---

Jeg har læst et eller andet sted om en mærkelig egenskab, som er knyttet
til vores tal, nemlig at chancen for, at et tal starter med cifret 1
(eller at det indeholder cifret 1, - jeg kan ikke rigtigt huske) er
meget større end med de øvrige 8 (cifret 0 er af en eller anden grund
ikke med i undersøgelsen).

Er der nogen, der ved mere om sagen?

Karamel

---

karamel wrote:
> Jeg har læst et eller andet sted om en mærkelig egenskab,
> som er knyttet til vores tal, nemlig at chancen for, at
> et tal starter med cifret 1 (eller at det indeholder
> cifret 1, - jeg kan ikke rigtigt huske) er meget større
> end med de øvrige 8 (cifret 0 er af en eller anden grund
> ikke med i undersøgelsen).
>
> Er der nogen, der ved mere om sagen?

Kan det være Benfords lov, du tænker på?

http://courses.nus.edu.sg/course/mathelmr/080498sci-benford.htm

[Den er beskrevet cirka halvejs.]

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:

> Kan det være Benfords lov, du tænker på?
>
> http://courses.nus.edu.sg/course/mathelmr/080498sci-benford.htm

Jeg kendte ikke navnet Benford, men det lader til, at det har noget med
det at gøre (kl. er mange og jeg har ikke tid til at læse det hele lige
nu...)

> [Den er beskrevet cirka halvejs.]
>

Hvad mener du halvvejs? I forhold til hvad?

Karamel

---

karamel wrote:
>
> Jeg har læst et eller andet sted om en mærkelig egenskab, som er knyttet
> til vores tal, nemlig at chancen for, at et tal starter med cifret 1
> (eller at det indeholder cifret 1, - jeg kan ikke rigtigt huske) er
> meget større end med de øvrige 8 (cifret 0 er af en eller anden grund
> ikke med i undersøgelsen).
>
> Er der nogen, der ved mere om sagen?

Som Jens Axel siger, hedder det Benfords lov. Man kigger vist typisk
på det første *betydende* ciffer, altså det ciffer der står længst til
venstre når man ser bort fra nuller. Du kan læse om det her:

http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html

Dér er også en tabel og et søjlediagram over de enkelte cifres sand-
synlighed. Generelt er P_D = log_10 ( 1 + 1/D ) sandsynligheden for
cifferet D.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

karamel skrev:

>Jeg har læst et eller andet sted om en mærkelig egenskab, som er knyttet
>til vores tal, nemlig at chancen for, at et tal starter med cifret 1
>(eller at det indeholder cifret 1, - jeg kan ikke rigtigt huske) er
>meget større end med de øvrige 8

Ikke meget, men tydeligt.

>(cifret 0 er af en eller anden grund ikke med i undersøgelsen).

Ren logik. Hvor tit ser du f.eks. tallet 0528 i en tekst ?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

In <02a0ou02svckhv255bmss3lhd0ahr95cgl@news.telia.dk> Bertel Lund Hansen <nospam@lundhansen.dk> writes:

>karamel skrev:

>>Jeg har læst et eller andet sted om en mærkelig egenskab, som er knyttet
>>til vores tal, nemlig at chancen for, at et tal starter med cifret 1
>>(eller at det indeholder cifret 1, - jeg kan ikke rigtigt huske) er
>>meget større end med de øvrige 8

>Ikke meget, men tydeligt.

1 forekommer ca 3 gange ud af 10, hvor en ligelig fordeling ville
sige 1 ud af 9. Det er faktisk meget.

>>(cifret 0 er af en eller anden grund ikke med i undersøgelsen).

>Ren logik. Hvor tit ser du f.eks. tallet 0528 i en tekst ?

Man kigger på første betydende ciffer, for at undgå at
alle 0,xxx tal bliver rubriceret under 0.

Der er flere pudsigheder, fx har tal, der er delelige med 3,
som oftest et lige antal 1'bits, hvis du skriver dem som
binære tal. Som eksempel kan nævnes 3 som binært er 11

Lidt flere detaljer her:
http://hjem.get2net.dk/bnielsen/cifre.html
hvor jeg også har et par referencer til en artikel
af Pinkham om fænomenet med 1-tallet.

