---

I dag kl 17 var sidste afleveringstidspunkt for månedens matematik opgave,
som hver måned udgives af matematiklæreforeningen.
Jeg syntens faktisk den var ret svær i denne måned. Men det kan være der er
nogen af jer det syntes den er let. I kan se den på www.mat.dk.
Jeg håber der er nogen der kan komme med mere end bare de 5 tal (som man
iøvrigt kan finde med google). Jeg har selv en fremgangs måde, men det er
meget lang.


--
Mvh
Anders Lund
Anders@zaimGED.dk
Fjern geden fra min signatur!

---

"Anders Lund" <Anders@zaimGED.dk> writes:

> I dag kl 17 var sidste afleveringstidspunkt for månedens matematik opgave,
> som hver måned udgives af matematiklæreforeningen.
> Jeg syntens faktisk den var ret svær i denne måned. Men det kan være der er
> nogen af jer det syntes den er let. I kan se den på www.mat.dk.
> Jeg håber der er nogen der kan komme med mere end bare de 5 tal (som man
> iøvrigt kan finde med google). Jeg har selv en fremgangs måde, men det er
> meget lang.

Opgaven var:

Der er givet et sæt på fem hele tal. Hvis man lægger dem sammen to og
to får man summerne
0 , 6 , 11 , 12 , 17 , 20 , 23 , 26 , 32 , 37 .
Find de fem tal.

Antag at de fem tal er forskellige (bare fordi det gør ting lettere).

Kald de fem tal x1, x2, x3, x4 og x5, ordnet i voksende orden.

Summen af alle summerne er 184, og så er hvert tal talt med fire gange.
Altså er summen af de fem tal 46.

Den største sum, 37, må nødvendigvis være summen af de to største tal.
Ligeledes må den mindste sum, 0, være summen af de to mindste tal.

Derfor må det midterste tal, x3, være 9 for at de tilsammen giver 46.

Den næst-mindste sum, 6, må være summen af det mindste tal og det
tredjemindste (der er kun en sum der er mindre end x1+x3, nemlig
x1+x2, alle andre er summe af større tal). Altså er x1+9=6, så x1=-3.

På samme måde finder vi x5+9=32, så x5=23.

Nu er det nemt, for x1+x2=0 og x1=-3, så x2=3, og på samme måde findes
x4=37-23=14.

Altså løsningen er
-3, 3, 9, 14, 23

Man kan så dobbelt-tjekke at det passer med de opgivne summe, og det
gør det.

Alt hvad vi brugte var x1+x2, x1+x3, x3+x5, x4+x5 og x1+x2+x3+x4+x5,
resten af summerne var ligegyldige.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
news:8z0iwbf4.fsf@hotpop.com...
> Altså løsningen er
> -3, 3, 9, 14, 23
efter 26 min.
og jeg brugte 5 timer.
I kan jo se min (meget længere) løsning på:
http://www.zaim.dk/mat_oktober.doc


--
Mvh
Anders Lund
Anders@zaimGED.dk
Fjern geden fra min signatur!

---

Anders Lund wrote:

> I kan jo se min (meget længere) løsning på:
> http://www.zaim.dk/mat_oktober.doc

Nej vi ken ej, for vi bruger ikke Wind*ws!
Kan du ikke gemme den i noget letlæseligt?

-Rune

---

"Rune Zedeler" <rz@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse
news:3DBDB9E1.9080000@daimi.au.dk...
> Nej vi ken ej, for vi bruger ikke Wind*ws!
> Kan du ikke gemme den i noget letlæseligt?


hvad så med
http://www.zaim.dk/mat_oktober.htm

--
Mvh
Anders Lund
Anders@zaimGED.dk
Fjern geden fra min signatur!

---

Anders Lund wrote:

> hvad så med
> http://www.zaim.dk/mat_oktober.htm

Takker

Du lægger jo pænt ud, men overser så, at du kan bruge samme trick i
toppen, som du bruger i bunden. Ak, ja.
Min egen løsning var en mellemting mellem din og Lasses (meget pæne
løsning). Jeg fandt ligesom Lasse ved hjælp af summerne af alle fem frem
til summen af de to mindste og de to største, men overså at jeg dermed
kunne finde det midterste på den måde, som Lasse gjorde.

-Rune

---

"Rune Zedeler" <rz@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse
news:3DBEFA5F.8070908@daimi.au.dk...
> Du lægger jo pænt ud, men overser så, at du kan bruge samme trick i
> toppen, som du bruger i bunden. Ak, ja.


Hvad mener du med det, kan du ikke uddybe.

--
Mvh
Anders Lund
Anders@zaimGED.dk
Fjern geden fra min signatur!

---

In <3DBEFA5F.8070908@daimi.au.dk> Rune Zedeler <rz@daimi.au.dk> writes:

>Anders Lund wrote:

>> hvad så med
>> http://www.zaim.dk/mat_oktober.htm

>Takker

>Du lægger jo pænt ud, men overser så, at du kan bruge samme trick i
>toppen, som du bruger i bunden. Ak, ja.
>Min egen løsning var en mellemting mellem din og Lasses (meget pæne
>løsning). Jeg fandt ligesom Lasse ved hjælp af summerne af alle fem frem
>til summen af de to mindste og de to største, men overså at jeg dermed
>kunne finde det midterste på den måde, som Lasse gjorde.

