---

To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.

Nu udspilles følgende dialog:

Hr.P : Jeg kender ikke tallene.
Hr.S : Jeg vidste, at du ikke gjorde. Jeg kender dem heller ikke.
Hr.P : Nu kender jeg tallene.
Hr.S : Nu kender jeg dem også.

I lyset af ovenstående, hvilke to tal er der tale om?

--
Jens Axel Søgaard

---

9 og 3

---
"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> wrote in message
news:3e782209$0$31983$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
> Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.
>
> Nu udspilles følgende dialog:
>
> Hr.P : Jeg kender ikke tallene.
> Hr.S : Jeg vidste, at du ikke gjorde. Jeg kender dem heller ikke.
> Hr.P : Nu kender jeg tallene.
> Hr.S : Nu kender jeg dem også.
>
> I lyset af ovenstående, hvilke to tal er der tale om?
>
> --
> Jens Axel Søgaard
>
>

---

> 9 og 3

Hvordan kommer du frem til lige præcis disse to?

Mvh Thomas

---

"Bamsefar" <nospam@nospam.dk> writes:

> 9 og 3

Nej, så ville hr. S ikke have vidst at hr. P ikke kendte dem, idet
primtallene 5 og 7 også summer op til 12.

--
"When you make an omelette, sometimes you've got to kill a few people."

---

Stefan Holm <nospam@algebra.dk> writes:

> "Bamsefar" <nospam@nospam.dk> writes:
>
> > 9 og 3
>
> Nej, så ville hr. S ikke have vidst at hr. P ikke kendte dem, idet
> primtallene 5 og 7 også summer op til 12.

Et endnu simplere modargument er at P ville have kendt dem fra starten,
idet produktet 27 kun på én måde kan skrives som et produkt af to tal.

..Henrik

--
Jacob: Because the theoreticians told me.
Prof. Vassilicos: Why do you believe theoreticians?

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse news:3e782209$0$31983$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
> Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.
>
Og det er heltal ?

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse
> news:3e782209$0$31983$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>>
>> To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
>> Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.
>>
> Og det er heltal ?

Ja.

--
Jens Axel Søgaard

---

Vil nogen skære dette helt ud i pap - jeg fatter simpelthen ikke lige, hvad
det her går ud på?

---

jeg er igang med at løse den,..

svaret kommer lige om lidt...


"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> wrote in message
news:3e782209$0$31983$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
> Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.
>
> Nu udspilles følgende dialog:
>
> Hr.P : Jeg kender ikke tallene.
> Hr.S : Jeg vidste, at du ikke gjorde. Jeg kender dem heller ikke.
> Hr.P : Nu kender jeg tallene.
> Hr.S : Nu kender jeg dem også.
>
> I lyset af ovenstående, hvilke to tal er der tale om?
>
> --
> Jens Axel Søgaard
>
>

---

"Bamsefar" <nospam@nospam.dk> skrev i en meddelelse
news:3e786752$0$7659$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...
> jeg er igang med at løse den,..
>
> svaret kommer lige om lidt...

Okay... Så venter alle os andre med at gi' svaret så du osse har en
chance... :)

- Martin

---

hejsa....

m=2
n=3
/F

---

Finn Bindeballe <finnb@post6.tele.dk> writes:

> hejsa....
>
> m=2
> n=3

Nej, for så ville S kende tallene fra starten.

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

Vi simplificerer lige problemet:

Mængden Q : de m,n 2<=m<=n<=4

m = 2, n=2,3,4
m = 3, n=3,4
m = 4, n=4


Givet m,n

P = mn
S = m+n

Muligheder:

m = 2 : P = 4,6,8 ; S = 4,5,6
m = 3 : P = 9,12 ; S = 6,7
m = 4 : P = 16, S = 8

Løsninger

P = 16 medfører at m og n er 4
P = 9 medfører at m er 3 og n er 3
P = 12 medfører at m er 3 og n er 4
P = 4 medfører at m er 2 og n er 2
P = 6 medfører at m er 2 og n er 3
P = 8 medfører at m er 2 og n er 4

S = 8 medfører at m=4 og n=4
S = 6 medfører at m=3 og n=3
S = 7 medfører at m=3 og n=4
S = 4 medfører at m=2 og n=2
S = 5 medfører at m=2 og n=3
S = 6 medfører at m=2 og n=4

I det her tilfælde behøver Hr P og Hr S
ikke at snakke sammen for at løse
problemet. Men hvis den mængde Q som
m og n tilhører udvides, vil der
være et P (og sikkert også et S) hvortil der er flere løsninger.
Derfor skal Hr P og Hr S kommunikere sammen
for at de forkerte løsninger kan udelukkes.