Faktisk er det nemt at finde et eksempel, der sandsynliggør
at fordelingen af 1,2,3... kan have noget at gøre med logaritmerne.
Tag en kvotientrække, fx 2^n og forestil dig at du plotter
værdierne ind på et stykke logaritmepapir, idet du dividerer
med 10, hver gang du kommer over 10.
Dvs 2 4 8 1,6 3,2 6,4 1,28 2,56 osv
Det ser meget ud til at det giver en ligelig fordeling på
logaritmepapiret og de tal der starter med 1 er netop
log(2) - log(1), de tal der starter med 2 er netop
log(3) - log(2) osv.

Derfra til at det gælder mere generelt for fordelinger, der
ikke er helt veldefinerede, er der et stort hop, men som
proof-by-handwaving kan det her godt bruges

mvh Birger Nielsen (bnielsen@daimi.au.dk)

---

[klip]

> proof-by-handwaving

Nu skriver jeg godt nok noget helt OT.... men det var dog det fedeste
udtryk jeg længe har hørt! :)
--
Tommy

---

verndroidSLET@hotmail.com (Tommy) writes:

> [klip]
>
> > proof-by-handwaving
>
> Nu skriver jeg godt nok noget helt OT.... men det var dog det fedeste
> udtryk jeg længe har hørt! :)

Andre morsomme bevismetoder:
<URL:http://www.geocities.com/jonathanproft/stuff/humorproofs.htm>

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

On 12 Sep 2002 12:08:34 +0200, Lasse Reichstein Nielsen
<lrn@hotpop.com> wrote:

>verndroidSLET@hotmail.com (Tommy) writes:
>
>> [klip]
>>
>> > proof-by-handwaving
>>
>> Nu skriver jeg godt nok noget helt OT.... men det var dog det fedeste
>> udtryk jeg længe har hørt! :)
>
>Andre morsomme bevismetoder:
><URL:http://www.geocities.com/jonathanproft/stuff/humorproofs.htm>
>

Takker mange gange for et godt grin. Endelig er der nu mulighed for at
sætte specifikt navn på de metoder der til tider bruges for at
overbevise en om et el. andet tvivlsomt! :)
--
Tommy

---

Tommy wrote:
>
> >Andre morsomme bevismetoder:
> ><URL:http://www.geocities.com/jonathanproft/stuff/humorproofs.htm>
>
> Takker mange gange for et godt grin. Endelig er der nu mulighed for at
> sætte specifikt navn på de metoder der til tider bruges for at
> overbevise en om et el. andet tvivlsomt! :)

Offtopic:
Hvem er det nu der benytter »glidebane-argumentet«? Nå jo, Jens-Peter
Bonde fra Junibevægelsen.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Offtopic:
> Hvem er det nu der benytter »glidebane-argumentet«? Nå jo, Jens-Peter
> Bonde fra Junibevægelsen.

Jeg forstår ikke helt, hvad der er galt med glidebane-argumentet (vi
ser bort fra politik her). Jeg forestiller mig slutningsrækken

A => B => C

hvor A er den oprindelige påstand, man søger at skyde ned, og C er
en absurditet. Er der noget logik, der snyder mig ?

-Claus

---

Claus Rasmussen wrote:
>
> Jeg forstår ikke helt, hvad der er galt med glidebane-argumentet (vi
> ser bort fra politik her). Jeg forestiller mig slutningsrækken
>
> A => B => C
>
> hvor A er den oprindelige påstand, man søger at skyde ned, og C er
> en absurditet. Er der noget logik, der snyder mig ?

Jeg tror ikke det er logiske implikationer der fører fra A til C når
folk bruger glidebaneargumentet. Det *er* vist ligesom i politik.

Glidebaneargumentet er også udbredt i Etisk Råd og den slags steder.