>-Rune

En anden mulighed er at bruge sumtricket til at finde 9
som det midterste tal og trække det fra alle 10 summer.
Iblandt disse leder man så efter par med sum 0 og sum 37
og de er entydigt bestemt, så opgaven er dermed løst.
Man har her kun brugt at de to mindste's sum er 0
og de to største's er 37 og det kræver ikke den store
indsigt.
Er det ikke den simpleste måde at løse den på ?

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

"Kai Birger Nielsen" <bnielsen@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse news:apobor$12ac$1@news.net.uni-c.dk...
> In <3DBEFA5F.8070908@daimi.au.dk> Rune Zedeler <rz@daimi.au.dk> writes:
>
> >Anders Lund wrote:
>
> >> hvad så med
> >> http://www.zaim.dk/mat_oktober.htm
>
> >Takker
>
> >Du lægger jo pænt ud, men overser så, at du kan bruge samme trick i
> >toppen, som du bruger i bunden. Ak, ja.
> >Min egen løsning var en mellemting mellem din og Lasses (meget pæne
> >løsning). Jeg fandt ligesom Lasse ved hjælp af summerne af alle fem frem
> >til summen af de to mindste og de to største, men overså at jeg dermed
> >kunne finde det midterste på den måde, som Lasse gjorde.
>
> >-Rune
>
> En anden mulighed er at bruge sumtricket til at finde 9
> som det midterste tal og trække det fra alle 10 summer.
> Iblandt disse leder man så efter par med sum 0 og sum 37
> og de er entydigt bestemt, så opgaven er dermed løst.
> Man har her kun brugt at de to mindste's sum er 0
> og de to største's er 37 og det kræver ikke den store
> indsigt.
> Er det ikke den simpleste måde at løse den på ?
>
Det må vel komme ud på at tælle antallet af additioner,
sammenligninger etc med andre metoder.
Hvorledes vi skal vægte det mentale forarbejde ved
jeg ikke. Iltforbruget i hjernen?

Mvh
Martin

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:
>
> "Anders Lund" <Anders@zaimGED.dk> writes:
>
> > I dag kl 17 var sidste afleveringstidspunkt for månedens matematik opgave,
> > som hver måned udgives af matematiklæreforeningen.
> > Jeg syntens faktisk den var ret svær i denne måned. Men det kan være der er
> > nogen af jer det syntes den er let. I kan se den på www.mat.dk.
> > Jeg håber der er nogen der kan komme med mere end bare de 5 tal (som man
> > iøvrigt kan finde med google). Jeg har selv en fremgangs måde, men det er
> > meget lang.
>
> Opgaven var:
>
> Der er givet et sæt på fem hele tal. Hvis man lægger dem sammen to og
> to får man summerne
> 0 , 6 , 11 , 12 , 17 , 20 , 23 , 26 , 32 , 37 .
> Find de fem tal.
>
> Antag at de fem tal er forskellige (bare fordi det gør ting lettere).

Det er de. Ellers (hvis to tal var ens) kunne der ikke fremkomme ti
forskellige summer.

I øvrigt er dit bevis fuldstændigt (beviser både eksistensen og
entydigheden af løsningen). Man behøvede ikke at antage at de fem
tal var hele. (Faktisk er den fundne løsning den eneste for reelle
(eller endda komplekse) tal.)

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:8z0iwbf4.fsf@hotpop.com...
>
> Kald de fem tal x1, x2, x3, x4 og x5, ordnet i voksende orden.
>
Jeg må lige vise en løsningsvariant

Kald dem 1,2,3,4,5 i voksende orden

de 10 distinkte summer var:
0 , 6 , 11 , 12 , 17 , 20 , 23 , 26 , 32 , 37

vi får:
1+2=0
1+3=6
..
..
3+5=32
4+5=37

Nu beregnes 1+4=11 og 2+5=26 , så kommer et lidt skarpt argument (tænk selv):
2+3=12 og 3+4=23

Nu er resten trivielt

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Jeg må lige vise en løsningsvariant
>
> Kald dem 1,2,3,4,5 i voksende orden

x1 ... x5 er altså mindre forvirrende! 1+2=0 ser bare forkert ud! :)

> de 10 distinkte summer var:
> 0 , 6 , 11 , 12 , 17 , 20 , 23 , 26 , 32 , 37
>
> vi får:
> 1+2=0
> 1+3=6

> .
> .

> 3+5=32
> 4+5=37

det der står er rigtigt, men jeg ved ikke hvad .'erne betyder.

> Nu beregnes 1+4=11 og 2+5=26 , så kommer et lidt skarpt argument (tænk selv):

Du ved ikke om 1+4=11 eller 2+3=11 (og den anden selvfølgelig 12).

