---

Hej

Jeg har lige et lille spørgsmål ang. matematik på b-niveau. Når man skal
finde rødder i et fjerdegradspolynomium, er det så muligt at både x=3 og
x=-3 kan være rødder? Jeg mener at det skulle være muligt, men jeg er ikke
_helt_ sikker.

Jeg har en opgave, som jeg ikke kan finde ud af, om jeg er færdig med eller
har lavet forkert.

f(x) = x^4-5x^2-36

Jeg gætter på x=3 og x=-3 som rødder hvor efter jeg dividerer f(x) med x-3.
Den nye funktion kalder jeg g(x)=x^3+3x^2+4x+12, som jeg så dividerer med
x+3, fordi x=-3 er rod. Jeg får så efter et lidt anderledes division
resultatet h(x)=x^2+4, men denne andengradsligning har ingen rødder, så
enten har jeg lavet det forkert, eller så er det bare kun 2 rødder til f(x),
som så skulle være x=3 og x=-3.

Håber en eller anden vil bruge et par minutter og hjælpe =)

1000-tak
__
Flemming Jensen

---

Flemming Jensen (CyberOrc@tiscali.dk) wrote:
> Hej
>
> Jeg har lige et lille spørgsmål ang. matematik på b-niveau. Når man skal
> finde rødder i et fjerdegradspolynomium, er det så muligt at både x=3 og
> x=-3 kan være rødder? Jeg mener at det skulle være muligt, men jeg er ikke
> _helt_ sikker.


(x-3)^2 * (x+3)^2 er et fjerdegradspolynomie med (dobbelt)rødder 3 og -3.

Idet du har fundet roden x=r, så har du samtidig fundet at dit polynomie kan
skrives som (x-r)*R, det er derfor du så finder R ved at dividere med (x-r)
og leder efter de resterende rødder der.


Mvh.

Dennis Jørgensen

---

Dennis Jørgensen skrev:

> (x-3)^2 * (x+3)^2 er et fjerdegradspolynomie med (dobbelt)>rødder 3 og -3.

Kan du forklare mig, hvorfor der er dobbelt rod? Fordi x=3 og x=-3 begge er
3 med forskellige fortegn?

(x-3)^2 * (x+3)^2 giver = x^4-18x^2+54x+162, men hvad har det med noget at
gøre?

> Idet du har fundet roden x=r, så har du samtidig fundet at dit >polynomie
kan
> skrives som (x-r)*R, det er derfor du så finder R ved at dividere >med
(x-r)
> og leder efter de resterende rødder der.

Ikk' forstået. Jeg har gættet på to rødder, ved ikke om det er nok med en i
første omgang, men jeg fandt altså først ud af, at x=3 og x=-3 er rødder,
dobbelt eller ej. Så dividerede jeg jeg f(x) med (x-r1) og det nye resultat
med (x-r2), og fik den andengradsligning: x^2+4, som ingen rødder har, da
diskriminanten<0.

Er dette rigtigt, altså at der kun er 2 rødder i polynomiet, nemlig x=3 og
x=-3 ? Eller jeg er helt forkert på den.

Det er min første opgave med fjerdegradspolynomium, så min forståelse er så
stor, så bær over med mig. Jeg vil _meget_ gerne lære dette ordentligt.

1000 tak

__
Flemming Jensen

---

Flemming Jensen (CyberOrc@tiscali.dk) wrote:
> Dennis Jørgensen skrev:
>
>> (x-3)^2 * (x+3)^2 er et fjerdegradspolynomie med (dobbelt)>rødder 3 og -3.
>
> Kan du forklare mig, hvorfor der er dobbelt rod? Fordi x=3 og x=-3 begge er
> 3 med forskellige fortegn?

Nej, fordi hvis du dividerer fx. (x-3) igennem ovenfor, så er x=3 også rod i
det nye tredjegradspolynomium du finder. De er altså dobbeltrødder fordi de
begge findes som rod to gange.

> (x-3)^2 * (x+3)^2 giver = x^4-18x^2+54x+162, men hvad har det med noget at
> gøre?