---

Hvis man vil løse opgaven skal
man blot anvende samme princip som
jeg har gjort...det tager lang tid, men
sådan løses opgaven...tror jeg nok


"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> wrote in message
news:3e782209$0$31983$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
> Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.
>
> Nu udspilles følgende dialog:
>
> Hr.P : Jeg kender ikke tallene.
> Hr.S : Jeg vidste, at du ikke gjorde. Jeg kender dem heller ikke.
> Hr.P : Nu kender jeg tallene.
> Hr.S : Nu kender jeg dem også.
>
> I lyset af ovenstående, hvilke to tal er der tale om?
>
> --
> Jens Axel Søgaard
>
>

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

Jeg ved ikke om følgende sætning har nogen større værdi, men om ikke kan
kan beviset måske tjene til illustration af værdien af hr. P's udsagn.

Sætning: Goldbachs formodning medfører at summen af m og n er ulige.

Bevis (ved kontraposition): Antag s=m+n er lige, så giver Goldbachs
formodning at s kan skrives som p+q, hvor p og q er to primtal. Det
betyder at hr. S ikke kan være sikker på at hr. P ikke kender tallene,
thi produktet (som hr. P har) kunne være pq, men i så fald ville hr. P
kende tallene. Quod erat demonstrandum.

Bemærkning: Goldbachs formodning er vist for så små tal som vi arbejder
med, og derfor kan vi slutte at summen (det tal som hr. S har) er
ulige.

Hvis man vil forsøge sig frem udelukker dette halvdelen af alle tilfælde
(så er der kun 2425 muligheder tilbage), hvis nogen vil forsøge sig af
den vej, kan jeg oplyse at summen er mindst 17 (det udelukker yderligere
21 muligheder).

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

Henrik Christian Grove wrote:
>
> Sætning: Goldbachs formodning medfører at summen af m og n er ulige.
>
> Bevis (ved kontraposition): Antag s=m+n er lige, så giver Goldbachs
> formodning at s kan skrives som p+q, hvor p og q er to primtal. Det

Man hvordan véd vi at både p og q ligger inden for det lovlige interval,
altså er under 99? Som jeg forstår opgaven, er hr. S. og hr. P. infor-
meret om fra hvilket interval m og n kommer.

> betyder at hr. S ikke kan være sikker på at hr. P ikke kender tallene,
> thi produktet (som hr. P har) kunne være pq, men i så fald ville hr. P
> kende tallene. Quod erat demonstrandum.


--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Henrik Christian Grove wrote:
> >
> > Sætning: Goldbachs formodning medfører at summen af m og n er ulige.
> >
> > Bevis (ved kontraposition): Antag s=m+n er lige, så giver Goldbachs
> > formodning at s kan skrives som p+q, hvor p og q er to primtal. Det
>
> Man hvordan véd vi at både p og q ligger inden for det lovlige interval,
> altså er under 99?

Det gør vi nok ikke.

> Som jeg forstår opgaven, er hr. S. og hr. P. infor-
> meret om fra hvilket interval m og n kommer.

Det er også min forståelse, ellers tror jeg ikke det kan lade sig gøre.

Det fremgår af følgende tabel, at de tilfælde hvor det går galt, er
174(=101+73), 182, 184, 188, 190, 192, 196 og 198:
104=61+43, 106=53+53, 108=61+47, 110=67+43, 112=59+53, 114=61+53,
116=73+43, 118=59+59, 120=61+59, 122=61+61, 124=71+53, 126=67+59,
128=97+31, 130=71+59, 132=71+61, 134=73+61, 136=83+53, 138=71+67,
140=73+67, 142=71+71, 144=73+71, 146=73+73, 148=89+59, 150=79+71,
152=79+73, 154=83+71, 156=83+73, 158=79+79, 160=89+71, 162=83+79,
164=97+67, 166=83+83, 168=89+79, 170=97+73, 172=89+83
176=97+79, 178=89+89, 180=97+83
186=97+89
194=97+97

..Henrik

--
"Gud har skabt de hele tal, alt andet er menneskeværk" - Kronecker
"Gud har 'INTET' skabt. Alt andet er menneskeværk" - Flemming Topsøe

---

Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:

> Det fremgår af følgende tabel, at de tilfælde hvor det går galt, er
> 174(=101+73), 182, 184, 188, 190, 192, 196 og 198:

Der mangler lige en bemærkning om at det er oplagt at hvis summen er
mindre end eller lig 100, er det oplagt at de to primtal er mindre end 100.

(Og hvis nogen skulle være i tvivl, havde jeg troet det ville gå galt
tidligere, ellers havde jeg ikke givet mig til at lave tabellen.)

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

>altså er under 99? Som jeg forstår opgaven, er hr. S. og hr. P. infor-
>meret om fra hvilket interval m og n kommer.

Mon ikke der mangler en præmis om at de to oplyste tal også
ligger i det angivne interval?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Altså - al den snak om primtal mm. - hvor kommer den fra?

Som jeg læser opgaven er der to tal, der begge er lig eller mindre end 99 og
større end eller lig med 2. Disse vælges og m betegner det midnste af
disse.
Opgaven er at gætte hvilke to tal - vi kender ikke summen eller produktet -
det fremgår ingen steder i teksten at disse skal indeholdes i et bestemt
interval.

