---

Jeg har lavet en simulation hvortil jeg har implementeret en adaptiv RKF
integrator. Jeg tillader kun ganske små fejl pr. skridt og har ved test af
et fast legeme og et bevægeligt legeme og meget meget tætte passager ikke
set nogen nævneværdige fejl. Det er her ikke-adaptive metoder generelt ikke
virker.

Jeg lavede så en test med et fikseret tungt objekt (en fast sol) og to
planeter med ringe samme lave masse. De starter på hver side af
centerobjektet og har modsat bevægelsesvektor. Det resulterer, som
forventet, i en absolut stabil banebevægelse for begge objekter.
Hvis jeg nu ændre massen en smule for det ene objekt, eller ændrer dens
startbetingelser ubetydeligt, så oplever jeg at der ikke længere findes
nogen stabil kredsløbsbane. Systemet bliver kaotisk, men stadig med konstant
mekanisk energi.
Hvis eksempelvis det ene objekt starter lidt længere fra centerobjektet end
det andet, så sker der generelt det at det ene objekt kommer ind i en lavere
kredsløbsbane og det andet kommerlængere ud. Samtidigt roterer banernes
storakse også omkring centerobjektet. Nogle gange kommer der så en tæt
passage mellem de to objekter og det ene kan slynges bort mens det andet
falder ind i en meget lavere bane. Vel den velkendte "slingshot effect".

Umiddelbart virker det hele korrekt nok, men det undrer mig lidt at det er
så svært, måske umuligt, at lave helt stabile baner som ikke er symetriske
om alle objekterne. Er det sådan det fungerer i praksis eller er det kun et
spørgsmål om akkumulerede fejl i min simulation? Er jordens bane om Solen og
Månens bane om Jorden kun tilsyneladende stabile fordi man betragter dem
over så kort tid? Er der en metode til at teste stabilitet af banerne uden
at skulle simulere i uendelig tid?

---

> så svært, måske umuligt, at lave helt stabile baner som ikke er symetriske
> om alle objekterne.

Prøvede at gøre det ene objekt meget mindre end de andre to og smide det i
L4 eller L5 og nu kan det lade værre med at flakse væk.

Det er vel egentlig svaret på mit spørgsmål. Enten skal banerne være
symetriske, hvilket betyder at de to små objekter ikke har samme relative
position hele tiden, eller også skal man putte det mindste objekt i L4 eller
L5. Hvis man ikke gør dette, så vil ingen (slet ingen?) baner reelt kunne
være stabile?

Man ser forøvrigt at jeg ikke får puttet objektet præcis i punktet, så den
ligger og svinger (kredser vil jeg tro) omkring punktet, men banen ændrer
sig ikke ellers.

---

Niels H skrev:

> Jeg har lavet en simulation hvortil jeg har implementeret en adaptiv RKF
> integrator. Jeg tillader kun ganske små fejl pr. skridt og har ved test
> af et fast legeme og et bevægeligt legeme og meget meget tætte passager
> ikke set nogen nævneværdige fejl. Det er her ikke-adaptive metoder
> generelt ikke virker.
>
> Jeg lavede så en test med et fikseret tungt objekt (en fast sol) og to
> planeter med ringe samme lave masse. De starter på hver side af
> centerobjektet og har modsat bevægelsesvektor. Det resulterer, som
> forventet, i en absolut stabil banebevægelse for begge objekter.
> Hvis jeg nu ændre massen en smule for det ene objekt, eller ændrer dens
> startbetingelser ubetydeligt, så oplever jeg at der ikke længere findes
> nogen stabil kredsløbsbane. Systemet bliver kaotisk, men stadig med
> konstant mekanisk energi.
> Hvis eksempelvis det ene objekt starter lidt længere fra centerobjektet
> end det andet, så sker der generelt det at det ene objekt kommer ind i
> en lavere kredsløbsbane og det andet kommerlængere ud. Samtidigt roterer
> banernes storakse også omkring centerobjektet. Nogle gange kommer der så
> en tæt passage mellem de to objekter og det ene kan slynges bort mens
> det andet falder ind i en meget lavere bane. Vel den velkendte
> "slingshot effect".
>
> Umiddelbart virker det hele korrekt nok, men det undrer mig lidt at det
> er så svært, måske umuligt, at lave helt stabile baner som ikke er
> symetriske om alle objekterne. Er det sådan det fungerer i praksis eller
> er det kun et spørgsmål om akkumulerede fejl i min simulation? Er
> jordens bane om Solen og Månens bane om Jorden kun tilsyneladende
> stabile fordi man betragter dem over så kort tid? Er der en metode til
> at teste stabilitet af banerne uden at skulle simulere i uendelig tid?

Mig bekendt findes der en ret stor teoretisk viden omkring tre-legeme
problemet, specielt i den variant man kalder det cirkulært begrænsede
tre-legeme problem hvor to (massive) legemerne er i fast cirkulær bane
om hinanden og hvor det tredje (ikke-massive) legeme fri kan bevæge sig.
Her kan man vha. Jacobi integraler finde frem til Hill-kurver der for en
given energi-konfiguration sætter begrænsninger for hvor det tredje
legeme kan befinde sig. Heraf kan man fx så udlede de klassiske
Lagrange-punkter og deres stabilitet.

