).

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Kai Birger Nielsen wrote:
> In <znnc7dwd.fsf@hotpop.com> Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com> writes:
>>tusk@daimi.au.dk (Martin Moller Pedersen) writes:
>>>In <BNIha.2459$mI2.499182@news000.worldonline.dk> "Søren \"Pengman\" Pedersen" <pengmeister@hotmail.com> writes:

>>>>Kan det lade sig gøre med en eller anden formel at beregne en decimal i pi
>>>>alene ud fra hvilket nr det har??
>>>
>>>Nej.

Ja - det kan det.

>>"Incredibly, there are algorithms that can calculate the nth decimal
>>of pi without calculating the previous digits! Simon Plouffe derived
>>one such algorithm that works in hexadecimal. He also is listed in the
>>1975 Guinness Book of World Records for reciting 4096 digits of pi
>>from memory. "

Og siden hen er den forbedret til at virke i et vilkårligt talsystem.

> Eller man kan krybe udenom og komme med en formel som
> int(pi * 10^n) modulo 10, men det er vel snyd ?

Ja.

Vi har snakket om det før her i gruppen.

Her er referencen til Bellards artikel fra 1996 med tilhørende C-program:

<http://groups.google.com/groups?q=pi+dk.videnskab+n%27te+ciffer&hl=da&lr=&ie=UTF-8&selm=eltkp5cj.fsf%40soegaard.net&rnum=1>

Og her er et program af undertegnede:

<http://groups.google.com/groups?q=scheme+pi+dk.videnskab&hl=da&lr=&ie=UTF-8&selm=snhrn35u.fsf%40soegaard.net&rnum=2>


--
Jens Axel Søgaard

---

Mange tak for hjælpen!!

Det var noget i den stil jeg ledte efter.

Søren

---

Søren wrote:
> Mange tak for hjælpen!!
>
> Det var noget i den stil jeg ledte efter.

Jeg opdager nu, at Fabrice Bellard har flyttet hjemmeside.
Artiklen kan findes her:

http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_n2/pi_n2.html

Artiklen er en forbedring af Simon Plouffes version,
som kan findes her

http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/

(sammen med en masse gode pi-links).

Bellards pi-side er her:

http://fabrice.bellard.free.fr/pi/

og her er C-programmet.

--
Jens Axel Søgaard