---

Hej gruppe.

Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for at
argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning vha.
lagkagedeling.

Mvh. Erik D.

---

Erik Daugaard skrev:

>Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for at
>argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
>komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning vha.
>lagkagedeling.

+ * + giver næppe problemer.

Man kan forklare de negative tal ved at sammenligne med gæld
eller frostgrader.

5 * (-8) = (-40)
   Man skylder 5 kr. væk til 8 mennesker: 40 kr. i alt.
(og omvendt)

Der er ingen dagligdags parallel til - * -. Men man kan
sandsynliggøre det ved at forklare at
(-5)*(-8) må være det modsatte af (5)*(-8).

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen skrev:

> Man kan forklare de negative tal ved at sammenligne med gæld
> eller frostgrader.
>
> 5 * (-8) = (-40)
> Man skylder 5 kr. væk til 8 mennesker: 40 kr. i alt.
> (og omvendt)

Måske bedre med (-5)*8 = (-40), når det, som i dit eksempel, er de 5 kr. man
skylder væk. Måske lige meget, men bare lige for forståelsen skyld.

--
Flemming Jensen

---

"Erik Daugaard" <erikdaugaard@tdcadsl.dk> writes:

> Hej gruppe.
>
> Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for at
> argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
> komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning vha.
> lagkagedeling.

Jeg har hørt følgende "huskeregel":

Når det går godt for din ven, er det godt. (+ * + = +)
Når det går skidt for din ven, er det skidt. (- * + = -)
Når det går godt for din fjende, er det skidt. (+ * - = -)
Når det går skidt for din fjende, er det godt. (- * - = +)

   Torben

---

Erik Daugaard wrote:

> Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for at
> argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
> komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning vha.
> lagkagedeling.

Hej Erik

Skal dit spørgsmål forstås sådan:

"Hvorfor er -(-2) = 2 ?"

Så har jeg et bud:


Det hele bunder i, hvad -a egentlig betyder.

Hvis a er et tal, er -a per definition det tal, som når det lægges til
a, giver 0.

(I) Hvis a + b = 0, kan man altså konkludere, at b = -a.

Vi har nu, at

a + (-a) = 0

eller (da det er ligegyldigt hvilken rækkefølge, vi lægger sammen i)

(-a) + a = 0.

Her står, at man får 0, når a lægges til -a, men så er

a = -(-a).

ifølge (1), for -(-a) er det tal, som man skal lægge til -a for at få 0.

--
Jens Axel Søgaard

---

Det er ikke så galt: se her:


(5-3)*(7-2) = 35-10-21+6 = (2*5) = 10

Set som et rektangel med siderne 5 og 7:

Først tages hele arealet


* * * * * * *
* * * * * * *
* * * * * * * 5*7 = 35
* * * * * * *
* * * * * * *

så trækkes to delrektangler fra:

* *
* *
* * 5*-2 = -10
* *
* *

* * * * * * *
* * * * * * * -3*7 = -21
* * * * * * *

men nu er vi kommet til at trække for meget fra, så derfor lægger
vi overlappet mellem de to delrektangler til:


* *
* * -3*-2 = 6
* *

Måske ikke et bevis, men anskueligt!

mvh Thomas Riedel


"Erik Daugaard" <erikdaugaard@tdcadsl.dk> wrote in message
news:3db3f578$0$97616$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
> Hej gruppe.
>
> Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for
at
> argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
> komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning vha.
> lagkagedeling.
>
> Mvh. Erik D.
>
>

---

Er der nogen, der kan følge mig i nedenstående?

