---

Hej -

Jeg har set en integralopgave, som jeg ikke helt forstår - måske I kan
hjælpe:

En funktion er givet således: f(x) = (integralet fra 2 til x) 1/t dt , x>0
Lad nu h være en kontinuert funktion, som er defineret i et interval I, og
lad
f(x) = (integralet fra a til x) h(t) dt , x og a tilhørende I.
Nu skal det vises, at f '(x) = h(x).

Jeg kan ikke lige se, hvordan jeg starter med den.

mvh
Lone

---

Lone Andersen wrote:
>
> Jeg har set en integralopgave, som jeg ikke helt forstår - måske I kan
> hjælpe:
>
> En funktion er givet således: f(x) = (integralet fra 2 til x) 1/t dt , x>0

Denne f er et (i sammenhængen tilsyneladende umotiveret) special-
tilfælde af f herunder:

> Lad nu h være en kontinuert funktion, som er defineret i et interval I, og
> lad
> f(x) = (integralet fra a til x) h(t) dt , x og a tilhørende I.
> Nu skal det vises, at f '(x) = h(x).

Men dette er én af differential- og integralregningens hovedsætninger!
Nemlig at en integration efterfulgt af en differentiation giver den
samme funktion ud igen.

Det bruges jo af alle der kender integraler. Når du skal udtrykke f
er det jo f(x) = H(x)-H(a) hvor H er en funktion så H'(x)=h(x).
Derfor er f'(x) = H'(x)+0 = h(x) .

Beviset for at integraler på denne måde er det omvendte af at diffe-
rentiere er fundamentalt og næppe noget der overlades som en øvelse.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> > En funktion er givet således: f(x) = (integralet fra 2 til x) 1/t dt ,
x>0
>
> Denne f er et (i sammenhængen tilsyneladende umotiveret) special-
> tilfælde af f herunder:

Jeg glemte et spørgsmål, nemlig: bestem f '(x).
f '(x)=1/x - 1/2

> > Lad nu h være en kontinuert funktion, som er defineret i et interval I,
og
> > lad
> > f(x) = (integralet fra a til x) h(t) dt , x og a tilhørende I.
> > Nu skal det vises, at f '(x) = h(x).
>
> Men dette er én af differential- og integralregningens hovedsætninger!
> Nemlig at en integration efterfulgt af en differentiation giver den
> samme funktion ud igen.

Jeg troede, at man i øvelsen mente, at det var den ovenstående f '(x) =
1/x - 1/2, der skulle være lig med h(x).

>
> Det bruges jo af alle der kender integraler. Når du skal udtrykke f
> er det jo f(x) = H(x)-H(a) hvor H er en funktion så H'(x)=h(x).
> Derfor er f'(x) = H'(x)+0 = h(x) .

Hvorfor er H(a) = 0?


> Beviset for at integraler på denne måde er det omvendte af at diffe-
> rentiere er fundamentalt og næppe noget der overlades som en øvelse.

Jo, sådan ser det ud.


Lone

---

Lone Andersen wrote:
>
> > > En funktion er givet således: f(x) = (integralet fra 2 til x) 1/t dt ,
> x>0
> >
> > Denne f er et (i sammenhængen tilsyneladende umotiveret) special-
> > tilfælde af f herunder:
>
> Jeg glemte et spørgsmål, nemlig: bestem f '(x).
> f '(x)=1/x - 1/2

Nej, for når f(x) = ln(x) - ln(2) , bliver f'(x) = 1/x .
ln(2) er jo bare et tal (nemlig 0,6931...).

>
> Jeg troede, at man i øvelsen mente, at det var den ovenstående f '(x) =
> 1/x - 1/2, der skulle være lig med h(x).

Nej, det første spørgsmål var et eksempel med en konkret funktion,
nemlig h(t)=1/t. Det andet spørgsmål er det samme hvor man bare ikke
siger hvad integranden h er for en funktion.

>
> >
> > Det bruges jo af alle der kender integraler. Når du skal udtrykke f
> > er det jo f(x) = H(x)-H(a) hvor H er en funktion så H'(x)=h(x).
> > Derfor er f'(x) = H'(x)+0 = h(x) .
>
> Hvorfor er H(a) = 0?

Det er den heller ikke. H(a) er én eller anden konstant, og når du
differentierer H(a) mht. x, får du nul.

>
> > Beviset for at integraler på denne måde er det omvendte af at diffe-
> > rentiere er fundamentalt og næppe noget der overlades som en øvelse.
>
> Jo, sådan ser det ud.

At man skal bruge en funktion der differentieret giver integranden,
når man udregner bestemte integraler, véd du jo godt. Dét er ret svært
at bevise (medmindre man »snyder« og *definerer* integration som det
modsatte af differentiation).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)