Med hensyn til periodiske baner for n-legeme problemer, kan man ifølge
Roy [1] ved hjælp af Poincarés formodning udlede, at de periodiske baner
ligger tæt i det (6n-10) dimensionale faserum, dvs. uanset hvilket punkt
man vælger i faserummet (svarende til netop en bestemt konfiguration af
de n legemer) vil der vilkårlig tæt på ligge en periodisk bane i
faserummet (dette kan godt være den "samme" periodiske bane hvis denne
er stabil).

For det generelle tre-legeme problem er faserummet af dimension 8 og for
det cirkulært begrænsede tilfælde er dimensionen 5. Hvis man yderligere
begrænser det tredje legeme til at bevæge sig i baneplanet for de to
massive legemer (det koplanare cirkulært begrænsede tre-legeme problem)
så er faserummet helt nede på 3 dimensioner, hvilket mig bekendt er den
laveste faserumsdimension man kan have kaotiske (og tætte periodiske)
baner i.

For at lede efter periodiske baner kan man benytte sig af spejl-teoremet
(Mirror Theorem), der siger, at hvis man kan finde et tidspunkt under
forløbet af et n-legeme problem (dvs et punkt på løsningskurven i
faserummet) hvor hver enkelt legemes afstandsvektor til massemidtpunktet
står vinkelret på alle legemers hastighedsvektorer, så vil forløbet
efter dette tidspunkt være en spejling af forløbet før tidspunktet. Man
kan vise, at spejl-punkter kun eksistere for konfigurationer hvor alle
legemer befinder sig i samme plan (eller på samme linje) og alle
hastigheder står vinkelret på dette plan (eller linje). En konsekvens af
spejl-teoremet er så, at hvis man kan finde to forskellige spejl-punkter
på samme løsningskurve så er kurven en periodisk bane (jeg er ikke klar
over om det omvendte gælder).

Hvis man anvender spejl-teoremet på det cirkulært begrænsede tre-legeme
problem til at lede efter periodiske baner, kan man reducere søgerummet
til kun at kigge på konfigurationer der starter i et spejl-punkt. Hvis
man fx. kigger efter spejl-punkter hvor det tredje legeme ligger på
linje med de to andre og har hastighed vinkelret på denne linje, vil man
kunne reducere bevægelsesligningerne til kun at have 2 frie variable,
nemlig afstand ud af linjen, og (pga. symmetri) fart vinkelret på linjen.

Dette system kan så på forskellig vis integreres for at lede efter
periodiske betingelser. Hvis man fx. leder efter baner med perioden T
kan man for et bestemt startværdi integrere de to frie variable, samt
deres partielt afledte, tiden T frem og benytte dette til en
nulpunktssøgning, fx. via Newton-Raphson.

Med hensyn til stabiliteten af periodiske baner, så har man i princippet
beregne dette samtidig med at man integrere sine løsninger for at finde
periodiske startpunkter da stabilitet af en bane bestemmes af integralet
af de partielt afledte. Mere teoretisk kan man klassificere baner ud fra
deres Poincaré- eller Lyapunov-eksponenter, så man fx. hurtigere eller
mere præcists kan lede efter områder i faserummet hvor periodiske baner
er stabile.

For en praktisk indfaldsvinkel til sådanne beregninger kan jeg i øvrig
anbefale Parker og Chua [2]. Selvom jeg primært (for mange år siden) har
brugt den til at lave kode til at analysere kaos i dissipative systemer,
så mener jeg også metoderne i den kan bruges til Hamiltoniske systemer.
Der er sandsynligvis også lavet en hel del moderne numeriske analyser
specifikt af stabilitet for n-legeme problemer (specielt solsystemet),
men jeg er desværre ikke bekendt med detaljerne i disse analyser.


Referencer:
[1] Orbital Motion, A. E. Roy, Adam Hilger, 1988.
[2] Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems, T.S.Parker,
L.O.Chua, Springer 1989.


Mvh,
--
Filip Larsen

---

Ok, det var et svar der kræver lidt overvejelse før det hele er på plads. Du
gav dog nogle interesante keywords som jeg læste op på med det samme.
Jeg vender nok tilbage en af dagene med en masse spørgsmål som du måske også
finder tid til at svare på

I den forbindelse har jeg et ekstra spørgsmål.
Hvorfor er en hill sphere en sphere? Det er logisk nok at L1 ligger på
overfladen af et objekts hill sphere, men jeg ser ikke hvorfor L2 også gør
det. Som jeg forstår hill sphere så er det det rum som er "kontroleret" af
det mindre objekt der kredser om det større objekt. Altså Jorden i
SolMåne-systemet, så burde Jordens hill sphere ikke strække sig uendeligt i
retningen bort fra solen og jorden? Er det fordi, hvad jeg ikke synes at
kunne læse, at man antager et cirkulært kredsløb om Jorden i
SolJord-systemet? Dermed vil hill spheres radius være afstanden fra
jordcenter til L1 da det er den maksimale retning mod solen som går an. Når
banen er en cirkel, så bliver radius konstant... eller?

