---

Hej

Jeg har et problem med en opgave omkring funktionsfølger.

Jeg skal vise at følgen er punktvis konvergent og angive
grænsefunktionen.

Jeg har fn(x)=x/(1+x^n) og kan finde at f(x) =lim fn(x) = lim
x/(1+x^n) < lim x/(x^n) = 1/x^(n-1) for n->undeligt og x tilhørende
[0,undeligt[

Done.

Jeg skal så tjekke om funktionen er ligeligt konvergent.

Jeg prøver

|fn(x)-f(x)|=|x/(1+x^n) - 1/x^(n-1)| = ? < epsilon

Hvis jeg sætter et yderpunkt ind for x - og der er kun 0 at vælge -
får jeg 0 < epsilon.

Da må følgen være ligeligt konvergent. Er det korrekt?

Og hvad bruger man egentligt sådan noget her til?

/Møller

---

Scripsit Steffen Møller <steffen.moeller@mail.com>

> lim x/(1+x^n) < lim x/(x^n)

Tja, tjo... Det er rigtigt at x/(1+x^n) < x/(x^n) under det givne
forudsætninger, men du kan ikke uden videre sætte "lim" på begge sider
af uligheden. For 0 < x < 1 eksisterer lim x/(x^n) slet ikke, selv om
x/(1+x^n) -> x.

> lim x/(x^n) = 1/x^(n-1)

Her ser der ud til at gå noget andet galt - når du hæver "lim"-tegnet
bør n'et forsvinde fra udtrykket.

--
Henning Makholm "Jeg mener, at der eksisterer et hemmeligt
selskab med forgreninger i hele verden, som
arbejder i det skjulte for at udsprede det rygte at
der eksisterer en verdensomspændende sammensværgelse."

---

> Jeg har et problem med en opgave omkring funktionsfølger.
>
> Jeg skal vise at følgen er punktvis konvergent og angive
> grænsefunktionen.
>
> Jeg har fn(x)=x/(1+x^n)
Jeg får med f(x) = lim_{n->oo} f_n(x):
f(x) = 0 for x i (-oo,1)
f(x) = x for x i (-1,1)
f(x) = 1/2 for x=1
f(x) = 0 for x i (1,oo)

Denne funktion er ikke kontinuert (f_n er derimod for alle n), og da ligelig
kovergens bevarer kontinuitet (f_n kont. for alle n => f kont.) kan f_n ikke
konvergere ligeligt mod f(x)...


Martin

---

Scripsit "Martin C. Petersen" <mcp@phys.au.dk>

> > Jeg har fn(x)=x/(1+x^n)

> Jeg får med f(x) = lim_{n->oo} f_n(x):

> f(x) = 0 for x i (-oo,1)

Her skulle den øvre grænse have været -1, ikke?

--
Henning Makholm "Monsieur, vous êtes fou."

---

> > f(x) = 0 for x i (-oo,1)
>
> Her skulle den øvre grænse have været -1, ikke?
Jo, klart


Martin

---

On Sat, 15 Feb 2003 16:34:40 +0100, "Martin C. Petersen"
<mcp@phys.au.dk> wrote:

>> Jeg har et problem med en opgave omkring funktionsfølger.
>>
>> Jeg skal vise at følgen er punktvis konvergent og angive
>> grænsefunktionen.
>>
>> Jeg har fn(x)=x/(1+x^n)
>Jeg får med f(x) = lim_{n->oo} f_n(x):
>f(x) = 0 for x i (-oo,1)
>f(x) = x for x i (-1,1)
>f(x) = 1/2 for x=1
>f(x) = 0 for x i (1,oo)
>
>Denne funktion er ikke kontinuert (f_n er derimod for alle n), og da ligelig
>kovergens bevarer kontinuitet (f_n kont. for alle n => f kont.) kan f_n ikke
>konvergere ligeligt mod f(x)...
>
>Martin

Ja det kan jeg da egentligt godt se. Jeg fik ikke skevet det i den
oprindelige post men jeg skal så kun kigge på intervallet for x i
[0,oo[. Det ændrer jo så naturligvis ikke ved at jeg løser opgaven
forkert...

