---

Kan ikke lige overskue hvad der er bedst i risk at angribe eller forsvarer.
Hvis man angriber "kan" man gøre det med 3 standart terninger. Derimod hvis
du forsvarer har du kun 2 men hvis tallet bliver det samme så har
forsvareren fordel.
Eks. Angreb 2-4-5 Forsvar 2-3 Forsvarer mister 2 mænd.
Angreb 1-4-5 Forsvar 4-4 Forsvarer mister 1 mænd og angreb mister 1.
Det er den højeste terning mod den højeste terning.
Er der nogle der kan fortælle hvordan chancerne for at vinde og tabe sin
hær.

---

Astrup wrote:
> Kan ikke lige overskue hvad der er bedst i risk at
> angribe eller forsvarer. Hvis man angriber "kan" man gøre
> det med 3 standart terninger. Derimod hvis du forsvarer
> har du kun 2 men hvis tallet bliver det samme så har
> forsvareren fordel. Eks. Angreb 2-4-5 Forsvar 2-3
> Forsvarer mister 2 mænd. Angreb 1-4-5 Forsvar 4-4
> Forsvarer mister 1 mænd og angreb mister 1. Det er den
> højeste terning mod den højeste terning. Er der nogle der
> kan fortælle hvordan chancerne for at vinde og tabe sin
> hær.

\ The board game "Risk" has battles where the attacker rolls 3 dice
\ and the defender rolls 2 dice. The highest attacker dice is matched
\ to the highest defender die and the second highest attacker die to
\ the second highest defender die. For both matches, the highest wins
\ with ties being in the defenders favour. The definition below
\ calculates the number of attacker wins, with the defender winning
\ the rest of the 2 battles.

let a = 3#d6 in
let b = 2#d6 in
count( (<(largest 1 a) largest 1 b)
@ (<(largest 1 least 2 a) least 1 b))

C:\Documents and Settings\js\Dokumenter\Dice>roll.exe Examples\dice5.d -1
Value Probability for = Probability for <
0 : 0.292566872428 0.0
1 : 0.335776748971 0.292566872428
2 : 0.371656378601 0.628343621399

Average = 1.07908950617 Spread = 0.811152329123

Hent roll på Torben Ægidius' hjemmeside:

http://www.diku.dk/users/torbenm/

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
> \ The board game "Risk" has battles where the attacker rolls 3 dice
> \ and the defender rolls 2 dice. The highest attacker dice is matched
> \ to the highest defender die and the second highest attacker die to
> \ the second highest defender die. For both matches, the highest wins
> \ with ties being in the defenders favour. The definition below
> \ calculates the number of attacker wins, with the defender winning
> \ the rest of the 2 battles.
....
> C:\Documents and Settings\js\Dokumenter\Dice>roll.exe Examples\dice5.d -1
> Value Probability for = Probability for <
> 0 : 0.292566872428 0.0
> 1 : 0.335776748971 0.292566872428
> 2 : 0.371656378601 0.628343621399
>
> Average = 1.07908950617 Spread = 0.811152329123

Så angreber vinder i snit med en anelse. Jeg havde regnet med mere.

Jeg har nogen gange spillet med en ekstra regel: Forsvarer må selv
vælge om han vil forsvare med en eller to enheder, altså om han slår
med en eller to terninger. Han kan så højst miste de enheder han
forsvarer med. Dette vælges efter angriberen har slået, så hvis man
er oppe mod to seksere, så kan det betale sig kun at ofre en enhed.
Det burde tippe balancen i forsvarerens favør ... men hvor meget?
(mit "roll" program til det simple eksempel var forkert, så jeg tror
jeg vil overlade det til nogen med mere erfaring :)

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:

> Jeg har nogen gange spillet med en ekstra regel: Forsvarer må selv
> vælge om han vil forsvare med en eller to enheder, altså
> om han slår med en eller to terninger. Han kan så højst
> miste de enheder han forsvarer med.

Det plejer jeg at spille med.

> Dette vælges efter
> angriberen har slået, så hvis man er oppe mod to seksere,
> så kan det betale sig kun at ofre en enhed. Det burde
> tippe balancen i forsvarerens favør ... men hvor meget?

Det vil jeg også gerne vide.

> (mit "roll" program til det simple eksempel var forkert,
> så jeg tror jeg vil overlade det til nogen med mere
> erfaring :)

Bolden er hermed spillet videre til Torben

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard wrote:

Jeg har fundet et præcist svar på:

http://www.plainsboro.com/~lemke/risk/

Den praktiske formulering er som følger:

Attacker 1 versus defender 1: defender has the advantage, winning about 4 out of 7 battles
Attacker 2 versus defender 1: attacker has the advantage, winning about 4 out of 7 battles

Angriberens ekstra terning gør altså ikke andet end at "tippe" odssene.

Attacker 3 versus defender 1: attacker has the advantage, winning about 2 out of 3 battles
Attacker 1 versus defender 2: defender has the advantage, winning about 3 out of 4 battles
Attacker 2 versus defender 2: defender has the advantage, winning about 3 out of 5 battles


Attacker 3 versus defender 2: attacker has the advantage, but the advantage is much more
narrow than any of the battles described above. The attacker's
advantage is such that he will win about 7 out of 13 battles on
average.

Det er mere lige end jeg troede. Jeg har dog ofte oplevet meget lige kampe,
men har tilskrevet det tilfældigheder (host).