Jeg vælger mig 98 og 99 og lader m betegne 98.
De opfylder for mig at se kriterierne...

Det er muligt, at jeg ikke fatter en sk.., men hvad er det egentlig, det her
går ud på...??

---

Rømer skrev:

>Altså - al den snak om primtal mm. - hvor kommer den fra?

Hvis jeg fortæller dig at tallene p og q har produktet 6, og at
begge er større end 2, kan du så gætte tallene?

Prøv også med 15, 39 og 91.

Hvis du nu ved at hr. P *ikke* kan gætte faktorerne i hans tal,
så ved du at tallet ikke kan beregnes som produktet af to
primtal.

Det hænger sammen med at primtal ikke kan opløses i (andre)
faktorer.

>Som jeg læser opgaven er der to tal, der begge er lig eller mindre end 99 og
>større end eller lig med 2. Disse vælges og m betegner det midnste af
>disse.

>Opgaven er at gætte hvilke to tal - vi kender ikke summen eller produktet -
>det fremgår ingen steder i teksten at disse skal indeholdes i et bestemt
>interval.

>Jeg vælger mig 98 og 99 og lader m betegne 98.
>De opfylder for mig at se kriterierne...

Nej, for de skal også være af en sådan beskaffenhed at P og S's
bemærkninger passer.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen <nospamfor@lundhansen.dk> writes:

> Rømer skrev:
>
> >Altså - al den snak om primtal mm. - hvor kommer den fra?
>
> Hvis jeg fortæller dig at tallene p og q har produktet 6, og at
> begge er større end 2, kan du så gætte tallene?

Jeg kan godt.

> >Opgaven er at gætte hvilke to tal - vi kender ikke summen eller produktet -
> >det fremgår ingen steder i teksten at disse skal indeholdes i et bestemt
> >interval.
>
> >Jeg vælger mig 98 og 99 og lader m betegne 98.
> >De opfylder for mig at se kriterierne...
>
> Nej, for de skal også være af en sådan beskaffenhed at P og S's
> bemærkninger passer.

Konkret er det sådan at hvis m=98 og n=99, ville P (som kun fik oplyst
produktet 9702), ved simpelthen at beregne kvadratroden af
9702(=98,498...), kunne slutte hvad m og n var, og dermed ville have
naturligvis ikke starte sin samtale med S (som også udfra summen 197 vil
kunne gætte tallene) med at påstå at han ikke kender tallene.

Selv om jeg måske burde passe på, med at slynge flere sætninger ud i
dag, vover jeg alligevel hermed at påstå kvadratrodstricket let leder
til en overvejelse der viser at det ene tal må være mindre end eller lig
66.

..Henrik

--
"Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
-sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal

---

> Hvis du nu ved at hr. P *ikke* kan gætte faktorerne i hans tal,
> så ved du at tallet ikke kan beregnes som produktet af to
> primtal.

Og det er så her kæden springer af
Hvorfor betinger det faktum at P ikke kan gætte tallet, at det ikke kan
beregnes som produktet af to primtal?

Hvad er det, der gør, at når jeg siger "Jeg kender ikke tallene" - så er der
en der siger "aha, jeg lægger hermed til grund, at de og de betingelser skal
være opfyldte" - skønt det ikke er nævnt i opgaveformuleringen?

---

Rømer skrev:

>Hvorfor betinger det faktum at P ikke kan gætte tallet, at det ikke kan
>beregnes som produktet af to primtal?

6 kan kun opløses på én eneste måde i to faktorer (når 1 ikke må
bruges), nemlig 2*3.

Hvis jeg får stukket tallet 6 ud, skriger jeg straks begejstret:
"Jeg ved det! Jeg ved det! Det er 2 og 3 der er faktorerne". Der
er ikke andre muligheder.

Får jeg stukket 24 ud, så går jeg i tænkeboksen. Det kan nemlig
være både 2*12, 3*8, og 4*6. Så kan jeg altså ikke begejstret
hyle op om at jeg ved det.

Hvis du så sidder og ser på at jeg får et tal stukket ud og
derefter slukøret erklærer at jeg ikke aner hvad faktorerne er,
så ved du at det ikke er 6 og heller ikke et af de andre tal der
kun kan opløses på én måde - og det er netop dem der er produktet
af to primtal.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

In <8e3j7v8vn2dopsb13fg5iov1fja0ft93uo@news.stofanet.dk> Bertel Lund Hansen <nospamfor@lundhansen.dk> writes:

>Hvis du så sidder og ser på at jeg får et tal stukket ud og
>derefter slukøret erklærer at jeg ikke aner hvad faktorerne er,
>så ved du at det ikke er 6 og heller ikke et af de andre tal der
>kun kan opløses på én måde - og det er netop dem der er produktet
>af to primtal.

Det er en fejlslutning under de givne opgavebestemmelser.
27 kan her kun skrives som 3 * 9, men det er ikke et produkt af
to primtal.

