---

Hej -

Jeg har siddet og læst mit eksamenspensum igennem og har nu 3 spørgsmål:

1) Bevis for en vektor-regneregel: t*(vektor-u + vektor-v) = t*vektor-u +
t*vektor-v
I bogen "Højniveaumatematik 1" af Hebsgaard og Sloth vises sætningen kun for
t>0. Dette gøres ved at betragte trekanten, som dannes af vektor-u, vektor-v
og (vektor-u + vektor-v). Denne trekant forstørres med faktor t, og herefter
fås sætningen. Det er ikke det, som er det interessante, men nemlig det, at
den kun vises for t>0. I følgende beviser bruger man nemlig sætningen, som
om den var bevist for alle t.
Hvordan kan man argumentere for, at sætningen også gælder for t<0? Man kan
jo ikke bruge dette bevis, da en trekant ikke kan forstørres med et negativt
tal...

2) Hvorfor er en potensudvikling en ret linje i dobbeltlogaritmisk
koordinatsystem?
Jeg ved, at den kan skrives på formen log(f(x)) = a*log(x) + log(b), men
hvordan kan dette kædes sammen med koordinatsystemet?

3) Differentiation af sammensat funktion: h'(x0)= f'(g(x0))*g'(x0)
Sætningen i "Højniveaumatematik 1" bevises med det forbehold, at der gælder,
at g(x) ikke er lig med g(x0) i et interval I omkring x0:

y = g(x)

(h(x)-h(x0)) / (x-x0) = (f(g(x))-f(g(x0))) / (x-x0) = (f(y) - f(y0)) /
(y-y0) * (y-y0) / (x-x0)
= (f(y)-f(y0)) / (y-y0) * (g(x) - g(x0)) / (x-x0)

Skyldes det kun, at der undervejs divideres med (y-y0), eller er der en
anden forklaring?



Håber, at nogen kan hjælpe...!

mvh
Anders

---

Scripsit "Anders Abildgaard" <andersa@privat.dk>

> Jeg har siddet og læst mit eksamenspensum igennem og har nu 3 spørgsmål:

> 1) Bevis for en vektor-regneregel: t*(vektor-u + vektor-v) = t*vektor-u +
> t*vektor-v
> I bogen "Højniveaumatematik 1" af Hebsgaard og Sloth vises sætningen kun for
> t>0. Dette gøres ved at betragte trekanten, som dannes af vektor-u, vektor-v
> og (vektor-u + vektor-v). Denne trekant forstørres med faktor t, og herefter
> fås sætningen. Det er ikke det, som er det interessante, men nemlig det, at
> den kun vises for t>0.

Med en passende definition af (-t)*v - noget i retning af "men den
peger i modsat retning" kan man bruge næsten samme bevis for t<0.
Den skalerede trekant bliver drejet 180° i forhold til den oprindelige,
men den er stadig ligedannet med den første med faktor t.

> 2) Hvorfor er en potensudvikling en ret linje i dobbeltlogaritmisk
> koordinatsystem?
> Jeg ved, at den kan skrives på formen log(f(x)) = a*log(x) + log(b), men
> hvordan kan dette kædes sammen med koordinatsystemet?

Tegn et almindeligt lineært koordinatsystem oven i det
dobbeltlogaritmiske (dvs med samme akser). Den rette linje y=ax+logb
i det almindelige koordinatsystem vil falde sammen med
potensfunktionens afbildning i det dobbeltlogaritmiske system.

> 3) Differentiation af sammensat funktion: h'(x0)= f'(g(x0))*g'(x0)
> Sætningen i "Højniveaumatematik 1" bevises med det forbehold, at der gælder,
> at g(x) ikke er lig med g(x0) i et interval I omkring x0:

> Skyldes det kun, at der undervejs divideres med (y-y0),

Ja, det er kun en bevisteknisk forudsætning.

Hvis der ikke findes sådan et interval I, gælder resultatet stadigvæk,
For da må g(x)=g(x0) for passende x'er vilkårligt tæt på, men ikke
lig, x0. Derfor vil g'(x0)=0, og at vise at h'(x0)=0 er derefter let.

Først fører differentiabilitet af f til at for alle y i et passende
interval J om y0 gælder

|f(y)-f(y0)| < k*|y-y0| hvor k = 1+|f'(y0)|

Dernæst kan man direkte vise at differenskvotienten går mod 0.

--
Henning Makholm "... not one has been remembered from the time
when the author studied freshman physics. Quite the
contrary: he merely remembers that such and such is true, and to
explain it he invents a demonstration at the moment it is needed."

---

Hej - og tak for svaret!