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Jens Axel Søgaard wrote:
> Jeg har fundet et præcist svar på:
> http://www.plainsboro.com/~lemke/risk/

Jeg er lidt forvirret over denne side, Det ser ud til at han kræver at
forsvareren skal vælge hvor mange terninger han vil slå med før han
ser hvor godt angriberen har slået. (Jeg har ikke regnet hans tal
efter).

--
Niels L Ellegaard http://dirac.ruc.dk/~gnalle/

---

"Niels L. Ellegaard" <gnalle@ruc.dk> wrote in message
news:7w8z2ip6yg.fsf@i19.ruc.dk...
> Jeg er lidt forvirret over denne side, Det ser ud til at han kræver at
> forsvareren skal vælge hvor mange terninger han vil slå med før han
> ser hvor godt angriberen har slået. (Jeg har ikke regnet hans tal
> efter).

Den er også lidt svær (meget) at give et eksakt svar på.

For at lave et svar skal du sætte en regel for hvornår man vil slå med en,
og hvor med 2, afhængigt af modstanderens kombination.
f.eks ved 1-1-6, vil man nok slå med to, men ved 1-3-6, skal man bruge en
eller 2 ? (skal angives for alle kombinationer)

---

"SoftMan Brian" <Brian_Hoey@hotmail.com> writes:

> For at lave et svar skal du sætte en regel for hvornår man vil slå med en,
> og hvor med 2, afhængigt af modstanderens kombination.
> f.eks ved 1-1-6, vil man nok slå med to, men ved 1-3-6, skal man bruge en
> eller 2 ? (skal angives for alle kombinationer)

Ja, der skal tænkes lidt. Det er ikke nødvendigvis godt nok at begrænse
sine tab, hvis man samtidigt også begrænser modstanderens tab.
Jeg har prøvet at kigge på forholdet mellem hvor mange du mister og
hvor mange modstanderen mister ... eller mere præcist på forholdet
mellem gennemsnittene.

Hvis den onde modstander slår 5 og 6 på sine to bedste terninger, så
vil man i snit tabe 1.583 enheder hvis man slår med to terninger, og
0.8333 enheder hvis man slår med en. Modstanderen vil så i snit tabe
henholdsvis 0.417 og 0.166 enheder. Det vil sige at med to terninger
taber du 3.8 gange så mange som modstanderen og med en terning 5 gange
så mange.

Mit problem her er at jeg ikke helt kan overskue om det er matematisk
korrekt bare at tage forholdet mellem gennemsnittene, eller om man
skal til at finde gennemsnit af forhold istedet. Der skal nok lidt tid
med blyant og papir til, men hvis nogen har noget inspereret at sige,
så gør endelig det :).

Hvorom alt er, så giver mine løse beregninger at det altid et mindst
lige så godt tabsforhold at slå med to terninger. Når modstanderens to
terninger er ens giver det præcist samme forhold, og der bør man så
måske kun vælge en terning hvis forholdet er i modstanderens favør
((dit tab/hans tab) er over 1.0).

Andre idéer?
/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:
> "SoftMan Brian" <Brian_Hoey@hotmail.com> writes:
>
>> For at lave et svar skal du sætte en regel for hvornår
>> man vil slå med en, og hvor med 2, afhængigt af
>> modstanderens kombination. f.eks ved 1-1-6, vil man nok
>> slå med to, men ved 1-3-6, skal man bruge en eller 2 ?
>> (skal angives for alle kombinationer)

Det vil sige, at man kan lagre en strategi som en bitvektor
med 2^3=216 indgange. Det giver totalt 216^2 = 46656
mulige strategier.

[Man kan formindske antallet af muligheder ved at sortere
angriberen slag]

Hvis man lader antager, at både angriber og forsvarer
har uendelig mange mænd [ækvivalent, hvis man igennem
et slag ikke ændrer strategi afhængig af det antal mænd,
man har tilbage], så kan man bedømme en strategi ved
at løbe alle 216 muligheder igennem, og tage gennemsnit.

Det giver 2^3 * 216^2 = 10077696 kombinationer.
Mon ikke det skulle være muligt at løbe det antal igennem
ved brug af rå kraft?

> Ja, der skal tænkes lidt. Det er ikke nødvendigvis godt
> nok at begrænse sine tab, hvis man samtidigt også
> begrænser modstanderens tab. Jeg har prøvet at kigge på
> forholdet mellem hvor mange du mister og hvor mange
> modstanderen mister ... eller mere præcist på forholdet
> mellem gennemsnittene.

Hm. Tænke. Hvorfor kigger du på forholdet og ikke
gennemsnittet af differenserne?

> Hvis den onde modstander slår 5 og 6 på sine to bedste
> terninger, så vil man i snit tabe 1.583 enheder hvis man
> slår med to terninger, og 0.8333 enheder hvis man slår
> med en. Modstanderen vil så i snit tabe henholdsvis 0.417
> og 0.166 enheder. Det vil sige at med to terninger taber
> du 3.8 gange så mange som modstanderen og med en terning
> 5 gange så mange.

Godt set.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> Det vil sige, at man kan lagre en strategi som en bitvektor
> med 2^3=216 indgange. Det giver totalt 216^2 = 46656
> mulige strategier.

Regn lige de mellemregninger igennem en gang til! Du har 6^3=216
forskellige slag fra angriberens side, og vil vælge en eller to
terninger i hvert tilfælde ... det giver 2^216, som nok er lige i
overkanten :)

Faktisk er 21 bits/muligheder nok. Kun de to højeste terninger
fra angriberen er relevant, altså 6^2,

> [Man kan formindske antallet af muligheder ved at sortere
> angriberen slag]

.... og rækkefølgen er stadig ligegyldig, så kun 21 forskellige
valg er nødvendige for en strategi. 2^21 er inden for almindelige
menneskers computeres rækkevidde.

