---

Normalt når jeg tænker på bevægelse i rummet, så forestiller jeg mig, at
man rejser i et 3D-koordinatsystem. Man kan bevæge sig ud ad x, y eller
z-aksen - eventuelt på samme tid.

Men enten er denne måde at forstå verden universtet på simpelthen
meningsløs, eller også er ballonmetaforen for simpel.

For hvis vi skal forstå universtet som overfladen på en ballon, hvad vil
det så sige at bevæge sig af hhv. x-aksen- y-aksen eller z-aksen?

---

Scripsit "Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com>

> Men enten er denne måde at forstå verden universtet på simpelthen
> meningsløs, eller også er ballonmetaforen for simpel.

Ballonmetaforen er for simpel. Det eneste den kan bruges til er at
forklare at vi godt kan se alting bevæge sig væk fra os, uden at det
betyder at vi er universets midtpunkt.

--
Henning Makholm "Guldnålen er hvis man har en *bror* som er *datalog*."

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> skrev i artiklen
<yahbsf5cv4c.fsf@ask.diku.dk>...
> Scripsit "Christian R. Larsen" <crlarsen@hotmail.com>
>
> > Men enten er denne måde at forstå verden universtet på simpelthen
> > meningsløs, eller også er ballonmetaforen for simpel.
>
> Ballonmetaforen er for simpel. Det eneste den kan bruges til er at
> forklare at vi godt kan se alting bevæge sig væk fra os, uden at det
> betyder at vi er universets midtpunkt.

Men 3d-koordinatsystemsmetaforen må også være for simpel. Jeg kan til nød
forstå det her, hvis jeg tænker sådan på det, at uanset hvor jeg bevæger
mig henad, så bevæger jeg mig per definition både væk fra og henimod mit
udgangspunkt. Men jeg kan ikke tegne en verden, der opfylder dette
kriterium, og det gør den svær at begribe.

---

> Men 3d-koordinatsystemsmetaforen må også være for simpel.

Det er den også. Det er derfor man siger at universet er 4d.. (eller faktisk
flere d end det).

Balonen skal ses som en forklaring på et 2d univers der krummer i den 3.
dimension, ligesom et 3d univers der krummer i den 4. dimension.
Og nej det er ikke til at begribe. Det er derfor man generelt forklarer den
her slags med eksempler fra lavere dimensioner, da man jo godt kan overskue
et 2d univers som krummer i 3d.
Der kan du også se ormehuller som tunneler der forbinder to steder på
overfladen ad 3d kuglen. For dem der lever på 2d overfladen og som er 2d
væsner, da er ormehuller mystiske genveje til andre steder i universet.. for
dig er det bare et 3d hul.

---

Desilva skrev :
> Balonen skal ses som en forklaring på et 2d univers der krummer i den 3.
> dimension, ligesom et 3d univers der krummer i den 4. dimension.

Lige for en god ordens skyld skal det pointeres, at der indenfor
relativitetsteorien opereres med 2 slags kruminger :

1) En krum rum-tid.
Rum og tid kan ikke behandles uafhængigt af hinanden, men slås sammen til en
enhed : Rumtiden.
At rum-tiden krummer, er det, der er ansvarlig for tyngdekraften.

2) Et krumt rum.
Det krumme rum er egentlig en uventet bieffekt af den krumme rumtid, og er
meget vanskelig at måle. Den generelle relativitetesteori er dog søgt testet
mange gange, pga. af dens forudsigelser vedrørende det krumme rum (Merkurs
periheldrejning, lysafbøjning om massive objekter, strålingsforsinkelse pga.
tyngde osv).

I megen trivialliteratur sammenblandes de 2 slags krumninger - f.eks. ses
tyngdekraften ofte illustreret med et gummilagen, der krummer omkring en
stålkugle - en ren misforståelse.

I øvrigt behøver universet ikke at krumme i en højere dimension; selv om man
indenfor kvantefysikken opererer med modeller med helt op til ca. 500
dimensioner.

--
Hilsen
Regnar Simonsen

---

On Mon, 04 Feb 2002 11:58:20 GMT, "Christian R. Larsen"
<crlarsen@hotmail.com> wrote:

>Normalt når jeg tænker på bevægelse i rummet, så forestiller jeg mig, at
>man rejser i et 3D-koordinatsystem. Man kan bevæge sig ud ad x, y eller
>z-aksen - eventuelt på samme tid.
>Men enten er denne måde at forstå verden universtet på simpelthen
>meningsløs, eller også er ballonmetaforen for simpel.
>For hvis vi skal forstå universtet som overfladen på en ballon, hvad vil
>det så sige at bevæge sig af hhv. x-aksen- y-aksen eller z-aksen?

