---

Hej

Følgende er et forslag til en udvidet tolkning af Einsteins ligning, E=mc i
anden:

Der er ikke noget i ligningen, der forhindrer massen, m, og dermed
energien, E, i at være negativ. Hvis m er negativ, bliver E negativ. En
"fysisk" tolkning af negativ masse og do energi kunne være, at en partikel
med negativ masse ikke reagerer på fx tyngdekraften, men fx på psykiske
kræfter. Negativ energi kunne tolkes som en energiform, der fx ikke aftager
men tiltager ved brug. Summen af universets eller altets samlede masse og
energi, idet massen ( og dermed energien) både kan være positiv og negativ,
må være nul.

Mvh

Carsten Ploug Olsen, Odense

---

Carsten Ploug Olsen wrote:

> Hej
>
> Følgende er et forslag til en udvidet tolkning af Einsteins ligning, E=mc
> i anden:
>
> Der er ikke noget i ligningen, der forhindrer massen, m, og dermed
> energien, E, i at være negativ. Hvis m er negativ, bliver E negativ. En
> "fysisk" tolkning af negativ masse og do energi kunne være, at en partikel
> med negativ masse ikke reagerer på fx tyngdekraften, men fx på psykiske
> kræfter. Negativ energi kunne tolkes som en energiform, der fx ikke
> aftager men tiltager ved brug. Summen af universets eller altets samlede
> masse og energi, idet massen ( og dermed energien) både kan være positiv
> og negativ, må være nul.
>
> Mvh
>
> Carsten Ploug Olsen, Odense

Tillæg: Den samlede masse og energi må være nul, idet der til enhver
partikel med massen, m, findes en partikel med massen -m.

---

Carsten Ploug Olsen wrote:
>
> Tillæg: Den samlede masse og energi må være nul, idet der til enhver
> partikel med massen, m, findes en partikel med massen -m.

Det er noget sludder. Der er intet der tyder på at man behøver at udvide
massebegrebet til negative masser.

Læg mærke til at elektrisk ladning findes med begge fortegn, mens massen
kun kendes som positiv. Der er en lighed mellem de klassiske love for
gravitation og coulomb-kraft. Coulombs lov kan skrives

F = c · Q1·Q2/r²

hvor c er Coulombs konstant. Her skal et positivt resultat fortolkes som
en frastødning, og et negativt som en tiltrækning.
Gravitationsloven kan skrives

F = G · m1·m2/r²

hvor G er Newtons gravitationskonstant. Men her skal det (altid)
positive resultat fortolkes som en *tiltrækning*.

Hvis vi et øjeblik forestiller os negative masser, er det metafysiske
spørgsmål om masser med forskelligt fortegn frastøder hinanden.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Hej

Nu ligger det faktisk således, at der inden for den generelle
relativitetsteori opereres med en negativ tyngdekraft. Dette kan godt tolkes
som en form for negativ masse.
Effekten ses f.eks. inden for de forskellige kosmologiske inflationsteorier.
Når universet pga. dets ekspansion afkøles, vil der (iflg. teorien) opstå en
såkaldt "underafkøling", når universet går fra en GUT-fase til en mere
normal opdeling af kræfter (GUT = Grand Unified Therories). Hændelsen
forløber omkring 10^-35 sekunder efter Big Bang.
Det underafkølede univers kaldes også et falskt vacuum, og i dette er der
dog en meget stor energitæthed - men energien er udelukkende gemt i et
Higgs-felt. Når faseovergangen endelig forekommer, omdannes det falske
vacuum til noget, der ligner et sandt vacuum, hvor trykket er 0. Dette sker
i et bestemt område, der ekspandere eksponentielt, og da ekspansionen sker
(spontant) ud i det falske vacuum, må trykket heraf være negativt.
Et negativ tryk kan nemt indefor GR omskrives til en negativ tyngdekraft -
og dermed negativ masse. Dette er der altså ikke meget metafysik i. Jeg
overvejer blot, om der er en sammenhæng mellem dette og en kosmologisk
konstant forskellig fra 0 - evt. via universets 0-punkts-energi (eller
virtuelle energihav) - nå, det er ved at være sent !

--
Hilsen
Regnar Simonsen

---

Regnar Simonsen wrote:
> Et negativ tryk kan nemt indefor GR omskrives til en negativ tyngdekraft -
> og dermed negativ masse.

Der er ingen grund til at tale om negative masser. Forklaringen på
den frastødende tyngdekraft er 1) tryk er en kilde til
tyngdekraft, og 2) trykket er negativt.

ad 1) Newtons tyngdelov F=GmM/r² kan som bekendt omskrives til

div grad phi = 4*pi*G*rho,

hvor phi er tyngdepotentialet og rho massetætheden (Gauss' lov?).
Starter man i stedet med feltligningerne i GR og laver diverse
approksimationer, får man

div grad phi = 4*pi*G*(rho + 3p/c²),

dvs (sammenlign med ovenfor) nu er også trykket en kilde til
tyngdekraften på ganske lige fod med massetætheden. At Newton
"overså", at Solens og planeternes tryk også skulle med i
regnskabet skyldes selvfølgelig, at trykbidraget under normale
forhold er lille (der divideres med c²).

Tryk er i øvrigt et mål for, hvor meget impuls, som rammer et
givet areal pr. tid (kraft pr. areal), og har man hørt om
masse-energi-ækvivalens og relativistisk invarians, er det ikke
nogen stor overraskelse, at også impuls giver tyngdekraft, fordi
energi/masse er jo én (af Newton given) kilde, og man kan ikke
behandle energi og impuls forskelligt i en relativistisk teori (én
observatørs impuls er en anden observatørs energi). Så man bliver
nødt til også at have impuls (og dermed tryk) som en kilde til
tyngdekraft.

ad 2) Et negativt tryk er til gengæld ret mystisk.

> Jeg overvejer blot, om der er en sammenhæng mellem dette og en kosmologisk
> konstant forskellig fra 0 - evt. via universets 0-punkts-energi (eller
> virtuelle energihav)

Det er der i allerhøjeste grad. Symbolsk kan feltligningerne i GR
skrives som

geometri = stof + lambda,

dvs at geometrien (hvordan objekterne bevæger sig) er bestemt af
stoffet i universet og af den kosmologiske konstant, lambda. Det
er (strukturelt) helt som i Newton'sk tyngdekraft (at stoffet
giver geometrien) bortset fra lambda-leddet. (I virkeligheden er
feltligningerne vistnok 16 koblede ligninger og venstresiden er et
kilometerlangt differentialudtryk i metrikken).

Stof-leddet på højresiden er i sig selv en sum af stråling +
baryonisk stof + mørkt stof + vakuumenergi + hvad universet ellers
kunne tænkes at indeholde.

Hvis man nu får den skøre idé at fortolke lambda som en del af
stoffet, så kan man let vise, at det svarer til noget stof med
trykket p = -rho*c², hvor rho er stoffets energitætheden. Altså
/hvis/ lambda repræsenterede noget reelt eksisterende stof,
hvilket den ikke gør.