"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:yahvg8yyis7.fsf@ask.diku.dk...
> Scripsit "Anders Abildgaard" <andersa@privat.dk>
>
> > Jeg har siddet og læst mit eksamenspensum igennem og har nu 3 spørgsmål:
>
> > 1) Bevis for en vektor-regneregel: t*(vektor-u + vektor-v) = t*vektor-u
+
> > t*vektor-v
> > I bogen "Højniveaumatematik 1" af Hebsgaard og Sloth vises sætningen kun
for
> > t>0. Dette gøres ved at betragte trekanten, som dannes af vektor-u,
vektor-v
> > og (vektor-u + vektor-v). Denne trekant forstørres med faktor t, og
herefter
> > fås sætningen. Det er ikke det, som er det interessante, men nemlig det,
at
> > den kun vises for t>0.
>
> Med en passende definition af (-t)*v - noget i retning af "men den
> peger i modsat retning" kan man bruge næsten samme bevis for t<0.
> Den skalerede trekant bliver drejet 180° i forhold til den oprindelige,
> men den er stadig ligedannet med den første med faktor t.
>
> > 2) Hvorfor er en potensudvikling en ret linje i dobbeltlogaritmisk
> > koordinatsystem?
> > Jeg ved, at den kan skrives på formen log(f(x)) = a*log(x) + log(b), men
> > hvordan kan dette kædes sammen med koordinatsystemet?
>
> Tegn et almindeligt lineært koordinatsystem oven i det
> dobbeltlogaritmiske (dvs med samme akser). Den rette linje y=ax+logb
> i det almindelige koordinatsystem vil falde sammen med
> potensfunktionens afbildning i det dobbeltlogaritmiske system.
>
> > 3) Differentiation af sammensat funktion: h'(x0)= f'(g(x0))*g'(x0)
> > Sætningen i "Højniveaumatematik 1" bevises med det forbehold, at der
gælder,
> > at g(x) ikke er lig med g(x0) i et interval I omkring x0:
>
> > Skyldes det kun, at der undervejs divideres med (y-y0),
>
> Ja, det er kun en bevisteknisk forudsætning.
>
> Hvis der ikke findes sådan et interval I, gælder resultatet stadigvæk,
> For da må g(x)=g(x0) for passende x'er vilkårligt tæt på, men ikke
> lig, x0. Derfor vil g'(x0)=0, og at vise at h'(x0)=0 er derefter let.
>
> Først fører differentiabilitet af f til at for alle y i et passende
> interval J om y0 gælder
>
> |f(y)-f(y0)| < k*|y-y0| hvor k = 1+|f'(y0)|
>
> Dernæst kan man direkte vise at differenskvotienten går mod 0.
>



Er det ikke nok at indse, at i (f(g(x)) - f(g(x0))) / (x-x0) vil tælleren
være 0, når vi befinder os i et interval I omkring x0, hvor der gælder, at
g(x)=g(x0)? Så vil græseværdien for differenskvotienten være 0 - og dermed
vil h'(x0)=0 i dette tilfælde.




> --
> Henning Makholm "... not one has been remembered from the
time
> when the author studied freshman physics. Quite
the
> contrary: he merely remembers that such and such is true, and
to
> explain it he invents a demonstration at the moment it is
needed."

---

Scripsit "Anders Abildgaard" <andersa@privat.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse

> > Hvis der ikke findes sådan et interval I, gælder resultatet stadigvæk,
> > For da må g(x)=g(x0) for passende x'er vilkårligt tæt på, men ikke
> > lig, x0. Derfor vil g'(x0)=0, og at vise at h'(x0)=0 er derefter let.

> Er det ikke nok at indse, at i (f(g(x)) - f(g(x0))) / (x-x0) vil tælleren
> være 0, når vi befinder os i et interval I omkring x0, hvor der gælder, at
> g(x)=g(x0)?

Jo, det vil den, men sådan et interval findes ikke nødvendigvis. Lad fx

g(x) = sin(1/x)*x^3 for x <> 0
g(0) = 0

og sæt x0=0. Så vil g være differentiabel overalt, endda med
kontinuert afledet. Men der er *hverken* noget interval I omkring 0,
hvor g(x) altid er forskellig fra 0, eller et interval I omkring 0
hvor g(x) altid er 0.


Det vil gøre dine indlæg meget lettere at læse hvis du klipper det af
citatet du ikke svarer på, væk.

--
Henning Makholm "Det er sympatisk du håner dig selv. Fuldt
berettiget. Men det gør dig ikke til en kristen."

---

> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse

> Jo, det vil den, men sådan et interval findes ikke nødvendigvis. Lad fx
>
> g(x) = sin(1/x)*x^3 for x <> 0
> g(0) = 0
>
> og sæt x0=0. Så vil g være differentiabel overalt, endda med
> kontinuert afledet. Men der er *hverken* noget interval I omkring 0,
> hvor g(x) altid er forskellig fra 0, eller et interval I omkring 0
> hvor g(x) altid er 0.
>
>

Hvorfor vil der om x=0 ikke være et interval I, hvor g(x)<>0?
Der må gælde, at g(x)->0 for x->0.

mvh
Anders



> Det vil gøre dine indlæg meget lettere at læse hvis du klipper det af
> citatet du ikke svarer på, væk.