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

Kai Birger Nielsen skrev:

>Det er en fejlslutning under de givne opgavebestemmelser.

Ja, jeg skulle ikke have skrevet "netop", men jeg tager én ting
ad gangen i min forklaring til Rømer.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Tak Bertel - det er lidt længe siden jeg har været kreativt logisk...jeg
bruger ikke matematikken til meget andet end at drille mine drenge i
gymnasiet med, at en 25 år gammel mat-fys stadig kan bruges lidt.
Jeg plejer normalt ikke at være helt så tung i optrækket.

---

Forklaringen er simpel:

Det handler om at der udtrækkes to tal m og n
om hvilke det gælder at 2<=m<=n<=99

Der dannes to resultater

S=m+n
P=mn

Tallet S oplyses til Hr S
og tallet P oplyses til Hr P

Hr S og Hr P kender den mængde som m og n er
udtrukket fra, men de kender ikke tallene.

Hr S har en tabel hvor han for et givet S kan
slå m og n op. Der findes x løsninger.

Hr P har også en tabel hvor han for et givet P
kan slå m og n op. Der findes y løsninger.

I tilfældet hvor x=1 og y=1 behøver de to ikke at
kommunikere sammen. I andre tilfælde er det
nødvendigt at Hr S og Hr P kommunikerer sammen
for at ukorrekte løsninger kan udelukkes.

Her er et simpelt eksempel:

Mængden Q : de m,n 2<=m<=n<=4

m = 2, n=2,3,4
m = 3, n=3,4
m = 4, n=4


Givet m,n

P = mn
S = m+n

Muligheder:

m = 2 : P = 4,6,8 ; S = 4,5,6 (*)
m = 3 : P = 9,12 ; S = 6,7
m = 4 : P = 16, S = 8

(*) ex: hvis produktet er 6 kan du ud fra hele tabellen se at m kun kan være
2 og så må n være 3

Løsninger


P = 16 medfører at m og n er 4
P = 9 medfører at m er 3 og n er 3
P = 12 medfører at m er 3 og n er 4
P = 4 medfører at m er 2 og n er 2
P = 6 medfører at m er 2 og n er 3
P = 8 medfører at m er 2 og n er 4

S = 8 medfører at m=4 og n=4
S = 6 medfører at m=3 og n=3
S = 7 medfører at m=3 og n=4
S = 4 medfører at m=2 og n=2
S = 5 medfører at m=2 og n=3
S = 6 medfører at m=2 og n=4

I det her tilfælde behøver Hr P og Hr S
ikke at snakke sammen for at løse
problemet. Men hvis den mængde Q som
m og n tilhører udvides, vil der
være et P (og sikkert også et S) hvortil der er flere løsninger.
Derfor skal Hr P og Hr S kommunikere sammen
for at de forkerte løsninger kan udelukkes.

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
> I lyset af ovenstående, hvilke to tal er der tale om?

4 og 13?

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <jml@phys.au.dk> skrev i en meddelelse news:3E78A996.738FF869@phys.au.dk...
> "Jens Axel Søgaard" wrote:
> > I lyset af ovenstående, hvilke to tal er der tale om?
>
> 4 og 13?
>
Det ser plausibelt ud. Ingen afgørende faktoriseringer i 17-summer
mens der fx er 5*23 i 28 summerne. Spørgsmålet er om der er
andre løsninger.

Mvh
Martin

---

Jens Axel Søgaard skrev:

>To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
>Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.

Jeg har lavet et program til at barbere tallene mellem 2 og 99.
Jeg har forudsat at både sum og produkt også holder sig indenfor
dette interval.

Jeg holder rede på to mængder, nemlig mulige produkter og mulige
summer.

Mulige produkter:
=============
Fjernes:
   alle primtal
   alle tal der er et produkt af to primtal
   * alle tal der ikke kan opløses i faktorer således at
   summen deraf findes blandt mulige summer
Disse er da tilbage:
18 24 28 30 42 50 52 54 60 66 70 72 76 78 90 92 96 98

* Foretages senere.

Mulige summer:
=============
Fjernes:
   alle tal der kan skrives som en sum af to primtal
   * alle tal der ikke kan opløses i addender således at
   produktet deraf findes blandt mulige produkter
Disse er da tilbage:
11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 57 83 89

Så kan jeg ikke komme længere.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen <nospamfor@lundhansen.dk> writes:

> Mulige summer:
> =============
> Fjernes:
>    alle tal der kan skrives som en sum af to primtal
>    * alle tal der ikke kan opløses i addender således at
>    produktet deraf findes blandt mulige produkter
> Disse er da tilbage:
> 11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 57 83 89
>
> Så kan jeg ikke komme længere.

Et argument for at summen ikke kan være 11:
(Jeg kalder summen s og produktet p.)