Nu er overskriften ikke så god, for om rummet er krumt har ikke
nødvendigvis (men muligvis) noget at gøre med dets "topologi," altså
om det lukker ind i sig selv. Krumning er nemlig den egenskab der
afgør om summen af en trekants vinkler giver 180 grader - eller noget
helt andet.

Et lukket univers er analogt til det 2d univers man har i det
klassiske arkadespil Astroids. Universet er endeligt - du kan se hele
universet på skærmen. Men samtidig er det ubegrænset. Hvis du ryger ud
i venstre side dukker du op igen i højre side. Hvis du flyver ovenud
af billedet, fortsætter du ind forneden.

Teoretisk set er det en mulighed at det aktuelle Univers opfører sig
tilsvarende.

Med venlig hilsen Sven.

When I gave a lecture in Japan,
I was asked not to mention the possible recollapse of the Universe,
because it might affect the stock market.
(Stephen Hawking)

---

"Sven Nielsen" <sven@SPAMINGO_scientist.com> wrote in message
news:fb5t5u8aq6vdtl6bk0m9r95f16cpashfvt@4ax.com...
> Nu er overskriften ikke så god, for om rummet er krumt har ikke
> nødvendigvis (men muligvis) noget at gøre med dets "topologi," altså
> om det lukker ind i sig selv.

Men som du kan forstå, bliver overskriften ikke bedre end forfatterens
evner.

---

Christian R. Larsen wrote:

> Normalt når jeg tænker på bevægelse i rummet, så forestiller jeg mig, at
> man rejser i et 3D-koordinatsystem. Man kan bevæge sig ud ad x, y eller
> z-aksen - eventuelt på samme tid.
>
> Men enten er denne måde at forstå verden universtet på simpelthen
> meningsløs, eller også er ballonmetaforen for simpel.

Ballonmetaforen er et godt udgangspunkt, når man skal visualisere et
lukket rum. Men man skal ikke hage sig fast i den.

Jeg visualiserer det lukkede rum, ved at forestille mig, at jeg er
placeret i en overskuelig miniudgave, hvor radius er så lille, at
man kan se fra den ene ende til den anden (og sig selv i nakken).

Så kan man studere effekterne af et lukket univers. F.eks ved at
begive sig på gåtur, hvor pointen er, at man på et tidspunkt vender
tilbage til udgangspunktet - nøjagtigt som man gør, hvis man bevæger
sig på overfladen af en ballon/jordklode.

-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>

> Jeg visualiserer det lukkede rum, ved at forestille mig, at jeg er
> placeret i en overskuelig miniudgave, hvor radius er så lille, at
> man kan se fra den ene ende til den anden (og sig selv i nakken).

Fører den forestilling ikke snarere til en slags torustopologi end det
almindelige sfæriske lukkede rum?

En torus kan i øvrigt sagtens have konstant krumning på 0 og alligevel
være endelig og grænseløs. Alligevel siger de populærkosmologier jeg
har læst at hvis universet er fladt, må det være uendeligt. Er det
fordi torussen nødvendigvis bryder med symmetriantagelserne (i de
torusser jeg kan lave mig er der nogen retninger der er bedre end
andre)?

> Så kan man studere effekterne af et lukket univers. F.eks ved at
> begive sig på gåtur, hvor pointen er, at man på et tidspunkt vender

Første billede af "Mr. Tompkins in Dreamland" er så vidt jeg husker
et lille lukket univers. Det giver anledning til sære optiske
effekter. Astronomerne påstår vist at de kan se nogen af dem i
virkeligheden (noget med fjerne radiogalakser som ser alt for store
ud).

--
Henning Makholm "Khanivore is climbing out of its life-support pod."

---

Henning Makholm wrote:

> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
>
>> Jeg visualiserer det lukkede rum, ved at forestille mig, at jeg er
>> placeret i en overskuelig miniudgave, hvor radius er så lille, at
>> man kan se fra den ene ende til den anden (og sig selv i nakken).
>
> Fører den forestilling ikke snarere til en slags torustopologi end det
> almindelige sfæriske lukkede rum?