Iøvrigt var nogle af mine problemer med at lave en fornuftig konfiguration
for tre objekter forbundet med at jeg ikke overvejede denne hll sphere. Når
jeg forsøgte at sæte en måne i kredsløb om den planeten, som kredsede om
solen, så anbragte jeg konsekvent min måne for langt fra planeten. Nu kan
jeg så passende regne på det før næste forsøg

---

Niels H skrev:

> Hvorfor er en hill sphere en sphere? Det er logisk nok at L1 ligger på
> overfladen af et objekts hill sphere, men jeg ser ikke hvorfor L2 også
> gør det. Som jeg forstår hill sphere så er det det rum som er
> "kontroleret" af det mindre objekt der kredser om det større objekt.

L2 ligger i princippet heller ikke i Hill-kuglen, men kan dog være meget
tæt på. Så vidt jeg kan se gør det dog ingen forskel. Det afgørende ved
Hill-kuglen er, at en partikel lige netop kan nå L1 og dermed "flygte"
væk fra sit oprindelige kredsløb. Adgang til L2 giver, så at sige, ikke
"adgang" til ny områder på samme måde.

Men jeg tror du muligvis forveksler to beslægtede, men ikke helt ens
betegnelser. Jeg talte om Hill-kurver og du taler om Hill-kugler. Lad
mig kort prøve at forklare hvad det første er.

I forbindelse med det cirkulært begrænsede tre-legeme problem, kan man
opstille en ligning der minder meget om specifik energibevarelse i
to-legeme problemet. I begge tilfælde kan man nemlig nå frem til en
invariant (bevaret størrelse) af formen

V^2 - 2U = C,

hvor V er farten af den "interessante" partikel i forhold til
massemidtpunktet, U er en potentialfunktion og C er en konstant.
I to-legeme problemet er U = G(M+m)/r mens det for tre-legeme problemet
(udtrykt i barycentrisk, roterende koordinater) ser ud som

U = 1/2 (x^2+y^2) + M/r1 + m/r2,

hvor M og m er massen for de to massive legemer, r1 og r2 er deres
afstand til de tredje legeme, og (x,y) definere det roterende baneplan
for de to massive legemer der begge ligger i hvert deres faste punkt på
x-aksen.

Hill-kurver, eller Hill-grænseflader (Hill limiting surfaces) som jeg
nok hellere bør kalde det, er så de overflader i rummet hvor farten V er
nul for en given konstant C, dvs overfladen eller de overflader hvor der
gælder 2U = -C = K (K her blot en ny konstant for at slippe for
fortegnet). For en bestemt konfiguration af de tre legemer er en bestemt
værdi af K bevaret og det tredje legeme kan derfor ikke passere igennem
de tilhørende Hill-grænseflader. For små værdier af K er det tredje
legeme begrænset til at kredse lokalt om et af de to massive legemer
eller i et bånd i pæn afstand fra begge, men efterhånden som K vokser
bliver området hvor det tredje legeme ikke kan befinde sig mindre og
mindre og legemet kan til sidst befinde sig hvorsomhelst i nærområde og
er kun begrænset "udadtil" til at være indenfor et voksende kugleformet
område.

Hvis man kigger på hvornår de forskellige Lagrange-punkter kommer ind i
det "lovlige" område, så sker det i rækkefølgen L1 (Lagrange-punktet
mellem de to massive legemer) hvor baner nu lige netop kan skifte mellem
de to massive legemer, L2 (Lagrange-punktet "bagved" det mindst massive
legeme), L3 og til sidst L4 og L5 samtidig. En partikel der er tæt på at
farten nul i nærheden af L2 har altså ikke energi nok til at kunne nå
L3, mens det omvendt godt kan ske.


> Altså Jorden i SolMåne-systemet, så burde Jordens hill sphere ikke
> strække sig uendeligt i retningen bort fra solen og jorden? Er det
> fordi, hvad jeg ikke synes at kunne læse, at man antager et cirkulært
> kredsløb om Jorden i SolJord-systemet? Dermed vil hill spheres radius
> være afstanden fra jordcenter til L1 da det er den maksimale retning mod
> solen som går an. Når banen er en cirkel, så bliver radius konstant...
> eller?

En Hill-kugle er den største kugle omkring et legeme indenfor hvilken en
test-partikel vil forblive i bane omkring dette legeme. Jeg kan ikke
lige se hvordan du kan få den til at strække sig uendelig langt væk?
Måske du kan beskrive lidt mere præcist hvad din "model" er?

Jeg er ikke klar over om man normalt benytter betegnelse Hill-kugle om
problemer "udenfor" tre-legeme problemet, men hvis vi her antager man
kunne, så vil både solen, jorden og månen i princippet have hver deres
egen Hill-kugle i Sol-Jord-Måne systemet, selvom det muligvis kan være
svært at beregne deres nøjagtige størrelse.