> 2+3=12 og 3+4=23

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:u1j5fb3x.fsf@hotpop.com...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
> > Jeg må lige vise en løsningsvariant
> >
> > Kald dem 1,2,3,4,5 i voksende orden
>
> x1 ... x5 er altså mindre forvirrende! 1+2=0 ser bare forkert ud! :)
>
> > de 10 distinkte summer var:
> > 0 , 6 , 11 , 12 , 17 , 20 , 23 , 26 , 32 , 37
> >
> > vi får:
> > 1+2=0
> > 1+3=6
>
> > .
> > .
>
> > 3+5=32
> > 4+5=37
>
> > Nu beregnes 1+4=11 og 2+5=26 , så kommer et lidt skarpt argument (tænk selv):
>
> Du ved ikke om 1+4=11 eller 2+3=11 (og den anden selvfølgelig 12).
>
> > 2+3=12 og 3+4=23
>
Det var dog en mærkelig måde du spørger på.
Punktummerne er blot ment som en spatiering der antyder at vi nu skal
finde flere summer efter det antydede princip.

1+4=11 fordi det som skrevet står beregnes!
(3+5=32 & 1+3=6 => 1-5=-26, 1-5=-26 & 4+5=37 => 1+4=11 QED ) -
nem hovedregning.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
> "Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse
>>> vi får:
>>> 1+2=0
>>> 1+3=6
>>> .
>>> .
>>> 3+5=32
>>> 4+5=37
>>
>>> Nu beregnes 1+4=11 og 2+5=26 , så kommer et lidt skarpt argument
>>> (tænk selv):
>>
>> Du ved ikke om 1+4=11 eller 2+3=11 (og den anden selvfølgelig 12).
>>
>>> 2+3=12 og 3+4=23
>>
> Det var dog en mærkelig måde du spørger på.

Jeg tænkte det samme som Lasse.

> Punktummerne er blot ment som en spatiering der antyder at vi nu skal
> finde flere summer efter det antydede princip.

Det fremgår ikke klart, hvilket princip der er anvendt.

Men som opgaven er formuleret er det ikke så vigtigt om man kan argumentere
for om princippet er rigtigt før man bruger det. Man kan gætte på en sammenhæng,
finde fem tal og så kontrollere om de fem tal opfylder betingelsen i opgaven. Har
man gættet forkert, må man forsøge igen.

Da jeg løste opgaven gjorde jeg det ved systematisk at spørge:

Kan 0 være det mindste tal? Nej.
Kan 1 være det mindste tal? Nej.
Kan -2 være det mindste tal? Nej.
Kan -3 være det mindste tal? Ja!

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse news:3dbee340$0$97623$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
>
> Jeg tænkte det samme som Lasse.
>
Jeg beklager hvis jeg har været så kortfattet at pointen glipper
for alle læserne. Hvis man forklarer for meget risikerer man
at folk tror de har forstået noget blot fordi sætningens syntaks
ikke virkede for skurrende.
Det er skam et stringent bevis.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse
> news:3dbee340$0$97623$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
>>
>> Jeg tænkte det samme som Lasse.
>>
> Jeg beklager hvis jeg har været så kortfattet at pointen glipper
> for alle læserne. Hvis man forklarer for meget risikerer man
> at folk tror de har forstået noget blot fordi sætningens syntaks
> ikke virkede for skurrende.
> Det er skam et stringent bevis.

Ikke før det er skåret ud i pap, hvad ... betyder.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Det var dog en mærkelig måde du spørger på.
> Punktummerne er blot ment som en spatiering der antyder at vi nu skal
> finde flere summer efter det antydede princip.

Problemet er at jeg ikke kan se hvilket princip der er tale om,
og at jeg troede at det var relevant.

Hvis vi har fem tal, x1..x5, og deres ti par-summer, y1..y10,
begge ordnet ikke-aftagende, så ved vi at de er ordnet som følger
(voksende nedad):

x1+x2
/
x1+x3
/ \
x1+x4 x2+x3
/ \ /
x1+x5 x2+x4
\ / \
x2+x5 x3+x4
\ /
x3+x5
\
x4+x5

(eller mere rektangulært, men mindre intuitivt, voksende nedad og mod højre:

x1+x2
|
x1+x3--x2+x3
| |
x1+x4--x2+x4--x3+x4
| | |
x1+x5--x2+x5--x3+x5--x4+x5
)


Summe hvor der ikke er en sti imellem (ikke noget med at gå både op og ned!)
ved vi ikke umiddelbart hvordan er ordnede i forhold til hinanden, og
forskellige valg af tallene x1..x5 vil give forskellige ordninger.

Derfor ved vi at.

y1 = x1 + x2
y2 = x1 + x3
og
y9 = x3 + x5
y10= x4 + x5

men vi kender ikke de mellemliggende værdier (uden at kende værdien
af x1..x5, men så er det ikke så god en metode til at *finde* løsningen :)).

Jeg havde ikke forstået at de mellemliggende værdier var ligegyldige
for dit argument, og defor blot var udeladt.

> 1+4=11 fordi det som skrevet står beregnes!