Pointen er, at det fælles for universets nuværende acceleration og
en evt. inflationsperiode er, at størrelsen (rho*c² + 3p) må være
negativ (størrelsen går igen i Friedman-ligningerne). Det kan
enten lade sig gøre med en positiv kosmologisk konstant eller med
et falsk vakuum med et tilpas stort negativt tryk. Men det er
altså ikke lige til at skelne mellem den ene og den anden
forklaring; derfor bruges begge betegnelser vakuumenergi/k.k. i
flæng om accelererende udvidelse.

Der arbejdes for tiden vistnok på (jeg ved ikke hvordan) at måle
det dimensionsløse forhold rho*c²/p, og skulle dette forhold vise
sig f.eks. at være forskellig fra -1, kan man jo udelukke den
kosmologiske konstant som en forklaring.

--
Jonas Møller Larsen

---

Scripsit Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk>

> Tryk er i øvrigt et mål for, hvor meget impuls, som rammer et
> givet areal pr. tid (kraft pr. areal), og har man hørt om
> masse-energi-ækvivalens og relativistisk invarians, er det ikke
> nogen stor overraskelse, at også impuls giver tyngdekraft, fordi
> energi/masse er jo én (af Newton given) kilde, og man kan ikke
> behandle energi og impuls forskelligt i en relativistisk teori (én
> observatørs impuls er en anden observatørs energi). Så man bliver
> nødt til også at have impuls (og dermed tryk) som en kilde til
> tyngdekraft.

Jeg har hørt "tryk har tyngde" eller lignende før og undret mig
meget. Er det du siger her, i virkeligheden at "kraft har tyngde", men
at man blot bliver nødt til at dele med den flade kraften virker over
for at få enhederne gå op og gøre den ækvivalen med en massetæthed?

Min undren går især ud på om det er almindeligt hydrostatisk tryk der
menes. For hvis jeg har en stiv tank der er helt fyldt med 1000 liter
vand ved atmosfærisk tryk forbundet med et lille hydraulisk stempel,
kan jeg blot ved at trykke ikke særlig hårdt på stemplet få trykket i
hele tanken til at stige til det 2 atm. Har jeg så skabt ekstra
tyngdekraft derved? Eftersom vand ikke er særlig sammenpresseligt,
koster det mig jo ikke nær så meget *arbejde* at hæve trykket i
vandtanken, som det ville have kostet mig at lave hæve trykket til
2 atm i en tank med luft i stedet for vand.

> ad 2) Et negativt tryk er til gengæld ret mystisk.

Trækkrafter?

--
Henning Makholm "En tapper tinsoldat. En dame i
spagat. Du er en lykkelig mand ..."

---

Henning Makholm wrote:
> Jeg har hørt "tryk har tyngde" eller lignende før og undret mig
> meget. Er det du siger her, i virkeligheden at "kraft har tyngde", men
> at man blot bliver nødt til at dele med den flade kraften virker over
> for at få enhederne gå op og gøre den ækvivalen med en massetæthed?

I feltligningerne er det energi-impuls-tensoren, som er kilde. Den
har 16 indgange, som er

energitæthed (1 komponent), energiflux (3 komponenter),
impulstæthed (3 komponenter) og impulsflux (9 komponenter).

For en væske i rummet med energitæthed rho(x,y,z), som bevæger sig
i et hastighedsfelt v(x,y,z), vil energifluxen f.eks. være
j(x,y,z) = rho(x,y,z)*v(x,y,z), og j er derfor et vektorfelt (har
3 komponenter), fordi hastighedsfeltet er et vektorfelt. Det
bliver 4 komponenter i alt for energien og tilsvarende giver hver
af de 3 slags impulser 4 komponeter hver, så det forklarer, at der
er 1 + 3 + 3*(1 + 3) = 16 komponenter i alt.

Så jeg siger altså, at impuls, der ligger stille, har tyngde og at
impuls, der flyttes, har tyngde.

En samling af partikler, som bevæger sig frit gennem rummet uden
at støde ind i hverken hinanden eller omgivelserne vil altså give
et tyngdefelt, a) fordi de har energi (hvile- som kinetisk), b)
fordi de flytter energi, c) fordi de har impuls, d) fordi de
flytter impuls.

Der behøver ikke at være kræfter involveret, og systemet behøver
ikke at være i hydrostatisk ligevægt og have et tryk (men
sidstnævnte er selvfølgelig en tilstrækkelig betingelse).

> Min undren går især ud på om det er almindeligt hydrostatisk tryk der
> menes. For hvis jeg har en stiv tank der er helt fyldt med 1000 liter
> vand ved atmosfærisk tryk forbundet med et lille hydraulisk stempel,
> kan jeg blot ved at trykke ikke særlig hårdt på stemplet få trykket i
> hele tanken til at stige til det 2 atm. Har jeg så skabt ekstra
> tyngdekraft derved?

Ja, det har du vel, idet vandet er blevet tilført både ekstra
energi og ekstra impuls.

> Eftersom vand ikke er særlig sammenpresseligt,
> koster det mig jo ikke nær så meget *arbejde* at hæve trykket i
> vandtanken, som det ville have kostet mig at lave hæve trykket til
> 2 atm i en tank med luft i stedet for vand.

Rigtigt, så at købe tyngdekraft for arbejde er åbenbart som at
købe elastik i metermål?

> > ad 2) Et negativt tryk er til gengæld ret mystisk.
>
> Trækkrafter?

Jo, negative partialtryk er ok, men hvad trækker universets falske
vakuum i?

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen wrote:
> Jo, negative partialtryk er ok, men hvad trækker universets falske vakuum i?
^^^^^^^
Negative "relative" tryk. Som i "kummefryser trækker i låg".

--
Jonas Møller Larsen

---

Scripsit Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk>

> > > ad 2) Et negativt tryk er til gengæld ret mystisk.

> > Trækkrafter?

> Jo, negative partialtryk er ok, men hvad trækker universets falske
> vakuum i?

Hvorfor skal det være vakuum? Hvad med en stærk snor som man trækker i?

--
Henning Makholm "Guldnålen er hvis man har en *bror* som er *datalog*."

---

Henning Makholm wrote:
> Hvorfor skal det være vakuum?

Et vakuum med positiv energitæthed må have negativt tryk for at
der kan være energibevarelse, når vakuumet udvider sig.

> Hvad med en stærk snor som man trækker i?

I hydrostatisk ligevægt?

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen wrote:
> > Hvad med en stærk snor som man trækker i?
>
> I hydrostatisk ligevægt?

Suk. "statistisk ligevægt" skulle der stå. Og jo, man kan godt
have objekter med tilstrækkelig stærke interne vekselvirkninger
til at de i 0 atm. tryk helst vil trække sig sammen.

--
Jonas Møller Larsen

---

Scripsit Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Hvad med en stærk snor som man trækker i?