Eksempel: »Hvis vi screener fostre for arvelige sygdomme, ender vi
med et samfund hvor vi alle sammen er perfekte, og afvigelser fra det
normale ikke tolereres.«

Et andet eksempel: »Dér hvor man brænder bøger, vil man også før eller
siden brænde mennesker.«

Rent logisk dur sådanne argumenter jo ikke, men nu er der jo andet end
logik i retorik.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Jeg tror ikke det er logiske implikationer der fører fra A til C når
> folk bruger glidebaneargumentet. Det *er* vist ligesom i politik.
>
> Glidebaneargumentet er også udbredt i Etisk Råd og den slags steder.
>
> Eksempel: »Hvis vi screener fostre for arvelige sygdomme, ender vi
> med et samfund hvor vi alle sammen er perfekte, og afvigelser fra det
> normale ikke tolereres.«

Ok. Dén har jeg hørt før Og så er det jo klart, hvad der menes med
glidebaneargumentet. Jeg undrede mig bare, da det stod på en side med
eksempler på "argumentation" i en videnskabelig sammenhæng.

-Claus

---

Tommy wrote:

>> proof-by-handwaving
>
> Nu skriver jeg godt nok noget helt OT.... men det var dog det fedeste
> udtryk jeg længe har hørt! :)

Så har du heller ikke hørt om mumle-beviser ? Det bruges som regel af
forelæsere, der liige har glemt en vigtig bid af et bevis og derfor
benytter sig af det gammelkendte trick at mulme ind i tavlen. Har man
titel af professor eller lignende virker det hver gang

-Claus

---

>Så har du heller ikke hørt om mumle-beviser ? Det bruges som regel af
>forelæsere, der liige har glemt en vigtig bid af et bevis og derfor
>benytter sig af det gammelkendte trick at mulme ind i tavlen. Har man
>titel af professor eller lignende virker det hver gang
>

hahahahaha.. Nej dem har jeg heller ikke hørt om. Kun mumle-bukser! :)
--
Tommy - http://www.verndroid.tk
Clan Encore - http://www.clan-encore.tk

---

Claus Rasmussen wrote:
>
> Tommy wrote:
>
> >> proof-by-handwaving
> >
> > Nu skriver jeg godt nok noget helt OT.... men det var dog det fedeste
> > udtryk jeg længe har hørt! :)
>
> Så har du heller ikke hørt om mumle-beviser ? Det bruges som regel af
> forelæsere, der liige har glemt en vigtig bid af et bevis og derfor
> benytter sig af det gammelkendte trick at mulme ind i tavlen. Har man
> titel af professor eller lignende virker det hver gang

Åh, det var *det* Gregers Kock forsøgte. Han gjorde det bare 2x45
minutter hver uge igennem et halvt semester.

--
Kristian Damm Jensen | Feed the hungry at www.thehungersite.com
kristian-damm.jensen@cgey.com | Two wrongs doesn't make a right,
ICQ# 146728724 | but three lefts do.

---

Kai Birger Nielsen skrev:

>1 forekommer ca 3 gange ud af 10, hvor en ligelig fordeling ville
>sige 1 ud af 9. Det er faktisk meget.

Jeg giver mig hastigt. Her er en simulation med 1 mio. tal
(C-kode, indbygget rand() giver tal mellem 0 og 65535):

0 0.00 %   !
1 33.91 %
2 33.91 %
3 11.87 %
4 3.40 %
5 3.37 %
6 3.37 %
7 3.39 %
8 3.38 %
9 3.40 %

>Lidt flere detaljer her:
> http://hjem.get2net.dk/bnielsen/cifre.html

Fru Fortuna! Det er der jeg havde min viden fra.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen skrev:

> Jeg giver mig hastigt. Her er en simulation med 1 mio. tal
> (C-kode, indbygget rand() giver tal mellem 0 og 65535):

> 0 0.00 % !
> 1 33.91 %
> 2 33.91 %
> 3 11.87 %
> 4 3.40 %
> 5 3.37 %
> 6 3.37 %
> 7 3.39 %
> 8 3.38 %
> 9 3.40 %

Den simulation duer ikke (helt). Du har et øvre loft over tallene, og
dermed er resultatet givet på forhånd.

Det ser dog ud til at dine tilfældige tal kun går mellem 0 og 32767.

