---

En opgave går ud på, at jeg har en funktion:
f(x) = 1 - x^2 , -1<x<1
M er så punktmængden
M = { (x,y) | -1 <= x <= 1 ^ 0 <= y <= f(x)}
Jeg skal så beregne omdrejningslegemets volumen, når M drejes hhv. 360
grader om førsteaksen og om linjen y = 1.

Volumen for legemet, når det drejes om x-aksen, har jeg fået til 16/15 pi.
Men hvordan udregnes det, når det drejes om linjen?
Er det bare at sige pi * integral(1-f(x) , -1 ,1)?


Hilsen
Anders Andreassen


"Gud er død - og vi har selv slået ham ihjel!"
Friedrich Nietzsche

---

"Anders Andreassen" <andersa@privat.dk> writes:

> M = { (x,y) | -1 <= x <= 1 ^ 0 <= y <= f(x)}
> Jeg skal så beregne omdrejningslegemets volumen, når M drejes hhv. 360
> grader om førsteaksen og om linjen y = 1.

> Men hvordan udregnes det, når det drejes om linjen?
> Er det bare at sige pi * integral(1-f(x) , -1 ,1)?

Nej, det giver volumen af det hul der vil være i omdrejningslegemet
(hvis du altså retter integranden - jeg tror godt du kan se hvad der
mangler), det betyder dog også at du skal bruge det integral. Prøv at
danne dig et billede af omdrejningslegemet, så kan du nok se hvad du
skal bruge værdien til.

..Henrik

--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet

---

> > Men hvordan udregnes det, når det drejes om linjen?
> > Er det bare at sige pi * integral(1-f(x) , -1 ,1)?
>
> Nej, det giver volumen af det hul der vil være i omdrejningslegemet
> (hvis du altså retter integranden - jeg tror godt du kan se hvad der
> mangler), det betyder dog også at du skal bruge det integral. Prøv at
> danne dig et billede af omdrejningslegemet, så kan du nok se hvad du
> skal bruge værdien til.

Så må det jo være
V = 2pi - pi*integral((1-f(x))^2 , -1, 1)
- altså hele cylinderen med radius = 1 fra x =-1 til x=1 fratrukket
'hullet'?


Anders

"Gud er død - og vi har selv slået ham ihjel!"
Friedrich Nietzsche

---

"Anders Andreassen" <andersa@privat.dk> writes:

> Så må det jo være
> V = 2pi - pi*integral((1-f(x))^2 , -1, 1)
> - altså hele cylinderen med radius = 1 fra x =-1 til x=1 fratrukket
> 'hullet'?

Ja.

..Henrik

--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet

---

Henrik Christian Grove wrote:
>
> > Så må det jo være
> > V = 2pi - pi*integral((1-f(x))^2 , -1, 1)
> > - altså hele cylinderen med radius = 1 fra x =-1 til x=1 fratrukket
> > 'hullet'?
>
> Ja.

Nej, det tror jeg ikke.

Det ringformede¹ legeme man får når man drejer M om linjen y=1, svarer
til det legeme man får hvis man drejer mængden N der fås ved at
parallelforskyde M én enhed ned i xy-planen, omkring førsteaksen.

Jeg mener at man skal udregne pi·integral( (f(x)-1)² , -1 , 1) og
ikke trække dette resultat fra noget.

Note 1: »Ringformet« er måske så meget sagt. Der er ikke hul i midten
af ringen, men tykkelsen er 0 lige i midten. Tværsnittet af ringen
med xy-planen er timeglasformet.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Nej, det tror jeg ikke.

Du har fuldstændig ret. Jeg havde glemt "1-" i definitionen af f.

> Det ringformede¹ legeme man får når man drejer M om linjen y=1, svarer
> til det legeme man får hvis man drejer mængden N der fås ved at
> parallelforskyde M én enhed ned i xy-planen, omkring førsteaksen.

Det var jeg lige ved at svare, så var det jeg kom til at tro at Anders'
integral faktisk var relevant, og så valgte jeg at skrive det i stedet.

> Jeg mener at man skal udregne pi·integral( (f(x)-1)² , -1 , 1) og
> ikke trække dette resultat fra noget.

Korrekt.

..Henrik

--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet

---

> > Jeg mener at man skal udregne pi·integral( (f(x)-1)² , -1 , 1) og
> > ikke trække dette resultat fra noget.

Jamen pi * integral((f(x)-1)^2 ,-1 ,1) giver det samme rumfang som med det
udtryk, jeg skrev i starten: pi * integral(1-f(x) , -1 ,1) - nemlig 2/5 pi??
Jeg går ud fra, at 'timeglasset' og 'hullet' er det samme - men det dannes
da ikke af m, når det drejes om y=1 - altså, når man bruger ovennævnte
integral, finder man rumfanget af timeglasset alias hullet, og det er vel
ikke dette, der skal findes?