> Hm. Tænke. Hvorfor kigger du på forholdet og ikke
> gennemsnittet af differenserne?

Godt spørgsmål. Idéen var at se på forskellen mellem en og to
forsvarsterninger, og at sammenligne disse. Hvis jeg bare så på
differencen, så ville jeg forvente at den var større for to terninger,
da der så altid er to mænd der dør istedet for kun en. Forholdet var
det første jeg kom op med der kunne sammenlignes i de to tilfælde.

Men(!) det at min intuition siger mig at man bør vælge en terning
når modstanderen slår to seksere, selvom tabsforholdet er det samme
for en og to terninger, får mig til at tvivle på om tabsforholdet er
det rigtige at kigge på.

Jeg har dog en fornemmelse af at strategier kan behandles monotont.
En terning er en fordel mod to seksere, og to terninger er en fordel
mod to enere. Jeg regner med at hvis en terning er bedre end to for
et givent slag, så er det også bedre for et højere slag (højere værdi
på en af angriberens terninger, eller på begge). Det vil give noget
færre end 2^21 relevante strategier.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
>> Det vil sige, at man kan lagre en strategi som en
>> bitvektor med 2^3=216 indgange. Det giver totalt 216^2 =
>> 46656 mulige strategier.
>
> Regn lige de mellemregninger igennem en gang til! Du har
> 6^3=216 forskellige slag fra angriberens side, og vil
> vælge en eller to terninger i hvert tilfælde ... det
> giver 2^216, som nok er lige i overkanten :)

Jeg tror, jeg skal have mig en eftermiddagslur

> Faktisk er 21 bits/muligheder nok. Kun de to højeste
> terninger fra angriberen er relevant, altså 6^2,
>
>> [Man kan formindske antallet af muligheder ved at sortere
>> angriberen slag]
>
> ... og rækkefølgen er stadig ligegyldig, så kun 21
> forskellige valg er nødvendige for en strategi. 2^21 er
> inden for almindelige menneskers computeres rækkevidde.

Det lyder overkommeligt.

>> Hm. Tænke. Hvorfor kigger du på forholdet og ikke
>> gennemsnittet af differenserne?
>
> Godt spørgsmål. Idéen var at se på forskellen mellem en
> og to forsvarsterninger, og at sammenligne disse. Hvis
> jeg bare så på differencen, så ville jeg forvente at den
> var større for to terninger, da der så altid er to mænd
> der dør istedet for kun en. Forholdet var det første jeg
> kom op med der kunne sammenlignes i de to tilfælde.
>
> Men(!) det at min intuition siger mig at man bør vælge en
> terning når modstanderen slår to seksere, selvom
> tabsforholdet er det samme for en og to terninger, får
> mig til at tvivle på om tabsforholdet er det rigtige at
> kigge på.

Min intuition siger det samme.

> Jeg har dog en fornemmelse af at strategier kan behandles
> monotont. En terning er en fordel mod to seksere, og to
> terninger er en fordel mod to enere. Jeg regner med at
> hvis en terning er bedre end to for et givent slag, så er
> det også bedre for et højere slag (højere værdi på en af
> angriberens terninger, eller på begge). Det vil give
> noget færre end 2^21 relevante strategier.

Det lyder rimeligt. Spørgsmålet er bare om
monotonien også gælder, hvor det "skiller".
Men det kommer selvfølgelig også an på, hvodan man
ordner parrene.

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:

> > Det vil sige, at man kan lagre en strategi som en bitvektor
> > med 2^3=216 indgange. Det giver totalt 216^2 = 46656
> > mulige strategier.

> Regn lige de mellemregninger igennem en gang til! Du har 6^3=216
> forskellige slag fra angriberens side, og vil vælge en eller to
> terninger i hvert tilfælde ... det giver 2^216, som nok er lige i
> overkanten :)

> ... og rækkefølgen er stadig ligegyldig, så kun 21 forskellige
> valg er nødvendige for en strategi. 2^21 er inden for almindelige
> menneskers computeres rækkevidde.

Men det er ikke nok alligevel. Det er nemlig ikke utænkeligt med en
strategi der tager hensyn til hvor mange brikker hver af parterne har
tilbage. Har man kun to brikker tilbage, er det rationelt at tage
større risici for at undgå at miste dem end hvad der er relevant for
at undgå at miste to ud af 20 brikker.

Selv det er ikke nok, for man må også se strategisk på hvor vigtigt
det er for én i det kommende spil om man efter en lokal sejr har 18
eller 20 brikker tilbage på feltet.

--
Henning Makholm "Det må være spændende at bo på
en kugle. Har I nogen sinde besøgt de
egne, hvor folk går rundt med hovedet nedad?"

---

Henning Makholm wrote:
>
> Men det er ikke nok alligevel. Det er nemlig ikke utænkeligt med en
> strategi der tager hensyn til hvor mange brikker hver af parterne har
> tilbage. Har man kun to brikker tilbage, er det rationelt at tage
> større risici for at undgå at miste dem end hvad der er relevant for
> at undgå at miste to ud af 20 brikker.
>
> Selv det er ikke nok, for man må også se strategisk på hvor vigtigt
> det er for én i det kommende spil om man efter en lokal sejr har 18
> eller 20 brikker tilbage på feltet.