Der er naturligvis nogle pædagoiske forsimplinger i min fremstilling
som måske gør, at det for et trænet øje muligvis vil være en torus.

Den vigtigste forsimpling er, at man i en sfærisk topologi ikke blot
ville se sig selv foran og bagved sig, men overalt, hvor man kigger
hen. Det gør det betydeligt sværere at rumme i hovedet og mange af
de pointer, man bruger visualiseringen til at illustrere ville drukne
i komplikationer.

(Hvis du tænker på, om to rette linier ville skære hinanden i en 3D
sfære, så mener jeg ikke, at de vil gøre det. Korriger mig, hvis jeg
tager fejl.)


> En torus kan i øvrigt sagtens have konstant krumning på 0 og alligevel
> være endelig og grænseløs. Alligevel siger de populærkosmologier jeg
> har læst at hvis universet er fladt, må det være uendeligt. Er det
> fordi torussen nødvendigvis bryder med symmetriantagelserne (i de
> torusser jeg kan lave mig er der nogen retninger der er bedre end
> andre)?

En torus har ligesom en sfære den egenskab, at hvis du bevæger dig i
een retning, vil du før eller siden komme tilbage til dit udgangspunkt.
Det er den centrale egenskab i et lukket rum. Derfor er en torus ufor-
enligt med et åbent univers.

Med det forbehold, at jeg ikke lige kan forestille mig en torus med en
konstant krumning på 0. Så det kan være, at du stadig har en pointe.

[...]

> Første billede af "Mr. Tompkins in Dreamland" er så vidt jeg husker
> et lille lukket univers. Det giver anledning til sære optiske
> effekter. Astronomerne påstår vist at de kan se nogen af dem i
> virkeligheden (noget med fjerne radiogalakser som ser alt for store
> ud).

Det sidste har jeg også hørt. Men astronomi er en videnskab med fart
på, så det er ikke sikkert, at den holder længere.

Jeg kender ikke Tompkins, men jeg læste engang en fornøjelig historie,
der handlede om en arkitekt som ved en fejl kom til at bygge et fem-
dimensionalt hus. Jeg kan desværre ikke huske hvor.

-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>

> (Hvis du tænker på, om to rette linier ville skære hinanden i en 3D
> sfære, så mener jeg ikke, at de vil gøre det. Korriger mig, hvis jeg
> tager fejl.)

Det vil de ikke. Faktisk kan man udpege en mængde af storcirkler i en
3-sfære så hvert punkt ligger på en og kun en af storcirklerne. Det
kaldes Hopf-fibrationen.

> > En torus kan i øvrigt sagtens have konstant krumning på 0 og alligevel
> > være endelig og grænseløs. Alligevel siger de populærkosmologier jeg
> > har læst at hvis universet er fladt, må det være uendeligt. Er det
> > fordi torussen nødvendigvis bryder med symmetriantagelserne (i de
> > torusser jeg kan lave mig er der nogen retninger der er bedre end
> > andre)?

> En torus har ligesom en sfære den egenskab, at hvis du bevæger dig i
> een retning, vil du før eller siden komme tilbage til dit udgangspunkt.

Man kommer vilkårligt tæt på, men rammer ikke nødvendigvis selve
udgangspunktet.

> Med det forbehold, at jeg ikke lige kan forestille mig en torus med en
> konstant krumning på 0. Så det kan være, at du stadig har en pointe.

Tag enhedskvadratet identificer oversiden med undersiden og højre side
med venstre side. Eller alternativt: tag den euklidiske plan og
identificer (x,y) med (x',y') hvis x-x' og y-y' begge er hele.

Så har man et topologsk rum som er homeomorft med en torus, men med
den naturlige (lokale) metrik er det fladt.

(Hvis man spejler overkanten mens man identificerer den med
underkanten får man i stedet en klein-flaske. Og spejler man
både overkanten og top/bund får man den projektive plan.)

> Jeg kender ikke Tompkins,

Meget berømt populærvidenskabeligt værk af George Gamow. Bør indgå i
enhver scients barnelærdom.

--
Henning Makholm "Need facts -- *first*. Then
the dialysis -- the *analysis*."