> I hydrostatisk ligevægt?

Hm, jeg må indrømme at jeg endnu ikke har fået tygget mig igennem dit
svar med tensorer og hele molevitten (min hjerne slår fra når den ser
en tensor), men skal det sige at det ikke er nok at der er negativt
tryk i *en* retning (når trykket i de andre retninger vel er 0)?

Hvad så med et tredimensionelt gitter af snore og knuder, hvor man
sørger for at sætte gitteret under træk i alle retninger? Lad
maskestørrelsen gå mod 0 indtil du har et stift legeme som stadig står
under træk i alle retninger. Så vil alle de tre trykkomponenter af
stresstensoren være ens og negative, og de tre vrid-komponenter alle
0. Er det ikke netop "negativt tryk"?

Det kan muligvis være problematisk at finde et materiale der i praksis
kan *holde* til så stort et negativt tryk at den resulterende negative
tyngde er sammenlignelig med materialets egenvægt, men er der nogen
grund til at det a priori skulle være umuligt?

--
Henning Makholm "Oh, hvilken kok detilig!"

---

Henning Makholm wrote:
> Hm, jeg må indrømme at jeg endnu ikke har fået tygget mig igennem dit
> svar med tensorer og hele molevitten (min hjerne slår fra når den ser
> en tensor),

Rent matematisk er sagen jo klar, idet en tensor bare er en
samling tal, som transformerer på en nærmere defineret måde under
en koordinattransformation.

Hvad angår den intuitive geometriske forståelse, så er alm.
fysiske vektorfelter ("rotationstensorer af rang 1") jo i sig selv
ret mystiske: Hvordan kan der til hvert enkelt punkt i rummet være
knyttet både en retning og en størrelse (tænk f.eks. på det
elektriske felt)? Et punkt er jo i sig selv uden udstrækning, og
alligevel er der "plads" til en retning.

Kan man på den anden side begribe dette, så kan man sikkert også
forstå (don't ask me) tryktensoren og andre "rotationstensorer af
rang 2" (med 9 komponenter): Her er der (igen som en egenskab ved
et punkt i rummet) til hver af de tre koordinatakser knyttet en
hel vektor(!). Generelt kan man projicere 2.-rangstensoren ned i
en vilkårlig retning og få en vektor som resultat, ligesom man kan
projicere en alm. vektor ned i en vilkårlig retning og få et tal
som resultat.

Energi-impuls-tensoren er "bare" sådan et 2.-rangstensorfelt men i
den firedimensionale rumtid.

> Det kan muligvis være problematisk at finde et materiale der i praksis
> kan *holde* til så stort et negativt tryk at den resulterende negative
> tyngde er sammenlignelig med materialets egenvægt, men er der nogen
> grund til at det a priori skulle være umuligt?

Næh, jeg har bare ikke helt vænnet mig til tanken om, at en sådan
substans skulle kunne gennemsyre universet.

--
Jonas Møller Larsen

---

Scripsit Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > Hm, jeg må indrømme at jeg endnu ikke har fået tygget mig igennem dit
> > svar med tensorer og hele molevitten (min hjerne slår fra når den ser
> > en tensor),

> Rent matematisk er sagen jo klar, idet en tensor bare er en
> samling tal, som transformerer på en nærmere defineret måde under
> en koordinattransformation.

Jo, men det hjælper ikke på min intution, som ikke er spor glad for
definitioner med "transformerer på en nærmere defineret måde". Mig og
højere differentialgeometri har det ikke godt med hinanden; jeg har
engang dumpet et kursus i det.

I forbindelse med denne tråd har jeg forsøgt at finde en
introducerende tekst og tygge fremad fra side 1 igen. Det er nu gået
op for mig at "koordinattransformation"-defintionerne stadig virker
(og måske bedre kan forstås) hvis man begrænser sig til et fladt rum
og skifter mellem almindelige lineære baser der dækker hele
rummet. Alt det lærebogsstof jeg har læst har snarere lagt vægt på
eksempler hvor koordinattransformationer er noget der sker i en snæver
grænsezone mellem et kort og nabokortet

> Hvad angår den intuitive geometriske forståelse, så er alm.
> fysiske vektorfelter ("rotationstensorer af rang 1") jo i sig selv
> ret mystiske: Hvordan kan der til hvert enkelt punkt i rummet være
> knyttet både en retning og en størrelse (tænk f.eks. på det
> elektriske felt)?

Dét generer mig nu ikke. Som datalog har jeg ikke noget problem med
højere ordens funktioner, og lærebøgernes definition af tangentrummet
har jeg det intuitivt udmærket med. Man er nødt til at gribe til
lokale koordinater for at få tangentrummet og dets vektorrumsstruktur
helt på plads, men så snart man accepterer det som fakta kan man
glemme de lokale koordinater igen. Jeg kan også godt snuppe
kovariante vektorer ("en lineær afbildning fra tangentrummet til
skalarlegemet"). Men højere tensorer har jeg endnu ikke fået afkodet
fra den transformationsorienterede definition til noget der giver
abstrakt mening i mangfoldigheden selv.

Som det fremgår er jeg ikke vanvittig begejstret for lokale
koordinater. De er uden tvivl praktiske og nødvendige når man skal
regne konkrete talværdier ud, men for den intuitive forståelse synes
jeg de blokerer snarere end hjælper, ihvertfald så langt som jeg er
kommet indtil videre.

> Energi-impuls-tensoren er "bare" sådan et 2.-rangstensorfelt men i
> den firedimensionale rumtid.

Javist, men den bruges jo til at definere noget om hvad stoffet i
rummet gør, og præcis hvordan det hænger sammen skal man jo også
forstå. Jeg kan intuitivt forstå energitæthed - one down, fifteen to
go...

--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."

---

Henning Makholm wrote:
>
> Som det fremgår er jeg ikke vanvittig begejstret for lokale
> koordinater. De er uden tvivl praktiske og nødvendige når man skal
> regne konkrete talværdier ud, men for den intuitive forståelse synes
> jeg de blokerer snarere end hjælper, ihvertfald så langt som jeg er
> kommet indtil videre.

Ja.

Men måske er fysikere glade for en hel masse lange ligninger med en
hel masse bogstaver med talrige indices både foroven og forneden.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Men måske er fysikere glade for en hel masse lange ligninger med en
> hel masse bogstaver med talrige indices både foroven og forneden.

Dirac ligningen er slem. Der er både 4-vektor indices på spil,
og spinor indices. Notationen skjuler dog alt denne.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Henning Makholm wrote:
>> Rent matematisk er sagen jo klar, idet en tensor bare er en
>> samling tal, som transformerer på en nærmere defineret måde under
>> en koordinattransformation.
> Jo, men det hjælper ikke på min intution, som ikke er spor glad for
> definitioner med "transformerer på en nærmere defineret måde".

Et forsøg på en intuitiv forklaring af tensor begrebet:
(det plejer ikke at gå godt med "intuitive" forklaringer.)