Hvad så hvis vi betragter følgen f_n(x)=1/(1+x^2)^n, hvor x ligger i
[0,oo[

for n->oo får jeg at
f(x)=1 for x=0
f(x)=0 for for x>0
og der er dermed punktvis konvergens

Hvis jeg skal tjekke for ligelig konvergens i [0,oo[, ]0,oo[ og [1,oo[
løber jeg vel ind i at funktionen springer og dermed ej kan være
ligeligt konvergent.

Jeg får dog at hvis vi siger (bogen gør ihvertfald) at ligelig
konvergens kræver punktvis konvergens (ok), og der for ethvert x i I
og for ethvert epsilon > 0 findes et N i N (naturlige tal) således at
|f_n(x)-f(x)| <epsilon når blot n>=N.

[0,oo[:
|f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 1| <= 1 - 1 = 0 <epsilon, dvs ok.

]0,oo[:
|f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| = 1/(1+x^2)^n) <= 1 <epsilon, dvs ej ok idet epsilon skal kunne være <1.

[1,oo[:
|f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| <= |1/(1+x^2)^n) - 0| <= 1/(1+1^2)^n) = 1/2^n <epsilon, dvs ok idet altid kan opfyldes.

Eller hvad?

/Stef

Men hvad bruger man det til?

---

Steffen Møller wrote:

> Men hvad bruger man det til?

Til at overføre egenskaber fra funktionerne f_n i følgen til græsefunktionen f.

Hvis alle f_n er kontinuerte, og f_n(x) konvergerer mod f(x) for alle x,
betyde det så, at f også er kontinuert?

I ovenstående spørgsmål kan du erstattet 'kontinuert' med andre egenskaber,
som for eksempel 'differentiabel' eller 'integrabel'.

I nogle tilfælde vil svaret være 'Ikke altid' -- med mindre f_n'erne konvergerer
ligeligt mod f (og ikke kun punktvist, som ovenfor).

En typisk anvendelse er i teorien om uendelige rækker. Eksempel:

f_n(x) = 1+ x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + ... + x^n / n!

For alle x er følgen {f_n(x)} konvergent. Lad nu f(x) være defineret ved

f(x) = grænseværdien for {f_n(x)}

For at undersøge om f er kontinuert, integrabel, differentiabel m.fl., er det
ikke nok at kun at vide, at konvergensen er punktvis. Man er også nødt til
at vide, om "konvergensen sker cirka lige hurtigt over det hele".

Råd: Blad lidt frem i bogen til du finder en henvisning til sætningen. Her
kan du se, hvad den kan bruges til.

--
Jens Axel Søgaard

---

> Hvad så hvis vi betragter følgen f_n(x)=1/(1+x^2)^n, hvor x ligger i
> [0,oo[
>
> for n->oo får jeg at
> f(x)=1 for x=0
> f(x)=0 for for x>0
> og der er dermed punktvis konvergens
Ja

> Hvis jeg skal tjekke for ligelig konvergens i [0,oo[, ]0,oo[ og [1,oo[
> løber jeg vel ind i at funktionen springer og dermed ej kan være
> ligeligt konvergent.
Kun på intervallet [0,oo) hvor f ikke er kontinuert - på (0,oo) har du ikke
det problem.

> Jeg får dog at hvis vi siger (bogen gør ihvertfald) at ligelig
> konvergens kræver punktvis konvergens (ok), og der for ethvert x i I
> og for ethvert epsilon > 0 findes et N i N (naturlige tal) således at
> |f_n(x)-f(x)| <epsilon når blot n>=N.
Ja, ligelig konvergens medfører punktvis konvergens (når vurderingen gælder
for alle x gælder den også for et bestemt x)

> [0,oo[:
> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 1| <= 1 - 1 = 0 <epsilon, dvs ok.
Nej, for f er diskontinuert i 0..

