---

Hej

Som bekendt er en parabel udtrykt ved ligningen Y = a*x^2 + k. I så fald
er parablens symmetriakse y-aksen.

En parabel, hvis symmetriakse er x-aksen, kan udtrykkes ved den omvendte
funktion, som har ligningen Y = sqrt (x/a) + k; Y = - (sqrt (x/a) + k).

Men hvad med en parabel, hvis symmetriakse er skrå? F.eks. med en akse,
der er forskudt 30° eller 45° i forhold til x-aksen?

Med venlig hilsen

---

karamel skrev:

>En parabel, hvis symmetriakse er x-aksen, kan udtrykkes ved den omvendte
>funktion, som har ligningen Y = sqrt (x/a) + k; Y = - (sqrt (x/a) + k).

Hvis k != 0, er den ikke symmetrisk om førsteaksen.

>Men hvad med en parabel, hvis symmetriakse er skrå?

Det er noget helt andet. Set ud fra et koordinatsystem er det jo
ikke en funktion, idet der til hvert x svarer flere y-værdier.
Man skal derfor over i en helt anden boldgade med
vektorfunktioner og tid og sådan noget som en eller anden
matematiker sikkert ved mere om end jeg.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

---

Hans H.V. Hansen skrev:

>OK - men det gælder jo også for y^2 = p * x (hvor x-aksen er
>symmetriakse)

Strent taget ja, men den blev jo også angivet med to formler.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen <nospam@lundhansen.dk> wrote:
....
> Strent taget ja, men den blev jo også angivet med to formler.

Javist, og y^2 = p * x kaldes vist også en 'parameterfremstilling'?

Men nu kommer der forhåbentligt snart et indlæg med en funktion
for/fremstilling af en 'skrå' parabel! :)

--
med venlig hilsen
Hans

---

Hans H.V. Hansen wrote:
> Men nu kommer der forhåbentligt snart et indlæg med en
> funktion for/fremstilling af en 'skrå' parabel! :)

y=x^2

Akserne er dog ikke vinkelrette.

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit h2vh@post6.tele.dk (Hans H.V. Hansen)

> Men nu kommer der forhåbentligt snart et indlæg med en funktion
> for/fremstilling af en 'skrå' parabel! :)

Det er jo let nok at lave en parameterfremstilling, fx for en parabel
af normalstørrelse med topunkt i (0,0) og drejet vinklen v med uret:

t |-> (sinv*t^2 + cosv*t, cosv*t^2 - sinv*t)

Hvis man vil have y-koordinaten som funktion af x-koordinaten er det
i princippet bare at løse

x = sinv*t^2 + cosv*t

for t (hvis sinv <> 0 er det en andengradsligning) og sætte den
fremkomne t-værdi (efter at have valgt enten den positive eller den
negative mulighed) ind i y-siden af parameterfremstillingen.

Det bliver en lille krig af kvadratrødder og brøkstreger at skrive en
lukket formel op i praksis, og den bliver numerisk ustabil for v tæt
på 0, men den slags generer jo ikke en matematiker: Aha, der ér en
løsning. Videre til næste problem.

--
Henning Makholm "We're trying to get it into the
parts per billion range, but no luck still."

---

"Hans H.V. Hansen" wrote:

> Men nu kommer der forhåbentligt snart et indlæg med en funktion
> for/fremstilling af en 'skrå' parabel! :)
>

Jeg tror, jeg har det nu. Man indfører et parameter (t) og skifter
variablerne ud med:

X ' = x*cos (t) + y*sin (t)
Y' = -x*sin (t) + y*cos (t)

Hilsen

---

karamel <karamel@REMOVEoncable.dk> wrote:
...
> Jeg tror, jeg har det nu. Man indfører et parameter (t) og skifter
> variablerne ud med:
>
> X ' = x*cos (t) + y*sin (t)
> Y' = -x*sin (t) + y*cos (t)

Ja,( X',Y') er (vist?) koordinaterne i et 'nyt' koordinatsystem, der er
drejet vinklen t (pos. mod uret)

--
med venlig hilsen
Hans

---

karamel wrote:
> Som bekendt er en parabel udtrykt ved ligningen Y = a*x^2 + k.