Hvis du har en mangfoldighed f.eks. en kugle i 3D, og ser på
mængden af alle kurver på kuglen der går igennem et bestemt
punkt m, f.eks nordpolen, så vil tangenten af alle kurverne
i punktet m ligge i en flade, der er netop er tangentplanet
til mangfoldigheden i punktet m.

Hvis du nu laver en omparametrisering af koordinaterne på
mangfoldigheden, f.eks. til koordinatsystemet hvot kuglen er
drejet omkring nord-syd aksen, så er punktet m det samme,
og alle kurver der går igennem punktet vil udspende det
samme tangentplan som før.

Forskellen er dog at alle kurver kommer og går igennem
punktet med en en ny "hastighed". dvs. kigger du på en
kurves tangentvektor i punktet m før og efter omparametriseringen
så vil den ligge et andet sted, selvom kurven er den samme
på mangfoldigheden.

Et simpelt 1D eksempel hældningen af sin(x) i x=0 er
sin'(x)=cos(x)=1 for x=0, omparametrisere vi f.eks.
sin(y(x)) med y(0)=0 så er sin'(y(x)) = cos(y)*dy/dx
hvilket kan være vilkårligt tal alt efter hvad
koordinattransformationen y(x) er.

Udregner du transformationen vil du se at alle tangentvektorer
af kurver der går igennem punktet m undergår en linær
transformation i tangentplanet når mangfoldigheden
omparametriseres.

Dette er ideen bag "transformere på en nærmere bestemt måde".

Den mest primitive tensor (rank 1) er blot en vektor, der
lever i tangentrummet i punktet m på en mangfoldighed, når
mangfoldigheden omparametriseres sker der en linær transformation
af vektoren.

En næstengenerel tensor er det kartesiske produkt af M tangentrum.
Dvs. en matrix sag, hvor hver søjle undergår en linær transformation
når mangfoldigheden omparametriseres.

En helt generel tensor er ikke kun det kartesiske produkt af
vektorer fra tangentrummet, men også af det duale rum til
tangentrummet. Vektorer (strengt taget funktionaler) i dualrummet
undergår også linære transformationer når mangfoldigheden
omparametriseres, dog den inverse dvs. dx/dy istedet for dy/dx.
Hvilket er årsagen til alt bøvlet omkring ko- og kontravariante
index.

> Mig og højere differentialgeometri har det ikke godt med
> hinanden; jeg har engang dumpet et kursus i det.

Jeg tror DG er en måde at formulere noget ganske
indlysende på en uhyre uforståelig måde.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Scripsit Carsten Svaneborg <zqex@nowhere.on.the.net>
> Henning Makholm wrote:

> > Jo, men det hjælper ikke på min intution, som ikke er spor glad for
> > definitioner med "transformerer på en nærmere defineret måde".

> Et forsøg på en intuitiv forklaring af tensor begrebet:
> (det plejer ikke at gå godt med "intuitive" forklaringer.)

[snip koordinattransformation af tangentrummet]

> Dette er ideen bag "transformere på en nærmere bestemt måde".

Jo, det har jeg fat i (både ko- og kontravariante vektorer, og nu også
tensorer). Mit problem er i almindelighed at komme fra

Definition X. En gnyf er en størrelse med 28 elementer som
transformerer således
[snip differentialligning]

til en intuitiv forståelse af hvordan man skal tænke på en gnyf, når
definitionen *ikke* er ledsaget af en mere koordinatfri beskrivelse,
som fx tangentrumsfortolkningen af kontravariante vektorer. Selv om
jeg godt ved hvordan man transformationsdefinitionen giver matematisk
mening er det intuition jeg er ude efter.

> En næstengenerel tensor er det kartesiske produkt af M tangentrum.

Øhm, ikke ifølge de andre definitioner jeg har læst. Det kartetiske
produkt af R³ og R³ er R^6, mens tensorproduktet har 9 dimensioner.

--
Henning Makholm "Det er sympatisk du håner dig selv. Fuldt
berettiget. Men det gør dig ikke til en kristen."

---

Henning Makholm wrote:
> Definition X. En gnyf er en størrelse med 28 elementer som
> transformerer således
> [snip differentialligning]
>
> til en intuitiv forståelse af hvordan man skal tænke på en gnyf, når
> definitionen *ikke* er ledsaget af en mere koordinatfri beskrivelse,
> som fx tangentrumsfortolkningen af kontravariante vektorer. Selv om
> jeg godt ved hvordan man transformationsdefinitionen giver matematisk
> mening er det intuition jeg er ude efter.

Jeg forstår ikke rigtigt formålet med at være koordinatfri.

Hvis du ønsker at beskrive et klassisk fænomen f.x. en partikkel, så
opfinder du et (kartesisk) koordinatsystem i hvilke ifht. dig selv,
og kan så beskrive fenomenet i dette koordinatsystem igennem en
kurve R(t). Har du flere partikler der vekselvirker kan du
ved at observere bevægelsen af partiklerne deducere deres
vekselvirkninger (ifht. dit koordinatsystem).

Hvis en anden observant observere fænomenet så vil han vælge
et andet (kartesisk) koordinatsystem, de to beskrivelser vil
normalt ikke stemme overens, f.eks. fordi observanternes
koordinatsystemer bevæger sig relativt til hinanden.

Men beskrivelserne kan interrelateres fordi koordinatsystemerne
kan interrelateres. Heraf kommer bøvlet med masser og afstande i
relativitetsteori, og de fiktive krafter der netop "opstår" ved
interrelationen af koordinatsystemer, der er accelerede ifht. hinanden.

Det giver for mig ikke mening at beskrive et fenomen
koordinatfrit, fordi hvordan kan du så beskrive det?

Ligeledes er alle beskrivelser og derfor koordinatsystemer
lige gode. Hvis du vil vælge det "bedste" så er dette et
subjektivt valg, fysikken skal være den samme uafhængigt
af dit subjektive koordinatsystemsvalg.

En differential ligning der specificere transformations
egenskaben er blot en matematisk formulering af den
symmetri som kravet om at alle koordinatsystemer er lige
gode er (diffeomorfi invarians).

General relativitetsteori er det samme som ovenstående, blot
hvor kurven R(t) er udskriftet med rum-tids kontinuumet,
og tingene er betydeligt mere langhårede, men det er kun
matematikken der er mere langhåret.

> Øhm, ikke ifølge de andre definitioner jeg har læst. Det kartetiske
> produkt af R³ og R³ er R^6, mens tensorproduktet har 9 dimensioner.
Ok. Du får 3 ekstra dimensioner i rabat. ;*)

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Scripsit Carsten Svaneborg <zqex@nowhere.on.the.net>
> Henning Makholm wrote:

> > Definition X. En gnyf er en størrelse med 28 elementer som
> > transformerer således
> > [snip differentialligning]
> > til en intuitiv forståelse af hvordan man skal tænke på en gnyf, når
> > definitionen *ikke* er ledsaget af en mere koordinatfri beskrivelse,
> > som fx tangentrumsfortolkningen af kontravariante vektorer. Selv om
> > jeg godt ved hvordan man transformationsdefinitionen giver matematisk
> > mening er det intuition jeg er ude efter.