Ikke så meget, det var et (nemt konstureret) eksempel.


>> Idet du har fundet roden x=r, så har du samtidig fundet at dit >polynomie
> kan
>> skrives som (x-r)*R, det er derfor du så finder R ved at dividere >med
> (x-r)
>> og leder efter de resterende rødder der.
>
> Ikk' forstået. Jeg har gættet på to rødder, ved ikke om det er nok med en i
> første omgang, men jeg fandt altså først ud af, at x=3 og x=-3 er rødder,
> dobbelt eller ej. Så dividerede jeg jeg f(x) med (x-r1) og det nye resultat
> med (x-r2), og fik den andengradsligning: x^2+4, som ingen rødder har, da
> diskriminanten<0.

Det er nok med 1 i første omgang, men hen ad vejen er du nødt til at finde
2 hvis du vil have fundet et andengradspolynomium som du kan sætte ind i en
formel.

Din metode er fin nok.

Du finder to rødder i f: x=r1 og x=r2, og udregner g=f/(x-r1) og h=g/(x-r2),
hvis du flytter rundt med de ligninger så kan du finde:

f=(x-r1)*g og så
f=(x-r1)*(x-r2)*h

På den form kan man se at f har rødderne x=r1 og x=r2, og kun dem, hvis der
ikke er rødder i h.

Det var det jeg prøvede at skrive ovenfor.


> Er dette rigtigt, altså at der kun er 2 rødder i polynomiet, nemlig x=3 og
> x=-3 ? Eller jeg er helt forkert på den.

Jeg har ikke regnet efter, men du kan jo tjekke dit resultat: Indsæt x=3 og
x=-3 i det oprindelige polynomie, hvis begge giver resultatet 0, så prøv at
gange (x-3)*(x+3)*(x^2+4) ud, så skal du få det oprindelige polynomium.

Der er ikke noget galt i at et fjerdegradspolynomie kun har to (reelle)
nulpunkter, og hvis x^2+4 er regnet rigtigt ud, så er det tilfældet her.


Mvh.

Dennis Jørgensen

---

Dennis Jørgensen skrev:

> Jeg har ikke regnet efter, men du kan jo tjekke dit resultat: Indsæt > x=3
og
> x=-3 i det oprindelige polynomie, hvis begge giver resultatet 0, så
> prøv at
> gange (x-3)*(x+3)*(x^2+4) ud, så skal du få det oprindelige
> polynomium.

x=3 og x=-3 giver 0 ved indsættelse i f(x), men dette (x-3)*(x+3)*(x^2+4)
bliver ligmed x^4-6x^3-5x^2-24x-36, hvilket ikke er det oprindelige
folynomium, men de led som er i f(x) er rigtige nok, altså: x^4, -5x^2
samt -36, hvilket er jo nemlig er funktionen, f(x)=x^4-2x^2-36. Har jeg
regnet (x^2+4) forkert ud? Troede lige det hele var rigtigt :(

Tak

__
Flemming Jensen

---

Flemming Jensen (CyberOrc@tiscali.dk) wrote:

> x=3 og x=-3 giver 0 ved indsættelse i f(x), men dette (x-3)*(x+3)*(x^2+4)
> bliver ligmed x^4-6x^3-5x^2-24x-36, hvilket ikke er det oprindelige

Det ser ud til du har ganget forkert ud.

(x-3)(x+3)(x^2+4)
(x^2-9)(x^2+4)
x^4-5x^2-36

Du er vist kommet til at bruge: (x-3)(x+3) = x^2-6x-9 ?


> folynomium, men de led som er i f(x) er rigtige nok, altså: x^4, -5x^2
> samt -36, hvilket er jo nemlig er funktionen, f(x)=x^4-2x^2-36. Har jeg
> regnet (x^2+4) forkert ud? Troede lige det hele var rigtigt :(


Det ser også ud til at alt var rigtigt, undtagen kontrollen.


Mvh.