En måde at opnå s=11 er m=5 og n=6 hvilket giver p=30. P kan opstille 3
muligheder: (m=2,n=15,s=17), (m=3,n=10,s=13) og (m=5,n=6,s=11). Når S så
siger at han ved at P ikke kender tallene, kan P udelukke muligheden med
s=13, idet 13 (som du har bemærket) kan skrives som en sum af to
primtal. P kan imidlertid hverken udelukke muligheden med s=11 eller
muligheden med s=17, og kan altså ikke efterfølgende påstå at kende
tallene.

..Henrik

--
"The ultimate goal of mathematics is to eliminate all need for
intelligent though" - Graffiti af ukendt i 'Concrete Mathematics'

---

Henrik Christian Grove skrev:

>En måde at opnå s=11 er m=5 og n=6 hvilket giver p=30. P kan opstille 3
>muligheder: (m=2,n=15,s=17), (m=3,n=10,s=13) og (m=5,n=6,s=11). Når S så
>siger at han ved at P ikke kender tallene, kan P udelukke muligheden med
>s=13, idet 13 (som du har bemærket) kan skrives som en sum af to
>primtal.

Ja. Du har fanget en mangel i mit program.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Henrik Christian Grove wrote:
> Et argument for at summen ikke kan være 11:
> (Jeg kalder summen s og produktet p.)
>
> En måde at opnå s=11 er m=5 og n=6 hvilket giver p=30. P kan opstille 3
> muligheder: (m=2,n=15,s=17), (m=3,n=10,s=13) og (m=5,n=6,s=11). Når S så
> siger at han ved at P ikke kender tallene, kan P udelukke muligheden med
> s=13, idet 13 (som du har bemærket) kan skrives som en sum af to
> primtal. P kan imidlertid hverken udelukke muligheden med s=11 eller
> muligheden med s=17, og kan altså ikke efterfølgende påstå at kende
> tallene.

Argument udelukker ikke s=11 med f.eks. m=4, n=7. (Jeg er dog enig
i, at s ikke kan være 11.)

--
Jonas Møller Larsen

---

"Jonas Møller Larsen" <jml@phys.au.dk> wrote in message
news:3E78EA02.BAD44B7B@phys.au.dk...
> Henrik Christian Grove wrote:
> > Et argument for at summen ikke kan være 11:
> > (Jeg kalder summen s og produktet p.)
> >
> > En måde at opnå s=11 er m=5 og n=6 hvilket giver p=30. P kan opstille 3
> > muligheder: (m=2,n=15,s=17), (m=3,n=10,s=13) og (m=5,n=6,s=11). Når S så
> > siger at han ved at P ikke kender tallene, kan P udelukke muligheden med
> > s=13, idet 13 (som du har bemærket) kan skrives som en sum af to
> > primtal. P kan imidlertid hverken udelukke muligheden med s=11 eller
> > muligheden med s=17, og kan altså ikke efterfølgende påstå at kende
> > tallene.
>
> Argument udelukker ikke s=11 med f.eks. m=4, n=7. (Jeg er dog enig
> i, at s ikke kan være 11.)

Hvorfor er fx 9 og 2 forkert?

Mvh,
Henrik Schmidt

---

Henrik Schmidt wrote:
> Hvorfor er fx 9 og 2 forkert?

Det var også min favorit længe

Lad os antage at m = 2 og n = 9:
[Linie-nummerering svarer til formuleringen i det oprindelige indlæg]

Hr S har fire muligheder, da han har fået summen 11 at vide:
m   n   produkt
2   9   18
3   8   24
4   7   28
5   6   30

Hr P har mulighederne
m   n   sum
2   9   11
3   6   9


linie 1:
Hr P ved ikke hvad han skal vælge, da han har to muligheder

linie 2:
Hr S ved godt, at Hr P ikke ved det, for ud fra de 4 muligheder han har,
for at lave Hr P's tabel, er der ikke nogle med kun én mulighed.
Han ved altså, at Hr P har flere muligheder.

linie 3:
Ud fra sin egen tabel ved Hr P, at Hr S enten har ovennævnte tabel eller
denne:
m   n   produkt
2   7   14
3   6   18
4   5   20

Ud fra oplysningen om, at Hr S _ved_, at Hr P ikke kan vide det fra
starten, så ved Hr P noget om Hr S's tabel:
Hr P ved, at Hr S ved, at Hr P ikke har m = 2, n = 7, for så vidste han
det fra starten.
Det udelukker den ene af de to mulige tabeller, som Hr S kan have (set
fra Hr P's side), så Hr P ved hvad Hr S har, og kan nemt gætte tallene.


Så langt er du nok med, men jeg ville lige have hele historien med


linie 4:
Den siger, at Hr S også kan gætte tallene nu.
For at gætte tallene skal han gætte, hvilken tabel Hr P sidder med. Han
har oplysningen fra linie 1, men den kendte han jo i forvejen, og så har
han oplysningen fra linie 3.