> Jeg forstår ikke rigtigt formålet med at være koordinatfri.

Så tror jeg ikke jeg kan forklare det bedre end jeg allerede har
gjort: At jeg finder det mere intuitivt på den måde.

> Det giver for mig ikke mening at beskrive et fenomen
> koordinatfrit, fordi hvordan kan du så beskrive det?

Som funktioner til eller fra mangfoldigheden som abstrakt mængde.

--
Henning Makholm "However, the fact that the utterance by
Epimenides of that false sentence could imply the
existence of some Cretan who is not a liar is rather unsettling."

---

Henning Makholm wrote:
> Det er nu gået
> op for mig at "koordinattransformation"-defintionerne stadig virker
> (og måske bedre kan forstås) hvis man begrænser sig til et fladt rum
> og skifter mellem almindelige lineære baser der dækker hele
> rummet.

Gemmer der sig i dette eksempel en indsigt i, hvad det er for
nogle geometriske objekter, man transformerer?

> Jeg kan også godt snuppe
> kovariante vektorer ("en lineær afbildning fra tangentrummet til
> skalarlegemet").

Det er en af de ting, jeg aldrig har forstået. Hvordan forholder
dette "duale" vektorrum af kovariante vektorer sig til
tangentrummet? Har det - som tangentrummet - en klar (eller måske
mindre klar) geometrisk fortolkning?

(Jeg er klar over, hvordan kovariante vektorer transformerer, og
hvordan man ved at kontrahere med den metriske tensor kan gøre en
kontravariant vektor kovariant og omvendt.)

> Men højere tensorer har jeg endnu ikke fået afkodet
> fra den transformationsorienterede definition til noget der giver
> abstrakt mening i mangfoldigheden selv.

Der er en ikke-koordinatbaseret definition på tensorproduktet her:
http://www.wikipedia.org/wiki/Tensor_product . Der er åbenbart
tale om den mest generelle måde, hvorpå man bilineært kan
multiplicere to (matematiske) vektorer og få en (matematisk)
vektor som resultat (ingen krav til nogen af vektorernes
dimension). "Mest generel" forstået sådan, at enhver anden
bilineær multiplikation kan afledes af tensorproduktet.

Eksempelvis kan man finde prikproduktet og krydsproduktet af to
tredimensionale vektorer alene ud fra deres tensorprodukt [og
tingene behøver ikke være skrevet op i koordinater i nogen basis;
f.eks. er prikproduktet givet ved sporet(en abstrakt egenskab) af
tensorproduktet], men man kan ikke beregne tensorproduktet givet
vektorernes prikprodukt og krydsprodukt. Det er åbenbart
ikke-trivielt, at tensorproduktet eksisterer og er entydigt (op
til isomorfi).

"Tensorprodukt" betegner både selve operatoren og hele det
resulterende vektorrum, og resultatvektorerne kaldes "tensorer".
(Så lærte jeg også noget i dag.)

De relevante vektorrum må i vores sammenhæng være tangentrummet
til et punkt og dets duale rum.

> Som det fremgår er jeg ikke vanvittig begejstret for lokale
> koordinater. De er uden tvivl praktiske og nødvendige når man skal
> regne konkrete talværdier ud,

Og definitionen af et tensorprodukt er langt simplere med
koordinater: Produktets m x n koordinater er de parvise produkter
(= multiplikation af reelle tal) af den ene faktors m koordinater
og den anden faktors n koordinater. Det er endda simpelt at vise,
at resultat virkelig er en tensor (efter
transformationsdefinitionen).

> men for den intuitive forståelse synes
> jeg de blokerer snarere end hjælper, ihvertfald så langt som jeg er
> kommet indtil videre.

Enig.

> Jeg kan intuitivt forstå energitæthed - one down, fifteen to go...

Med en idealgas som eksempel:

Energitæthed: Summen af energierne af molekylerne i en lille
(tænkt) kasse divideret med kassens volumen. (Lad os for
eksemplets skyld antage, at den lille kasse er stor nok til at
indeholde et makroskopisk antal molekyler, sådan at energitætheden
er en pæn, jævnt varierende funktion af rummets koordinater.)

Impulstæthed: Vektorsummen af impulserne af molekylerne i ovenfor
nævnte lille kasse divideret med kassens volumen. Molekylernes
tilfældige bevægelser gør, at impulstætheden er nul - medmindre
gassen har en makroskopisk bevægelse (blæsevejr). I sidstnævnte
tilfælde vil impulstætheden naturligvis pege i retning af
blæsevejret (bulk flow'et).

Energiflux: Mængden af energi, som strømmer gennem en lille flade
pr. areal pr. tid. Denne er nul for en stillestående idealgas,
idet der strømmer lige meget energi den ene vej som den anden vej
gennem fladen. x-komponenten af energiflux-vektoren fås ved at
vende fladen, så dens normalvektor peger i positiv x-retning, og
tilsvarende for y og z. Igen, hvis gassen har en makroskopisk
bevægelse, vil der netto strømme energi den ene vej gennem fladen,
og denne nettostrøm giver de tre komponenter af energiflux'en.

Impulsflux: Hvor meget impuls, som strømmer gennem en lille flade
pr. areal pr. tid. For en stillestående gas er dette /ikke/ nul,
fordi impulsen som strømmer den ene vej (i gennemsnit) har modsat
fortegn af den impuls som strømmer den anden vej gennem fladen. Så
de to bidrag arbejder sammen, og giver en netto x-impuls gennem en
"x-flade", en netto y-impuls gennem en y-flade og en netto
z-impuls gennem en z-flade. Hvis gassen havde gnidningskræfter,
kunne man også få y-impuls netto til at strømme gennem en x-flade
osv osv. De 9 impulsflux-koordinater er identisk med tryktensoren
(stresstensoren).

Man kan overbevise sig om, at impulstætheds-vektoren er identisk
lig energiflux-vektoren. Det hænger sammen med, at
energi-impuls-tensoren er en symmetrisk tensor (kun 10 uafhængige
koordinater).

--
Jonas Møller Larsen

---

Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk> writes:

> Det er en af de ting, jeg aldrig har forstået. Hvordan forholder
> dette "duale" vektorrum af kovariante vektorer sig til
> tangentrummet? Har det - som tangentrummet - en klar (eller måske
> mindre klar) geometrisk fortolkning?

Det er netop "dualt". Det duale vektorrum til et vektorrum V er
mængden V* af lineære transformationer V->R. Hvis V har et indre
produkt <x|y> kan man identificere V med V* ved hjælp af afbildningen
x |-> <x|, hvor <x| betegner den lineære funktion V-> givet ved y |->
<x|y>.