Ja ... Og når man har indledt det afsluttende raid hvormed éns mission
bliver let at regne ud for enhver, kan man lige så godt fortsætte på
kamikze-manér uanset hvor galt det går med indtagelsen af de første
lande, fordi et fortsat spil hvor de andre har vished for éns mission,
er meget svært at vinde. Så er det alt eller intet.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:
>
> Faktisk er 21 bits/muligheder nok. Kun de to højeste terninger
> fra angriberen er relevant, altså 6^2,

21: det sjette trekantstal.
Her er en tabel:

Hvis angriberen slår skal forsvareren vælge
==================== ======================
6-6-x ? terninger
6-5-x ? terninger
6-4-x ? terninger
6-3-x ? terninger
6-2-x ? terninger
6-1-x ? terninger
5-5-x ? terninger
5-4-x ? terninger
5-3-x ? terninger
5-2-x ? terninger
5-1-x ? terninger
4-4-x ? terninger
4-3-x ? terninger
4-2-x ? terninger
4-1-x ? terninger
3-3-x ? terninger
3-2-x ? terninger
3-1-x ? terninger
2-2-x ? terninger
2-1-x ? terninger
1-1-x ? terninger

Her betegner x et slag der er mindre end eller lig med de to slag der
eksplicit er angivet foran, eller x betegner fravær af en terning
fordi angriberen kun har to armeer tilbage.

Det jeg ønsker mig, er at én af jer dygtige programmører finder ud af
hvilke af de ovenstående spørgsmålstegn der bør være »1«, og hvilke
der bør være »2«.

Det må være *differensen* mellem hvor mange angriberen taber, og hvor
mange man selv taber, ...
Ikke kvotienten (forholdet).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Det må være *differensen* mellem hvor mange angriberen taber, og hvor
> mange man selv taber, ...
> Ikke kvotienten (forholdet).

Jeg mener det bør være kvotienten.

Hvis vi har en situation hvor
- Angriberen har lidt mere end dobbelt så mange enheder som
forsvarerern, og
- forsvareren kan vælge mellem at rulle en terning, hvilket
gennemsnitligt ville koste 1/4 mand og modstanderen 3/4,
og rulle to terninger, hvilket i gennemsnit ville koste
2/3 mand og modstanderen 4/3 mand.

Så vil konsekvent rul af to terninger føre til at man taber mens rul
med en terning fører til at man vinder (i gennemsnit). Den absolutte
differens er dog henholdsvis 1/2 og 2/3, så ud fra differencen skulle
man vælge at slå med to terninger. Tabsforholdene på den anden side
er 1:3 og 1:2.

Min intuition siger mig at strategien skal være at slå med to
terninger hvis det forventede tabsforhold er bedre en forholdet mellem
de enheder der er i kamp, og en terning hvis det er dårligere. Altså:
minimer tabene hvis det vil forværre situationen, og maksimer hvis det
forbedrer.

Der er dog det problem at slag med to terninger ofte giver bedre
tabsforhold en slag med en terning. Jeg kan ikke lige overskue om der
er en grænse hvor man alligevel skal satse to mand til en lavere
tabschance, selvom det stadig ikke er i ens eget favør.

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Lasse Reichstein Nielsen wrote:
>
> > Det må være *differensen* mellem hvor mange angriberen taber, og hvor
> > mange man selv taber, ...
> > Ikke kvotienten (forholdet).
>
> Jeg mener det bør være kvotienten.
>
> Hvis vi har en situation hvor
> - Angriberen har lidt mere end dobbelt så mange enheder som
> forsvarerern, og

Det bliver først indviklet hvis man også skal indrette sin strategi
efter hvor mange armeer hver af de to spiller har tilbage. Jeg fore-
stillede mig at man kun kiggede på angriberens terningeslag.

> - forsvareren kan vælge mellem at rulle en terning, hvilket
> gennemsnitligt ville koste 1/4 mand og modstanderen 3/4,
> og rulle to terninger, hvilket i gennemsnit ville koste
> 2/3 mand og modstanderen 4/3 mand.
>
> Så vil konsekvent rul af to terninger føre til at man taber mens rul
> med en terning fører til at man vinder (i gennemsnit). Den absolutte
> differens er dog henholdsvis 1/2 og 2/3, så ud fra differencen skulle
> man vælge at slå med to terninger. Tabsforholdene på den anden side
> er 1:3 og 1:2.

Ja, jeg forstår faktisk godt dit eksempel. Det er nok rigtigt at man
skal optimere kvotienten og ikke differensen, så.

Men er der ikke et problem ved overhovedet at regne gennemsnittene
ud hver for sig, og så blot sammenligne dem (med kvotient eller
differens)? Dét tror jeg der er. Måske har jeg lidt svært ved at
udtrykke præcist hvad der bekymrer mig, men det jeg har i tankerne
er noget a la ikke-transitive terninger som på

http://mathworld.wolfram.com/EfronsDice.html

Det øverste eksempel på terninger på denne side er

A = [0,0,4,4,4,4] gennemsnit 16/6
B = [3,3,3,3,3,3] gennemsnit 18/6
C = [2,2,2,2,6,6] gennemsnit 20/6
D = [1,1,1,5,5,5] gennemsnit 18/6

Her kan man jo ikke bruge gennemsnittene til så meget.