Dennis Jørgensen

---

Dennis Jørgensen

> Det ser ud til du har ganget forkert ud.
>
> (x-3)(x+3)(x^2+4)
> (x^2-9)(x^2+4)
> x^4-5x^2-36
>
> Du er vist kommet til at bruge: (x-3)(x+3) = x^2-6x-9 ?

Du har jo helt ret. Træls fejl fra min side, det er jeg ked af. Ingen grund
til panik så jo :)

> Det ser også ud til at alt var rigtigt, undtagen kontrollen.

Jeps, heldigvis. Men der er stadig en ting som jeg ikke helt kan følge med
i, og det er det med de dobbelt rødder. Ellers har jeg forstået det hele.
Har også brugt hele aftenen med snuden i en matematik bog, men det er altid
bedre når man kan stille et bestemt spørgsmål som her jo.

Hvis jeg gætter på to rødder som det første, hvilket jeg gjorde i denne
opgave, og der ikke er dobbelt rødder, så kan jeg da ikke gøre det? Altså
jeg troede at alle de rødder jeg ville kunne gætte mig til i den oprindelige
funktion også ville være rod/rødder i den funktion jeg får efter jeg har
divideret den oprindelige med (x-r1), dobbelt rod eller ej. Men hvis det kun
er tilfældet ved dobbelt rødder har jeg jo været heldig med min
fremgangsmåde.

For at gøre det helt klart, og slippe for en masse flere indlæg med
forklaringer, skærer jeg det lige helt ud i pap.

Hvilken af disse fremgangsmåder er bedst eller er de evt. lige gode?

1. Først gætte på en rod, smid den i funktion, som skal give 0 for at den er
rod. Efter dette så dividerer funktionen med (x-r1), hvor efter jeg får en
ny funktion, lad os kalde den g(x). g(x) kunne f.eks. se sådan ud
2x^3+2x^2+x-40. Først nu gætte på rod2, ved at prøve at sætte den mulige rod
ind i funktionen og hvis den bliver nul så er den god nok. Dividerer med
(x-r2) og løse andengradsligningen.

2. Først gætte på BEGGE rødder, ved at sætte begge ind i funktionen, altså
fjerdegradspolynomiet. Derfer dividerer funktionen med (x-r1) derefter
resultatet med (x-r2) og så regne evt. sidste nulpunkter ud ved at løse
andengradsligningen.

Håber jeg har forklaret hvor min tvivl ligger.

Tak

_
Flemming Jensen

---

Flemming Jensen (CyberOrc@tiscali.dk) wrote:

> Jeps, heldigvis. Men der er stadig en ting som jeg ikke helt kan følge med
> i, og det er det med de dobbelt rødder. Ellers har jeg forstået det hele.
> Har også brugt hele aftenen med snuden i en matematik bog, men det er altid
> bedre når man kan stille et bestemt spørgsmål som her jo.

Dobbeltrødder blev vist forklaret bedre end jeg kan i et andet indlæg.


> Hvilken af disse fremgangsmåder er bedst eller er de evt. lige gode?

De er præcis lige gode.


Mvh.

Dennis Jørgensen

---

Flemming Jensen wrote:
> Hvis jeg gætter på to rødder som det første, hvilket jeg gjorde i
> denne opgave, og der ikke er dobbelt rødder, så kan jeg da ikke gøre
> det? Altså jeg troede at alle de rødder jeg ville kunne gætte mig til
> i den oprindelige funktion også ville være rod/rødder i den funktion
> jeg får efter jeg har divideret den oprindelige med (x-r1), dobbelt
> rod eller ej.

Hvis r1 og r2 er rødder, så vil r2 også være rod i det polynomium,
du får, når du har divideret med x-r1. Hvis altså r2 er et andet tal
end r1

> Men hvis det kun er tilfældet ved dobbelt rødder har
> jeg jo været heldig med min fremgangsmåde.

Men i dit eksempel (x-3)(x+3)(x^2+4) var der jo ingen
dobbeltrødder.