> (3+5=32 & 1+3=6 => 1-5=-26, 1-5=-26 & 4+5=37 => 1+4=11 QED ) -
> nem hovedregning.

Den køber jeg ikke! Ikke at det er forkert, men hvis det er nem
hovedregning, så er hele opgaven nem hovedregning (men jeg vil
acceptere at overdrivelse måske fremmer forståelsen :)).

Det var det der var mit problem, at du sagde at "Nu beregnes 1+4=11",
uden at sige hvordan, hvilket fik mig til at tro at det blot var valgt
ud fra (generelt forkerte, men i dette tilfælde korrekte) antagelser.

Så, nu tror jeg på *det*. Først finder man x1+x2, x1+x3, x3+x5 og
x4+x5 direkte. Her kan man bemærke at hvis man har værdien af bare
*en* af x1..x5, så kan man finde resten ud fra disse fire.

Så findes x1+x4 (og x2+x5) som du beskriver her (med nem hovedregning,
eller efter reglen: hvis man kender a+b, b+c og c+d, så kan man finde
a+d som (a+b)-(b+c)+(c+d)). Der er ikke andre par tilbage der kan
findes på den måde, desværre.

Vi skal nu kunne finde x2+x3, og her siger du der skal tænkes.
Det lykkedes ikke :) Kan du give et hint?

Hvis vi kender værdien af x2+x3, så kender både x1+x2, x1+x3 og x2+x3,
og så kan vi finde en vilkårlig af værdierne,f.eks.
(x1+x2)+(x1+x3)-(x2+x3) = (x1+x2)+(x1-x2)= 2*x1,
så x1 =((x1+x2)+(x1+x3)-(x2+x3))/2. Nu kender vi en af værdierne, så kan vi
nemt finde resten.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:n0owgaqs.fsf@hotpop.com...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
> > Det var dog en mærkelig måde du spørger på.
> > Punktummerne er blot ment som en spatiering der antyder at vi nu skal
> > finde flere summer efter det antydede princip.
>
> Problemet er at jeg ikke kan se hvilket princip der er tale om,
> og at jeg troede at det var relevant.
>
Det var dog en frygtelig forklaring du gav. Du må vel indrømme at
min forklaring var mere overskuelig omend tilsyneladende lidt
vanskelig at forstå.
Du har tilsyneladende den dårlige vane at læse ovenfra og ned i stedet
for først at læse hele artiklen.

Lad mig så forsøge at give et mere penetrerende resumé.

1+2=den laveste sum
1+3=den næstlaveste sum
1+4 eller 2+3 den tredjelaveste sum

Tilsvarende for modsatte ende

Da vi er så heldige at kunne beregne 1+4 ud fra det nu givne kan vi ved
at opsøge 3. og 4. laveste tal i listen over de 10 summer afgøre hvem der
er hvem (det kaldte jeg den skarpe pointe, fordi det var det eneste sted vi
behøvede at tænke lidt)

Jeg håber nu du blev enig.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Det var dog en frygtelig forklaring du gav.

Ups! Overdrivelse fremmer ikke forståelsen? :)

> Du må vel indrømme at min forklaring var mere overskuelig omend
> tilsyneladende lidt vanskelig at forstå.

Overskuelig, men det gælder også for den tomme forklaring. Mit problem
med den var at jeg manglede informationer for at forstå hvad der
foregik.

> Du har tilsyneladende den dårlige vane at læse ovenfra og ned i stedet
> for først at læse hele artiklen.

Det sker :) Hvis det jeg læser senere ikke passer så går jeg tilbage
og læser igen, men hvis det ikke hjælper til at finde sammenhængen,
så bliver jeg nødt til at gætte.

> Lad mig så forsøge at give et mere penetrerende resumé.
>
> 1+2=den laveste sum
> 1+3=den næstlaveste sum
> 1+4 eller 2+3 den tredjelaveste sum

....

> Da vi er så heldige at kunne beregne 1+4 ud fra det nu givne kan vi ved
> at opsøge 3. og 4. laveste tal i listen over de 10 summer afgøre hvem der
> er hvem (det kaldte jeg den skarpe pointe, fordi det var det eneste sted vi
> behøvede at tænke lidt)

Ah. Det var det jeg først troede du gjorde, og som ikke passede.

Bare fordi vi ved hvilken af summerne der er den tredjelaveste, ved vi
ikke nødvendigvis hvilken der er fjerdelavest. Hvis 1+4 er
tredjelavest, så er enten 2+3 eller 1+5 fjerdelavest, men vi ved ikke
hvilken.

Et hurtigt eksempel på fem tal hvor 1+4 og 1+5 er tredje- og fjerdelavest:
1 10 11 12 13

> Jeg håber nu du blev enig.