Det bedste eksempel er nok den afledte af en reel funktion f:M->R, som
i hvert punkt p i M inducerer en lineær afbildning df: TpM -> R, dvs
et element i det duale vektorrum TpM*. Hvis man har et indre produkt
på TpM (altså hvis M har en metrik), kan vi identificere TpM* med TpM,
og så svarer df til en vektor, nemlig gradienten.

> (Jeg er klar over, hvordan kovariante vektorer transformerer, og
> hvordan man ved at kontrahere med den metriske tensor kan gøre en
> kontravariant vektor kovariant og omvendt.)

Kontrahere med den metriske tensor er præcis det samme som den
isomorfi jeg skrev op ovenfor.

> > Men højere tensorer har jeg endnu ikke fået afkodet
> > fra den transformationsorienterede definition til noget der giver
> > abstrakt mening i mangfoldigheden selv.
>
> Der er en ikke-koordinatbaseret definition på tensorproduktet her:
> http://www.wikipedia.org/wiki/Tensor_product . Der er åbenbart
> tale om den mest generelle måde, hvorpå man bilineært kan
> multiplicere to (matematiske) vektorer og få en (matematisk)
> vektor som resultat (ingen krav til nogen af vektorernes
> dimension). "Mest generel" forstået sådan, at enhver anden
> bilineær multiplikation kan afledes af tensorproduktet.
>
> Eksempelvis kan man finde prikproduktet og krydsproduktet af to
> tredimensionale vektorer alene ud fra deres tensorprodukt [og
> tingene behøver ikke være skrevet op i koordinater i nogen basis;
> f.eks. er prikproduktet givet ved sporet(en abstrakt egenskab) af
> tensorproduktet], men man kan ikke beregne tensorproduktet givet
> vektorernes prikprodukt og krydsprodukt. Det er åbenbart
> ikke-trivielt, at tensorproduktet eksisterer og er entydigt (op
> til isomorfi).

Hmm, jeg ved ikke hvorfor de skriver at man skal bruge en "rather
involved construction". Det sædvanlige eksistensbevis for at T(V,W)
[notation for tensorprodukt] eksisterer er at lade A være vektorrummet
af formelle linearkombinationer af elementerne T(v,w) hvor v og w
gennemløber V hhv W og lade B være underrummet af A udspændt af
elementerne

T(v,aw + bw') - ( a T(v,w) + b T(v,w') )
T(av + bv', w) - ( a T(v,w) + b T(v',w) )

og definere T(V,W) som kvotientvektorrummet A/B (bestående af
ækvivalensklasser af vektorer fra A hvor x og y identificeres hvis x-y
ligger i B).

Nu har man næsten defineret T til at opfylde den universelle egenskab
der kræves af tensorprodukter: Givet en et vektorrum U og en
afbildning (ikke nødvendigvis lineær) f:V×W -> U findes en entydigt
bestemt lineær afbildning A -> U som udvider f, fordi elementerne
T(v,w) udgør en basis for A, for (v,w) gennemløbende V×W. Og f er
bilineær præcis hvis f(B)=0, og i så fald får vi en afbildning fra
kvotientvektorrummet.

Søren

---

Scripsit galatius+usenet@imf.au.dk (Søren Galatius Smith)
> Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk> writes:

> > > Men højere tensorer har jeg endnu ikke fået afkodet
> > > fra den transformationsorienterede definition til noget der giver
> > > abstrakt mening i mangfoldigheden selv.

> > Der er en ikke-koordinatbaseret definition på tensorproduktet her:
> > http://www.wikipedia.org/wiki/Tensor_product .

Tak for den henvisning, den hjalp.

[Det giver mig næsten også grund til at tro at jeg efterhånden forstår
fysikernes begejstring for braket-notationen. Nb: forstår, ikke deler]

> > Det er åbenbart ikke-trivielt, at tensorproduktet eksisterer og er
> > entydigt (op til isomorfi).

> Hmm, jeg ved ikke hvorfor de skriver at man skal bruge en "rather
> involved construction". Det sædvanlige eksistensbevis for at T(V,W)
> [notation for tensorprodukt] eksisterer er at lade A være vektorrummet

(blablabla)

Og det bevis er da også ganske pletfrit fra et rent matematisk
synspunkt. Men hvis man ser på det med computationelle briller vækker
det nu alligevel bekymring.

Ud fra Wikipedias definition er det klart at fx T(R¹,R¹) må være
isomorft med R¹ selv. Men dit eksistensbevis konstruerer produktrummet
ved at lave et overtællelig-dimensionelt vektorrum og dividere et
overtællig-dimensionelt underrum væk, så der på magisk vis er netop én
dimension tilbage. Det vil jeg gerne være med til at kalse en "rather
involved construction".

Et begrebsmæssigt enklere eksistensbevis ville være: Vælg baser v1..vn
og w1..wk for V og W. T(V,W) består nu af alle formelle
linearkombinationer af de nk elementer T(vi,wj). Den krævede
universelle egenskab vises ved at enhver bilineær afbilding af V×W er
givet ved dens værdier på (vi,wj), og at et vilkårligt valg af værdier
i disse punkter kan udvides til netop én bilineær afbilding.

(Problemet med dette bevis er at man i almindelighed skal bruge
udvalgsaksiomet for at finde baser for V og W).

Et andet alternativ: T(V,W) er det duale vektorrum til vektorrummet af
bilineære afbildinger fra V×W til det underliggende legeme. Det virker
ihvertfald umiddelbart oplagt, men er det også rigtigt (det bør det
være hvis ethvert vektorrum er sin egen biduale, hvilket sprogbrugen
"dual" antyder)? I så fald biver det en koordinatfri direkte
konstruktion af tensorproduktet.

--
Henning Makholm "I paid off ALL my debts and bought a much-needed new car."

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>
> > Jonas Møller Larsen <jml@phys.au.dk> writes:

> > > Der er en ikke-koordinatbaseret definition på tensorproduktet her:
> > > http://www.wikipedia.org/wiki/Tensor_product .

> Tak for den henvisning, den hjalp.

Faktisk så meget at jeg nu kan se at tensorproduktet er relateret til
rummet af linære afbildinger mellem to vektorrum (som objekt i
kategorien af vektorrum) på præcis samme måde som et almindeligt
kategorisk produkt er relateret til den kategoriske defintion af
funktionsobjekter - selvom tensorproduktet ikke self er et kategorisk
produkt.

Det forklarer hvorfor "lineær logik" hedder "lineær", og hvorfor en af
dens konnektiver kaldes (og noteres) tensor! Og det antyder også
hvorfor moderne kategoriteoretiske udøvere af denotationssemantik
noterer deres "symmetriske monoidale bifunktorer" med et
tensorsymbol, for det er netop hvad det fysiske tensorprodukt er.

Det har vist ikke meget med fysik at gøre, men det har en hel del at
gøre med semantik for programmeringssprog, som tilfældigvis er tæt
nabo til mit eget forskningsområde. Ho-ho. Det hele hænger sammen.