Det ville nemlig give den teoretiske sandsynlighed:

1 33,91 %
2 33,91 %
3 11,84 %
4 3,39 %
5 3,39 %
6 3,39 %
7 3,39 %
8 3,39 %
9 3,39 %

Og det har du jo ramt meget godt.

Hvis dit loft var 65535 ville du have fået tæt på

1 16,95 %
2 16,95 %
3 16,95 %
4 16,95 %
5 16,95 %
6 10,14 %
7 1,70 %
8 1,70 %
9 1,70 %

Det er rimelig intuitivt at hvis man vælger et bestemt loft, vil "1"
altid have den højeste frekvens (oftest sammen med nogle af de andre
tal). Hvis man derimod prøver forskellige lofter, vil 1 have den højeste
sum af frekvenser, dernæst 2 osv., mens 9 vil have den laveste.

Derfor er det ikke mærkeligt at blandt tal i almindelighed vil "1" have
den største frekvens.

TT

---

Nu har jeg prøvet med 1000 000 og 10 000 000 som max tal, og her
er der fuldstændig ligelig fordeling mellem cifrene:

0: 0,00
1: 11,10
2: 11,11
3: 11,11
4: 11,12
5: 11,14
6: 11,12
7: 11,10
8: 11,11
9: 11,10

Så random fordelingen må være et eksempel på en talfordeling, hvor loven
IKKE gælder?

mvh Thomas Riedel


"Thomas Thorsen" <tt1@thomasthorsen.dk> wrote in message
news:cc0g9.71623$ww6.4976665@news010.worldonline.dk...
> Bertel Lund Hansen skrev:
>
> > Jeg giver mig hastigt. Her er en simulation med 1 mio. tal
> > (C-kode, indbygget rand() giver tal mellem 0 og 65535):
>
> > 0 0.00 % !
> > 1 33.91 %
> > 2 33.91 %
> > 3 11.87 %
> > 4 3.40 %
> > 5 3.37 %
> > 6 3.37 %
> > 7 3.39 %
> > 8 3.38 %
> > 9 3.40 %
>
> Den simulation duer ikke (helt). Du har et øvre loft over tallene, og
> dermed er resultatet givet på forhånd.
>
> Det ser dog ud til at dine tilfældige tal kun går mellem 0 og 32767.
>
> Det ville nemlig give den teoretiske sandsynlighed:
>
> 1 33,91 %
> 2 33,91 %
> 3 11,84 %
> 4 3,39 %
> 5 3,39 %
> 6 3,39 %
> 7 3,39 %
> 8 3,39 %
> 9 3,39 %
>
> Og det har du jo ramt meget godt.
>
> Hvis dit loft var 65535 ville du have fået tæt på
>
> 1 16,95 %
> 2 16,95 %
> 3 16,95 %
> 4 16,95 %
> 5 16,95 %
> 6 10,14 %
> 7 1,70 %
> 8 1,70 %
> 9 1,70 %
>
> Det er rimelig intuitivt at hvis man vælger et bestemt loft, vil "1"
> altid have den højeste frekvens (oftest sammen med nogle af de andre
> tal). Hvis man derimod prøver forskellige lofter, vil 1 have den højeste
> sum af frekvenser, dernæst 2 osv., mens 9 vil have den laveste.
>
> Derfor er det ikke mærkeligt at blandt tal i almindelighed vil "1" have
> den største frekvens.
>
> TT
>
>
>

---

Scripsit "Thor" <thr@image.danmark>

> Nu har jeg prøvet med 1000 000 og 10 000 000 som max tal, og her
> er der fuldstændig ligelig fordeling mellem cifrene:

> Så random fordelingen må være et eksempel på en talfordeling, hvor loven
> IKKE gælder?

Nej og ja. Der er jo ikke én bestemt "random-fordeling" (du mener
ligefordeling). Der er en ligefordeling for hvert interval, og dit (og
Bertels) eksperimenter viser er at den generelle lov ikke nødvendigvis
gælder hvis man fra starten vælger én bestemt fordeling og danner alle
sine tal ud fra den med samme parametre.

