---

Hej.

Det er som bekendt enkelt, at finde foreskriften for en ret linje
(førstgradspolynomium) når blot man kender to punkter. Det samme er også
tilfældet med eksponentielle funktioner, men hvad med
andengradspolynomiumer. Hvor mange punkter skal man som minimum kende, for
at kunne fastlægge foreskriften, og hvilken metode(r) kan bruges?

---

Morten wrote:

> Hej.
>
> Det er som bekendt enkelt, at finde foreskriften for en ret linje
> (førstgradspolynomium) når blot man kender to punkter. Det samme er
også
> tilfældet med eksponentielle funktioner, men hvad med
> andengradspolynomiumer. Hvor mange punkter skal man som minimum
kende, for
> at kunne fastlægge foreskriften, og hvilken metode(r) kan bruges?

I et generelt andengrads poly.y = ax² + bx + c skal du kende tre
punkter (x_1,y_1), (x_2,y_2) og (x_3,y_3)
Og a,b,c kan findes ved at løse tre ligninger med tre ubekendte:
y_1 = a(x_1)² + bx_1 + c
y_2 = a(x_2)² + bx_2 + c
y_3 = a(x_3)² + bx_3 + c

Altså lige ud af landevejen.
Et generelt n'te grads poly. behøver n punkter for at alle konstanter
kan bestemmes.

Mvh.
Martin Ehmsen
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

Martin Ehmsen wrote:

> Altså lige ud af landevejen.
> Et generelt n'te grads poly. behøver n punkter for at alle konstanter
> kan bestemmes.

Ups. læs n+1 punkter (da der er n+1 konstanter)

Mvh.
Martin Ehmsen
--
"Life is good for only two things,
discovering mathematics and teaching mathematics"
Siméon Poisson

---

"Martin Ehmsen" <thames@get2net.dk> skrev i en meddelelse
news:a27k33$qnu$1@sunsite.dk...
> Morten wrote:
>
> > Hej.
> >
> > Det er som bekendt enkelt, at finde foreskriften for en ret linje
> > (førstgradspolynomium) når blot man kender to punkter. Det samme er
> også
> > tilfældet med eksponentielle funktioner, men hvad med
> > andengradspolynomiumer. Hvor mange punkter skal man som minimum
> kende, for
> > at kunne fastlægge foreskriften, og hvilken metode(r) kan bruges?
>
> I et generelt andengrads poly.y = ax² + bx + c skal du kende tre
> punkter (x_1,y_1), (x_2,y_2) og (x_3,y_3)
> Og a,b,c kan findes ved at løse tre ligninger med tre ubekendte:
> y_1 = a(x_1)² + bx_1 + c
> y_2 = a(x_2)² + bx_2 + c
> y_3 = a(x_3)² + bx_3 + c
>
> Altså lige ud af landevejen.

Jeg kan godt løse to ligninger med to ubekendte. Dertil plejer jeg at bruge
determinant-metoden, men hvordan anvendes metoden når det drejer sig om tre
ligninger med tre ubekendte?
Jeg må indrømme at det er længe siden jeg sidst har gjort den slags, så
derfor ville jeg blive meget glad, hvis du, foruden metoden, også viste det
med et konkret eksempel.
Hvis man f.eks. kender følgende tre punkter,
(-4,5; 3,25), (-2; -8) og (3; 7)
hvad er så foreskriften for andengradspolynomiet?
For at løse denne opgave skal altså følgende ligningssystem løses:
L1: 20,25a + (-4,5)b + c = 3,25
L2: 4a + (-2)b + c = -8
L3: 9a + 3b + c = 7 .
Hvordan gøres dette med determinant-metoden, og er det den bedste måde at
gøre det i "hånden"?

NB. Punkterne er fundet vha. en graf jeg tegnede på en TI83 med
foreskriften:
Y1 = x^2 + 2x - 8.