> (Problemet med dette bevis er at man i almindelighed skal bruge
> udvalgsaksiomet for at finde baser for V og W).

> Et andet alternativ: T(V,W) er det duale vektorrum til vektorrummet af
> bilineære afbildinger fra V×W til det underliggende legeme. Det virker
> ihvertfald umiddelbart oplagt, men er det også rigtigt (det bør det
> være hvis ethvert vektorrum er sin egen biduale, hvilket sprogbrugen
> "dual" antyder)?

Hm, jeg kan ved nøjere eftertanke kun vise dét ved at bruge baser (og
dermed udvalgsaksiomet). Så er det ikke meget bedre end den direkte
konstruktion fra før.

--
Henning Makholm "Hør, hvad er det egentlig
der ikke kan blive ved med at gå?"

---

Henning Makholm wrote:
> Hvad så med et tredimensionelt gitter af snore og knuder, hvor man
> sørger for at sætte gitteret under træk i alle retninger?

Så skal der være en grænseflade de kan forankres i, ellers vil
den bare trække sig sammen. Tænk på en en kasse med fjedre fra
side til side.

> Så vil alle de tre trykkomponenter af stresstensoren være ens og
> negative, og de tre vrid-komponenter alle 0.
> Er det ikke netop "negativt tryk"?

Når du udregner stresstensoren skal du også tage hensyn til
krafter ved grænsefladen.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Hvis vi et øjeblik forestiller os negative masser, er det metafysiske
> spørgsmål om masser med forskelligt fortegn frastøder hinanden.

Behøver kræfterne at være symetriske?

En sjov løsning ville være hvis objektet med den negative masse blev
tiltrukket af objektet med den positive masse, det på sin side blev
frastødt af objektet med den negative masse. Så ville vi have
negative objekter der jægede positive objekter i en evig acceleration.

---

Per Abrahamsen wrote:
> Behøver kræfterne at være symetriske?

Newtons tredie lov syntes at gælde. Dvs. aktion = reaktion.

> En sjov løsning ville være hvis objektet med den negative masse blev
> tiltrukket af objektet med den positive masse, det på sin side blev
> frastødt af objektet med den negative masse. Så ville vi have
> negative objekter der jægede positive objekter i en evig acceleration.

Netop, krænker energibevarelse.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Scripsit Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk>

> En sjov løsning ville være hvis objektet med den negative masse blev
> tiltrukket af objektet med den positive masse, det på sin side blev
> frastødt af objektet med den negative masse. Så ville vi have
> negative objekter der jægede positive objekter i en evig acceleration.

Krænker det ikke additivitet af kræfterne? Antag din hypotese. Hvis så
vi har to objekter med henholdsvis positiv masse a og negativ masse -b
og binder dem sammen med stærk snor, vil den samlede tyngdekraft (fra
et positivt objekt, fx jorden) på hele molevitten være større end
tyngdekraften på en enkelt objekt med masse a-b.

--
Henning Makholm "Jeg skrællet har kartofler; min ene tommeltot
røg vistnok med i gryden. Jeg har det ellers got."

---

Carsten Svaneborg <zqex@nowhere.on.the.net> writes:

> Per Abrahamsen wrote:
>
>> En sjov løsning ville være hvis objektet med den negative masse blev
>> tiltrukket af objektet med den positive masse, det på sin side blev
>> frastødt af objektet med den negative masse. Så ville vi have
>> negative objekter der jægede positive objekter i en evig acceleration.
>
> Netop, krænker energibevarelse.

Sikker? Når den negative masse accellerer falder dens kinetiske
energi, hvis jeg har styr på mine fortegn. Det bør opveje stigningen
i den positive masses kinetiske energi.

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Scripsit Per Abrahamsen <abraham@dina.kvl.dk>
>
>> En sjov løsning ville være hvis objektet med den negative masse blev
>> tiltrukket af objektet med den positive masse, det på sin side blev
>> frastødt af objektet med den negative masse. Så ville vi have
>> negative objekter der jægede positive objekter i en evig acceleration.
>
> Krænker det ikke additivitet af kræfterne? Antag din hypotese. Hvis så
> vi har to objekter med henholdsvis positiv masse a og negativ masse -b
> og binder dem sammen med stærk snor, vil den samlede tyngdekraft (fra
> et positivt objekt, fx jorden) på hele molevitten være større end
> tyngdekraften på en enkelt objekt med masse a-b.

Ja, den vil ca. være a+b i stedet for a-b, da begge dele vil blive
tiltrukket af den positive jordmasse.

Objekter med negativ masse vil opføre sig ligesom objekter med positiv
masse. Det er de andre objekter der vil opføre sig mærkeligt i
nærheden af en negativ masse.

---

>
> Tillæg: Den samlede masse og energi må være nul, idet der til enhver
> partikel med massen, m, findes en partikel med massen -m.


Det er rigtigt at det samlede univers repræsenterer en energi på samlet 0.
Det skyldes ikke negativ masse, men at energien i tyngdefelter er negativ.
Al masse og stråling repræsenterer positiv energi og det samlede tyngdefelt
er negativ energi, alt i alt et 0.
At tyngdefelter er negativ energi kan vises ved følgende eksempel.
Smid en stor sten ud fra Mount Everest og lad den falde en km ned. På vej
ned kan man ved snedig ingeniørkunst få stenen til at aflevere noget
energi.....lave strøm. f.eks.
Når stenen er en km længere nede måler man tyngdekraften på den. Den er
kraftigere end på toppen fordi stenen nu er tættere på jorden.
Det vil sige, tyngdefeltet vokser samtidig med at men tager energi ud af
det. Det kan kun lade sig gøre hvis tyngdefeltet er negativt.

Hilsen

---

Scripsit "Jens Harming" <jensharming@oncable.dk>

> Det er rigtigt at det samlede univers repræsenterer en energi på samlet 0.

Gælder det ikke kun hvis universet i stor skala er fladt?

--
Henning Makholm "*Vi vil ha wienerbrød!*"

---

> > Det er rigtigt at det samlede univers repræsenterer en energi på samlet
0.
>
> Gælder det ikke kun hvis universet i stor skala er fladt?
>
> --
> Henning Makholm "*Vi vil ha
wienerbrød!*"

Hmmmm.......jeg mener at det er en kvantemekanisk effekt. Hvis Big Bang
resulterede i noget der havde et energiindhold ville det kun kunne eksistere
i meget kort tid. Eftersom der allerede er gået lang tid må energien være 0.
Hilsen
Jens

---

Henning Makholm wrote:
>
> Scripsit "Jens Harming" <jensharming@oncable.dk>
>
> > Det er rigtigt at det samlede univers repræsenterer en energi på samlet 0.
>
> Gælder det ikke kun hvis universet i stor skala er fladt?

Det gælder i hvert fald i et univers med kritisk tæthed og uden
kosmologisk konstant (eller noget der ligner en kosmologisk
konstant), at galaksernes totale kinetiske og gravitationelle
energi er nul.