> ]0,oo[:
> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| = 1/(1+x^2)^n) <= 1 <epsilon, dvs ej
ok idet epsilon skal kunne være <1.
At udtrykket er <= 1 betyder ikke nødvendigvis at det ikke også er mindre
end epsilon.
For at modvise uniform konvergens skal du finde et x (tydeligvis i (0,1) da
følgen er ligeligt konvergent på [1,oo) ) således at betingelsen ikke kan
opfyldes for visse (små) epsilon.

> [1,oo[:
> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| <= |1/(1+x^2)^n) - 0| <= 1/(1+1^2)^n)
= 1/2^n <epsilon, dvs ok idet altid kan opfyldes.
Ja.


Martin

---

On Sat, 15 Feb 2003 23:34:35 +0100, "Martin C. Petersen"
<mcp@phys.au.dk> wrote:

>> Hvad så hvis vi betragter følgen f_n(x)=1/(1+x^2)^n, hvor x ligger i
>> [0,oo[
>>
>> for n->oo får jeg at
>> f(x)=1 for x=0
>> f(x)=0 for for x>0
>> og der er dermed punktvis konvergens
>Ja
>
>> Hvis jeg skal tjekke for ligelig konvergens i [0,oo[, ]0,oo[ og [1,oo[
>> løber jeg vel ind i at funktionen springer og dermed ej kan være
>> ligeligt konvergent.
>Kun på intervallet [0,oo) hvor f ikke er kontinuert - på (0,oo) har du ikke
>det problem.

Forstår jeg ikke.

>> [0,oo[:
>> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 1| <= 1 - 1 = 0 <epsilon, dvs ok.
>Nej, for f er diskontinuert i 0..

ja ok.

>> ]0,oo[:
>> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| = 1/(1+x^2)^n) <= 1 <epsilon, dvs ej
>ok idet epsilon skal kunne være <1.
>At udtrykket er <= 1 betyder ikke nødvendigvis at det ikke også er mindre
>end epsilon.
>For at modvise uniform konvergens skal du finde et x (tydeligvis i (0,1) da
>følgen er ligeligt konvergent på [1,oo) ) således at betingelsen ikke kan
>opfyldes for visse (små) epsilon.

Men epsilon skal ifølge definitionen kunne være mindre end 1 (men
større end 0.

>> [1,oo[:
>> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| <= |1/(1+x^2)^n) - 0| <= 1/(1+1^2)^n)
>= 1/2^n <epsilon, dvs ok idet altid kan opfyldes.
>Ja.

Woohoo

/STef

---

> >Kun på intervallet [0,oo) hvor f ikke er kontinuert - på (0,oo) har du
ikke
> >det problem.
>
> Forstår jeg ikke.
f_n er kontinuert på [0,oo), men det er f ikke, så her kan f_n ikke
konvergere ligeligt mod f.
f_n er kontinuert på (0,oo), og det er f også, så her kan der godt være
ligelig konvergens.



Martin

---

Steffen Møller <steffen.moeller@mail.com> writes:

> Hvad så hvis vi betragter følgen f_n(x)=1/(1+x^2)^n, hvor x ligger i
> [0,oo[
>
> for n->oo får jeg at
> f(x)=1 for x=0
> f(x)=0 for for x>0
> og der er dermed punktvis konvergens
>
> Hvis jeg skal tjekke for ligelig konvergens i [0,oo[, ]0,oo[ og [1,oo[
> løber jeg vel ind i at funktionen springer og dermed ej kan være
> ligeligt konvergent.

Den punktvise grænse er kontinuert på ]0,oo[ og [1,oo[, så på de
intervaller kan du ikke udelukke ligelig konvergens. Generelt gælder det
at hvis en følge er uniformt konvergent på et interval er den også
uniformt konvergent på en delmængde af intervallet.

> Jeg får dog at hvis vi siger (bogen gør ihvertfald) at ligelig
> konvergens kræver punktvis konvergens (ok), og der for ethvert x i I
> og for ethvert epsilon > 0 findes et N i N (naturlige tal) således at
> |f_n(x)-f(x)| <epsilon når blot n>=N.

Det er også korrekt.

> [0,oo[:
> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 1| <= 1 - 1 = 0 <epsilon, dvs ok.