"Thor" <thr@image.danmark> wrote in message
news:WmZs9.149926$Qk5.5697872@news010.worldonline.dk...
> Det er ikke så galt: se her:
>
>
> (5-3)*(7-2) = 35-10-21+6 = (2*5) = 10
>
> Set som et rektangel med siderne 5 og 7:
>
> Først tages hele arealet
>
>
> * * * * * * *
> * * * * * * *
> * * * * * * * 5*7 = 35
> * * * * * * *
> * * * * * * *
>
> så trækkes to delrektangler fra:
>
> * *
> * *
> * * 5*-2 = -10
> * *
> * *
>
> * * * * * * *
> * * * * * * * -3*7 = -21
> * * * * * * *
>
> men nu er vi kommet til at trække for meget fra, så derfor lægger
> vi overlappet mellem de to delrektangler til:
>
>
> * *
> * * -3*-2 = 6
> * *
>
> Måske ikke et bevis, men anskueligt!
>
> mvh Thomas Riedel
>
>
> "Erik Daugaard" <erikdaugaard@tdcadsl.dk> wrote in message
> news:3db3f578$0$97616$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
> > Hej gruppe.
> >
> > Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for
> at
> > argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
> > komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning
vha.
> > lagkagedeling.
> >
> > Mvh. Erik D.
> >
> >
>
>

---

Thor wrote:
>
> Er der nogen, der kan følge mig i nedenstående?

Ja, det er en slags inklusion-eksklusions-halløj. Man starter med det
store rektangel og fjerner først det høje rektangel ude til højre
så man får den rette bredde. Så fjerner man et lavt, langt rektangel
nede i bunden. Men så er man kommet til at trække det lille rektangel
i nederste højre hjørne fra *to* gange, så dét lægger man til én gang
for at pengene skal passe.

Hvis folk i øvrigt vil acceptere at

(a-b)·(c-d) = a·c + a·(-d) + (-b)·c + (-b)·(-d) = a·c - a·d - b·c + (-a)·(-d)

så kan de nok også bringes til at tro på at (-a)·(-d) = a·d .

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

OK ja, Thor. Rosen kommer bare ikke før til sidst, når tråden er endt. Erik
D.
"Thor" <thr@image.danmark> skrev i en meddelelse
news:CTAt9.169446$Qk5.5922696@news010.worldonline.dk...
>
> Er der nogen, der kan følge mig i nedenstående?
>
> "Thor" <thr@image.danmark> wrote in message
> news:WmZs9.149926$Qk5.5697872@news010.worldonline.dk...
> > Det er ikke så galt: se her:
> >
> >
> > (5-3)*(7-2) = 35-10-21+6 = (2*5) = 10
> >
> > Set som et rektangel med siderne 5 og 7:
> >
> > Først tages hele arealet
> >
> >
> > * * * * * * *
> > * * * * * * *
> > * * * * * * * 5*7 = 35
> > * * * * * * *
> > * * * * * * *
> >
> > så trækkes to delrektangler fra:
> >
> > * *
> > * *
> > * * 5*-2 = -10
> > * *
> > * *
> >
> > * * * * * * *
> > * * * * * * * -3*7 = -21
> > * * * * * * *
> >
> > men nu er vi kommet til at trække for meget fra, så derfor lægger
> > vi overlappet mellem de to delrektangler til:
> >
> >
> > * *
> > * * -3*-2 = 6
> > * *
> >
> > Måske ikke et bevis, men anskueligt!
> >
> > mvh Thomas Riedel
> >
> >
> > "Erik Daugaard" <erikdaugaard@tdcadsl.dk> wrote in message
> > news:3db3f578$0$97616$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
> > > Hej gruppe.
> > >
> > > Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug
for
> > at
> > > argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der
kan
> > > komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning
> vha.
> > > lagkagedeling.
> > >
> > > Mvh. Erik D.
> > >
> > >
> >
> >
>
>

---

Hej.

> Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for
at
> argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
> komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning vha.
> lagkagedeling.

Hvis du bruger at -a = -1*a, så kan du omskrive:

(-a)*(-b) = -1*a*(-b) = (-1)*a*(-1)*b = (-1)*(-1)*a*b = -(-a*b) = a*b

-mb

---

"Martin Bundgaard" <noway@noway.noway> writes:

> Hvis du bruger at -a = -1*a, så kan du omskrive:
>
> (-a)*(-b) = -1*a*(-b) = (-1)*a*(-1)*b = (-1)*(-1)*a*b = -(-a*b) = a*b

Og så er vi tilbage ved spørgsmålet om hvorfor minus gange minus giver
plus.

--
"Do you mind? I'm talking to my demon."

---

Stefan Holm skrev:

>Og så er vi tilbage ved spørgsmålet om hvorfor minus gange minus giver
>plus.