Så, nej, med mindre jeg misforstod noget igen. Det sker, det *er* sent :)

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:y98gercl.fsf@hotpop.com...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
> > Det var dog en frygtelig forklaring du gav.
>
> Ups! Overdrivelse fremmer ikke forståelsen? :)
>
>
> Et hurtigt eksempel på fem tal hvor 1+4 og 1+5 er tredje- og fjerdelavest:
> 1 10 11 12 13
>
> > Jeg håber nu du blev enig.
>
> Så, nej, med mindre jeg misforstod noget igen. Det sker, det *er* sent :)
>
Jeg er bange for at jeg blev forlokket af mine indices, så jeg må nok
indtil jeg finder på noget indrømme at man kan økonomisere for
meget med sin analyse. Men metoden fastlægger i dette tilfælde
de 3 første i begge ender. Så tvivlen angår 2+3 1+5 og 3+4 2+4
Men finder nemt en løsning, men helt direkte er metoden vel ikke.
Måske er jeg tilbage med et fix senere.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> Men metoden fastlægger i dette tilfælde de 3 første i begge ender.

I dette tilfælde er det de tre yderste i hver ende. I det generelle
tilfælde er x1+x4 enten den tredje- eller fjerdemindste. Faktisk er
dette eksempel pessimalt, fordi hvis x1+x4 havde været fjerdemindst,
så havde man vidst at x2+x3 var tredjemindst (og samme i modsatte
ende), og bare en af disse havde været nok til at løse opgaven.

> Så tvivlen angår 2+3 1+5 og 3+4 2+4.

Bare en af dem er faktisk nok. Hvis man har tre summe på formen a+b,
a+c og b+c, så kan man finde værdien af a, b og c.

[Helt anden tilgangsvinkel, for nørder som godt kan lide grafer: Hvis
man laver en graf med tallene x1..x5 som knuder og med kanter mellem
fx x1 og x2 hvis vi kender værdien af x1+x2, så kan vi løse opgaven
hvis vi har en cykel med ulige længde. Hvis vi har en sti med ulige
længde kan vi forbinde endepunkterne (det var det der skete da x1+x4
og x2+x5 blev fundet). Når vi netop mangler x2+x3, x1+x5, x3+x4 og
x2+x4, så er der ingen cykler med ulige længde, og ingen stier med
ulige længde hvis ender ikke er forbundne, men hvis vi tilføjer bare
en kant til, så er der en tre-cykel.]

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:r8e8eowy.fsf@hotpop.com...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
> > Men metoden fastlægger i dette tilfælde de 3 første i begge ender.
>
> I dette tilfælde er det de tre yderste i hver ende. I det generelle
> tilfælde er x1+x4 enten den tredje- eller fjerdemindste. Faktisk er
> dette eksempel pessimalt, fordi hvis x1+x4 havde været fjerdemindst,
> så havde man vidst at x2+x3 var tredjemindst (og samme i modsatte
> ende), og bare en af disse havde været nok til at løse opgaven.
>
> > Så tvivlen angår 2+3 1+5 og 3+4 2+4.
>
> Bare en af dem er faktisk nok. Hvis man har tre summe på formen a+b,
> a+c og b+c, så kan man finde værdien af a, b og c.

*Heldigvis findes der et fix*

I det pessimale tilfælde har Gud indrettet det så viseligt
at vi blot skal tage summen af de 6 fundne summer og
fratrække summen af de 4 ubestemte dividere med 2
og vi har 1+5

Mvh
Martin


> 'Faith with spirit divine.'

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:apm170$avs$1@sunsite.dk...
>
> "Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:8z0iwbf4.fsf@hotpop.com...
> >
> > Kald de fem tal x1, x2, x3, x4 og x5, ordnet i voksende orden.
> >
> Jeg må lige vise en løsningsvariant
>
Til dem der er interesserede i en lidt exotisk løsning og som ikke
fik fat i den lange tråd skulle jeg måske lige opsummere resultatet
med Reichsteins korrekturlæsning og notation.

Vi kan umidelbart nedskrive hvem der danner de to yderste summer
i hver ende af den ordnede tabel over de 10 summer:
x1+x2=0
x1+x3=6

i modsatte ende:

x5+x3=32
x5+x4=37

Med disse ligninger ses at vi nemt beregner
x1+x4=11 og
x2+x5=26

på 3.-pladsen er kandidaterne i begge ender henholdsvis
x1+x4, x2+x3, x1+x5 og
x2+x5, x3+x4, x2+x4

Hvis *begge* 3.-pladser udgøres af de to beregnede (som her)
har vi det pessimale tilfælde (se senere)

Ellers udfyldes den ledige 3.-plads i den lave ende af x2+x3
eller i den høje ende af x3+x4 og ligninger trevles nu let op.

I det pessimale tilfælde ses at man kan beregne x1+x5
ved at tage summen af de 6 kendte tilfælde og fradrage de
4 ubekendte og dele med 2. Herefter er fås resten nemt.

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:app2eb$hi7$1@sunsite.dk...
>
> på 3.-pladsen er kandidaterne i begge ender henholdsvis

x1+x5 og x2+x4 kan selvfølgelig ikke stå på 3.pladsen, men
kan være på 4.-pladsen i specialtilfældet. Lidt vanskeligt at
forklare og uden betydning for beregningen.