> Iøvrigt var nogle af mine problemer med at lave en fornuftig
> konfiguration for tre objekter forbundet med at jeg ikke overvejede
> denne hll sphere. Når jeg forsøgte at sæte en måne i kredsløb om den
> planeten, som kredsede om solen, så anbragte jeg konsekvent min måne for
> langt fra planeten. Nu kan jeg så passende regne på det før næste forsøg

Ja, det er jo altid rart når man kan se at teori og praksis hænger
sammen .


Mvh,
--
Filip Larsen

---

Jeg skrev:

> Hill-kurver, eller Hill-grænseflader (Hill limiting surfaces) som jeg
> nok hellere bør kalde det, er så de overflader i rummet hvor farten V er
> nul for en given konstant C, ...

Så lige, at Wikipedia har et fint diagram med Hill-kurver i artiklen om
Lagrange-punkter:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_point


Mvh,
--
Filip Larsen

---

> L2 ligger i princippet heller ikke i Hill-kuglen, men kan dog være meget
> tæt på.

Nææ, den er velsagtens en smule tættere på det mindre af to objekter end L1?

> Men jeg tror du muligvis forveksler to beslægtede, men ikke helt ens
> betegnelser. Jeg talte om Hill-kurver og du taler om Hill-kugler. Lad mig
> kort prøve at forklare hvad det første er.

Godt. Niveaukurverne for energipotentialet som er summen af centerfugalkraft
og tyngdekrafter er hill-kurverne, ikke sandt? Stationære punkterne i
potentialet er lagrangepunkter og kun L4 og L5 er minima mens de andre alle
er saddelpunkter?
En hill-kugle er

> Hvis man kigger på hvornår de forskellige Lagrange-punkter kommer ind i
> det "lovlige" område, så sker det i rækkefølgen L1 (Lagrange-punktet
> mellem de to massive legemer) hvor baner nu lige netop kan skifte mellem
> de to massive legemer, L2 (Lagrange-punktet "bagved" det mindst massive
> legeme), L3 og til sidst L4 og L5 samtidig. En partikel der er tæt på at
> farten nul i nærheden af L2 har altså ikke energi nok til at kunne nå L3,
> mens det omvendt godt kan ske.

Når du siger "farten nul", så er det også i det roterende koordinatsystem,
så den reele fart, i et ikke roterende system, er vinkelhastigheden for det
mindre af de to objekter - Jorden?

> En Hill-kugle er den største kugle omkring et legeme indenfor hvilken en
> test-partikel vil forblive i bane omkring dette legeme. Jeg kan ikke lige
> se hvordan du kan få den til at strække sig uendelig langt væk? Måske du
> kan beskrive lidt mere præcist hvad din "model" er?

Tror jeg blev forvirret med hensyn til restriktionerne for banen. Når man
taler om energien for et punkt i eksempelvis illustrationen på wikipedia, så
regnes den potentielle energi fra tyngdekrafterne som man venter, men
bevægelsesenergien er for et objekt som kredser i en cirkelformet bane om
det ene tunge objekt. Det er altså ikke for enhver bane der skærer punktet,
da det kan give vilkårlige hastigheder netop der.
Hm. Næ.. hvordan regner man nu banen? Hvis vi har sol, jord, måne, så
kredser Månen jo omkring Jorden og energien skal så regnes for en cirkulær
bane om Jorden, men i punkter længere væk fra Jorden vil man regne med baner
der er cirkler omkring Solen. Håber ikke det var for vrøvlet, men jeg er
lidt forvirret over hvem koordinatsystemet roterer med. Om det roterer om
Solen eller om Jorden. Det virker som om man gør det forskelligt for
forskellige punkter?

---

> Hm. Næ.. hvordan regner man nu banen? Hvis vi har sol, jord, måne, så
> kredser Månen jo omkring Jorden og energien skal så regnes for en cirkulær
> bane om Jorden, men i punkter længere væk fra Jorden vil man regne med
> baner der er cirkler omkring Solen. Håber ikke det var for vrøvlet, men
> jeg er lidt forvirret over hvem koordinatsystemet roterer med. Om det
> roterer om Solen eller om Jorden. Det virker som om man gør det
> forskelligt for forskellige punkter?

Ok. Læste lige teksten under wiki-billedet. "Objects revolving with the same
orbital period as the Earth ". De aftegnede niveaukurver er altså for
objekter med cirkulære baner om Solen og samme periode som Jorden? Ser man
på månen på billedet, så kredser den i en cirkel om Jorden og ikke en cirkel
om Solen. Dens bane følger imidlertid en hill-kurve.

Når du skriver "cirkulært begrænset tre-legeme-problem" så er Jordens (i
sol,jord,måne) bane en cirkel og solen er stationær, men hvad er månens bane
så? En cirkel omkring Jorden? Mit vrøvl kan nok koges ned til: hvordan er
potentialfunktionen, hvis niveaukurver er aftegnet i billedet, defineret?