Ja. Hvis man vil bevise det, kan man gå ud fra at

   (5-5) * (-8) = 0

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

> > Hvis du bruger at -a = -1*a, så kan du omskrive:
> >
> > (-a)*(-b) = -1*a*(-b) = (-1)*a*(-1)*b = (-1)*(-1)*a*b = -(-a*b) =
a*b
>
> Og så er vi tilbage ved spørgsmålet om hvorfor minus gange minus giver
> plus.

Jens Axel Søgaard allerede har forklaret hvorfor -(-a) = a ovenfor.

Ideen med dette indlæg var blot at gøre det (lidt) mere åbenlyst, hvorfor
netop det er kernen i det oprindelige spørgsmål.

-mb

---

Martin Bundgaard wrote:
>
> Hvis du bruger at -a = -1*a, så kan du omskrive:
>
> (-a)*(-b) = -1*a*(-b) = (-1)*a*(-1)*b = (-1)*(-1)*a*b = -(-a*b) = a*b

Hvis man véd at negationen af negationen af et tal er tallet selv,
og hvis man accepterer reglen

(-x)·y = -(x·y) = x·(-y)

der kan kaldes »minus gange plus giver minus«, kan man skrive

(-a)·(-b) = -(a·(-b)) = -(-(a·b)) = a·b

Der er ingen grund til at bruge ét-taller, og reglen gælder også i de
tilfælde hvor der ikke findes et multiplikativt neutralt element.

Dybest set er det den distributive lov (reglen om at gang ind i paren-
teser) der fører til den »mystiske lov« at minus gange minus er plus.

Nogle mennesker kan godt lide at sandsynliggøre at to negationer op-
hæver hinanden, ved at bruge eksempler af sproglig art. Men det er jo
ikke klart (a priori) hvad logiske negationer (»ikke«) har at gøre med
modsatte (positive og negative) tal.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

>Nogle mennesker kan godt lide at sandsynliggøre at to negationer op-
>hæver hinanden, ved at bruge eksempler af sproglig art.

Sproglige forklaringer og sammenligninger med dagligdags
fænomener letter forståelsen af negative tal. Jeg brugte
temperatur og gæld som eksempler.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Erik Daugaard wrote:
>
> Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for at
> argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
> komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning vha.
> lagkagedeling.

Hvis man skal forklare det meget teknisk, følger det af aksiomerne for
en ring (R,+,·). Man bør i nærværende sammenhæng udelukkende bruge
tegnet minus i den unære betydning (til at betegne det additive invers-
element til et givet element).

Det svære er at undgå at bruge andet end ring-aksiomerne. I bogen
Allenby: »Rings, fields and groups« vises det (pp. 12ff) at

for alle a og b: (-a)·(-b) = a·b (»den mystiske lov«)

strengt ud fra aksiomerne. Beviset fungerer ud fra et lemma der først
etablerer at

(i) for alle c: 0·c = 0
(ii) for alle a og b: (-a)·b = -(a·b)
(iii) for alle c: -(-c) = c

Her betegner »0« det additive neutral-element.

Det viser sig at man kun behøver følgende aksiomer til beviset:
- De aksiomer der siger at (R,+,0) er en gruppe.
- Den distributive lov

Man skal ikke bruge at addition er kommutativ. Man skal heller ikke
bruge at multiplikation er associativ, og slet ikke at der findes et
multiplikativt neutralt element (ét-element).

Så det er ikke nødvendigt at inddrage »1« og »-1« i beviset.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Erik Daugaard wrote:

> > Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for at
> > argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
> > komme med en god forklaring

> Hvis man skal forklare det meget teknisk, følger det af aksiomerne for
> en ring (R,+,·).

Og jeg tror ikke der er nogen vej udenom den tekniske forklaring. Man
bliver nødt til enten at give den eller nøjes med at postulere den
("Minus gange minus er nødt til at give plus, for det er den eneste
måde at få de regneregler vi kender fra positive tal til at gælde for
negative tal også").