--
Jonas Møller Larsen

---

Carsten Ploug Olsen <cpo@mail.dk> writes:

> Følgende er et forslag til en udvidet tolkning af Einsteins ligning, E=mc i
> anden:
>
> Der er ikke noget i ligningen, der forhindrer massen, m, og dermed
> energien, E, i at være negativ. Hvis m er negativ, bliver E negativ.

Rigtigt. Det antager dog at der findes negativ masse.

Der findes, så vidt jeg ved (I am not a physicist etc.), en mere
generel formel

E^2 = m^2c^4 + p^2c^2

hvor p er impulsen og m hvilemassen. E=mc^2 er specialtilfældet hvor
massen er i hvile (eller også er m bare den relativistiske masse i det
tilfælde, kan ikke huske det).

Ud fra den ligning kan man faktisk ikke udlede E=mc^2 direkte, med
mindre man ved at E og m altid har samme fortegn. (Ved man det?)

> En "fysisk" tolkning af negativ masse og do energi kunne være, at en
> partikel med negativ masse ikke reagerer på fx tyngdekraften, men fx
> på psykiske kræfter.

En anden tolkning er at den fx bliver påvirket af flødeskum.
Egentlig mere sandsynligt, da flødeskum beviseligt findes :).

Altså, din tolkning/teori virker ganske ad-hoc. Hvis du kan finde
passende definitioner af "psykiske kræfter" og hvad du mener med
"reagerer på", så det er muligt at lave kontrolforsøg, så kunne det
være en videnskabelig teori.

> Negativ energi kunne tolkes som en energiform, der fx ikke aftager
> men tiltager ved brug.

Brug?

> Summen af universets eller altets samlede masse og energi, idet
> massen ( og dermed energien) både kan være positiv og negativ, må
> være nul.

Hvorfor *må* den nødvendigvis det? Hvad nu *hvis* universet startede
med lidt positiv energi, og hvis energibevarelsen gælder, så er
der stadig lidt positiv energi i overskud.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:
> Der findes, så vidt jeg ved (I am not a physicist etc.), en mere
> generel formel
> E^2 = m^2c^4 + p^2c^2

Det kan også skrives:

E² = m0² c^4 + (p²/c²)c^4 = (m0² + (p/c)² ) c^4

Impulsen er i relativitetsteori p(v)=gamma(v)*m0*v

hvor v er hastigheden, m0 hvilemassen, og gamma
er den relativistiske faktor givet ved
gamma(v)=1/sqrt(1-(v/c)²) =1/sqrt(1-b²) hvor b=v/c

Indsættes fås

E²(v) = m0²(1 + gamma(v)² b²) c^4
= m0² (1 + b²/[1-b²]) c^4
= m0² (1 - b² + b²) / [1-b²] c^4
= m0² c^4 / [1-b²]

Dvs. E(v) = m0 c² /sqrt(1-(v/c)²)
= gamma(v)*m0 c²
= m(v) c²

Ligningen er altså korrekt. Man skal blot huske at massen er
den relativistiske masse, og ikke hvilemassen. Hastighedsafhængigheden
er vigtig fordi for små hastigheder fås
E(v)=m0c² + 0.5 m0 v² for v<<c, dvs. den kinetiske energi er
indeholdt i ovenstående udtryk.

> En anden tolkning er at den fx bliver påvirket af flødeskum.
> Egentlig mere sandsynligt, da flødeskum beviseligt findes :).
Godt argument! ;*)

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

Carsten Svaneborg <zqex@nowhere.on.the.net> writes:

> Ligningen er altså korrekt. Man skal blot huske at massen er
> den relativistiske masse, og ikke hvilemassen.

Mente nok det var noget i den stil :)

Det ændrer dog ikke ved det det sidste skridt:
Eª(v) = m0ªc^4/... => E(v) = m0cª/sqrt(...)
er betinget af at E(v) og m0 har samme fortegn.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Carsten Ploug Olsen wrote:
> Der er ikke noget i ligningen, der forhindrer massen, m, og dermed
> energien, E, i at være negativ. Hvis m er negativ, bliver E negativ.

Det relevante spørgsmål er om der er noget i naturen der forhindrer
masser i at blive negative. Da der endnu ikke er blevet observeret
negative masser, syntes dette at være tilfældet.

E(v)=m(v)c² er en beskrivelse af observeret fenomener.

Det er usundt at forveksle beskrivelsen med det virkelige fenomen.

> men fx på psykiske kræfter.

Da der endnu ikke er blevet observeret noget der kunne kaldes
"psykiske krafter", syntes dette ikke relevant.

> Summen af universets eller altets samlede masse og energi, idet
> massen ( og dermed energien) både kan være positiv og negativ,
> må være nul.

Hvorfor? Mængten af stof og anti-stof er ikke den samme.
Ellers ville vi nok vide det.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://www.softwarepatenter.dk

---

"Carsten Ploug Olsen" <cpo@mail.dk> skrev i en meddelelse news:3dbfcb8c$0$97665$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
> Hej
>
> Følgende er et forslag til en udvidet tolkning af Einsteins ligning, E=mc i
> anden:
>
> Negativ energi kunne tolkes som en energiform, der fx ikke aftager
> men tiltager ved brug. Summen af universets eller altets samlede masse og
> energi, idet massen ( og dermed energien) både kan være positiv og negativ,
> må være nul.
>
Lyder det ikke som Wilhelm Reichs orgon energi. Noget man kan
opkoncentrere med nogle specielle krydsfinerplader og sprede
skyerne med.
Der er ikke noget nyt i negativ energi. Det forekommmer jævnligt
i "tunneleffekten".

Mvh
Martin

---

Carsten Ploug Olsen <cpo@mail.dk> writes:

> Der er ikke noget i ligningen, der forhindrer massen, m, og dermed
> energien, E, i at være negativ. Hvis m er negativ, bliver E
> negativ.

Den udregning du snakker om blev foreslået engang i sidste århundrede
af Bilaniuk et al. Han kaldte sådanne partikler for tachyoner.

Hvis du kigger på nettet vil du se at der er en blomstrende industri
af new age folk der sælger tachyoner til folk. De er vist meget sunde,
men jeg tror ikke at de tachyoner man kan købe på nettet har noget at
gøre med de tachyoner der oprindelig blev foreslået.

hvis du vil have en fysisk indfaldsvikel på det hele, så se her.
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SpeedOfLight/FTL.html#19
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/ParticleAndNuclear/tachyons.html

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

> > Der er ikke noget i ligningen, der forhindrer massen, m, og dermed
> > energien, E, i at være negativ. Hvis m er negativ, bliver E
> > negativ.
Niels L. Ellegaard svarede :
> Den udregning du snakker om blev foreslået engang i sidste århundrede
> af Bilaniuk et al. Han kaldte sådanne partikler for tachyoner

Nej - tachyoner har en imaginær masse - det er ikke det samme som en negativ
masse.

Hilsen
Regnar Simonsen