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:app2eb$hi7$1@sunsite.dk...
> >
> > på 3.-pladsen er kandidaterne i begge ender henholdsvis
>
> x1+x5 og x2+x4 kan selvfølgelig ikke stå på 3.pladsen, men
> kan være på 4.-pladsen i specialtilfældet. Lidt vanskeligt at
> forklare og uden betydning for beregningen.

x1+x4 vil altid være mindre end eller lig med x1+x5 og x2+x4, så
derfor er de henvist til en placering højere end 3.

Det er ret nemt at gennemskue de forskellige mulige placeringer ud fra
Lasses diagram.

--
Kim Hansen | |\ _,,,---,,_ | Det er ikke
Dalslandsgade 8, A708 | /,`.-'`' -. ;-;;,_ | Jeopardy.
2300 København S | |,4- ) )-,_. ,\ ( `'-' | Svar _efter_
Phone: 32 88 60 86 | '---''(_/--' `-'\_) | spørgsmålet.

---

"Kim Hansen" <k-tahf.qvxh@oek.dk> skrev i en meddelelse news:x62u1j3pm9j.fsf@tyr.diku.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
> > "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:app2eb$hi7$1@sunsite.dk...
> > >
> > > på 3.-pladsen er kandidaterne i begge ender henholdsvis
> >
> > x1+x5 og x2+x4 kan selvfølgelig ikke stå på 3.pladsen, men
> > kan være på 4.-pladsen i specialtilfældet. Lidt vanskeligt at
> > forklare og uden betydning for beregningen.
>
> x1+x4 vil altid være mindre end eller lig med x1+x5 og x2+x4, så
> derfor er de henvist til en placering højere end 3.
>
Ja, man kommer nemt til at kløjs i det her. x2+x4 er henvist til en
plads >3 fra det *anden* ende (Det er mindre end x2+x5)

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:

> "Kim Hansen" <k-tahf.qvxh@oek.dk> skrev i en meddelelse news:x62u1j3pm9j.fsf@tyr.diku.dk...
> > x1+x4 vil altid være mindre end eller lig med x1+x5 og x2+x4, så
> > derfor er de henvist til en placering højere end 3.
> >
> Ja, man kommer nemt til at kløjs i det her. x2+x4 er henvist til en
> plads >3 fra det *anden* ende (Det er mindre end x2+x5)

Jep. Hvis man kigger på alle summerne, og ser hvor mange der
nødvendigvis må være mindre eller større end hver, så kan man se
hvilke mulige positioner hver har i rækken:

sum mulige positioner i rækkefølge ordnet efter størrelse
x1+x2 1
x1+x3 2
x1+x4 3-4
x2+x3 3-5
x1+x5 4-7
x2+x4 5-6
x3+x4 6-8
x2+x5 7-8
x3+x5 9
x4+x5 10

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>

> Jep. Hvis man kigger på alle summerne, og ser hvor mange der
> nødvendigvis må være mindre eller større end hver, så kan man se
> hvilke mulige positioner hver har i rækken:

Heldigvis behøver man ikke holde styr på mere end de fire der er
entydigt givne:

> sum mulige positioner i rækkefølge ordnet efter størrelse
> x1+x2 1
> x1+x3 2
> x3+x5 9
> x4+x5 10

De resterende seks kan man bare lægge sammen - det giver i alt fem
ligninger med fem ubekendte og koefficientmatricen

1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
2 3 2 3 2
0 0 1 0 1
0 0 0 1 1

som (ved udvikling efter midterrækken) har determinant -2+3+2+3-2
= 8 != 0, hvorfor ligningssystemet har en entydig løsning.

--
Henning Makholm "You are in a little twisting
maze of passages, all different"

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> De resterende seks kan man bare lægge sammen - det giver i alt fem
> ligninger med fem ubekendte og koefficientmatricen
>
> 1 1 0 0 0
> 1 0 1 0 0
> 2 3 2 3 2
> 0 0 1 0 1
> 0 0 0 1 1
>
> som (ved udvikling efter midterrækken) har determinant -2+3+2+3-2
> = 8 != 0, hvorfor ligningssystemet har en entydig løsning.

Se *det* var smart!

/L 'work smarter, not harder!'
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:adkv2tbw.fsf@hotpop.com...
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>
> > De resterende seks kan man bare lægge sammen - det giver i alt fem
> > ligninger med fem ubekendte og koefficientmatricen
> >
> > 1 1 0 0 0
> > 1 0 1 0 0
> > 2 3 2 3 2
> > 0 0 1 0 1
> > 0 0 0 1 1
> >
> > som (ved udvikling efter midterrækken) har determinant -2+3+2+3-2
> > = 8 != 0, hvorfor ligningssystemet har en entydig løsning.
>
> Se *det* var smart!
>
Joe, men så får man jo ikke mulighed for evt. at undgå en "lang" summation.

Mvh
Martin

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> som (ved udvikling efter midterrækken) har determinant -2+3+2+3-2
> = 8 != 0,

Hovsa. Jeg kan ikke regne. -2+3+2+3-2 er ikke 8 men 4. (Og at 4 er
den rigtige determinant man man også med lidt pusleri se ved
rækkeoperationer i stedet for udvikling).