Anders

"Gud er død - og vi har selv slået ham ihjel!"
Friedrich Nietzsche

---

> udtryk, jeg skrev i starten: pi * integral(1-f(x) , -1 ,1) - nemlig 2/5
pi??
Undskyld, jeg mente her selvfølgelig pi * integral((1-f(x))^2 , -1 ,1)


Anders

"Gud er død - og vi har selv slået ham ihjel!"
Friedrich Nietzsche

---

Anders Andreassen wrote:
>
> > > Jeg mener at man skal udregne pi·integral( (f(x)-1)² , -1 , 1) og
> > > ikke trække dette resultat fra noget.
>
> Jamen pi * integral((f(x)-1)^2 ,-1 ,1) giver det samme rumfang som med det
> udtryk, jeg skrev i starten: pi * integral(1-f(x) , -1 ,1) - nemlig 2/5 pi??

Ja, jeg mener at (2/5)pi er rigtigt.

> Jeg går ud fra, at 'timeglasset' og 'hullet' er det samme - men det dannes
> da ikke af m, når det drejes om y=1 - altså, når man bruger ovennævnte
> integral, finder man rumfanget af timeglasset alias hullet, og det er vel
> ikke dette, der skal findes?

Uha, det er svært når man ikke har mulighed for at tegne.

M er begrænset af en parabel (med lodret symmetriakse) og en vandret
linje. M drejes i dette tilfælde om den vandrette linje der går gennem
parablens toppunkt. Omdrejningslegemet ligner en ishockeypuck der
kommer rullende på højkant lige imod os. Der er lavet en fordybning
med spids i begge sider af pucken, og de to fordybningers spidser
mødes næsten, således at pucken i centrum kun er ét punkt tyk. Fjernes
dette centrale punkt, bliver der et hul igennem pucken.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Uha, det er svært når man ikke har mulighed for at tegne.
>
> M er begrænset af en parabel (med lodret symmetriakse) og en vandret
> linje. M drejes i dette tilfælde om den vandrette linje der går gennem
> parablens toppunkt. Omdrejningslegemet ligner en ishockeypuck der
> kommer rullende på højkant lige imod os. Der er lavet en fordybning
> med spids i begge sider af pucken, og de to fordybningers spidser
> mødes næsten, således at pucken i centrum kun er ét punkt tyk. Fjernes
> dette centrale punkt, bliver der et hul igennem pucken.
>

Jamen ved at forskyde parablen 1 nedad, og man derefter udregner
omdrejningslegemet til f(x)-1, da vil man det jo ikke være M, man regner
med. Se evt. min illustration:
http://home24.inet.tele.dk/anders/illustration.bmp
Det blå område er M. Hvis man skyder grafen 1 ned og udregner
omdrejningslegemet, så bliver det jo egentlig omdrejningslegemet til det
gule område, man finder volumenet til.
Derfor var mit bud jo, at man først finder volumenet af hele cylinderen
fra -1 til 1 og derfra trækker omdrejningslegemet til det gule, som altså
findes vha. f(x)-1.
Er jeg forkert på den?

Hilsen Anders


"Gud er død - og vi har selv slået ham ihjel!"
Friedrich Nietzsche

---

Anders Andreassen wrote:
>
> Jamen ved at forskyde parablen 1 nedad, og man derefter udregner
> omdrejningslegemet til f(x)-1, da vil man det jo ikke være M, man regner
> med. Se evt. min illustration:
> http://home24.inet.tele.dk/anders/illustration.bmp
> Det blå område er M. Hvis man skyder grafen 1 ned og udregner
> omdrejningslegemet, så bliver det jo egentlig omdrejningslegemet til det
> gule område, man finder volumenet til.
> Derfor var mit bud jo, at man først finder volumenet af hele cylinderen
> fra -1 til 1 og derfra trækker omdrejningslegemet til det gule, som altså
> findes vha. f(x)-1.
> Er jeg forkert på den?

Nej! Jeg ville ønske jeg kunne fortryde alt hvad jeg har skrevet ...

Når man roterer det blå område om førsteaksen, får man rumfanget
(16/15)pi som du sagde.

Når man roterer det *gule* område om linjen y=1, får man de (2/5)pi.
Når man rotere hele det gul-blå rektangel om y=1, får man jo naturligvis
2pi.

Derfor har du haft ret hele tiden: Man skal sige

2·pi - (2/5)·pi = (8/5)·pi

Jeg beklager at jeg har vildledt dig.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Derfor har du haft ret hele tiden: Man skal sige
>
> 2·pi - (2/5)·pi = (8/5)·pi
>
> Jeg beklager at jeg har vildledt dig.
>

Det gør ikke noget - Tak for hjælpen under alle omstændigheder!!

mvh Anders


"Gud er død - og vi har selv slået ham ihjel!"
Friedrich Nietzsche