Nu da du indtil videre har svaret villigt og udførligt på mine spørgsmål så
lad mig lige lufte en ide.
Jeg overvejer lidt at lave en sandkasse til leg med fysikken bag dette emne.
Det kunne have form af en slags spil hvor man har et system med en mængde
objekter og så skal styre et rumskib ind i forskellige baner. Eksempelvis
kan man starte i lavt kredsløb om Jorden og skulle finde ind i en bestemt
bane omkring Månen med en eller anden rumskibskonfiguration. Oprindeligt
havde jeg forestillet mig det som værende overkommeligt, men nu begynder jeg
at tvivle. I princippet skal man tage hensyn til alle objekterne i hele
systemet og ikke kun Jorden og månen, eller skal man? Er det realistisk,
indenfor Jordens hill-kugle, at ignorere resten af systemet og kun se på
Jorden og månen og endda i et roterende koordinatssystem for de to objekter?
Selv hvis man kan slippe afsted med sådan en forenkling så er det jo ikke
nok at for et givent punkt i den oprindelige bane om Jorden at sætte farten
op sådan at ens nye banes højeste punkt (kan ikke huske betegnelsen
længere.. appogæum eller.. hmm) ligger på månens bane og så man når punktet
samtidigt med månen, hvis denne bane beregnes uden hensyn til anden
tyngdekraft end Jordens. I det man nærmer sig Månen vil den jo rode med ens
pæne elliptiske banebevægelse.

Det jeg egentlig spørger til er om min ide med sådan en simulator er
urealistisk da det ganske enkelt er for kompliceret at beregne disse baner
på hobbyplan som sjov? Jeg forestillede mig lidt at lave "programmer" som
man eksekverer på forskellige tidspunkter for rumskibet. "roter til denne
orientering, start motor 4 med effekten x og lad den køre i t sekunder". Til
udarbejdelse af disse planer kunne man så simulere frem i tiden fra "nu" og
se den resulterende bane og dreje lidt op eller ned for brændetiden og
løbende se hvordan banen så ændrer sig. Sådan kunne man blive ved til man
når noget rimeligt og derefter hoppe til nut tidspunkt og lave et program
for det også med kraft i andre retninger.
Igen er jeg i tvivl om hvorvidt dette bliver for komplekst. Er det et
dødfødt projekt, eller kunne man tænke sig andre hjælpemidler i ens
"styringscomputer" på rumskibet? Visualisering af tyngdepotentialet så man
kan søge at balancere mellem modsatrettede krafter etc?

---

Niels H skrev:

> Ok. Læste lige teksten under wiki-billedet. "Objects revolving with the
> same orbital period as the Earth ". De aftegnede niveaukurver er altså
> for objekter med cirkulære baner om Solen og samme periode som Jorden?
> Ser man på månen på billedet, så kredser den i en cirkel om Jorden og
> ikke en cirkel om Solen. Dens bane følger imidlertid en hill-kurve.

Hill-kurverne viser forskellige område indenfor hvilke en partikel i
Sol-Jord systemet kan være fanget i. For at finde de præcise kurver for
en bestemt partikel i Sol-Jord systemet skal man i princippet beregne
konstanten C = V^2-2U for partiklen og derefter tegne kurven 2U = -C.

Bemærk, at Hill-kurven for en partikel i fart altid ligger længere "ude"
i potentialet end der hvor partiklen lige er, så en partikel er ikke på
nogen måde "tvunget" til at følge den Hill-kurve der går igennem
partiklens position. Det eneste tidspunkt en partikel kan befinde sig på
sin Hill-kurve er hvis den har farten nul, hvilket så vil sige, at dens
bane er et fikspunkt på kurven. Partikler i fart vil have baner der
potentielt kan grænser til, men som ikke når, deres Hill-kurve.


> Når du skriver "cirkulært begrænset tre-legeme-problem" så er Jordens (i
> sol,jord,måne) bane en cirkel og solen er stationær, men hvad er månens
> bane så? En cirkel omkring Jorden? Mit vrøvl kan nok koges ned til:
> hvordan er potentialfunktionen, hvis niveaukurver er aftegnet i
> billedet, defineret?

Kurverne skulle gerne være af samme form som niveaukurverne for det
potentiale jeg angav tidligere,

U = 1/2 (x^2+y^2) + M/r1 + m/r2.

Her er origo i barycenteret tæt ved solen, x-aksen er vandret og y lodret.