> Hvilken af disse fremgangsmåder er bedst eller er de evt. lige gode?
>
> 1. Først gætte på en rod, smid den i funktion, som skal give 0 for at
> den er rod. Efter dette så dividerer funktionen med (x-r1), hvor
> efter jeg får en ny funktion, lad os kalde den g(x). g(x) kunne
> f.eks. se sådan ud 2x^3+2x^2+x-40. Først nu gætte på rod2, ved at
> prøve at sætte den mulige rod ind i funktionen og hvis den bliver nul
> så er den god nok. Dividerer med (x-r2) og løse andengradsligningen.
>
> 2. Først gætte på BEGGE rødder, ved at sætte begge ind i funktionen,
> altså fjerdegradspolynomiet. Derfer dividerer funktionen med (x-r1)
> derefter resultatet med (x-r2) og så regne evt. sidste nulpunkter ud
> ved at løse andengradsligningen.

De er lige gode.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jeps, tak til jer begge. Jeg har fuld forståelse for det nu. Det er jo meget
let, når man bare lige tænker lidt over det.

Og til Jens: Grunden til at jeg begyndte at fable om dobbeltrødder var fordi
Dennis nævnte det i det første svar jeg fik, og så var det filmen knækkede,
selvom jeg faktisk havde lavet det rigtigt til at starte med.

:)
__
Flemming Jensen

---

Du har løst det helt korrekt.

Polynomiet (x-3)^2 * (x+3)^2 har kun to rødder, 3 og -3.

Den ene sæt dobbeltrødder er 3 og 3, det andet sæt dobbeltrødder er -3
og -3.

Ethvert 4.-gradspolynomium kan skrives på formen

(x - a)(x - b)(x - c)(x - d),

hvor a, b, c og d er polynomiets rødder (se nulregelen).

Hvis polynomiet har en dobbeltrod betyder det, at to af dets rødder er ens,
f.eks. at c = d.

Hvis du faktoriserer du dit polynomium (x-3)^2 * (x+3)^2 fuldt ud, så får du
(x - 3)(x - 3)(x + 3)(x + 3).

---

LR wrote:
> Ethvert 4.-gradspolynomium kan skrives på formen
>
> (x - a)(x - b)(x - c)(x - d),
>
> hvor a, b, c og d er polynomiets rødder (se nulregelen).

Nej. Ikke hvis a, b, c og d alle er reele tal.
HVIS man har lært om komplekse tal er sagen end anden,
men det lærer man ikke på B-niveau.

--
Jens Axel Søgaard

---

"LR" <lar@tdcadsl.dk> writes:

> Ethvert 4.-gradspolynomium kan skrives på formen
>
> (x - a)(x - b)(x - c)(x - d),

Uddybende: Dog kun hvis vi tillader komplekse rødder. Hvis a, b, c og
d skal være reelle, så er der polynomier der ikke kan skrives på den
måde (f.eks. x^4+1, som har fire forskellige komplekse rødder men
ingen reelle).

--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

> Jeg har lige et lille spørgsmål ang. matematik på b-niveau. Når man
> skal finde rødder i et fjerdegradspolynomium, er det så muligt at
> både x=3 og x=-3 kan være rødder?

Ja.

> Jeg har en opgave, som jeg ikke kan finde ud af, om jeg er færdig med
> eller har lavet forkert.
>
> f(x) = x^4-5x^2-36
>
> Jeg gætter på x=3 og x=-3 som rødder

Husk at skrive ned, at du har kontrolleret, at gættet er rigtigt:

f(3) = 3^4-5*3^2-36 = 0 , så 3 er en rod.
f(-3) = ...

> hvor efter jeg dividerer f(x)
> med x-3. Den nye funktion kalder jeg g(x)=x^3+3x^2+4x+12, som jeg så
> dividerer med x+3, fordi x=-3 er rod. Jeg får så efter et lidt
> anderledes division resultatet h(x)=x^2+4,

Det er er helt rigtigt.

> men denne andengradsligning har ingen rødder,

Det er også rigtigt.

> så enten har jeg lavet det
> forkert, eller så er det bare kun 2 rødder til f(x), som så skulle
> være x=3 og x=-3.