---

Henning Makholm wrote:

>> En torus har ligesom en sfære den egenskab, at hvis du bevæger dig i
>> een retning, vil du før eller siden komme tilbage til dit
>> udgangspunkt.
>
> Man kommer vilkårligt tæt på, men rammer ikke nødvendigvis selve
> udgangspunktet.

Undskyld det dumme spørgsmål, men er det ikke det samme. Altså hvis man
kan komme vilkårligt tæt på, så rammer man også.
Det må være det samme som:
Hvis c >= 0 og for alle epsilon > 0 gælder at c < epsilon, så må c = 0.
Det siger jo netop at hvis du kan komme vilkårligt tæt på, så rammer du.
Ovenstående er let at vise ved et modstridsargument.
Men hvis det du siger er rigtigt, så må der jo være en forskel mellem
de to ting??
Kan det være definitionen af "vilkårligt tæt på"?

Martin Ehmsen

---

Martin Ehmsen <thames@get2net.dk> writes:

> Undskyld det dumme spørgsmål, men er det ikke det samme. Altså hvis man
> kan komme vilkårligt tæt på, så rammer man også.

Nej. For at anskueliggøre det, kan du f.eks. se på funktionen, der
sender x ind i 1/x. Denne er veldefineret vilkårligt tæt på 0, men
ikke i 0. Så der er forskel.

--
"I mapped your genome, Wally."

---

Scripsit Martin Ehmsen <thames@get2net.dk>
> Henning Makholm wrote:

> >> En torus har ligesom en sfære den egenskab, at hvis du bevæger dig i
> >> een retning, vil du før eller siden komme tilbage til dit
> >> udgangspunkt.

> > Man kommer vilkårligt tæt på, men rammer ikke nødvendigvis selve
> > udgangspunktet.

> Undskyld det dumme spørgsmål, men er det ikke det samme. Altså hvis man
> kan komme vilkårligt tæt på, så rammer man også.

Ikke nødvendigvis.

> Hvis c >= 0 og for alle epsilon > 0 gælder at c < epsilon, så må c = 0.

Det gælder når c er et fast tal, men efterhånden som man bevæger sig i
sin valgte retning *varierer* afstanden til udgangspunktet.

Et simpelt matematisk modeksempel: Hvis afstanden x varierer med tiden
t som
x(t) = 1/(t²+1)
kan man komme vilkårligt tæt på ved at vente længe nok, men man rammer
aldrig.

I torustilfældet kan man ræsonnere på følgende måde. Antag for
simpelheds skyld at torussen er indlejret i R³ på normal vis og at
metrikken i torussen er den af R³ afledte. Vores udgangspunkt ligger
et sted på den "ydre ækvator", og vi bevæger os nu i en eller anden
passende skæv retning, næsten men ikke helt vinkelret på ækvator, og
fortsætter frem efter næsen. Efter et stykke tid rammer vi igen den
ydre ækvator, og af symmetrigrunde må vores vinkel med ækvator være
den samme som da vi startede. Det vil sige at hele vor fremtidige
bevægelse består af en række kopier af den samme indledende sti, hver
roteret et passende stykke om torussens akse. Hvis hver kopi er
roteret B grader i forhold til den forrige og ækvatorpassage nummer N
sker lige præcis i udgangspunktet, må N*B være et multiplum af 360.
Men ved at variere vores startvinkel kan vi få B til at variere
kontinuert, så der må være en eller flere retninger hvor B er et
*irrationelt* tal. Så kan N*B aldrig blive et multiplum af 360, og
derfor rammer vi aldrig udgangspunktet.

Men mængden af samtlige fremtidige ækvatorpassager vil da ligge tæt
langs ækvator, og derfor kommer vi vilkårligt tæt på udgangpunktet.

--
Henning Makholm "Jeg har tydeligt gjort opmærksom på, at man ved at
følge den vej kun bliver gennemsnitligt ca. 48 år gammel,
og at man sætter sin sociale situation ganske overstyr og, så
vidt jeg kan overskue, dør i dybeste ulykkelighed og elendighed."