Parabler, linier og hyperbler kan alle skrives generelt som
ax² + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

Hvis du tager ligningen for en generel parabel
y(x)=a*(x-b)² + c dvs. toppunktet er (b,c) istedet for (0,k) som
i dit udtryk (bemærk andre a,b,c end i det generelle udtryk)
så kan du skrive parablen som en parameter fremstilling:
P(t)=(x(t),y(t))=(t,a*(t-b)²+c)

Du kan så dreje dette koordinatsystem ved at bruge rotationen
x'(t) = x(t)*cos(v) + y(t)*sin(v)
y'(t) =-x(t)*sin(v) + y(t)*cos(v)

P'(t) = (x'(t),y'(t))

= ( t*cos(v) +(a*(t-b)²+c)*sin(v) ,
-t*sin(v) +(a*(t-b)²+c)*cos(v) )

hvis man ganger ud

= ( a2*t² + a1*t + a0 , b2*t² + b1*t +b0 )

Hvor a2,a1,a0 og b2,b1,b0 kan udtrykkes ved i termer af
cos(v),sin(v),a,b,c hvis man har lyst til det.

= ( c2*(t-c1)² +c0 , d2*(t-d1)² +d0 )

Hvor disse konstanter kan udtrykkes som funktion af alle de
andre.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
Where do you not want to go tomorrow:
http://www.softwarepatenter.dk

---

Carsten Svaneborg wrote:
>
> karamel wrote:
> > Som bekendt er en parabel udtrykt ved ligningen Y = a*x^2 + k.
>
> Parabler, linier og hyperbler kan alle skrives generelt som
> ax² + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

Er det også rigtigt at enhver andengradsligning på denne form enten
vil udtrykke en ellipse (cirkel), en parabel eller en hyperbel, eller
evt. degenerere til en linje, to linjer, et punkt, to punkter eller
ingenting?

Hvis man laver en lineær tranformation (x,y) |--> (jx+ky,lx+my) , er
det klart at en andengradsligning af Carstens type føres over i en ny
ligning af samme type i de nye koordinater. Da flytninger (fx rota-
tioner) er lineære afbildninger, er det derfor i hvert fald klart at
Carstens formel kan frembringe enhver parabel etc. uanset parablens
orientering i forhod til akserne.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Carsten Svaneborg wrote:

> > Parabler, linier og hyperbler kan alle skrives generelt som
> > ax² + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

> Er det også rigtigt at enhver andengradsligning på denne form enten
> vil udtrykke en ellipse (cirkel), en parabel eller en hyperbel, eller
> evt. degenerere til en linje, to linjer, et punkt, to punkter eller
> ingenting?

Ja. Jeg har engang læst et bevis for det, men bed mig ikke om at
gengive det lige nu og her. (TO punkter som degenereret tilfælde
er vist ikke muligt).

--
Henning Makholm "I Guds Faders namn, och Sonens, och den Helige
Andes! Bevara oss från djävulens verk och från Muhammeds,
den förbannades, illfundigheter! Med dig är det värre än med
någon annan, ty att lyssna till Muhammed är det värsta av allt."

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>> Parabler, linier og hyperbler kan alle skrives generelt som
>> ax² + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

> Er det også rigtigt at enhver andengradsligning på denne form enten
> vil udtrykke en ellipse (cirkel), en parabel eller en hyperbel, eller
> evt. degenerere til en linje, to linjer, et punkt, to punkter eller
> ingenting?

Det ville jeg mene. Der er flere forfærdelige detaljer her:
http://www.math2.org/math/algebra/conics.htm
http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html

Ligningen kan opfattes som z(x,y)=ax²+by2+cxy+dx+ey =-f dvs.
et snit for konstant z i en 2D flade.

Hvis man translatere til således at dx + ey forsvinder og diagonalisere
(dvs. rotere x y koordinatsystemet til x' y' koordinatsystemet
hvor vinklen er specificeret ved at cxy ledet forsvinder)

så får man:

e1 0 [ x' ]
[ x' y' ] 0 e2 [ y' ] = konstant

Hvis e1>0 og e2>0 så er det et snit i en parabel, og resultatet
er derfor en elipse. Ditto for e1<0 og e2<0. hvis e1=e2 får man
cirkler.

Hvis e1<0 og e2>0 eller omvendt så har man et snit i en flade med
et saddel punkt og det er en hyperbel.

Det er sådan jeg tænker på det.
--
Mvh. Carsten Svaneborg
Where do you not want to go tomorrow:
http://www.softwarepatenter.dk

---

Carsten Svaneborg wrote:
>
> Jeppe Stig Nielsen wrote:
> >> Parabler, linier og hyperbler kan alle skrives generelt som
> >> ax² + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
>
> > Er det også rigtigt at enhver andengradsligning på denne form enten
> > vil udtrykke en ellipse (cirkel), en parabel eller en hyperbel, eller
> > evt. degenerere til en linje, to linjer, et punkt, to punkter eller
> > ingenting?
>
> Det ville jeg mene. Der er flere forfærdelige detaljer her:
> http://www.math2.org/math/algebra/conics.htm
> http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html

Ja, se især http://mathworld.wolfram.com/QuadraticCurve.html . Denne
underside starter netop ud fra den generelle andengradsligning herover.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)