Det er det sidste, der er tilfældet. Ved divisionen har du vist, at

f(x) = (x-3)(x+3)(x^2+4)

Når man skal løse ligningen f(x)=0 skal man bruge nulreglen:

f(x) = 0
(x-3)(x+3)(x^2+4) = 0
x-3=0 v x+3=0 v x^2+4=0
x=3 v x=-3 v x^2+4=0

Da andengradspolynomiet x^2+4 har en negativ diskriminant
har ligningen x^2+4=0 ingen løsninger. Derfor er

x=3 v x=-3 v x^2+4=0 <=> x=3 v x=-3

Så dit fjerdegradspolynomium f har altså 2 rødder.
Det er finnt, for der gælder følgende sætning:

"Et n'te gradspolynomium har højst n rødder."

Altså:

Et andengradspolynomium kan have 0, 1 eller 2 rødder.
Et tredjegradspolynomium kan have 0, 1, 2 eller 3 rødder.
Et fjerdegradspolynomium kan have 0, 1, 2, 3 eller 4 rødder.
...

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard skrev:

> Husk at skrive ned, at du har kontrolleret, at gættet er rigtigt:
>
> f(3) = 3^4-5*3^2-36 = 0 , så 3 er en rod.
> f(-3) = ...

Har jeg selvfølgelig også gjort :)

> Så dit fjerdegradspolynomium f har altså 2 rødder.
> Det er finnt, for der gælder følgende sætning:
[SNIP]

Jeps. Det er netop denne sætning der gjorde at jeg kom i tvivl. Altså der
kunne jo sagtens være 4 rødder, så der var jo en mulighed for, at jeg havde
lavet noget forket. Når jeg kun fik 2. Men jeg havde jo så åbenbart løst den
rigtigt fra starten af, hvilket jeg har det fint med =)

Jeg er så bare stadig i tvivl, om hvad jeg skal skrive. Er der dobbelt rod?
Og hvorfor? Jeg ved at når der i en andengradsligning, kun er en rod, kaldes
den dobbelt rod, men ved ikke hvordan der er i fjerdegradspolynomier.

Tak =)
__
Flemming Jense

---

> Jeg er så bare stadig i tvivl, om hvad jeg skal skrive. Er der
> dobbelt rod?

Nej.

> Og hvorfor? Jeg ved at når der i en andengradsligning,
> kun er en rod, kaldes den dobbelt rod, men ved ikke hvordan der er i
> fjerdegradspolynomier.

I (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) er der fire enkelt-rødder nemlig 1, 2, 3 og 4.
I (x-1)(x-1)(x-2)(x-3) er der en dobbeltrod, nemlig 1 og to enkeltrødder, nemlig 2 og 3.
I (x-1)(x-1)(x-1)(x-2) er der en trippelrod, nemlig 1 og en enkeltrod 2.
I (x-1)(x-1)(x-1)(x-1) er der en kvadrupelrod nemlig 1.

I (x-3)(x+3)(x^2+4) er 3 og -3 enkeltrødder.


Situationen er lidt speciel med andengradsrødder, for hvis der kun er en rod,
så kan det skrives sådan

a (x-(-b/2a)) (x- (-b/2a))

Derfor er roden -b/2a er en dobbeltrod. Altså

"Hvis et andengradspolynomium har præcis en rod,
så er roden en dobbeltrod".

Det er specielt for det gælder ikke for tredjegradspolynomier.
Eksempelvis har (x-1)(x^2+4) kun en rod (nemlig 1), men
roden er ikke en dobbeltrod.

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard skrev:

> I (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) er der fire enkelt-rødder nemlig 1, 2, 3 og 4.
> I (x-1)(x-1)(x-2)(x-3) er der en dobbeltrod, nemlig 1 og to enkeltrødder,
nemlig 2 og 3.
> I (x-1)(x-1)(x-1)(x-2) er der en trippelrod, nemlig 1 og en enkeltrod 2.
> I (x-1)(x-1)(x-1)(x-1) er der en kvadrupelrod nemlig 1.
>
> I (x-3)(x+3)(x^2+4) er 3 og -3 enkeltrødder.