---

Henning Makholm wrote:

>> Undskyld det dumme spørgsmål, men er det ikke det samme. Altså hvis
>> man kan komme vilkårligt tæt på, så rammer man også.
>
> Ikke nødvendigvis.
>
>> Hvis c >= 0 og for alle epsilon > 0 gælder at c < epsilon, så må c =
>> 0.
>
> Det gælder når c er et fast tal, men efterhånden som man bevæger sig i
> sin valgte retning *varierer* afstanden til udgangspunktet.
>
> Et simpelt matematisk modeksempel: Hvis afstanden x varierer med tiden
> t som
> x(t) = 1/(t²+1)
> kan man komme vilkårligt tæt på ved at vente længe nok, men man rammer
> aldrig.

Det er jo klart, jeg må hellere gå i seng...

> I torustilfældet kan man ræsonnere på følgende måde. Antag for
> simpelheds skyld at torussen er indlejret i R³ på normal vis og at
> metrikken i torussen er den af R³ afledte. Vores udgangspunkt ligger
> et sted på den "ydre ækvator", og vi bevæger os nu i en eller anden
> passende skæv retning, næsten men ikke helt vinkelret på ækvator, og
> fortsætter frem efter næsen. Efter et stykke tid rammer vi igen den
> ydre ækvator, og af symmetrigrunde må vores vinkel med ækvator være
> den samme som da vi startede. Det vil sige at hele vor fremtidige
> bevægelse består af en række kopier af den samme indledende sti, hver
> roteret et passende stykke om torussens akse. Hvis hver kopi er
> roteret B grader i forhold til den forrige og ækvatorpassage nummer N
> sker lige præcis i udgangspunktet, må N*B være et multiplum af 360.
> Men ved at variere vores startvinkel kan vi få B til at variere
> kontinuert, så der må være en eller flere retninger hvor B er et
> *irrationelt* tal. Så kan N*B aldrig blive et multiplum af 360, og
> derfor rammer vi aldrig udgangspunktet.

Det er faktisk en god forklaring.

> Men mængden af samtlige fremtidige ækvatorpassager vil da ligge tæt
> langs ækvator, og derfor kommer vi vilkårligt tæt på udgangpunktet.

Det må den jo nødvendigvis, af samme grund mængden af de irationelle
tal er tæt i R.

Martin

---

Scripsit Martin Ehmsen <thames@get2net.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > *irrationelt* tal. Så kan N*B aldrig blive et multiplum af 360, og
> > derfor rammer vi aldrig udgangspunktet.

> > Men mængden af samtlige fremtidige ækvatorpassager vil da ligge tæt
> > langs ækvator, og derfor kommer vi vilkårligt tæt på udgangpunktet.

> Det må den jo nødvendigvis, af samme grund mængden af de irationelle
> tal er tæt i R.

Det argument kan jeg ikke lige se - man rammer jo ikke samtlige
irrationelle tal. Mit bedste argument er indirekte:

Hvis der findes et interval af endelig længde (fx 1 grad til hver
side) omkring punkt nummer 0, hvor ingen senere punkter rammer, vil
det samme gælde omkring ethvert senere punkt. Men det vil så sige
at efter et vist antal punkter (fx 360) er hele ækvator fyldt med
forbudte intervaller, i strid med at følgen faktisk fortsætter i
det uendelige.

--
Henning Makholm "However, the fact that the utterance by
Epimenides of that false sentence could imply the
existence of some Cretan who is not a liar is rather unsettling."

---

Henning Makholm wrote:
>
> I torustilfældet kan man ræsonnere på følgende måde. Antag for
> simpelheds skyld at torussen er indlejret i R³ på normal vis og at
> metrikken i torussen er den af R³ afledte.

Det er da lettere at regne på enhedskvadratmodellen som du selv beskrev
før. Tag et skråt ret linjestykke y=ax i enhedskvadratet. Når det fort-
sættes til en geodætiske kurve på den flade torus, vil man ramme sig
selv i nakken hvis og kun hvis a er et rationalt tal.

I modsat fald beskriver man en tæt delmængde af torussen.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > I torustilfældet kan man ræsonnere på følgende måde. Antag for
> > simpelheds skyld at torussen er indlejret i R³ på normal vis og at
> > metrikken i torussen er den af R³ afledte.

> Det er da lettere at regne på enhedskvadratmodellen som du selv beskrev
> før.

Ja. Jeg tror nok jeg mente "for simpelheds skyld" mente at argumentet
også virkede selv om man kun mener at en torus er en torus når den kan
realiseres som en demlængde af R³.

--
Henning Makholm "Kurt er den eneste jeg kender der er
*dum* nok til at gå i *ring* på et jernbanespor."