Hvis man derimod laver en serie eksperimenter i tre trin

a) Vælg (efter en "passende") fordeling et tilfældigt tal N.
b) Vælg dernæst X ligefordelt mellem 0 og N
c) Tag første betydende ciffer i X.

kommer data straks til at passe bedre på den teoretiske fordeling.

Loven bør dog gælde med god tilnærmelse hvis man har en fordeling med
pæne bløde flanker hvor "toppen" er bred nok til at spænde over
adskillige størrelsesordener.

--
Henning Makholm "Jeg kunne ikke undgå at bemærke at han gik på hænder."

---

Thor skrev:

> Nu har jeg prøvet med 1000 000 og 10 000 000 som max tal, og
> her er der fuldstændig ligelig fordeling mellem cifrene:
>
> 0: 0,00
> 1: 11,10
> 2: 11,11
> 3: 11,11
> 4: 11,12
> 5: 11,14
> 6: 11,12
> 7: 11,10
> 8: 11,11
> 9: 11,10
>
> Så random fordelingen må være et eksempel på en talfordeling,
> hvor loven IKKE gælder?

Jeg har fået nogle tal der ligner dine, men det var vel også at
forvente udfra det første link der kom i denne tråd. (Og jeg
kunne da egentlig godt tænke mig at vide hvordan Bertel kom frem
til sine tal, hvis han blot brugte rand(3).)

Tager jeg derimod logaritmen (ln eller log10, det betyder intet)
til de tilfældige tal, får jeg noget i retning af:

   n    p      log10(1+1/n)
      
   1   0.329145    0.301030
   2   0.174409    0.176091
   3   0.112710    0.124939
   4   0.086451    0.096910
   5   0.072473    0.079181
   6   0.064169    0.066947
   7   0.058405    0.057992
   8   0.053068    0.051153
   9   0.049171    0.045757

hvor p er sandsynligheden for at det første ciffer er n. Prøve-
størrelsen var større end 1E6. Nå ja, og jeg valgte vist til-
fældige tal mellem 0 og 1 før jeg tog den naturlige logaritme.


// Klaus

--
><>    vandag, môre, altyd saam

---

Klaus Alexander Seistrup skrev:

>forvente udfra det første link der kom i denne tråd. (Og jeg
>kunne da egentlig godt tænke mig at vide hvordan Bertel kom frem
>til sine tal, hvis han blot brugte rand(3).)

enum { ANTAL=1000000 };

int main () {
   int n, tal;
   int ciffer[10];

   for (n=0; n<10; ++n) ciffer[n]=0;
   for (n=0; n<ANTAL; ++n) {
      tal=rand();
      while (tal>=10) tal/=10;
      ++ciffer[tal];
   }

   for (n=0; n<10; ++n) printf(" %d %6.2f %%\n",
      n,((double) ciffer[n])/ANTAL*100);

   return 0;
}

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen skrev:

>       tal=rand();

Men <http://courses.nus.edu.sg/course/mathelmr/080498sci-benford.htm>
siger at "Benford's Law does not apply to uniform distributions".
Hvis du havde valgt at bruge alle tal mindre end fx 10'000 (i stedet
for 32'768), havde du fået den forventede sandsynlighed på 1/9 for
hvert af tallene 1 - 9.


// Klaus

--
><>    vandag, môre, altyd saam

---

karamel wrote in message <3D7FC3DE.30C0E29@REMOVEoncable.dk>...

>Jeg har læst et eller andet sted om en mærkelig egenskab, som er knyttet
>til vores tal, nemlig at chancen for, at et tal starter med cifret 1
>(eller at det indeholder cifret 1, - jeg kan ikke rigtigt huske) er
>meget større end med de øvrige 8 (cifret 0 er af en eller anden grund
>ikke med i undersøgelsen).
>
>Er der nogen, der ved mere om sagen?

Umiddelbart ulogisk, men egentligt klart når man tænker over det. Hvis man
f.eks. har nogen tal der ligger omkring 1000 og varierer med +/-300 vil de
tal der er lavere end 1000 starte med 7,8,9 mens alle dem over 1000 vil
starte med 1.

Men rent statistisk er der så ikke lige mange tal der starter med alle
cifre, hvis man vælger et loft på 9999...?

/Martin