Det var også det jeg altid havde troet indtil en eller anden sagde, at der
var dobbelt rod, og så blev jeg forvirret, for de forskellige rødder, som
x=3 og x=-3 kan da aldrig blive til en dobbelt, da de jo ikke er ens.

> Situationen er lidt speciel med andengradsrødder, for hvis der kun er en
rod,
> så kan det skrives sådan
>
> a (x-(-b/2a)) (x- (-b/2a))
>
> Derfor er roden -b/2a er en dobbeltrod. Altså
>
> "Hvis et andengradspolynomium har præcis en rod,
> så er roden en dobbeltrod".

Ja, det er rigtigt nok, men forstår det godt. Men ja, det var et dårligt
eksempel at hive frem.

1000 tak for at gøre det så enkelt for mig, at jeg endelig føler at jeg har
forstået det rigtigt.

__
Flemming Jensen

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Det er specielt for det gælder ikke for tredjegradspolynomier.
> Eksempelvis har (x-1)(x^2+4) kun en rod (nemlig 1), men
> roden er ikke en dobbeltrod.

Der gælder faktisk at et fjerdegradspolynomium (eller ethvert
lige-grads-polynomium) har et lige antal rødder (hvor man tæller
fleregangsrødder med flere gange). Og ligeledes at et
ulige-grads-polynomium har et ulige antal rødder.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen skrev:

> Der gælder faktisk at et fjerdegradspolynomium (eller ethvert
> lige-grads-polynomium) har et lige antal rødder (hvor man tæller
> fleregangsrødder med flere gange). Og ligeledes at et
> ulige-grads-polynomium har et ulige antal rødder.

Det vidste jeg ikke. Det er en meget nyttig ting at vide, der jo så egentlig
kun var mulighed for 0, 2 eller 4 rødder i mit tilfælde. Altså _havde_ jeg
fundet 3 rødder, havde jeg ikke vist at det var forkert før nu.

Forresten vil jeg også lige sige, at min graf lommeregner er løbet tør for
strøm, så jeg arbejder lidt i blinde i forhold til hvad jeg plejer. Men det
er også sundt nok for forståelsen, da jeg så ikke bare kan taste den ind
tjekke om antallet af nulpukter passer. Nu bliver jeg nødt til at teste,
f.eks. ved (x-3)*(x+3)*(x^2+4) = f(x).

__
Flemming Jensen

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:
>
> > Det er specielt for det gælder ikke for tredjegradspolynomier.
> > Eksempelvis har (x-1)(x^2+4) kun en rod (nemlig 1), men
> > roden er ikke en dobbeltrod.
>
> Der gælder faktisk at et fjerdegradspolynomium (eller ethvert
> lige-grads-polynomium) har et lige antal rødder (hvor man tæller
> fleregangsrødder med flere gange). Og ligeledes at et
> ulige-grads-polynomium har et ulige antal rødder.

Det er korrekt, men det *er* vigtigt at hver rod r skal tælles med lige
så mange gange som (x-r) går op i polynomiet.
For eksempel kan et syvendegradspolynomium¹ godt have rødderne

1, 2, 3, 4 og 4 (og ikke flere)

Altså fem (et ulige antal) rødder. Men når man bare tæller *forskellige*
rødder uden at tænke på om de er flerdobbelte, har det samme polynomium
jo fire (et lige(!) antal) forskellige rødder: 1, 2, 3, 4.

Det er dog vigtigt at lægge mærke til at et polynomium af ulige grad
(førstegrads-, tredjegrads-, femtegrads- etc.) altid vil have mindst
én rod (nul rødder er umuligt da nul ikke er ulige).