> Jeg overvejer lidt at lave en sandkasse til leg med fysikken bag dette
> emne. Det kunne have form af en slags spil hvor man har et system med en
> mængde objekter og så skal styre et rumskib ind i forskellige baner.
> Eksempelvis kan man starte i lavt kredsløb om Jorden og skulle finde ind
> i en bestemt bane omkring Månen med en eller anden
> rumskibskonfiguration. Oprindeligt havde jeg forestillet mig det som
> værende overkommeligt, men nu begynder jeg at tvivle. I princippet skal
> man tage hensyn til alle objekterne i hele systemet og ikke kun Jorden
> og månen, eller skal man? Er det realistisk, indenfor Jordens
> hill-kugle, at ignorere resten af systemet og kun se på Jorden og månen
> og endda i et roterende koordinatssystem for de to objekter? Selv hvis
> man kan slippe afsted med sådan en forenkling så er det jo ikke nok at
> for et givent punkt i den oprindelige bane om Jorden at sætte farten op
> sådan at ens nye banes højeste punkt (kan ikke huske betegnelsen
> længere.. appogæum eller.. hmm) ligger på månens bane og så man når
> punktet samtidigt med månen, hvis denne bane beregnes uden hensyn til
> anden tyngdekraft end Jordens. I det man nærmer sig Månen vil den jo
> rode med ens pæne elliptiske banebevægelse.

I forbindelse med banedesign, så kan man med god tilnærmelse regne på en
partikels bane som et to-legeme problem når partiklen er tæt nok på en
masse til at dens bevægelse primært er bestemt af denne masse, dvs.
partiklens bane kan tilnærmes ved de normalle kepleriske baner. Hvis
banen så kommer ind i indflydelsesfæren for en anden masse kan man
"oversætte" banen til en ny kepler-bane i forhold til den anden masse.
Dette kaldes for sammensatte keglesnit (patched conical sections) og man
kan med disse fx. lave en sammensat bane fra jorden til mars hvor
rejsetider og hastighedsændringer er rimelig nøjagtige.

For baner hvor der ikke i hvert segment er en udtalt primær masse eller
hvor grænsefladen mellem to segmenter sker i "nærfeltet" fra en af
masserne, er man nødt til at benytte mere komplicerede analytiske
modeller hvor man fx forsøger at indbygge de mest betydende
perturbationer. Et par udbredte perturbationsmodeller er fx. for baner i
Jord-Måne systemet og baner i lavt jordkredsløb.

Hvis man har adgang til numeriske beregning af banen kan man benytte den
sammesatte bane som udgangspunkt for en numerisk beregnet bane hvor man
inkluderer alle relevante kræfter. Denne beregnet bane kan så med lidt
iteration forfines hvor man variere startbetingelserne (fx. første
indsættelseshastighed fra parkeringsbane om jorden) således at banen
bringes til at "ramme" den slutbetingelse (fx. slutbane om mars) man
gerne vil opnå.

Alt dette kan man selvfølgelig gå mere i detaljer om hvis det er nødvendigt.


> Det jeg egentlig spørger til er om min ide med sådan en simulator er
> urealistisk da det ganske enkelt er for kompliceret at beregne disse
> baner på hobbyplan som sjov? Jeg forestillede mig lidt at lave
> "programmer" som man eksekverer på forskellige tidspunkter for
> rumskibet. "roter til denne orientering, start motor 4 med effekten x og
> lad den køre i t sekunder". Til udarbejdelse af disse planer kunne man
> så simulere frem i tiden fra "nu" og se den resulterende bane og dreje
> lidt op eller ned for brændetiden og løbende se hvordan banen så ændrer
> sig. Sådan kunne man blive ved til man når noget rimeligt og derefter
> hoppe til nut tidspunkt og lave et program for det også med kraft i
> andre retninger.
> Igen er jeg i tvivl om hvorvidt dette bliver for komplekst. Er det et
> dødfødt projekt, eller kunne man tænke sig andre hjælpemidler i ens
> "styringscomputer" på rumskibet? Visualisering af tyngdepotentialet så
> man kan søge at balancere mellem modsatrettede krafter etc?

Det er heldigvis sådan, at man med ganske få midler (enkle modeller,
simple beregninger) kan nå ganske langt, dvs. fremkomme med baner der i
mange tilfælde er nøjagtige indenfor ganske få procent. Der vil dog
selvfølgelig også være baner der kvalitativt er helt i skoven i forhold
til hvis man inkluderede alle kræfter i med bedst kendte nøjagtighed.
Afhængig af hvad man ønsker, så kan det alligevel være godt nok.

Det er et stort område, men måske du kan få inspiration af følgende
lille udpluk af frit tilgængelige "værktøj" (der findes uden tvivl et
væld af mere eller mindre specialiserede projekter du kan blive
indspireret af, så dette er altså blot et udpluk):

http://gmat.gsfc.nasa.gov/
http://orbit.medphys.ucl.ac.uk/
http://jat.sourceforge.net/

eller hvis man vil kigge på hvad de store drenge leger med:

http://www.stk.com/



Mvh,
--
Filip Larsen

---

Niels H skrev:

>> L2 ligger i princippet heller ikke i Hill-kuglen, men kan dog være
>> meget tæt på.
>
> Nææ, den er velsagtens en smule tættere på det mindre af to objekter end
> L1?

Ja, det er korrekt (jeg kan se, at jeg vist desværre fik det til at lyde
som om den lå længere væk end L1).