Thi A slår B, B slår C, C slår D, og D slår A. Alle med sandsynlighed
24/36=2/3.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

Tallene er i 36.-dele og angiver gennemsnitligt tab

Lad os først prøve at regne på forholdene ved en forholdsstrategi:

Forsv. slår med 2 Forsv. slår med 1
> Angr. Forsv. : Angr. Forsv. : Angr.
> ===== ================= =================
> 6-6-x 60 : 12 30 : 6 (= 60 : 12)
> 6-5-x 57 : 15 30 : 6
> 6-4-x 52 : 20 30 : 6
> 6-3-x 45 : 27 30 : 6
> 6-2-x 36 : 36 30 : 6
> 6-1-x 25 : 47 30 : 6
> 5-5-x 48 : 24 24 : 12 (= 48 : 24)
> 5-4-x 43 : 29 24 : 12
> 5-3-x 36 : 36 24 : 12
> 5-2-x 27 : 45 24 : 12
> 5-1-x 16 : 56 24 : 12
> 4-4-x 36 : 36 18 : 18 (= 36 : 36)
> 4-3-x 29 : 43 18 : 18
> 4-2-x 20 : 52 18 : 18
> 4-1-x 9 : 63 18 : 18
> 3-3-x 24 : 48 12 : 24 (= 24 : 48)
> 3-2-x 15 : 57 12 : 24
> 3-1-x 4 : 68 12 : 24
> 2-2-x 12 : 60 6 : 30 (= 12 : 60)
> 2-1-x 1 : 71 6 : 30
> 1-1-x 0 : 72 0 : 36 (= 0 : 72)

Hvis vi antager at tabsforholdet er det eneste afgørende, skal
forsvareren altid slå med to terninger. Hvis angriberen slår 2 ens, er
det dog ligegyldigt om man forsvarer med 1 eller 2 terninger. Dette
fører til en absurditet da man ved angriberens 1-1-x altid vil stå bedst
ved at forsvare med 2 terninger. Man er sikker på at slå to af
angriberens ud, og man risikerer ikke at miste nogen forsvarer. Jeg tror
derfor ikke at tabsforholdsstrategien er holdbar.

Vi kan i stedet se på differenserne (fortegnet er i angriberens favør):

Forsv. slår med 2 Forsv. slår med 1
> Angr. Forsv. - Angr. Forsv. - Angr.
> ===== ================= =================
> 6-6-x 48 24
> 6-5-x 42 24
> 6-4-x 32 24
> 6-3-x 18 24
> 6-2-x 0 24
> 6-1-x - 22 24
> 5-5-x 24 12
> 5-4-x 14 12
> 5-3-x 0 12
> 5-2-x - 18 12
> 5-1-x - 40 12
> 4-4-x 0 0
> 4-3-x - 14 0
> 4-2-x - 32 0
> 4-1-x - 54 0
> 3-3-x - 24 - 12
> 3-2-x - 42 - 12
> 3-1-x - 64 - 12
> 2-2-x - 48 - 24
> 2-1-x - 70 - 24
> 1-1-x - 72 - 36

Her er der kun 5 slag der giver en forsvarsfordel med 1 terning: 6-6,
6-5, 6-4, 5-5 og 5-4. 4-4 giver lige.

> Angr. Forsv. terninger
> ===== ================
> 6-6-x 1
> 6-5-x 1
> 6-4-x 1
> 6-3-x 2
> 6-2-x 2
> 6-1-x 2
> 5-5-x 1
> 5-4-x 1
> 5-3-x 2
> 5-2-x 2
> 5-1-x 2
> 4-4-x 1/2
> 4-3-x 2
> 4-2-x 2
> 4-1-x 2
> 3-3-x 2
> 3-2-x 2
> 3-1-x 2
> 2-2-x 2
> 2-1-x 2
> 1-1-x 2

En let tommelfingerregel efter en differensoptimeringsstrategi kan altså
lyde: Slå kun med én terning hvis modstanderens næsthøjeste terning er 4
eller derover.

Gennemsnitlig differens ved altid at forsvare med 1 terning: 0,319
(414/1296)
Gennemsnitlig differens ved altid at forsvare med 2 terninger: 0,158
(105/1296)
Gennemsnitlig differens ved differensoptimering: -0,001 (-
1/1296)

Nu er spørgsmålet så om en differensstrategi altid er den bedste uanset
antallet af armeer.

TT

---

Thomas Thorsen wrote:
>
> En let tommelfingerregel efter en differensoptimeringsstrategi kan altså
> lyde: Slå kun med én terning hvis modstanderens næsthøjeste terning er 4
> eller derover.

Tak for alle dine udregninger (ikke citeret). Ovenstående tommelfinger-
regel er da såre intuitiv! Hvis den næsthøjeste terning er mindst 4,
må man forvente at tabe på de næsthøjeste og skal derfor slå med kun
én terning.

Lad X og Y betegne udfaldet af de to blå forsvarsterninger. (Altså
X og Y er uafhængige stokastiske variable, begge »endelig-uniformt«
fordelte på {1,...,6}.)

Da er middelværdien for den mindste terning faktisk kun

E[min(X,Y)] = 91/36 = 2,53

Alligevel skal man tilsyneladende slå med to terninger selvom angri-
berens næsthøjeste er en treer.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen skrev:

> Da er middelværdien for den mindste terning faktisk kun
>
> E[min(X,Y)] = 91/36 = 2,53

> Alligevel skal man tilsyneladende slå med to terninger selvom angri-
> berens næsthøjeste er en treer.