Note 1: Tænk på polynomiet (x-1)·(x-2)·(x-3)·(x-4)²·(x²+1).
Algebraens fundamentalsætning for reelle polynomier siger i øvrigt at
ethvert polynomium kan skrives som et produkt af førstegradspolynomier
samt andengradspolynomier med negative diskriminanter. Men koeffi-
cienterne i disse polynomier vil typisk være umådeligt grimme og
umulige at angive eksakt.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

[SNIP]
> Det *er* vigtigt at hver rod r skal tælles med lige
> så mange gange som (x-r) går op i polynomiet.
> For eksempel kan et syvendegradspolynomium¹ godt have rødderne
>
> 1, 2, 3, 4 og 4 (og ikke flere)
>
> Altså fem (et ulige antal) rødder. Men når man bare tæller *forskellige*
> rødder uden at tænke på om de er flerdobbelte, har det samme polynomium
> jo fire (et lige(!) antal) forskellige rødder: 1, 2, 3, 4.

Det forstår jeg udmærket. For at undgå det kan man vel altid prøve at regne
efter. (x-1)·(x-2)·(x-3)·(x-4), vil jo ikke give det oprindelige polynomium.

> Det er dog vigtigt at lægge mærke til at et polynomium af ulige grad
> (førstegrads-, tredjegrads-, femtegrads- etc.) altid vil have mindst
> én rod (nul rødder er umuligt da nul ikke er ulige).

Endnu en meget nyttig ting at vide. Jeg sad i går og tænkte på, om et
polynomium af ulig grad ikke godt nok ville have mindst en rod, men var ikke
helt sikker. Det er jeg nu =) Men når du siger det, siger du også, at et
polynomium at lige grad godt kan være uden rødder? Jeg har aldrig tænkt på 0
som et lige tal, men det behøver det jo heller ikke være for at dette kan
være sandt. 0 hører da ikke under hverken lige eller ulige tal, vel?

__
Flemming Jensen

"Den der spørger virker i kort tid dum . Den der aldrig spørger forbliver
dum."

---

"Flemming Jensen" <CyberOrc@tiscali.dk> writes:

> polynomium at lige grad godt kan være uden rødder? Jeg har aldrig tænkt på 0
> som et lige tal, men det behøver det jo heller ikke være for at dette kan
> være sandt. 0 hører da ikke under hverken lige eller ulige tal, vel?

Jo 0 er lige.

De lige tal er ..., -2, 0, 2, 4, ...
De ulige er ..., -3, -1, 1, 3, ...

--
Kim Hansen | |\ _,,,---,,_ | Det er ikke
Dalslandsgade 8, A708 | /,`.-'`' -. ;-;;,_ | Jeopardy.
2300 København S | |,4- ) )-,_. ,\ ( `'-' | Svar _efter_
Phone: 32 88 60 86 | '---''(_/--' `-'\_) | spørgsmålet.

---

Flemming Jensen wrote:
>
> [...] Men når du siger det, siger du også, at et
> polynomium at lige grad godt kan være uden rødder? Jeg har aldrig tænkt på 0
> som et lige tal, men det behøver det jo heller ikke være for at dette kan
> være sandt. 0 hører da ikke under hverken lige eller ulige tal, vel?

Man plejer at regne 0 (og -2, -4, -6, etc.) med til de lige tal.

Ja, jeg siger at et polynomium af lige grad kan være uden rødder:
Tag som det simpleste eksempel polynomiet

(x²+1)·(x²+1)·(x²+1)·...·(x²+1)

Det er ret let at se at det ikke har nogen rødder (nulreglen).

På denne måde kan du lave rodløse polynomier af anden, fjerde, sjette,
ottende etc. grad.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

> Man plejer at regne 0 (og -2, -4, -6, etc.) med til de lige tal.

Så var det da heldig, at jeg spurgte. Men hvis jeg havde tænkt den helt ud
og f.eks. tænkt på tal linien, giver det vel et eller andet sted også sig
selv.

> Ja, jeg siger at et polynomium af lige grad kan være uden rødder:
> Tag som det simpleste eksempel polynomiet
>
> (x²+1)·(x²+1)·(x²+1)·...·(x²+1)
>
> Det er ret let at se at det ikke har nogen rødder (nulreglen).
>
> På denne måde kan du lave rodløse polynomier af anden, fjerde, sjette,
> ottende etc. grad.