OK.

>
> --
> Henning Makholm "Det er sympatisk du håner dig selv.
Fuldt
> berettiget. Men det gør dig ikke til en
kristen."

---

Scripsit "Anders Abildgaard" <andersa@privat.dk>
> > "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse

> > Jo, det vil den, men sådan et interval findes ikke nødvendigvis. Lad fx

> > g(x) = sin(1/x)*x^3 for x <> 0
> > g(0) = 0

> > og sæt x0=0. Så vil g være differentiabel overalt, endda med
> > kontinuert afledet. Men der er *hverken* noget interval I omkring 0,
> > hvor g(x) altid er forskellig fra 0, eller et interval I omkring 0
> > hvor g(x) altid er 0.

> Hvorfor vil der om x=0 ikke være et interval I, hvor g(x)<>0?

Fordi g(x) = 0 for x = pi/n for alle hele n. I ethvert interval
omkring 0 vil der findes et tal på denne form (faktisk uendelig mange,
men ét er nok til at intervallet har den ønskede egenskab).

> Der må gælde, at g(x)->0 for x->0.

Ja. Men det har ikke noget at gøre med hvor tit g(x) er eksakt 0 i
nærheden af 0.

> > Det vil gøre dine indlæg meget lettere at læse hvis du klipper det af
> > citatet du ikke svarer på, væk.

> OK.

Tak.

--
Henning Makholm "NB! Benbrud er et symptom, ikke en sygdom. Hvis du
har brækket benet bør du gå til lægen for at få fastslået
årsagen. Brug aldrig Herbalit<tm> mod benbrud uden lægens anvisning."

---

"Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse...

> Hvis der ikke findes sådan et interval I, gælder resultatet stadigvæk,
> For da må g(x)=g(x0) for passende x'er vilkårligt tæt på, men ikke
> lig, x0. Derfor vil g'(x0)=0, og at vise at h'(x0)=0 er derefter let.
>
> Først fører differentiabilitet af f til at for alle y i et passende
> interval J om y0 gælder
>
> |f(y)-f(y0)| < k*|y-y0| hvor k = 1+|f'(y0)|
>
> Dernæst kan man direkte vise at differenskvotienten går mod 0.
>

Kunne du ikke tænke dig at uddybe det ovenstående? Jeg kan bl.a. ikke
forstå, hvorfra du får den ulighed, og hvorfor der bruges numerisk tegn.

Det skulle gerne være mit allersidste spørgsmål...


mvh
Anders

---

Scripsit "Anders Abildgaard" <andersa@privat.dk>
> "Henning Makholm" <henning@makholm.net> skrev i en meddelelse...

> > Først fører differentiabilitet af f til at for alle y i et passende
> > interval J om y0 gælder

> > |f(y)-f(y0)| < k*|y-y0| hvor k = 1+|f'(y0)|

> > Dernæst kan man direkte vise at differenskvotienten går mod 0.

> Kunne du ikke tænke dig at uddybe det ovenstående? Jeg kan bl.a. ikke
> forstå, hvorfra du får den ulighed, og hvorfor der bruges numerisk tegn.

Hm, der var også en trykfejl der. Ulighedstegnet skulle have været
mindre-end-eller-lig-med, altså:

(*) |f(y)-f(y0)| =< k*|y-y0| hvor k = 1+|f'(y0)| for y i J

Derudover er mit bevis:

1. Uanset hvad f'(y0) er, vil det være i intervallet [-k;k]
Den sære definition af k er blot den letteste måde at
opnå denne egenskab i en enkelt formel, samtidig med at k er
strengt større end 0.

2. Definer funktionen j(y) for y != y0.
j(y) = (f(y)-f(y0))/(y-y0)) for y != y0
altså fs differenskvotient

3. Pr. definition af at f er differentiabel, går j(y) mod f'(y0) når
y går mod y0.

4. Ifølge (1) og (3), samt definition af "går mod", vil der findes
et interval J omkring y0 med egenskaben
y i J\{y0} => j(y) i [-k,k]

5. Nu har vi så y i J\{y0} => j(y) i [-k,k]
<=> |j(y)| =< k
<=> |(f(y)-f(y0))/(y-y0)| =< k
<=> |f(y)-f(y0)|/|y-y0| =< k
<=> |f(y)-f(y0)| =< k*|y-y0|

hvilket giver (*) for alle y bortset fra y0. For y=y0 bliver
(*) imidlertid til 0 =< k*0, og det er trivielt sandt.