Ved at slå med to terninger øger du også din bedste ternings gennemsnit
fra 3,5 til 4,47.

TT

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
> Lasse Reichstein Nielsen wrote:
>>
>> Faktisk er 21 bits/muligheder nok. Kun de to højeste
>> terninger fra angriberen er relevant, altså 6^2,
>
> 21: det sjette trekantstal.
> Her er en tabel:
>
> Hvis angriberen slår skal forsvareren vælge
> ==================== ======================
> 6-6-x ? terninger

[snip]

> Her betegner x et slag der er mindre end eller lig med de
> to slag der eksplicit er angivet foran, eller x betegner
> fravær af en terning fordi angriberen kun har to armeer
> tilbage.

Her en liste baseret på differenser:

Velkommen til DrScheme, version 201.
Sprog: Temmelig omfattende Scheme.
(((6 6) en)
((6 5) en)
((6 5) en)
((6 4) en)
((6 4) en)
((6 3) en)
((6 3) en)
((6 2) to)
((6 2) to)
((6 1) to)
((6 1) to)
((5 5) en)
((5 4) en)
((5 4) en)
((5 3) to)
((5 3) to)
((5 2) to)
((5 2) to)
((5 1) to)
((5 1) to)
((4 4) lige)
((4 3) to)
((4 3) to)
((4 2) to)
((4 2) to)
((4 1) to)
((4 1) to)
((3 3) to)
((3 2) to)
((3 2) to)
((3 1) to)
((3 1) to)
((2 2) to)
((2 1) to)
((2 1) to)
((1 1) to))

Selve differenserne er:

(((1 1) 6 72)
((2 1) 4 70)
((3 1) 2 64)
((4 1) 0 54)
((5 1) -2 40)
((6 1) -4 22)
((2 1) 4 70)
((2 2) 4 48)
((3 2) 2 42)
((4 2) 0 32)
((5 2) -2 18)
((6 2) -4 0)
((3 1) 2 64)
((3 2) 2 42)
((3 3) 2 24)
((4 3) 0 14)
((5 3) -2 0)
((6 3) -4 -18)
((4 1) 0 54)
((4 2) 0 32)
((4 3) 0 14)
((4 4) 0 0)
((5 4) -2 -14)
((6 4) -4 -32)
((5 1) -2 40)
((5 2) -2 18)
((5 3) -2 0)
((5 4) -2 -14)
((5 5) -2 -24)
((6 5) -4 -42)
((6 1) -4 22)
((6 2) -4 0)
((6 3) -4 -18)
((6 4) -4 -32)
((6 5) -4 -42)
((6 6) -4 -48))

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" wrote:
>
> Her en liste baseret på differenser:
>
> ((6 3) en)

Hov, Thomas Thorsens udregning sagde at man skulle bruge *to* terninger
i dette tilfæde?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jens Axel Søgaard skrev:

> Selve differenserne er:

> (((1 1) 6 72)
[klip en masse tal]
> ((6 6) -4 -48))

Mine differenser for 1 terning er faktor 6 i forhold til dine. Mit
fortegn er også omvendt, men det er selvfølgelig ligegyldigt.

Dvs. 1 1 36 72
6 6 -24 48

Jeg regner i 36-dele så det er i virkeligheden:

1 1 1,00 2,00
6 6 -0,67 -1,33

Umiddelbart viser angrebs-(1 1) efter mine udregninger sikker differens
på 1 i forsvarers favør hvis man forsvarer med én terning, og sikker
differens på 2 hvis man forsvarer med 2. Dette må være korrekt.

Det ser ud til at du bare regner i antal kombinationer. Men da bliver du
nødt til at justere for det forhold at der er 36 kombinationer med 2
terninger, og kun 6 med én terning. Det svarer til at du skal gange
differenserne ved én terning med 6.

TT

---

"Thomas Thorsen" <tt1@thomasthorsen.dk> writes:

> Det ser ud til at du bare regner i antal kombinationer. Men da bliver du
> nødt til at justere for det forhold at der er 36 kombinationer med 2
> terninger, og kun 6 med én terning. Det svarer til at du skal gange
> differenserne ved én terning med 6.

Du har ret. Oprindelig planlagde jeg, at tage gennemsnittet af
differenserne inden jeg sammelignede (netop for at justere).
Men så glemte jeg det igen.

--
Jens Axel Søgaard - <http://www.jensaxel.dk> - jensaxel@soegaard.net

A Mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
- Paul Erdös

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Hvis angriberen slår skal forsvareren vælge
> ==================== ======================
> 6-6-x ? terninger
> 6-5-x ? terninger
> 6-4-x ? terninger
> 6-3-x ? terninger
> 6-2-x ? terninger
> 6-1-x ? terninger
> 5-5-x ? terninger
> 5-4-x ? terninger
> 5-3-x ? terninger
> 5-2-x ? terninger
> 5-1-x ? terninger
> 4-4-x ? terninger
> 4-3-x ? terninger
> 4-2-x ? terninger
> 4-1-x ? terninger
> 3-3-x ? terninger
> 3-2-x ? terninger
> 3-1-x ? terninger
> 2-2-x ? terninger
> 2-1-x ? terninger
> 1-1-x ? terninger
>
> Her betegner x et slag der er mindre end eller lig med de to slag der
> eksplicit er angivet foran, eller x betegner fravær af en terning
> fordi angriberen kun har to armeer tilbage.
>
> Det jeg ønsker mig, er at én af jer dygtige programmører finder ud af
> hvilke af de ovenstående spørgsmålstegn der bør være »1«, og hvilke
> der bør være »2«.
>
> Det må være *differensen* mellem hvor mange angriberen taber, og hvor
> mange man selv taber, ...
> Ikke kvotienten (forholdet).