---

Henning Makholm wrote:

> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
>
>> Med det forbehold, at jeg ikke lige kan forestille mig en torus med en
>> konstant krumning på 0. Så det kan være, at du stadig har en pointe.
>
> Tag enhedskvadratet identificer oversiden med undersiden og højre side
> med venstre side. Eller alternativt: tag den euklidiske plan og
> identificer (x,y) med (x',y') hvis x-x' og y-y' begge er hele.

Det er gået op for mig, at den (pædagoisk forsimplede) visualisering, jeg
gav af det lukkede sfæriske rum, nøjagtigt beskriver effekterne af at
befinde sig inde i et univers med en flad torus topologi.

Så du har derfor ret i, at jeg ikke beskrev en sfære men en torus.

-Claus

---

In article <yah3d0hb0bx.fsf@tyr.diku.dk>, henning@makholm.net says...

> En torus kan i øvrigt sagtens have konstant krumning på 0 og alligevel
> være endelig og grænseløs. Alligevel siger de populærkosmologier jeg
> har læst at hvis universet er fladt, må det være uendeligt. Er det
> fordi torussen nødvendigvis bryder med symmetriantagelserne (i de
> torusser jeg kan lave mig er der nogen retninger der er bedre end
> andre)?

Der er egentlig ikke nogen tungtvejende grund til at et fladt (eller
hyperbolsk krummende) univers skal være uendeligt. Men det er korrekt, at
det som regel er det, man læser. Årsagen til den lidt misforståede
sammenhæng skal nok findes i historien. I de seneste år er der dog kommet
en del fokus på andre mulige topologier, også i en del
populærvidenskabelige artikler i tidsskrifter og på spindet.

I det flg. et kort uddrag af: http://www.mathpages.com/rr/s7-01/7-01.htm

" ... the Friedmann universes (with and without cosmological constant)
became the "standard model" for cosmologies. If k = +1 the manifold
represented by the Robertson-Walker metric is a finite spherical space,
so it is called "closed". If k = 0 or -1 the metric is typically
interpreted as representing an infinite space, so it is called "open".
However, it's worth noting that this need not be the case, because the
metric gives only local attributes of the manifold; it does not tell us
the overall global topology."

Andre udvalgte links:

http://www.astro.princeton.edu/~dns/nas_neg/nas_neg.html
http://www.etsu.edu/math/gardner/aas/topo.htm
http://zebu.uoregon.edu/~js/ast123/lectures/lec16.html

Med venlig hilsen Sven.
--
Kissmeyer Basic er et system. Det er et godt system.

---

Henning Makholm wrote:
>
> En torus kan i øvrigt sagtens have konstant krumning på 0 og alligevel
> være endelig og grænseløs. Alligevel siger de populærkosmologier jeg
> har læst at hvis universet er fladt, må det være uendeligt. Er det
> fordi torussen nødvendigvis bryder med symmetriantagelserne (i de
> torusser jeg kan lave mig er der nogen retninger der er bedre end
> andre)?

Jeg har tænkt på præcis det samme.

Jeg tror ganske enkelt det er forkert at en flad geometri implicerer
et ubegrænset (altså "uendeligt") univers.

Jeg synes jeg så noget om et univers med endda negativ krumning som
havde endelig diameter (altså hvor der var en øvre grænse for hvor
langt to punkter kunne befinde sig fra hinanden).

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:
>
> Jeg synes jeg så noget om et univers med endda negativ krumning som
> havde endelig diameter (altså hvor der var en øvre grænse for hvor
> langt to punkter kunne befinde sig fra hinanden).

"Cosmologists have suffered from a persistant misconception that a
negatively curved universe must be the infinite hyperbolic 3-space H³.
This has led to the unfortunate habit of using the term 'open universe'
to mean three different things: [...]"

Der beskrives universer med hyperbolsk geometri men med endelig
diameter.

Se: http://www.ams.org/notices/199811/cornish.pdf

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>
> Henning Makholm wrote:

> > En torus kan i øvrigt sagtens have konstant krumning på 0 og alligevel
> > være endelig og grænseløs. Alligevel siger de populærkosmologier jeg
> > har læst at hvis universet er fladt, må det være uendeligt. Er det

> Jeg tror ganske enkelt det er forkert at en flad geometri implicerer
> et ubegrænset (altså "uendeligt") univers.