Hr S sidder i øjeblikket med den tabel, der er øverst i dette indlæg.
Den giver 4 mulighed for Hr P's tabel. For produkt = 11 er den også
skrevet i toppen af dette indlæg, for produkt = 24 ser den således ud:
m   n   sum
2   12   14
3   8   11
4   6   10

Min påstand er, at selv om Hr P siger, han ved, hvad tallene er, så ved
Hr S ikke om det er m = 2, n = 9 eller m = 3, n = 8.

Vi har set, at når Hr P har tabellen for m = 2, n = 9, så kan han gætte
tallene.
Hvis Hr P havde m = 3, n = 8, så ville han også kunne gætte tallene.
Argumentet er det samme som i 'linie 3'-afsnittet. Han ville have haft
tabellen herover (ca 10 linier) og fra Hr P's synspunkt, ville Hr S
kunne have 3 forskellige tabeller, men kun i ét af tilfælde ville Hr S
kunne have udtalt 'linie 2'.
Hvis du vil overbevise dig selv, så sæt dig ned og lav de 3 mulige
tabeller... Det bliver nemt rodet at forklare, så læs lidt, tegn lidt,
læs lidt, ...
Så hvad Hr P gætter på i 'linie 3' beror udelukkende på hvad han selv
sidder med, og det kan Hr S ikke vide, så han ved ikke hvilken af de to
muligheder han skal vælge, og derfor ville han ikke kunne udtale linie 4.


Når nu det ikke kan være 2 og 9, så tror jeg måske mere på 4 og 13, som
Jonas Møller Larsen kom med. Desværre er jeg løbet ind i lidt overflow i
mit program
Håber løsningen kan forklares på en simpel måde, og man ikke behøver at
bruge brute force for at løse den...

mvh Torben

---

Torben Brandt wrote:
> Håber løsningen kan forklares på en simpel måde,

Det kunne være morsomt.

> og man ikke behøver at bruge brute force for at løse den...

Det er også, hvad jeg gjorde.

--
Jonas Møller Larsen

---

"Torben Brandt" <name@domain.invalid> wrote in message
news:3E79258C.8010308@domain.invalid...
Henrik Schmidt wrote:
>> Hvorfor er fx 9 og 2 forkert?
>
>Det var også min favorit længe
>
<snip>

Ja, jeg indså lige umiddelbart efter jeg havde postet, hvorfor 9 og 2 ikke
kunne bruges (og i øvrigt hvorfor alle tal med sum 11 var ubrugelige).
Typisk...

Men tak ellers for den udførlige forklaring

>Når nu det ikke kan være 2 og 9, så tror jeg måske mere på 4 og 13, som
>Jonas Møller Larsen kom med. Desværre er jeg løbet ind i lidt overflow i
>mit program
>Håber løsningen kan forklares på en simpel måde, og man ikke behøver at
>bruge brute force for at løse den...

Nu siger du simpel, men jeg fandt da dette på nettet, som jeg godt nok ikke
forstår, men der ser da ud som om det er en anden indgangsvinkel:
http://www-formal.stanford.edu/jmc/puzzles/node3.html

Hmmm, nogle gange kan brute force være at foretrække

Jeg så første gang denne nød i et gammelt Illustreret Videnskab for måske 4
år siden, og konkluderede raskt væk, at der måtte være fejl i opgaven (som
man nu gør). Derfor er jeg specielt glad for at have set lyset, men til
gengæld kostede det mig min nattesøvn. Godt man har influenza

Mvh,
Henrik Schmidt

---

Bertel Lund Hansen <nospamfor@lundhansen.dk> writes:

> Jens Axel Søgaard skrev:
>
> >To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
> >Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.
>
> Jeg har lavet et program til at barbere tallene mellem 2 og 99.
> Jeg har forudsat at både sum og produkt også holder sig indenfor
> dette interval.
>
> Jeg holder rede på to mængder, nemlig mulige produkter og mulige
> summer.
....
> Så kan jeg ikke komme længere.

Når alt andet fejler, så er der jo stadig brute force tilbage.

Jeg lavede et program der der havde en mængde af mulige par
(starter som alle), og for hver mulig sum eller produkt var
der en mængde af de par, der gav netop den sum eller det produkt.

Første information: P kender ikke tallene.
Altså må der være mindst to par der giver det produkt P kender,
så vi fjerner alle par som er alene om deres produkt.
Det gælder alle par af primtal og par på formen (p,p^2) hvor
p er et primtal, men der er også andre, så jeg gjorde det
med udtømmende søgning i stedet for at tænke.

Anden information: S ved at P ikke kender tallene.
Altså kan summen som S kender, ikke opdeles i to summander hvis
produkt er unikt. Altså for hvert element som blev fjernet før,
fjern alle par med samme sum.
(I praksis fandt jeg de unikke produkter i første omgang og
fjernede dem, sammen med dem med samme sum, i anden omgang).

Tredje information: S kender ikke tallene.
Altså er summen heller ikke unik, så alle par hvis summer stadig kun
kan optræde på en måde, fjernes.

