---

Hej

Her er opgaven... http://www.kajkage.dk/mat1.jpg

Jeg har prøvet den praktisk... jeg tog bare 10 stks papirer og det giver
et uligetal... (har prøvet flere gange)

Men hvad er den teoretiske forklaring på det?

Best Regards
Jesper Vels

---

Scripsit jesper@vels.dk (Jesper Vels)

> Her er opgaven... http://www.kajkage.dk/mat1.jpg

Den var der da ingen grund til at lægge som grafikfil? Der står:

| En drilsk matematiklærer, som ofte lavede sjov med sine elever,
| skrev tallene fra 1 til 1000 på små papirlapper og puttede dem i en
| hat. Derefter trak han to op ad gangen - trak tallene fra hinanden -
| skrev resultatet på et nyt stykke papir, som blev lagt i
| hatten. Således fortsatte han til der kun var et stykke papir
| tilbage. Så sagde han til sine elever "står et lige eller ulige tal
| på det tilbageblevne stykke papir?

> Men hvad er den teoretiske forklaring på det?

Den teoretisk fikse forklaring: Summen af tallene i hatten modulo 2 er
konstant under operationen, idet a - b == a + b (mod 2) for alle a og b.

Samme forklaring, men udtrykt mere elementært: Der er 4 muligheder for
hvordan subtraktionen opfører sig med hensyn til lige og ulige.

lige minus lige giver lige
lige minus ulige giver ulige
ulige minus lige giver ulige
ulige minus ulige giver lige

I de tre første tilfælde er antallet af ulige tal i hatten konstant. I
fjerde tilfælde bliver der 2 ulige tal færre. Så man skal bare vide om
antallet af ulige tal i hatten fra starten er lige eller ulige.

--
Henning Makholm "PROV EN FORFRISKNING FRISKLAIL DEM"

---

Henning Makholm skrev:

>| tilbage. Så sagde han til sine elever "står et lige eller ulige tal
>| på det tilbageblevne stykke papir?

Han er en suveræn pædagog. Det skal man være for at kunne få en
klasse til at sidde roligt mens man udfører ca. 1'000
udtrækninger af små sedler og lige så mange simple beregninger.

--
Bertel
http://lundhansen.dk/bertel/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen wrote:

> Henning Makholm skrev:
>
>>| tilbage. Så sagde han til sine elever "står et lige eller ulige tal
>>| på det tilbageblevne stykke papir?
>
> Han er en suveræn pædagog. Det skal man være for at kunne få en
> klasse til at sidde roligt mens man udfører ca. 1'000
> udtrækninger af små sedler og lige så mange simple beregninger.

Han må være næsten lige så god som Henning. Henning har i hvert fald
fået 1000+ usenet-brugere til at sidde stille mens han fint forklare
løsningen på en opgave som alle kan forstå, men de færreste har et
begreb om at løse.
Jeg mener forresten at opgaven er en gammel Georg Mohr opgave, jeg
synes i hvert fald at løsningen ikke lå langt tilbage i hovedet hos mig
(det kan man så tage som man vil

Mvh.
Martin Ehmsen

---

Martin Ehmsen wrote:
>
> Jeg mener forresten at opgaven er en gammel Georg Mohr opgave, jeg
> synes i hvert fald at løsningen ikke lå langt tilbage i hovedet hos mig
> (det kan man så tage som man vil

Jo, i 1992.

http://www.imf.au.dk/georg-mohr/opg/node2.html

Det er sidste opgave.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Martin Ehmsen skrev:

>Han må være næsten lige så god som Henning. Henning har i hvert fald
>fået 1000+ usenet-brugere til at sidde stille mens han fint forklare
>løsningen på en opgave som alle kan forstå, men de færreste har et
>begreb om at løse.

Jeg er ganske enig i at Henning er god til at gennemskue
matematiske problemer og forklare dem på et plan der passer til
modtageren.

--
Bertel
http://lundhansen.dk/bertel/   FIDUSO: http://fiduso.dk/

---

Jesper Vels wrote:
>
> Hej
>
> Her er opgaven... http://www.kajkage.dk/mat1.jpg
>
> Jeg har prøvet den praktisk... jeg tog bare 10 stks papirer og det giver
> et uligetal... (har prøvet flere gange)
>
> Men hvad er den teoretiske forklaring på det?

Med 10 stykker papir nummereret fra 1 til 10 er summen af alle numrene
fra starten 11*5=55, altså ulige. Som Henning så smukt forklarer, vil
summen blive ved med at være ulige, så når der kun er én seddel tilbage
vil denne seddels nummer være ulige.

Men hvis man starter med sedler nummereret fra 1 til 1000, er start-
summen lig med 1001*500=500500, altså et lige tal. Så i den oprindelige
opgave vil der altid være en lige sum i hatten, og sidste tal er lige.

Man kan i øvrigt bruge sedler der er nummereret på alle mulige måder,
fx kan man starte med

21, 928344, 20, -12, 38

Det eneste man behøver at vide, er om startsummen er lige eller ulige,
altså hvorvidt antallet af ulige-nummererede sedler er lige eller ulige.
(Det skriver Henning også.)

Når man regner modulo 2, er »plus lig med minus«.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

> Det eneste man behøver at vide, er om startsummen er lige eller ulige,
> altså hvorvidt antallet af ulige-nummererede sedler er lige eller ulige.
> (Det skriver Henning også.)

Nej det gør han ikke, han skriver at man skal kende antallet af ulige numre
i starten, ikke om summen er ulige. Men uden at have tænkt ret meget over
det, tror jeg også at du har ret. Men det er mere naturligt at sige man har
numre fra 1 til fx 1000, og så er det lettere at bruge argumentet med
antallet af ulige, da man ellers skal til at regne denne sum ud.

Henrik Davidsen

---

Henrik Davidsen wrote:
>
> > Det eneste man behøver at vide, er om startsummen er lige eller ulige,
> > altså hvorvidt antallet af ulige-nummererede sedler er lige eller ulige.
> > (Det skriver Henning også.)
>
> Nej det gør han ikke, han skriver at man skal kende antallet af ulige numre
> i starten, ikke om summen er ulige. Men uden at have tænkt ret meget over
> det, tror jeg også at du har ret. Men det er mere naturligt at sige man har
> numre fra 1 til fx 1000, og så er det lettere at bruge argumentet med
> antallet af ulige, da man ellers skal til at regne denne sum ud.

Vi er enige.

Summen af alle numrene i hatten bliver
(a) LIGE, hvis der er et lige antal ulige numre i hatten
(uanset antallet af lige numre)
(b) ULIGE, hvis der er et ulige antal ulige numre i hatten
(uanset antallet af lige numre)

Du og Henning har ret i at man ikke behøver at udregne summen, man
skal jo bare vide om denne sum er lige eller ulige.


Ydermere kan man sige at hvis sedlerne er nummereret 1, 2, 3, ..., n ,
så er summen
- ulige, hvis n er kongruent med 1 eller 2 modulo 4
- lige, hvis n er kongruent med -1 eller 0 modulo 4

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)