Jeg har fundet følgende (men vist ikke helt stringente) argument mod
et fladt, begrænset univers (fx formet som en flad 3-torus, eller for
den sags skyld en 3-sfære):

Så vidt jeg forstår vil et fladt univers aldrig falde sammen i et Big
Crunch, men udvidelseshastigheden vil efterhånden gå mod 0. Dette
skulle udelukkende afhænge af krumningen, og er altså uafhængigt af
storskalatopologien. Det vil sige at hvis vi venter længe nok kan vi
faktisk nå at se os selv i nakken. Antag for eksempel at hvis man
kigger mod "nord" kan man se sig selv i nakken X lysår væk.

Vi kan nu lave følgende eksperiment: Send lysimpulser er afsted
nordpå og sydpå samtidigt, og tid på hvor lang tid der går før de når
frem henholdsvis sydfra og nordfra.

Hvis vi er heldige når de to lysimpulser frem samtidigt. Vi må da
opfatte det sådan at begivenheder for den version af os selv vi kan se
mod nord sker samtidigt med begivenheder for den version af os selv vi
kan se mod syd.

Så vidt så godt. Nu tager vi to tvillinger og den sætter den ene op i
et rumskib. Rumskibet "tager tilløb" sådan at det til tid 0 passerer
tæt forbi jorden med en hastighed på en betydelig brøkdel af
lyshastigheden, rettet stik nordpå. I forvejen har vi slukket for
motoren, så rumskibet i resten af historien befinder sig i frit fald
i en jævn retlinet bevægelse nordpå.

Ved tid 0 starter hver tvilling det lysglimt-eksperiment jeg har
beskrevet ovenfor. Tvillingen på jorden modtager de to lysglimt
samtidig, men så må tvillingen i rumskibet nødvendigvis modtage det
sydgående lysglimt før det nordgående.

Og det vil igen sige at Jorden har en særlig priviligeret hastighed i
forhold til den rumrejsende tvilling. (Hvis vi *ikke* modtager de to
impulser samtidigt på jorden, kan vi regne os frem til en hastighed
for den rejsende tvilling så *han* er specielt priviligeret).

Men det er i modstrid med relativitetsprincippet, og derfor må vi
forkaste universmodellen.

Er det helt i skoven?

I et univers med positiv krumning går jeg ud fra at man undgår
problemet ved at det (når det har den største diameter krumningen
tillader) falder sammen før lyset kan nå fra den ene ende til den
anden, og eksperimentet derfor ikke giver nogen mening.

--
Henning Makholm "Vend dig ikke om! Det er et meget ubehageligt syn!"

---

Henning Makholm wrote:
>[...]
> Men det er i modstrid med relativitetsprincippet, og derfor må vi
> forkaste universmodellen.
>
> Er det helt i skoven?

Jeg er i tvivl. Selvom jeg har haft en del differentialgeomtri, tror
jeg jeg tænker lidt naivt.

Jeg synes så tit at kosmologiske overvejelser genindfører et absolut
rum i strid med relativitetsprincippet. Se bare baggrundsstrålingen:
Udmærker det inertialsystem hvorfra den kosmiske baggrundsstråling
ser ud til at være isotrop, sig ikke?

Og giver universets alder ikke et absolut tidsmål? To genforenede
tvillinger hvoraf den ene har foretaget en accelereret rejse, kan vel
igen blive enige om hvad klokken er, ved at måle universets alder?

Nå...

Jeg kender en sætning der gælder for ganske almindelige riemannske
mangfoldigheder:

Bonnet-Myers-sætning: Lad M være en fuldstændig, riemannsk mang-
foldighed som opfylder at der findes en konstant k>0 således
at al snitkrumning i M er større end k. Så er diameteren af M
højst pi/sqrt{k}, specielt er M kompakt.

Sætningen siger altså at hvis snitkrumningen er positiv og "begrænset
væk fra nul", så er mangfoldigheden "endelig".

(Man bemærker at en alm. omdrejningsparaboloide har strengt positiv
krumning, men alligevel ikke er kompakt. Så kravet om at krumningen
er begrænset væk fra nul, er altså essentielt.)

I den udstrækning dén sætning kan generaliseres til det fysiske
univers (for det er vist ikke en alm. riemannsk mangfoldighed(?)),
så siger sætningen at hvis universets krumning er positiv, så er
universet "endeligt" (altså endelig diameter og endeligt rumfang).
Med "diameter" mener jeg bare supremum (over alle par af punkter) af
afstanden, udtrykket indeholder intet om sfæriskhed.