100% forstået, tak for svarene.

__
Flemming Jensen

---

Flemming Jensen wrote:
>
> > Ja, jeg siger at et polynomium af lige grad kan være uden rødder:
> > Tag som det simpleste eksempel polynomiet
> >
> > (x²+1)·(x²+1)·(x²+1)·...·(x²+1)
> >
> > Det er ret let at se at det ikke har nogen rødder (nulreglen).
> >
> > På denne måde kan du lave rodløse polynomier af anden, fjerde, sjette,
> > ottende etc. grad.
>
> 100% forstået, tak for svarene.

I øvrigt kan man lave alle de andre polynomier uden rødder ved at
tage en masse forskellige andengradspolynomier med negative diskri-
minanter og multiplicere dem sammen. Jævnfør min bemærkning om den
reelle udgave af algabraens fundamentalsætning (tidligere indlæg).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

[Flemming Jensen]

| Endnu en meget nyttig ting at vide. Jeg sad i går og tænkte på, om
| et polynomium af ulig grad ikke godt nok ville have mindst en rod,
| men var ikke helt sikker.

Det var godt tenkt, og man kan resonnere omtrent som så: La polynomet
være

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0,

der koeffisientene a_i er reelle tall og n er odde ("ulig"). Anta
f.eks. at a_n > 0, det er ingen restriktiv antagelse.

Da innser du at f(x) > 0 for x tilstrekkelig stor, si x=c, siden for
slike x vil det høyeste grads ledd dominere uttrykket. Tilsvarende
vil f(x) < 0 for x tilstrekkelig liten, si x=b (og til det bruker du
at n er odde: en odde potens av et negativt tall er negativt).

Så trenger man strengt tatt et ikke-trivielt resonnement for at grafen
til f dermed vil skjære x-aksen et eller annet sted mellom x=b og x=c,
men din intuisjon er god nok på dette punkt.

SA
--
Stein Arild Strømme +47 55584825, +47 95801887
Universitetet i Bergen Fax: +47 55589672
Matematisk institutt www.mi.uib.no/~stromme
Johs Brunsg 12, N-5008 BERGEN stromme@mi.uib.no

---

Jeg kunne vel ikke få af jer til at regne stykket efter? For jeg kan
desværre ikke få det til at passe, selvom jeg var sikker på, at jeg havde
den rigtige løsning til at starte med. Jeg mente rødder var x=3 og x=-3, men
nu er jeg meget i tvivl og meget forvirret.

1000 tak endnu engang

__
Flemming Jensen

---

"Flemming Jensen" <CyberOrc@tiscali.dk> skrev i en meddelelse
news:anBr9.119087$Qk5.5136614@news010.worldonline.dk...
> Hej
>
> Jeg har lige et lille spørgsmål ang. matematik på b-niveau. Når man skal
> finde rødder i et fjerdegradspolynomium, er det så muligt at både x=3 og
> x=-3 kan være rødder? Jeg mener at det skulle være muligt, men jeg er ikke
> _helt_ sikker.
>

Det kan sagtens være muligt (har ikke regnet efter). Hvis du kigger lidt
nærmere på polynomiet, vil du se en skjult andengradsligning i x^2. Hvis du
altså substituerer t = x^2 og løser den fremkomne ligning, kan du finde
samtlige løsninger, x = +/-kvadratrod(t).

--
Jens Pedersen

---

"Flemming Jensen" <CyberOrc@tiscali.dk> writes:


> Jeg har en opgave, som jeg ikke kan finde ud af, om jeg er færdig med eller
> har lavet forkert.
>
> f(x) = x^4-5x^2-36

Det her er i virkeligheden et "skjult" andengradspolynomium. Ved at
sætte y=x^2, fås y^2-5y-36. Det løses som et almindeligt
andengradspolynomium: y = (5 +/- sqrt(5^2+4*36))/2 = (5 +/- 13)/2 = 9
eller -4. Da x^2 ikke kan være -4 (medmindre vi regner med komplekse
tal), fås x = +/- 3.

   Torben Mogensen