Indeed. Med fare for at gentage andres resultater, er her
gennemsnitstabsforskellene for en og to terninger:

En terning:

Angribers højeste angribers tab - forsvarers tab
---------------------------------------------------
6 -2/3 = -16/18
5 -1/3 = -9/18
4 0
3 1/3 = 9/18
2 2/3 = 16/18
1 1 = 18/18

To terninger:

Angribers to højeste angribers tab - forsvarers tab bedst
--------------------------------------------------------------
6 6 -24/18 1
6 5 -21/18 1
6 4 -16/18 -
6 3 -9/18 2
6 2 0 2
6 1 11/18 2
5 5 -12/18 1
5 4 -7/18 2
5 3 0 2
5 2 9/18 2
5 1 20/18 2
4 4 0 -
4 3 7/18 2
4 2 16/18 2
4 1 27/18 2
3 3 12/18 2
3 2 21/18 2
3 1 32/18 2
2 2 24/18 2
2 1 35/18 2
1 1 36/18 2

Så det er kun bedre at bruge 1 terning ved 66, 65 og 55. I andre
tilfælde er det mindst ligeså godt at bruge 2.

Men tilbage til spørgsmålet om hvem, der har fordel i en kamp mellem
to lige store hære. Hertil skal vi bruge sandsynligheden for de
forskellige måder at rulle de to højeste terninger sammenholdt med det
gennemsnitlige tab for hver af disse:


Angribers to højeste ang.tab - for.tab sandsynlighed produkt
------------------------------------------------------------------
6 6 -16/18 16/216 -256/3888
6 5 -16/18 27/216 -432/3888
6 4 -16/18 21/216 -336/3888
6 3 -9/18 15/216 -135/3888
6 2 0 9/216 0
6 1 11/18 3/216 33/3888
5 5 -9/18 13/216 -117/3888
5 4 -7/18 21/216 -147/3888
5 3 0 15/216 0
5 2 9/18 9/216 81/3888
5 1 20/18 3/216 60/3888
4 4 0 10/216 0
4 3 7/18 15/216 105/3888
4 2 16/18 9/216 144/3888
4 1 27/18 3/216 81/3888
3 3 12/18 7/216 84/3888
3 2 21/18 9/216 189/3888
3 1 32/18 3/216 96/3888
2 2 24/18 4/216 96/3888
2 1 35/18 3/216 105/3888
1 1 36/18 1/216 36/3888
==========
-313/3888

Angriberen taber altså i gennemsnit 313/3888 = 0.0805 flere brikker
end forsvareren i en kamprunde. Hvis forsvareren altid ruller med to
terninger, taber han 615/3888 = 0.1582 flere brikker end angriberen.
At tillade forsvareren at vælge terninger efter at have set
angriberens slag ændrer altså kamp fra at være en lille angriberfordel
til at være en lidt mindre forsvarerfordel. Dertil kommer, at
forsvareren har en klar fordel ved 2:2 og 1:1 kampe, så kamp mellem
lige store hære er altså klart til forsvarerens fordel. I de
oprindelige regler (forsvarer vælger før han ser angribers slag) vil
angriberen have en lille fordel, hvis begge hære er store, mens
forsvareren bibeholder fordelen hvis hærene er små.

   Torben

---

Torben Ægidius Mogensen skrev:


> En terning:
>
> Angribers højeste angribers tab - forsvarers tab
> ---------------------------------------------------
> 6 -2/3 = -16/18
> 5 -1/3 = -9/18
> 4 0
> 3 1/3 = 9/18
> 2 2/3 = 16/18
> 1 1 = 18/18

De 18.-dele er vist ikke helt rigtige. Det skal være

6 -2/3 = -12/18
5 -1/3 = -6/18
4 0
3 1/3 = 6/18
2 2/3 = 12/18
1 1 = 18/18

Det betyder at dit næste skema også er forkert.

> Angribers to højeste angribers tab - forsvarers tab bedst
> --------------------------------------------------------------

Ikke

> 6 4 -16/18 -

men

6 4 -12/18 1


Og ikke

> 5 4 -7/18 2

men

> 5 4 -6/18 1

Det ænder også følgende nedenstående skema:


> Angribers to højeste ang.tab - for.tab sandsynlighed produkt
> ------------------------------------------------------------------
> 6 6 -16/18 16/216 -256/3888
> 6 5 -16/18 27/216 -432/3888
> 6 4 -16/18 21/216 -336/3888

(osv.)

til

6 6 -12/18 16/216 -192/3888
6 5 -12/18 27/216 -324/3888
6 4 -12/18 21/216 -252/3888

(osv.)


> -313/3888

Dermed får jeg
- 3/3888

Dvs. så godt som lige chancer.

TT

---

"Torben Ægidius Mogensen" wrote:
>
> Indeed. Med fare for at gentage andres resultater, er her
> gennemsnitstabsforskellene for en og to terninger:

Gentage? Nu er der tre der har løst problemet og udfyldt min oprindelige
tabel, men så vidt jeg kan se er løsningerne parvis uoverensstemmende.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> For at lave et svar skal du sætte en regel for hvornår man vil slå med en,
> og hvor med 2, afhængigt af modstanderens kombination.
> f.eks ved 1-1-6, vil man nok slå med to, men ved 1-3-6, skal man bruge en
> eller 2 ? (skal angives for alle kombinationer)

Jeg skrev engang et lille program hvor man kan vælge hvilke regler (ligger i
array d) forsvaren skal spille efter når det er 3 mod 2 enheder. Det viste
at hvis forsvaren spiller fornuftigt vinder han 6 enheder ud af 7776 slag.