Derimod gælder det *ikke* at negativ snitkrumning implicerer en
ubegrænset ("uendelig") mangfoldighed. Modeksemplet er ikke så
vanskeligt. Betragt en kompakt, orienteret 2-mangfoldighed af genus g
mindst 2. Denne kan realiseres via en fliselægning af den hyperbolske
plan H² med regulære (4g)-kanter af en bestemt størrelse (som gør
summen af polygonvinkler lig med kun 360°). I fliselægningen identifi-
cerer man på helt tilsvarende måde som når man laver torussen ud fra
en kvadratisk fliselægning af den euklidiske plan. Den resulterende
magfoldighed er altså kompakt, og den arver naturligvis metrikken
fra H² således at den får negativ krumning overalt.

Så vidt jeg husker fra den side jeg henviste til tidligere, så er det
ikke usandsynligt at universet også er "endeligt", men med negativ
krumning.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Jeg synes så tit at kosmologiske overvejelser genindfører et absolut
> rum i strid med relativitetsprincippet. Se bare baggrundsstrålingen:
> Udmærker det inertialsystem hvorfra den kosmiske baggrundsstråling
> ser ud til at være isotrop, sig ikke?

Tja .. hvis jeg skulle skrive en space opera og havde brug for
FTL-rejser uden at forkaste kausalitet, ville jeg postulere en eller
anden form for kosmologisk warp-drive der tillader overlysrejser
så længe man ikke bevæger sig bagud i tiden i netop det initialsystem.
Rent lokalt burde det afværge de værste paradokser.

Men jeg tror ikke det kan bruges som *globalt* priviligeret
inertialsystem, for vi må gå ud fra at det godt nok er det
inertialsystem hvor baggrundsstrålingen er isotrop *her* - er der
nogen der siger at baggrundsstrålingen også er isotrop i en fjern
galakse, når man bruger det system? Det fine argument får altså benene
slået væk under sig når man tager hensyn til universets udvidelse. Det
kan også være at mit argument lider af samme mangel, det kan jeg ikke
gennemskue.

> Jeg kender en sætning der gælder for ganske almindelige riemannske
> mangfoldigheder:

Den tygger jeg lige på en dags tid før jeg svarer på.

--
Henning Makholm "Nobody is going to start shouting
about moral philosophy on my bridge."

---

Henning Makholm wrote:
>
> Men jeg tror ikke det kan bruges som *globalt* priviligeret
> inertialsystem, for vi må gå ud fra at det godt nok er det
> inertialsystem hvor baggrundsstrålingen er isotrop *her* - er der
> nogen der siger at baggrundsstrålingen også er isotrop i en fjern
> galakse, når man bruger det system? Det fine argument får altså benene
> slået væk under sig når man tager hensyn til universets udvidelse. Det
> kan også være at mit argument lider af samme mangel, det kan jeg ikke
> gennemskue.

Hmm...
Nej, mit inertialsystem var måske ikke globalt privilegeret. Men vil
det sige at der eksisterer "lokalt privilegerede" inertialsystemer?

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Scripsit Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk>

> Nej, mit inertialsystem var måske ikke globalt privilegeret. Men vil
> det sige at der eksisterer "lokalt privilegerede" inertialsystemer?

Ja, det er simpelt - fx det inertialsystem den samlede impuls af alt
stof indenfor en radius af 1400 km (eller 1 lysår) er 0.

--
Henning Makholm "You want to know where my brain is,
spetsnaz girl? Do you? Look behind you."

---

Jeppe Stig Nielsen <mail@jeppesn.dk> writes:

> Hmm...
> Nej, mit inertialsystem var måske ikke globalt privilegeret. Men vil
> det sige at der eksisterer "lokalt privilegerede" inertialsystemer?

Hmm, hvad betyder "inertialsystem" i global forstand? Med mindre man
antager universet har en eller anden speciel form kan jeg ikke se
hvordan et valg af inertialsystem her (fx baggrundsstrålingen her)
skulle kunne sammenlignes med et langt væk (fx baggrundsstrålingen
dér).

Søren

--
Søren Galatius Smith http://www.imf.au.dk/~galatius/