---

Hej igen.

Ja, jeg er ikke ret stærk i det der areal og rumfang i R^3, så jeg håber en
eller anden kan hjælpe mig her:

Jeg har et område V givet ved V={(x,y,z)| x^2+y^2<=1, z>=0 og z<=1+x^2}
Jeg skal bestemme volumen af V, men jeg kan slet ikke finde ud af det.

Samtidig betegner S dendel af fladen z=7-.5(x^2+y^2) der ligger indenfor
x^2+y^2=1.
Er det korrekt at arealet af S bliver 2*Pi*(2/3*sqrt(2)-1/3)?

---

"Katrine Grønhøj" <katrine@anarchy.dk> writes:

> Ja, jeg er ikke ret stærk i det der areal og rumfang i R^3, så jeg håber en
> eller anden kan hjælpe mig her:
>
> Jeg har et område V givet ved V={(x,y,z)| x^2+y^2<=1, z>=0 og z<=1+x^2}
> Jeg skal bestemme volumen af V, men jeg kan slet ikke finde ud af det.

Du bliver nødt til at forestille dig området, ved at se på hver af de
tre betingelser. Den første betingelse siger at området er en del af en
cylinder, den næste betingelse lægger en bund i cylinderen, og den
tredje giver "toppen". Vi kan så se at det ikke er nogen almindelig
geometrisk figur hvor vi har en pæn formel for rumfanget, og derfor må
vi ty til integration. Vi kan se af den midterste betingelse at det vil
være smart hvis vi kan komme til at integrere et funktionsudtryk for z's
øvre grænse ("toppen" af cylinderen), sådan et har vi i kaft af den
sidste betingelse. Eftersom udtrykket kun afhænger af x er det mest
oplagte (men ikke altid rigtige - jeg tror det dog i dette tilfælde)
først at integrere efter x og derefter y. Du skal altså omskrive den
første betingelse så den udfra y giver nogle grænser på x.

> Samtidig betegner S dendel af fladen z=7-.5(x^2+y^2) der ligger indenfor
> x^2+y^2=1.
> Er det korrekt at arealet af S bliver 2*Pi*(2/3*sqrt(2)-1/3)?

Det kan jeg ikke lige gennemskue, men hvis du er i stand til at regne
det ud forstår jeg ikke hvorfor du skal bruge hjælp til at bestemme
volumenet af V (S er heller ikke nogen almindelig geometrisk figur, så
der skal du også bruge integration).

..Henrik

--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet

---

Katrine Grønhøj wrote:
> Jeg har et område V givet ved V={(x,y,z)| x^2+y^2<=1, z>=0 og
> z<=1+x^2} Jeg skal bestemme volumen af V, men jeg kan slet
> ikke finde ud af det.

Volumnet = integralet 1 dx dy dz
(x,y,z) i mængden V

Din definition af V bliver altså til øvre og nedre grænser
for integralerne.

Det er dog praktisk at vælge et koordinatsystem der passer
til opgaven, men der er ikke nogen indlysende symmetrier
at anvende i denne opgave.

x²+y²<=1 er ligninge for en cylinder med rotationsakse langs
z med radius 1.

z>=0 betyder at det er en cyllinder med radius 1, der går
fra z=0 til z=uendelig.

z<=1+x² betyder at den er skåret af som en parabel langs x
aksen.

Du kan altså skrive

V= integral
x fra -1 til +1

af integral
y fra -sqrt(1-x²) til +sqrt(1-x²)

integral 1 dz dy dx
z=0 til 1+x²

Men du kan også bytte om på disse integraler ved at udtrykke
grænserne anderledes, i ovenstående er både z og y integralerne
afhængige af x der derfor skal være yderst.

Men det er smart at tegne hvordan mængden ser ud.