Fjerde information: Nu kender P tallene.
Altså er produktet entydigt blandt de tilbageværende par. Alle par
hvis produkt kan opstå på mere end en måde med de tilbageblivende
par, fjernes.

Femte information: Nu kender S tallene.
Som før, men for summer.

Og resultatet er: m=4, n=13.

/L 'never underestimate the power of brute force and ignorance'
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
Art D'HTML: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/randomArtSplit.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen skrev:

>Når alt andet fejler, så er der jo stadig brute force tilbage.

Ja, det var det jeg prøvede. Men det blev vist kun brute.

> produkt er unikt. Altså for hvert element som blev fjernet før,
> fjern alle par med samme sum.

Den havde jeg ikke med.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Jens Axel Søgaard wrote:
> To tal m og n vælges så 2 <= m <= n <= 99.
> Summen fortælles til Hr.S og produktet fortælles til Hr.P.
>
> Nu udspilles følgende dialog:
>
> Hr.P : Jeg kender ikke tallene.
> Hr.S : Jeg vidste, at du ikke gjorde. Jeg kender dem heller ikke.
> Hr.P : Nu kender jeg tallene.
> Hr.S : Nu kender jeg dem også.
>
> I lyset af ovenstående, hvilke to tal er der tale om?

Da I allerede har løst gåden, så er det vist på tide, at
jeg poster, hvor jeg har den fra.

Jeg faldt over gåden i John McCarhtys
"FORMALIZATION OF TWO PUZZLES INVOLVING KNOWLEDGE" (1978-81).
http://www-formal.stanford.edu/jmc/puzzles/puzzles.html

Senere har jeg fundet ud af, at gåden vist stammer fra ingen
ringere end Martin Gardner, som stillede den i decemberudgaven af
Scientific American 1979.

I ovenstående version, hvor den øvre grænse er 99, er løsningen
tallene 4 og 13. Der er forskellige løsninger i andre tilfælde:

Grænser [2,62] og op til [2,500+] giver løsningen 4 og 23.
Der findes også version, hvor den nedre grænse er 3 i stedet for 2.

Endelig findes der også en version, hvor samtalen udspiller sig i en
anden rækkefølge (med en anden løsning til følge). Den skyldes, at
der huskede gåden forkert.

En længere behandling kan findes her (sammen med et C-program):

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/%7Esillke/PUZZLES/logic_sum_product


God weekend,
--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard skrev:

>Da I allerede har løst gåden, så er det vist på tide, at
>jeg poster, hvor jeg har den fra.

Er det rigtigt at man kan gå ud fra at summen og produktet også
holder sig under 100?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Scripsit Bertel Lund Hansen <nospamfor@lundhansen.dk>

> Er det rigtigt at man kan gå ud fra at summen og produktet også
> holder sig under 100?

Nej, selvfølgelig er det ikke det. Det står der jo ingenting om. Hvis
det var tilfældet ville man jo allerede vide at tal over 50 ikke kan
forekomme (idet de ville give anledning til et produkt på over 100) -
og hvorfor ville der så have stået n <= 99?

--
Henning Makholm "Jeg køber intet af Sulla, og selv om uordenen griber
planmæssigt om sig, så er vi endnu ikke nået dertil hvor
ordentlige mennesker kan tillade sig at stjæle slaver fra
hinanden. Så er det ligegyldigt, hvor stærke, politiske modstandere vi er."

---

Bertel Lund Hansen wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>
>> Da I allerede har løst gåden, så er det vist på tide, at
>> jeg poster, hvor jeg har den fra.
>
> Er det rigtigt at man kan gå ud fra at summen og produktet også
> holder sig under 100?

Nej.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Da I allerede har løst gåden, så er det vist på tide, at
> jeg poster, hvor jeg har den fra.

Hvad med os der ikke har, og ikke har fundet de vises sten. Hvad er
pointen i løsningen?

> Jeg faldt over gåden i John McCarhtys
> "FORMALIZATION OF TWO PUZZLES INVOLVING KNOWLEDGE" (1978-81).
> http://www-formal.stanford.edu/jmc/puzzles/puzzles.html

OK, denne beskrivelse fik mig ikke lige en prås til at gå op for mig.

> En længere behandling kan findes her (sammen med et C-program):
>
> http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/%7Esillke/PUZZLES/logic_sum_product

Men ingen løsningsmetode.

--
Brian (remove the sport for mail)
http://www.et.dtu.dk/staff/be

---

Brian Elmegaard skrev:

>Hvad med os der ikke har, og ikke har fundet de vises sten. Hvad er
>pointen i løsningen?

Der er ikke anvist andre muligheder end det der omtales som
"brute force" hvilket kan oversættes ved "slavemetoden".

Opskriv alle tænkelige muligheder og streg dem over én for én
efterhånden som du bliver sikker på at de ikke kan bruges.

Det er håbløst at gøre i hånden, og derfor er der henvist til
programmer der kan gøre det automatisk. Programmerne udskriver 4
og 13 som de to tal, men der er ingen elegant metode til at
bevise at de er rigtige. Det kan godt virke utilfredsstillende.