--
Henning Makholm "PROV EN FORFRISKNING FRISKLAIL DEM"

---

"Lasse Reichstein Nielsen" <lrn@hotpop.com> skrev i en meddelelse news:iszj2utp.fsf@hotpop.com...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> writes:
>
> > "Kim Hansen" <k-tahf.qvxh@oek.dk> skrev i en meddelelse news:x62u1j3pm9j.fsf@tyr.diku.dk...
> > > x1+x4 vil altid være mindre end eller lig med x1+x5 og x2+x4, så
> > > derfor er de henvist til en placering højere end 3.
> > >
> > Ja, man kommer nemt til at kløjs i det her. x2+x4 er henvist til en
> > plads >3 fra det *anden* ende (Det er mindre end x2+x5)
>
> Jep. Hvis man kigger på alle summerne, og ser hvor mange der
> nødvendigvis må være mindre eller større end hver, så kan man se
> hvilke mulige positioner hver har i rækken:
>
> sum mulige positioner i rækkefølge ordnet efter størrelse
> x1+x2 1
> x1+x3 2
> x1+x4 3-4
> x2+x3 3-5
> x1+x5 4-7
> x2+x4 5-6
> x3+x4 6-8
> x2+x5 7-8
> x3+x5 9
> x4+x5 10
>
Sidespring: Hvorfor tager Makholm ikke bare koefficienterne 1 1 1 1 1
fra den totale sum?
Nu tænder jeg lige for propellen i min stanniolshat.

En nemmere løsning til det pessimale tilfælde.

Det bliver lidt nemmere at overskue hvis vi ser at vi har
x2+x3 x2+x4 x3+x4 og x1+x5 findes på en af de 4 positioner.

De 4 summer var 12 17 20 23
Differenser er 5 3 3
x1+x5 er den eneste der kan bidrage til ikke-distinkte differenser -
ergo kan den ikke være på 1.-pladsen, som altså må være x2+x3.

Kan det være mere enkelt

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:aprkm7$b1e$1@sunsite.dk...
>
Undskyld det sidste var noget sludder

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:aprlmv$ihl$1@sunsite.dk...
>
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:aprkm7$b1e$1@sunsite.dk...
> >
> Undskyld det sidste var noget sludder
>
Vi ved derimod at den sidste differens skal være 6 (ses umiddelbart
af de 2 første ligninger) hvis x1+x5 ikke er indblandet, hvilket den
altså må være.

Nu slukker jeg propellen i denne omgang

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>

> Sidespring: Hvorfor tager Makholm ikke bare koefficienterne 1 1 1 1 1
> fra den totale sum?

Mest fordi det kan være hip som hap. Summen af dem vi ikke havde brugt
endnu var det der først faldt mig ind. Men ser man på matricen er de
to fremgangsmåder jo nærmest ækvivalente - og man skal stadig udregne
determinanten af

1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 1

for at se at man får tilstrækkelig mange oplysninger. Evt kan
determinanten udledes ved at Gauss-reducere matricen, hvilket
indebærer at man samtidig (næsten) løser ligningerne.

> Kan det være mere enkelt

Jeg synes stadig den uniforme metode med et enkelt ligningssystem er
enklere.

--
Henning Makholm "We can build reactors, we can melt
ice. Or engineers can be sent north for
re-education until they *do* understand ice."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:yahlm4eedq6.fsf@pc-043.diku.dk...
> Evt kan
> determinanten udledes ved at Gauss-reducere matricen, hvilket
> indebærer at man samtidig (næsten) løser ligningerne.
>
Behøver vi at bekymre os om determinanten når det ser ud til at
vi finder en entydig løsning?

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev

> > Evt kan
> > determinanten udledes ved at Gauss-reducere matricen, hvilket
> > indebærer at man samtidig (næsten) løser ligningerne.

> Behøver vi at bekymre os om determinanten når det ser ud til at
> vi finder en entydig løsning?

Nej. Det var bare den mest kortfattede måde jeg lige kunne argumentere
for at vi faktisk finder en entydig løsning.

--
Henning Makholm "We will discuss your youth another time."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:yahznsucxj3.fsf@pc-043.diku.dk...
> Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> > "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev
>
> > > Evt kan
> > > determinanten udledes ved at Gauss-reducere matricen, hvilket
> > > indebærer at man samtidig (næsten) løser ligningerne.
>
> > Behøver vi at bekymre os om determinanten når det ser ud til at
> > vi finder en entydig løsning?
>
> Nej. Det var bare den mest kortfattede måde jeg lige kunne argumentere
> for at vi faktisk finder en entydig løsning.
>
Vi er selvfølgelig enige om at det holdes for god latin at man finder en
entydig løsning når det<>0, men din påstand kræver et modeksempel,
og jeg vil forudsætte at vi anvender rækkeoperationer indtil vi har 0'er
under hoveddiagonalen og ingen af rækkerne er lutter 0'er :->

Mvh
Martin

---

Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net>

> > Nej. Det var bare den mest kortfattede måde jeg lige kunne argumentere
> > for at vi faktisk finder en entydig løsning.