Koden ser sådan ud (ikke specielt køn):

DWORD noLaunches = 6*6*6*6*6;
int defendersGoal = 0;

for(int ia = 0; ia != 6; ++ia)
for(int ib = 0; ib != 6; ++ib)
for(int ic = 0; ic != 6; ++ic)
for(int ida = 0; ida != 6; ++ida)
for(int idb = 0; idb != 6; ++idb){
int a = ia;
int b = ib;
int c = ic;

if(a < b)
swap(a,b);
if(b < c)
swap(b,c);
if(a < b)
swap(a,b);
// dvs c < b < a

if(b <= d[a]){ // to terninger
int da = ida;
int db = idb;

if(da < db)
swap(da,db);
defendersGoal += (a <= da) ? 1 : -1;
defendersGoal += (b <= db) ? 1 : -1;


}else{ // en terning

int da = ida;
defendersGoal += (a <= da) ? 1 : -1;

}
}
std::stringstream ss;
ss << "In " << noLaunches << " battles the defender will win " <<
defendersGoal << " units. In average the defender will win " <<
(double)defendersGoal/(double)noLaunches << " units pr dice";

---

Niels L. Ellegaard wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
>
>> Jens Axel Søgaard wrote:
>> Jeg har fundet et præcist svar på:
>> http://www.plainsboro.com/~lemke/risk/
>
> Jeg er lidt forvirret over denne side.

Det er jeg også (nu).

> Det ser ud til at
> han kræver at forsvareren skal vælge hvor mange terninger
> han vil slå med før han ser hvor godt angriberen har
> slået. (Jeg har ikke regnet hans tal efter).

The attacker and the defender then roll a single die or multiple dice to
do battle.

Her fremgår det ikke om terninger slås samtidigt. Kan man ikke
fortolke det på begge måder?

Det jeg havde fokuseret på, var

The attacking player rolls either one, two, or three dice, depending
on the number of armies they have in the attacking territory (one die with two
armies, two dice with three armies, and up to three dice with four or more
armies). A defender can roll either one die if they have only a single army
in the defending territory, or a maximum of two dice with two or more armies.

thi her står, at forsvareren kan vælge antallet af terninger.
Men du har ret, hvornår han vælger fremgår ikke.

Tilbage til tænketanken.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> skrev i en meddelelse
news:3d7616ca$0$186$edfadb0f@dspool01.news.tele.dk...
> Niels L. Ellegaard wrote:
> > "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> writes:
> >
> >> Jens Axel Søgaard wrote:
> >> Jeg har fundet et præcist svar på:
> >> http://www.plainsboro.com/~lemke/risk/
> >
> > Jeg er lidt forvirret over denne side.
>
> Det er jeg også (nu).
>
> > Det ser ud til at
> > han kræver at forsvareren skal vælge hvor mange terninger
> > han vil slå med før han ser hvor godt angriberen har
> > slået. (Jeg har ikke regnet hans tal efter).
>
> The attacker and the defender then roll a single die or multiple dice to
> do battle.
>
> Her fremgår det ikke om terninger slås samtidigt. Kan man ikke
> fortolke det på begge måder?
>
> Det jeg havde fokuseret på, var
>
> The attacking player rolls either one, two, or three dice, depending
> on the number of armies they have in the attacking territory (one die
with two
> armies, two dice with three armies, and up to three dice with four or
more
> armies). A defender can roll either one die if they have only a single
army
> in the defending territory, or a maximum of two dice with two or more
armies.
>
> thi her står, at forsvareren kan vælge antallet af terninger.
> Men du har ret, hvornår han vælger fremgår ikke.
>
Så vidt jeg kan huske er reglerne lidt anderledes i den amerikanske udgave
af Risk og den danske. Så vidt jeg kan huske, skal man i den amerikanske
vælge hvormange terninger men slår med som forsvarer inden man har set
angriberens slag. Man slår altså simultant. Der er også visse andre
forskelle mellem den amerikanske udgave af spillet og den danske. I de
tidelige udgaver af Risk var der ingen missionskort. Vinderen var den som
udryddede de andre, eller nok nærmere ham der stod bedst når de ikke gad
mere.

I det nye spil RISK 2210, der er en udvidet udgave at det almindelige risk,
følger der regler med, så man kan spille den gamle udgave. I denne udgave
slår man samtidigt, og der er ingen missionskort.

Mvh Magnus

ps. Samtalen bliver nu smidt over i dk.spil.andre-emner hvor brædtspil og
ligende hører hjemme.

---

Jeg lavede engang et lille program der løb mulighederne igennem og fik
følgende sandsynligheder for angreb vs. forsvar:

1 vs 1: angriber vinder (taber) 15 (21) ud af 36.
2 vs 1: angriber vinder (taber) 125 (91) ud af 216.
3 vs 1: angriber vinder (taber) 855 (441) ud af 1296.
2 vs 2: angriber vinder to (vinder 1, taber) 295 (420, 581) ud af
1296.
3 vs 2: angriber vinder to (vinder 1, taber) 2890 (2611, 2275) ud af
7776.

Mvh,
Filip Larsen