Muligvis kan man slippe lidt lettere ved at lade være med at gå helt
til aksiomerne, fx ved at regne

a*b = [ 0 gange hvadsomhelst er 0 ]
a*b + 0 * (-b) = [ a-a = 0 skal gælde ]
a*b + (a-a)*(-b) = [ "plus minus" = "minus" ]
a*b + (a+(-a))*(-b) = [ gang ind i parentesen ]
a*b + a*(-b) + (-a)*(-b) = [ minus gange plus er minus ]
a*b + -(a*b) + (-a)*(-b) = [ x-x = 0 med x=a*b ]
0 + (-a)*(-b) = [ 0-x = x ]
(-a)*(-b)

Det forudsætter at man har set "minus gange plus er minus", men det
kan man lettere motivere intuitivt ved at se på gæld eller lignende.

--
Henning Makholm "Need facts -- *first*. Then
the dialysis -- the *analysis*."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahelaiwap4.fsf@pc-043.diku.dk...

> Muligvis kan man slippe lidt lettere ved at lade være med at gå helt
> til aksiomerne, fx ved at regne
>
> a*b = [ 0 gange hvadsomhelst er 0 ]
> a*b + 0 * (-b) = [ a-a = 0 skal gælde ]
> a*b + (a-a)*(-b) = [ "plus minus" = "minus" ]
> a*b + (a+(-a))*(-b) = [ gang ind i parentesen ]
> a*b + a*(-b) + (-a)*(-b) = [ minus gange plus er minus ]
> a*b + -(a*b) + (-a)*(-b) = [ x-x = 0 med x=a*b ]
> 0 + (-a)*(-b) = [ 0-x = x ]
> (-a)*(-b)

Aksiomerne skal jo stadig i sving - det er bare lidt mere intuivt :)

---

Scripsit "Anders Gorst-Rasmussen" <agorst@mail1.stofanet.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse

> > Muligvis kan man slippe lidt lettere ved at lade være med at gå helt
> > til aksiomerne, fx ved at regne

> Aksiomerne skal jo stadig i sving

Ikke nødvendigvis, hvis det bare gælder om at overbevise en tilhører
på folkeskoleniveau om at "minus gange minus giver plus" er den
rigtige regel. Sådanne tilhørere aner alligevel ikke hvilke regler der
er aksiomer og hvilke der er afledte. Så i stedet for at se på
aksiomer bør man nøjes med at udlede fra "de regler som tilhøreren i
forvejen tror på".

--
Henning Makholm "They have a word for people our age.
They call us children and treat us like mice."

---

> Ikke nødvendigvis, hvis det bare gælder om at overbevise en tilhører
> på folkeskoleniveau om at "minus gange minus giver plus" er den
> rigtige regel. Sådanne tilhørere aner alligevel ikke hvilke regler der
> er aksiomer og hvilke der er afledte. Så i stedet for at se på
> aksiomer bør man nøjes med at udlede fra "de regler som tilhøreren i
> forvejen tror på".

Det er selvfølgelig rigtigt. Og for det findes der jo mange argumenter.

Man kunne f.eks. også koge det ned til, at det må dreje sig om at vise,
at (-1)*(-1)=1, eftersom (-a)(-b) = (-1)(a)(-1)(b) = (-1)(-1)ab .
Da fås:

1+(-1)=0 <=> [den additive invers til 1 er -1]

1 + 1*(-1)=0 <=> [vi kan gange med 1 uden at det ændrer noget]

1 = -(1)*(-1) <=> [træk 1*(-1) fra på begge sider]

1 = (-1)*(-1) [...og vi får det ønskede].

---

Tak til jer som svarede. Nu kan jeg bedre forstå hvorfor jeg selv har så
svært ved at argumentere for det.
Det er jo ligefør man bare - jeg mener................ved i så hvorfor der
skal 3 præmenstruelle kvinder til at skifte en elektrisk pære ??
FORDI DET SKAAAAAL DER ALTSÅ BAAAARE !!!!!!!!!!!!

Mvh. Erik D






"Erik Daugaard" <erikdaugaard@tdcadsl.dk> skrev i en meddelelse
news:3db3f578$0$97616$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
> Hej gruppe.
>
> Nu er jeg et par gange havnet i en situation, hvor jeg har haft brug for
at
> argumentere for at minus * minus = +. Er der ikke nogen af jer der kan
> komme med en god forklaring - lidt i stil med at forklare brøkregning vha.
> lagkagedeling.
>
> Mvh. Erik D.
>
>