Her er flere ting galt:
1. f(x) er ikke lig 1 på hele intervallet.
2. Hvor bliver |'erne af? (der gælder ikke |a-b|<=|a|-|b|, faktisk
gælder den modsatte ulighed)

> ]0,oo[:
> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| = 1/(1+x^2)^n) <= 1 <epsilon, dvs ej ok idet epsilon skal kunne være <1.

Det her er næsten værre, f(x)=1 på hele intervallet så hvor kommer det 0
fra?

> [1,oo[:
> |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| <= |1/(1+x^2)^n) - 0| <= 1/(1+1^2)^n) = 1/2^n <epsilon, dvs ok idet altid kan opfyldes.

Det her er helt sikkert værre. Igen er f(x)=1 på hele intervallet, og
jeg må igen spørge hvor 0'et kommer fra. Derudover er det første <= ret
intetsigende, og det sidste lighedstegn direkte forkert.

> Men hvad bruger man det til?

Ligelig konvergens? Mange ting.
Mange egenskaber (f.eks. kontinuitet som allerede har været nævnt) er
bevaret ved uniform konvergens. Derudover kan man f.eks. integrere
uniformt konvergente rækker ledvist.

..Henrik

--
"Og jeg troede UENDELIG var et stort tal!"
-sagt efter en matematikforelæsning om transfinitte kardinaltal

---

Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>

> > ]0,oo[:
> > |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| = 1/(1+x^2)^n) <= 1 <epsilon,
> > dvs ej ok idet epsilon skal kunne være <1.

> Det her er næsten værre, f(x)=1 på hele intervallet

Var funktionsfølgen ikke f_n(x) = 1/(1+x²)^n ? For x != 0 konvergerer
den punktvis mod 0.

> så hvor kommer det 0 fra?

Derfra. Men ræsonnementet er helt galt. Steffen viser at afstanden fra
grænseværdien altid er mindre end (eller lig) 1, hvilket er korrekt.
Men derfra kan man ikke konkludere at man ikke kan finde en bedre
følge af overtal som faktisk konvergerer mod 0 og derfor giver uniform
konvergens.

Jeg ville nok løse opgaven ved at vise generelt at hvis en funktion er
punktvis konvergent i [a;b] og uniformt konvergent i ]a;b[, så er den
også uniformt konvergent i hele [a;b]. Kontraponeret fører det til at
funktionsfølgen ovenfor ikke kan være uniformt konvergent i fx ]0,1[
og derfor heller ikke i ]0;oo[.

--
Henning Makholm "Detta, sade de, vore rena sanningen;
ty de kunde tala sanning lika väl som någon
annan, när de bara visste vad det tjänade til."

---

On 16 Feb 2003 14:51:25 +0100, Henning Makholm <henning@makholm.net>
wrote:

>Scripsit Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk>
>
>> > ]0,oo[:
>> > |f_n(x)-f(x)| = |1/(1+x^2)^n) - 0| = 1/(1+x^2)^n) <= 1 <epsilon,
>> > dvs ej ok idet epsilon skal kunne være <1.
>
>> Det her er næsten værre, f(x)=1 på hele intervallet
>
>Var funktionsfølgen ikke f_n(x) = 1/(1+x²)^n ? For x != 0 konvergerer
>den punktvis mod 0.
>
>> så hvor kommer det 0 fra?
>
>Derfra. Men ræsonnementet er helt galt. Steffen viser at afstanden fra
>grænseværdien altid er mindre end (eller lig) 1, hvilket er korrekt.
>Men derfra kan man ikke konkludere at man ikke kan finde en bedre
>følge af overtal som faktisk konvergerer mod 0 og derfor giver uniform
>konvergens.

Hvorfor ikke? epsilon skal kunne vælges til at være vilkårligt lille
og det kan man jo ikke når 1<epsilon. I definitionen står der jo netop
at 0<epsilon.