> Niveaukurverne for energipotentialet som er summen af
> centerfugalkraft og tyngdekrafter er hill-kurverne, ikke sandt?
> Stationære punkterne i potentialet er lagrangepunkter og kun L4 og L5 er
> minima mens de andre alle er saddelpunkter?

Jo, det er korrekt.


>> En partikel der er
>> tæt på at farten nul i nærheden af L2 har altså ikke energi nok til at
>> kunne nå L3, mens det omvendt godt kan ske.

> Når du siger "farten nul", så er det også i det roterende
> koordinatsystem, så den reele fart, i et ikke roterende system, er
> vinkelhastigheden for det mindre af de to objekter - Jorden?

Konkret er det her farten i det roterende system, dvs. en partikel med
farten nul vil i dette system fysisk rotere i fast afstand fra
massemidtpunktet med samme vinkelhastighed som de to massive legemer.


>> En Hill-kugle er den største kugle omkring et legeme indenfor hvilken
>> en test-partikel vil forblive i bane omkring dette legeme. Jeg kan
>> ikke lige se hvordan du kan få den til at strække sig uendelig langt
>> væk? Måske du kan beskrive lidt mere præcist hvad din "model" er?
>
> Tror jeg blev forvirret med hensyn til restriktionerne for banen. Når
> man taler om energien for et punkt i eksempelvis illustrationen på
> wikipedia, så regnes den potentielle energi fra tyngdekrafterne som man
> venter, men bevægelsesenergien er for et objekt som kredser i en
> cirkelformet bane om det ene tunge objekt. Det er altså ikke for enhver
> bane der skærer punktet, da det kan give vilkårlige hastigheder netop der.

Jeg har vist heller ikke været særlig flink til at holde de forskellige
tilfælde adskilt.

Grunden til at man ofte i analysen af tre-legeme problemet kigger på det
cirkulært begrænsede tre-legeme problem er fordi man som sagt her kan
reducere antal bevægelsesligninger fra 18 til 6 (eller 4 hvis man
yderligere begrænser det tredje legeme til at være i samme plan som de
to andre legemer) og man får et system der er nemmere at analysere på og
som er nemmere at visualisere Hill-grænseflader eller -grænsekurver for.

Lagrange-punkterne er dog stadig defineret i det generelle tre-legeme
problem hvor man bruger et ikke-roterende koordinatsystem, men løsningen
vil så have en tilsvarende mere kompliceret form. Det er også muligt at
definere bevarelse af mekanisk energi T-U = E (dette er endda muligt for
det generelle n-legeme problemer) og derigennem nå frem til at
klassificere bane-typerne ud fra fortegnet af E. Hvis fx E > 0 kan man
relativt nemt vise, at mindst en af partiklerne vil undvige
massemidtpunktet, men det omvendte er ikke tilfældet (partikler kan godt
undvige selvom E < 0).

På mange punkter er det altså sværere at give analytiske resultater for
bevægelsesformerne i det generelle tre-legeme problem, så mange af de
begreber man benytter sig af er oprindelig frembragt i forbindelse med
analyse af problemer der ligger tæt på det cirkulært begrænsede
tre-legeme problem, og man kan som udgangspunkt ikke nødvendigvis give
alle disse begreber en god mening i det generelle tilfælde (og hvis man
kan, så er det ofte i en meget mere kompliceret formulering).


> Hm. Næ.. hvordan regner man nu banen? Hvis vi har sol, jord, måne, så
> kredser Månen jo omkring Jorden og energien skal så regnes for en
> cirkulær bane om Jorden, men i punkter længere væk fra Jorden vil man
> regne med baner der er cirkler omkring Solen. Håber ikke det var for
> vrøvlet, men jeg er lidt forvirret over hvem koordinatsystemet roterer
> med. Om det roterer om Solen eller om Jorden. Det virker som om man gør
> det forskelligt for forskellige punkter?

Hvis du vil modellere Sol-Jord-Måne systemet som et cirkulært begrænset
tre-legeme problem, hvor man altså så modellerer jorden i cirkelbane om
solen, og månen som "masseløs", så kan dette beskrives et
koordinatsystem med origo i jorden og solens massemidtpunkt der roterer
således at jorden og solen begge ligger konstante i et punkt (deres fart
er altså nul i dette koordinatsystem).

Selvom bevarelsesligningen for dette system ligner en
energibevarelsesligning så er rotationsenergien altså "reduceret ud" af
den kinetiske energi, så både den og den mekaniske energi er ikke det
samme som for beskrivelser i ikke-roterende koordinatsystemer. Kun
potentialet kan (i form) siges at være ens i begge tilfælde, hvilket
også er grunden til at det giver mening at tegne niveaukurverne for denne.

Hvis du derimod vil modellere Sol-Jord-Måne som et generelt tre-legeme
problem hvor månen har masse og jorden-månen kredser om solen i den
rigtige bane, så vil man normalt benytte et ikke-roterende system med
origo i det samlede massemidtpunkt (barycentrisk) hvor den kinetiske
energi af de tre masser, i det omfang man har behov for den, skal regnes
i forhold til dette koordinatsystem (dvs ud fra den barycentriske fart).
Men som jeg nævnte tidligere kan du i dette tilfælde altså ikke lige
hurtigt ud fra den mekaniske energi afgøre om fx månen vil undslippe jorden.