> Mvh.
> Martin Ehmsen
> --
> "Life is good for only two things,
> discovering mathematics and teaching mathematics"
> Siméon Poisson

Mvh.: Morten

---

Morten wrote:

> For at løse denne opgave skal altså følgende ligningssystem løses:
> L1: 20,25a + (-4,5)b + c = 3,25
> L2: 4a + (-2)b + c = -8
> L3: 9a + 3b + c = 7 .
> Hvordan gøres dette med determinant-metoden, og er det den bedste måde at
> gøre det i "hånden"?

Prøv at lave en søgning på "Cramer's Rule", eller endnu bedre: Tag en smut
på biblioteket og find en bog om lineær algebra. Der vil dine spørgsmål
blive besvaret. "Determinantmetoden", som den kaldes i gymnasiet, er
Cramers Regel i sin simpleste udgave.

-> Michael Knudsen

---

Morten wrote:

> Hej.
>
> Det er som bekendt enkelt, at finde foreskriften for en ret linje
> (førstgradspolynomium) når blot man kender to punkter. Det samme er også
> tilfældet med eksponentielle funktioner, men hvad med
> andengradspolynomiumer. Hvor mange punkter skal man som minimum kende, for
> at kunne fastlægge foreskriften, og hvilken metode(r) kan bruges?

Du kan bruge Vandermondedeterminanten til at vise, at der skal n+1 punkter
til entydigt at bestemme et polynomium af grad n. Se evt. opgave A på

http://home.imf.au.dk/~matadp/mat10/ug01/u9.ps
http://home.imf.au.dk/~matadp/mat10/ug01/u9.pdf

-> Michael Knudsen

---

"Morten" <vivaldi@mail.sonofon.dk> writes:

> Hej.
>
> Det er som bekendt enkelt, at finde foreskriften for en ret linje
> (førstgradspolynomium) når blot man kender to punkter. Det samme er også
> tilfældet med eksponentielle funktioner, men hvad med
> andengradspolynomiumer. Hvor mange punkter skal man som minimum kende, for
> at kunne fastlægge foreskriften, og hvilken metode(r) kan bruges?

Lad (x_0, y_0), ..., (x_n,y_n) være n+1 punkter i planen så
x-værdierne er forskellige. Da kan man eksplicit lave et
ntegradspolynomium som går gennem disse n+1 punkter:


_k_ ____
\ | | (x-x_i)
p(x) = | | | -----------
/__ | | (x_j-x_i)
j=1 i<>j


hvor produktet løber over i mellem 1 og k, undtagen j.

Denne formel kaldes "Lagrangeinterpolation".

Søren

--
Søren Galatius Smith http://home.imf.au.dk/galatius/

---

> _k_ ____
> \ | | (x-x_i)
> p(x) = | | | -----------
> /__ | | (x_j-x_i)
> j=1 i<>j

He- man kunne nu godt ønske sig lidt binært indhold i denne gruppe.
Måske kunne man tillade et bestemt format?

mvh

---

"Torben S. Nielsen" <jurassic@tdcspace.dk> writes:

> He- man kunne nu godt ønske sig lidt binært indhold i denne gruppe.
> Måske kunne man tillade et bestemt format?

Jeg har lagt en ps-fil og en pdf-fil med formlen på

http://home.imf.au.dk/galatius/usenet/Lagrange.ps

og .pdf.

Der var i øvrigt en fejl i den formel jeg skrev. Der skulle stå:

_k_ ____
\ | | (x-x_i)
p(x) = | y_j | | -----------
/__ | | (x_j-x_i)
j=1 i<>j

Nu er det klart ved indsættelse at p(x_j) = y_j.

Søren

--
Søren Galatius Smith http://www.imf.au.dk/~galatius/

---

> He- man kunne nu godt ønske sig lidt binært indhold i denne gruppe.
> Måske kunne man tillade et bestemt format?

(La)TeX er et meget godt bud.

Mvh
Jes Hansen