/Stef

---

> Hvorfor ikke? epsilon skal kunne vælges til at være vilkårligt lille
> og det kan man jo ikke når 1<epsilon. I definitionen står der jo netop
> at 0<epsilon.
Hvorfra ved du at 1<epsilon?
Du viser at
1/(1+x^2)^n <= 1 for alle x i (0,oo)
Ligelig konvergens _kræver_:
1/(1+x^2)^n < epsilon

Disse to udtryk kan ikke kombineres til 1<epsilon...


Martin

---

On Sun, 16 Feb 2003 16:25:18 +0100, "Martin C. Petersen"
<mcp@phys.au.dk> wrote:

>> Hvorfor ikke? epsilon skal kunne vælges til at være vilkårligt lille
>> og det kan man jo ikke når 1<epsilon. I definitionen står der jo netop
>> at 0<epsilon.
>Hvorfra ved du at 1<epsilon?
>Du viser at
>1/(1+x^2)^n <= 1 for alle x i (0,oo)
>Ligelig konvergens _kræver_:
>1/(1+x^2)^n < epsilon
>
>Disse to udtryk kan ikke kombineres til 1<epsilon...

Fordi jeg ved at |f_n(x)-f(x)| < epsilon

/Stef

---

"Steffen Møller" <steffen.moeller@mail.com> skrev i en meddelelse
news:11gv4vgjjvg5tk73fav9cjq4mgtgko5lln@4ax.com...
> On Sun, 16 Feb 2003 16:25:18 +0100, "Martin C. Petersen"
> <mcp@phys.au.dk> wrote:
>
> >> Hvorfor ikke? epsilon skal kunne vælges til at være vilkårligt lille
> >> og det kan man jo ikke når 1<epsilon. I definitionen står der jo netop
> >> at 0<epsilon.
> >Hvorfra ved du at 1<epsilon?
> >Du viser at
> >1/(1+x^2)^n <= 1 for alle x i (0,oo)
> >Ligelig konvergens _kræver_:
> >1/(1+x^2)^n < epsilon
> >
> >Disse to udtryk kan ikke kombineres til 1<epsilon...
>
> Fordi jeg ved at |f_n(x)-f(x)| < epsilon
Det du tænker på er vel, at hvis man har vist at udtrykket er => 1, bliver
kravet 1<epsilon, hvilket ikke kan opfyldes for ethvert epsilon<1?


Martin

---

On Sun, 16 Feb 2003 21:57:41 +0100, "Martin C. Petersen"
<mcp@phys.au.dk> wrote:

>
>"Steffen Møller" <steffen.moeller@mail.com> skrev i en meddelelse
>news:11gv4vgjjvg5tk73fav9cjq4mgtgko5lln@4ax.com...
>> On Sun, 16 Feb 2003 16:25:18 +0100, "Martin C. Petersen"
>> <mcp@phys.au.dk> wrote:
>>
>> >> Hvorfor ikke? epsilon skal kunne vælges til at være vilkårligt lille
>> >> og det kan man jo ikke når 1<epsilon. I definitionen står der jo netop
>> >> at 0<epsilon.
>> >Hvorfra ved du at 1<epsilon?
>> >Du viser at
>> >1/(1+x^2)^n <= 1 for alle x i (0,oo)
>> >Ligelig konvergens _kræver_:
>> >1/(1+x^2)^n < epsilon
>> >
>> >Disse to udtryk kan ikke kombineres til 1<epsilon...
>>
>> Fordi jeg ved at |f_n(x)-f(x)| < epsilon
>Det du tænker på er vel, at hvis man har vist at udtrykket er => 1, bliver
>kravet 1<epsilon, hvilket ikke kan opfyldes for ethvert epsilon<1?

Ja

Stef

---

Scripsit Steffen Møller <steffen.moeller@mail.com>

> >Disse to udtryk kan ikke kombineres til 1<epsilon...

> Fordi jeg ved at |f_n(x)-f(x)| < epsilon

Det er ikke nok. Du ved at 1 er *et* tal som er større end
differensen. Du ved ikke at 1 er det mindste tal som er større end
differensen.

--
Henning Makholm "Hi! I'm an Ellen Jamesian. Do
you know what an Ellen Jamesian is?"