Mvh,
--
Filip Larsen

---

Ok, jeg forstår, også ved egne problemer efterhånden, at mere end to legemer
er generelt kompliceret for andet end visse simple konfigurationer. Jeg var
så ikke helt opærksom på i hvor høj grad man kunne lukke øjnene for den
kompleksitet og bare regne med de to mest dominerende legemer og lave
nogenlunde baner på den måde.
Jeg læste i de mange siders interesant dokumentation til Orbiter (den ene
simulator du linkede til) om de praktiske problemer ved at gå fra
jordoverflade til jordkredsløb til overførselsbane til Mars, og derigennem
kunne jeg forstå at i den situation kunne man til start se på rumskib og
jord, så rumskib sol og til slut rumskib mars. Hver gang var det
tilsyneladende tilstrækkeligt at se på det mest dominante objekt og beregne
baner derfra. I mine mere eller mindre tilfældigt genererede systemer har
det generelt været en del mere komplekst end som så. Der snød jeg så mig
selv.

> Det er også muligt at definere bevarelse af mekanisk energi T-U = E

Hvad mener du med det? Man vil vel til hver en tid havekonstant mekanisk
energi? Mener du, definere kurver/punkter hvor et givent objekt har
konstantmekanisk energi, da systemet som helhed jo hele tiden har det?

Igen takker jeg for info. Jeg spørger om A og du svarer på A,B og C. Det er
ret interesant!

Hvad er egentlig din baggrund indenfor emnet? Det virker som om du har sat
dig ganske godt ind i det.

---

Niels H skrev:

> Jeg læste i de mange siders interesant dokumentation til Orbiter (den
> ene simulator du linkede til) om de praktiske problemer ved at gå fra
> jordoverflade til jordkredsløb til overførselsbane til Mars, og
> derigennem kunne jeg forstå at i den situation kunne man til start se på
> rumskib og jord, så rumskib sol og til slut rumskib mars. Hver gang var
> det tilsyneladende tilstrækkeligt at se på det mest dominante objekt og
> beregne baner derfra.

Ja, det minder meget om at behandle banen som en sekvens af
"almindelige" keglesnitbaner. I Orbiter simulatoren kan det lade sig
gøre fordi man har et meget effektivt rumskib (delta glider). Orbiter er
sjov, men den skal nok opfattes mere som legetøj end som en simulator.
Selvom banerne sandsynligvis bliver simuleret ganske fornuftigt er meget
af det øvrige (specielt omkring procedurer og planlægning) mere eller
mindre fri fantasi som man ikke kan genfinde i virkelighedens verden.
Skal man fx lave rendezvous til ISS ville fx aldrig finde på at affyre
ind en tilfældig bane og så ændre banehældningen når man kom op. Man vil
naturligvis vente og så stige ind i den rigtige bane fra starten af.

I virkelighedens verden er det som regel også sådan, at man skal spare
på hver eneste delta-V for at få så meget last med som muligt, så der er
man nødt til at regne det hele igennem først og finde en optimal bane
for hele missionen. Fx sender man tit sonder forbi et par
"uinteressante" planeter ganske enkelt fordi man dermed kan spare
adskillige km/s på budgettet. For nogle missioner er det endda den
eneste måde hvorpå de kan gennemføres (fx måtte Galileo-sonden flere
gange forbi Venus og Jorden for at komme til Jupiter). Derudover er der
som regel et væld af bane-relateret betingelser der skal være opfyldt
forskellige steder i missionen og disse skal alle håndteres korrekt. Det
er altså et meget stort puslespil at skrue en realistisk mission sammen
og det kan man jo selvfølgelig ikke forvente et program som Orbiter skal
kunne afspejle.


>> Det er også muligt at definere bevarelse af mekanisk energi T-U = E
>
> Hvad mener du med det? Man vil vel til hver en tid havekonstant mekanisk
> energi?

Ja, det er det jeg mener.


> Mener du, definere kurver/punkter hvor et givent objekt har
> konstantmekanisk energi, da systemet som helhed jo hele tiden har det?

Hvis du spørger om det jeg tror du gør, så, nej, det er hele systemets
mekaniske energi der er bevaret. Man kan i generelt ikke udtale sig om
energien for det enkelte legeme, pånær at det selvfølgelig er under et
vist maksimum.


> Hvad er egentlig din baggrund indenfor emnet? Det virker som om du har
> sat dig ganske godt ind i det.

Jeg har altid interesseret mig for rumfart og simulering af fysiske
systemer, og selvom jeg som ingeniør ikke arbejder med rumfart så prøver
jeg alligevel i perioder at finde tid til at hygge mig med det på
hobbyplan. Det bliver for det meste desværre kun til læsning.


Mvh,
--
Filip Larsen