Fordi højde udtrykket kun afhænger af z og x kan du tænke
dig at du skærer cyllinderen i skiver for konstant x
retningen. Du får så en række kvadrater med x²+y²<=1 =>
ymax=sqrt(1-x²) fra x=-1 til x=+1 og bredden=2*ymax

Højden er af kvadratet er h=zmax=1+x²

Dvs. arealet af kvadratet når du skærer figuren for en
konstant værdi af x er A(x) = h*b = 2*ymax*zmax
= 2*(1+x²)*sqrt(1-x²)

Volumenet er V = integral A(x) dx
-1 til +1

= 4*integral (1+x²)*sqrt(1-x²)dx
0 til 1

sqrt(1-x²) lugter af at en substitution med x=sin(theta)
ville være en fornuftig ide. Ved brug af Euler ligningerne
for cos og sin skulle resten af integralet så kunne udregnes.

--
Carsten Svaneborg

---

Tusind tak for den glimrende meget pedagogiske gemmengang!
Mvh
Katrine

"Carsten Svaneborg" <not_anywhere@on.the.net> wrote in message
news:f7fjaa.39e.ln@zqex.mpip-mainz.mpg.de...
> Katrine Grønhøj wrote:
> > Jeg har et område V givet ved V={(x,y,z)| x^2+y^2<=1, z>=0 og
> > z<=1+x^2} Jeg skal bestemme volumen af V, men jeg kan slet
> > ikke finde ud af det.
>
> Volumnet = integralet 1 dx dy dz
> (x,y,z) i mængden V
>
> Din definition af V bliver altså til øvre og nedre grænser
> for integralerne.
>
> Det er dog praktisk at vælge et koordinatsystem der passer
> til opgaven, men der er ikke nogen indlysende symmetrier
> at anvende i denne opgave.
>
> x²+y²<=1 er ligninge for en cylinder med rotationsakse langs
> z med radius 1.
>
> z>=0 betyder at det er en cyllinder med radius 1, der går
> fra z=0 til z=uendelig.
>
> z<=1+x² betyder at den er skåret af som en parabel langs x
> aksen.
>
> Du kan altså skrive
>
> V= integral
> x fra -1 til +1
>
> af integral
> y fra -sqrt(1-x²) til +sqrt(1-x²)
>
> integral 1 dz dy dx
> z=0 til 1+x²
>
> Men du kan også bytte om på disse integraler ved at udtrykke
> grænserne anderledes, i ovenstående er både z og y integralerne
> afhængige af x der derfor skal være yderst.
>
> Men det er smart at tegne hvordan mængden ser ud.
>
> Fordi højde udtrykket kun afhænger af z og x kan du tænke
> dig at du skærer cyllinderen i skiver for konstant x
> retningen. Du får så en række kvadrater med x²+y²<=1 =>
> ymax=sqrt(1-x²) fra x=-1 til x=+1 og bredden=2*ymax
>
> Højden er af kvadratet er h=zmax=1+x²
>
> Dvs. arealet af kvadratet når du skærer figuren for en
> konstant værdi af x er A(x) = h*b = 2*ymax*zmax
> = 2*(1+x²)*sqrt(1-x²)
>
> Volumenet er V = integral A(x) dx
> -1 til +1
>
> = 4*integral (1+x²)*sqrt(1-x²)dx
> 0 til 1
>
> sqrt(1-x²) lugter af at en substitution med x=sin(theta)
> ville være en fornuftig ide. Ved brug af Euler ligningerne
> for cos og sin skulle resten af integralet så kunne udregnes.
>
> --
> Carsten Svaneborg
>

---

Katrine Grønhøj wrote:
> Samtidig betegner S dendel af fladen z=7-.5(x^2+y^2) der
> ligger indenfor x^2+y^2=1.
> Er det korrekt at arealet af S bliver 2*Pi*(2/3*sqrt(2)-1/3)?

Da x²+y²=r² er det praktisk at formulere problemet i
polære koordinater. Du har altså z(r)=7-0.5r² du kan
skære denne fladen op i ringe. Hvis du går fra r til r+dr
så går du samtidigt fra dz(r) = dz(r)/dr * dr = -r ned.

Dvs. den samlede afstand (pytagoras) er
stykket ds = sqrt(dz(r)² + dr²) = sqrt(r²+1) dr

Arealet af en ring er altså
integral 2pi r ds = integral 2pi r*sqrt(r²+1) dr
r=0 til 1

Mon ikke en substitution med r=sinh(theta) var en idee??

--
Carsten Svaneborg