> Vi er selvfølgelig enige om at det holdes for god latin at man finder en
> entydig løsning når det<>0, men din påstand kræver et modeksempel,

Jeg er ikke med. Hvilken påstand er det du vil have et modeksempel
til?

--
Henning Makholm "... a specialist in the breakaway
oxidation phenomena of certain nuclear reactors."

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:aprsgv$mh1$1@sunsite.dk...
>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse news:yahznsucxj3.fsf@pc-043.diku.dk...
> > Scripsit "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk>
> > > "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev
> >
> > > > Evt kan
> > > > determinanten udledes ved at Gauss-reducere matricen, hvilket
> > > > indebærer at man samtidig (næsten) løser ligningerne.
> >
> > > Behøver vi at bekymre os om determinanten når det ser ud til at
> > > vi finder en entydig løsning?
> >
> > Nej. Det var bare den mest kortfattede måde jeg lige kunne argumentere
> > for at vi faktisk finder en entydig løsning.
> >
> Vi er selvfølgelig enige om at det holdes for god latin at man finder en
> entydig løsning når det<>0, men din påstand kræver et modeksempel,
> og jeg vil forudsætte at vi anvender rækkeoperationer indtil vi har 0'er
> under hoveddiagonalen og ingen af rækkerne er lutter 0'er :->
>
Jeg misforstod vist din formulering. Faktisk kan man jo godt gå galt i
byen hvis man bruger ubetænksom substitution.

Mvh
Martin

---

"Anders Lund" <Anders@zaimGED.dk> skrev i en meddelelse news:apk5e0$q5l$1@sunsite.dk...
> I dag kl 17 var sidste afleveringstidspunkt for månedens matematik opgave,
> som hver måned udgives af matematiklæreforeningen.
> Jeg syntens faktisk den var ret svær i denne måned. Men det kan være der er
> nogen af jer det syntes den er let. I kan se den på www.mat.dk.
> Jeg håber der er nogen der kan komme med mere end bare de 5 tal (som man
> iøvrigt kan finde med google). Jeg har selv en fremgangs måde, men det er
> meget lang.
>
Jeg bemærker at det er heldigt at der er netop K(5,2)=10 forskellige summer.
Derpå siger et groft skøn at der er K(9,3)=42 muligheder der bør afprøves med
henblik på at finde heltalsløsninger. Jeg gider ikke ..

Mvh
Martin

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse news:apk96v$d4a$1@sunsite.dk...
>
> "Anders Lund" <Anders@zaimGED.dk> skrev i en meddelelse news:apk5e0$q5l$1@sunsite.dk...
> > I dag kl 17 var sidste afleveringstidspunkt for månedens matematik opgave,
> > som hver måned udgives af matematiklæreforeningen.
> > Jeg syntens faktisk den var ret svær i denne måned. Men det kan være der er
> > nogen af jer det syntes den er let. I kan se den på www.mat.dk.
> > Jeg håber der er nogen der kan komme med mere end bare de 5 tal (som man
> > iøvrigt kan finde med google). Jeg har selv en fremgangs måde, men det er
> > meget lang.
> >
> Jeg bemærker at det er heldigt at der er netop K(5,2)=10 forskellige summer.
> Derpå siger et groft skøn at der er K(9,3)=42 muligheder der bør afprøves med
> henblik på at finde heltalsløsninger. Jeg gider ikke ..
>
Korrektion 84 - gider endnu mindre

---

"Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
news:apk96v$d4a$1@sunsite.dk...

> Jeg bemærker at det er heldigt at der er netop K(5,2)=10 forskellige
summer.
> Derpå siger et groft skøn at der er K(9,3)=42 muligheder der bør afprøves
med
> henblik på at finde heltalsløsninger. Jeg gider ikke ..

Kan du ikke uddybe det. Hvad betyder K(*,*)

--
Mvh
Anders Lund
Anders@zaimGED.dk
Fjern geden fra min signatur!

---

"Anders Lund" <Anders@zaimGED.dk> skrev i en meddelelse news:apk9st$fu6$1@sunsite.dk...
> "Martin Larsen" <mlarsen@post7.tele.dk> skrev i en meddelelse
> news:apk96v$d4a$1@sunsite.dk...
>
> > Jeg bemærker at det er heldigt at der er netop K(5,2)=10 forskellige
> summer.
> > Derpå siger et groft skøn at der er K(9,3)=42 muligheder der bør afprøves
> med
> > henblik på at finde heltalsløsninger. Jeg gider ikke ..
>
> Kan du ikke uddybe det. Hvad betyder K(*,*)
>
Ved K(a,b) mener jeg (1*2*...*a)/((1*2*..*b)(1*2*..*(a-b)))

I ord: på hvor mange måder kan man tage antal b ud af a forskellige (a>=b)

(Den vel mest grundlæggende formel i kombinatorikken)

Mvh
Martin