Man kan så bare undre sig over at der vitterligt kun er én
løsning på opgaven.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen wrote:
> Brian Elmegaard skrev:
>
>> Hvad med os der ikke har, og ikke har fundet de vises sten. Hvad er
>> pointen i løsningen?
>
> Der er ikke anvist andre muligheder end det der omtales som
> "brute force" hvilket kan oversættes ved "slavemetoden".

Inden man kommer så langt, skal man dog have "oversat" samtalen
til talteori. Det er hovedsagelig her pointen ligger. Resten
er hårdt arbejde. Næste gang jeg præsenterer den for nogen,
vil jeg nok sætte de 99 længere ned for at formindske den del.

> Man kan så bare undre sig over at der vitterligt kun er én
> løsning på opgaven.

Ja - man kan kun have respekt for ham, som konstruerede opgaven.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse news:3e80311a$0$32043$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> Ja - man kan kun have respekt for ham, som konstruerede opgaven.
>
Hrrhm, den minder da meget om den nissehistorie vi havde for nylig.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse
> news:3e80311a$0$32043$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>>
>> Ja - man kan kun have respekt for ham, som konstruerede opgaven.
>>
> Hrrhm, den minder da meget om den nissehistorie vi havde for nylig.

Hvordan?

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse news:3e80a8e2$0$31958$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
> Martin Larsen wrote:
> > "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse
> > news:3e80311a$0$32043$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
> >>
> >> Ja - man kan kun have respekt for ham, som konstruerede opgaven.
> >>
> > Hrrhm, den minder da meget om den nissehistorie vi havde for nylig.
>
> Hvordan?
>
Nå ja, der har jo været flere. Det er den med kroværten og hans 3 døtre
jeg tænker på.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:

> Nå ja, der har jo været flere. Det er den med kroværten og hans 3
> døtre jeg tænker på.

Hvordan lyder den? Umiddelbart ringer der ikke en klokke her.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse news:3e80ccba$0$31946$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
> Martin Larsen wrote:
>
> > Nå ja, der har jo været flere. Det er den med kroværten og hans 3
> > døtre jeg tænker på.
>
> Hvordan lyder den? Umiddelbart ringer der ikke en klokke her.
>
http://groups.google.com/groups?hl=da&lr=&ie=UTF-8&threadm=20030112180326.52b54533.kim%40schulz.dk

---

Jens Axel Søgaard skrev:
> Martin Larsen skrev:

>> Nå ja, der har jo været flere. Det er den med kroværten og
>> hans 3 døtre jeg tænker på.

> Hvordan lyder den? Umiddelbart ringer der ikke en klokke her.

Det var i januar (den 12.): "en lille opgave".
Jeg læste 3 indlæg fra dig i tråden.

Her er et citat fra et af dem:
:: Hvis du vil se andre version, så søg på puzzle og 36 på google.
:: De fleste steder omtales den som The Three Daughters Puzzle.
--
Med venlig hilsen Herluf Holdt

---

Herluf Holdt, 3140 wrote:
> Jens Axel Søgaard skrev:
>> Martin Larsen skrev:
>
>>> Nå ja, der har jo været flere. Det er den med kroværten og
>>> hans 3 døtre jeg tænker på.
>
>> Hvordan lyder den? Umiddelbart ringer der ikke en klokke her.
>
> Det var i januar (den 12.): "en lille opgave".
> Jeg læste 3 indlæg fra dig i tråden.

Nååh! (fulgte Martins link).

Pinligt. Jeg er åbenbart abstræt, når jeg kigger på gåder.

--
Jens Axel Søgaard

---

Brian Elmegaard wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
>> Da I allerede har løst gåden, så er det vist på tide, at
>> jeg poster, hvor jeg har den fra.
>
> Hvad med os der ikke har, og ikke har fundet de vises sten. Hvad er
> pointen i løsningen?

Pointen er at få oversat samtalen til talteori.

>> Jeg faldt over gåden i John McCarhtys
>> "FORMALIZATION OF TWO PUZZLES INVOLVING KNOWLEDGE" (1978-81).
>> http://www-formal.stanford.edu/jmc/puzzles/puzzles.html
>
> OK, denne beskrivelse fik mig ikke lige en prås til at gå op for mig.

Den forklarer, hvor jeg fik opgaveformuleringen fra. Og for dem,
som kender hvad McCarthy ellers står bag, er det sjovt at se.

>> En længere behandling kan findes her (sammen med et C-program):
>>
>> http://www.mathematik.uni-
>> bielefeld.de/%7Esillke/PUZZLES/logic_sum_product
>
> Men ingen løsningsmetode.

Jeg mener de samme overvejelser, som har været fremme her i gruppen
er der. Når opgaven er "oversat" er der ganske vist arbjede tilbage,
men en metode er det da.

--
Jens Axel Søgaard