Nu kan vi så direkte vise at differenskvotienten af h(x) = f(g(x)) går
mod 0, og at h'(x0) derfor må være 0.

6. Fjenden har valgt et epsilon > 0, og vi skal finde et interval
L omkring x0 hvor hs differenskvotient er numerisk mindre end
epsilon.

7. Vælg et interval N om x0 så g(x) er i J når x er i N. Det kan
lade sig gøre fordi g(x0)=y0 er i J, og g er kontinuert i x0.

8. Vælg et interval M om x0 hvori gs differenskvotient er numerisk
mindre end epsilon/k. Sådan et interval findes fordi allerede har
set at g'(x0)=0.

9. Lad L være fællesmængden af M og N.

10. For ethvert x i L\{x0} har vi nu

| (h(x)-h(x0))/(x-x0) |
= |h(x)-h(x0)| / |x-x0|
= |f(g(x))-f(y0)| / |x-x0|
=< k*|g(x)-y0| / |x-x0| (p.gr.a. (7) og (*))
= k * |(g(x)-g(x0))/(x-x0)|
< k * epsilon/k (p.gr.a. (8))
= epsilon

Q.E.D.

--
Henning Makholm "Manden med det store pindsvin er
kommet vel ombord i den grønne dobbeltdækker."

---

Anders Abildgaard wrote:
> Jeg har siddet og læst mit eksamenspensum igennem og har
> nu 3 spørgsmål:
>
> 1) Bevis for en vektor-regneregel: t*(vektor-u + vektor-
> v) = t*vektor-u + t*vektor-v

> I bogen "Højniveaumatematik 1" af Hebsgaard og Sloth
> vises sætningen kun for t>0. Dette gøres ved at betragte
> trekanten, som dannes af vektor-u, vektor-v og (vektor-u
> + vektor-v). Denne trekant forstørres med faktor t, og
> herefter fås sætningen. Det er ikke det, som er det
> interessante, men nemlig det, at den kun vises for t>0. I
> følgende beviser bruger man nemlig sætningen, som om den
> var bevist for alle t. Hvordan kan man argumentere for,
> at sætningen også gælder for t<0? Man kan jo ikke bruge
> dette bevis, da en trekant ikke kan forstørres med et
> negativt tal...

Hvis t<0 så sæt s=-t. Så er s>0. Det du skal vise er

t*(u+v) = t*v + t*v
(-s)*(u+v) = (-s)*v + (-s)*v

Der er nu to muligheder for at lave beviset færdigt.

Mulighed 1
------------
Du kan enten regne, og får at gøre det skal du
bruge reglerne (-s)*u = -(s*u) samt -(u+v)=-u+(-v).

Vi får så

t*(u+v)
= (-s)*( u + v)
= -( s*(u+v) )
= - ( s*u + s*v)
= -(s*u) + (-(s*v))
=(-s)*u + (-s)*v
=t*u + t*v

Mulighed 3
-----------
Brug (-s)*u = -(s*u) til at få

-( (s*(u+v) ) = -(s*v) + ( - (s*v) )

Denne ligning kan tegnes, for husk at -v har samme længde
som v, men har den modsatte retning.

> 2) Hvorfor er en potensudvikling en ret linje i
> dobbeltlogaritmisk koordinatsystem?
> Jeg ved, at den kan skrives på formen log(f(x)) =
> a*log(x) + log(b), men hvordan kan dette kædes sammen med
> koordinatsystemet?

Forestil dig, at du ikke har det rigtige papir, men kun har
milimeterpapir. Hvis du nu skal indtegne punktet (x,y) på
milimeterpapiret, det sted, hvor det ville have været på det
dobbeltlogaritmiske papir skal du sætte et kryds ved
(log(x),log(y)).

Et punkt på grafen for f(x)=b x^a har koordinater
på formen (x,b x^a). Hvis du skal indtegne det
på samme måde skal du sætte et kryds ved
(log(x), log(b a^x)) eller ( log(x), log(b)+a log(x) ).

Opsummering.
Når du tegner (x,b a^x) i et dobbeltlogaritmisk
koordinatsystem får du samme figur, som du,
nå du tegner ( log(x), log(b)+a log(x) ) i et
almindeligt koordinatsystem.

> 3) Differentiation af sammensat funktion: h'(x0)=
> f'(g(x0))*g'(x0) Sætningen i "Højniveaumatematik 1"
> bevises med det forbehold, at der gælder, at g(x) ikke er
> lig med g(x0) i et interval I omkring x0:
[snip]
> Skyldes det kun, at der undervejs divideres med (y-y0),
> eller er der en anden forklaring?

Ja. det er derfor.

--
Jens Axel Søgaard