---

Fouriertransformationen ( http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform )
transformerer typisk et signal fra tid-domænet til frekvens-domænet.

Men hvordan er det muligt at bruge fouriertransformationer på billeder? Kan
ikke se hvad tid og frekvens har med et "stationært" billede at gøre som
blot består af kvantificerede intensiteter for en række samples. Nogen der
kan give en forklaringer på hvordan et digitalt billede med et diskret
farvespektrum kan transformeres til frekvenser?

---

On Dec 1, 12:20 am, "saneman" <s...@sd.com> wrote:

> Men hvordan er det muligt at bruge fouriertransformationer på billeder? Kan
> ikke se hvad tid og frekvens har med et "stationært" billede at gøre som
> blot består af kvantificerede intensiteter for en række samples. Nogen der
> kan give en forklaringer på hvordan et digitalt billede med et diskret
> farvespektrum kan transformeres til frekvenser?

Ja, det virker mystisk.
Jeg vil prøve at give en forklaring, med forbehold for at det er mange
år siden jeg beskæftigede mig med matematikken bag - så nogle af
termerne er måske upræcise

"Den almindelige" fouriertransformation transformerer et
"endimensionalt" signal til en endimensionalt spektrum (signal som
funktion af tid bliver til spektrum som funktion af frekvens).
Lad os for simpelheds skyld nøjes med at se på sort-hvid billeder.
Billedet kan ses som en funktion af et todimensionalt punkt, fx
[0,1]x[0,1] -> [0,1].
Fourier-transformationen generaliserer her til at give en slags
todimensionalt spektrum, hvor "frekvenser" både har størrelse og
retning. Tænk på bølger på vandet (som stillbillede - glem tiden). De
har en bølgelængde og en retning i planen.

En god grund til at bruge fourier-transformation på et billede er
billedkompression.
Det viser sig at man meget bedre kan skære information væk (kvantisere
- dvs. fjerne præcision fra information) i det såkaldte faserum (på
den fourier-transformerede funktion) uden synlig forværring af
kvalitet. JPEG-kompression fungerer v.hj.a. noget der minder om
fourier-transformation - jeg mener at det benytter cosinus-
tranformationen.

Når man ser på billeder med endelig opløsning, er der tale om den
diskrete fourier-transformation - helt analogt til at når man
fouriertransformerer lyd på computer, har man endelig sample-frekvens.


Mvh. Bjarke

---

saneman wrote:
> Fouriertransformationen ( http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform )
> transformerer typisk et signal fra tid-domænet til frekvens-domænet.

Det er blot et eksempel.

Generelt afbilder den mellem originalrummet og fourier-rummet.
Originalrummets funktions koefficienter (1D,2D,...) afbildes over i
fourier-rummets cos,sin (eller expi) frekvensers koefficienter.

> Men hvordan er det muligt at bruge fouriertransformationer på billeder?

Det kan maan godt, men det er som regel ineffektivt, da vores
rasterbilleder som regel konvergerer dårligt i fourier-rummet. Derfor
klipper sort hvid JPEG rasterbilledet op i 8x8 pixel kvadrater, som så
transformeres hver for sig med DCT:
http://en.wikipedia.org/wiki/JPEG

Hvis det er et farvebillede afbildes forinden fra RGB til YCbCr.

Hvis man komprimerer et billede hårdt i JPEG vil billedet pga. 8x8
blokkene nogle steder netop bestå af disse hvilket normalt ser grimt ud.

> Kan
> ikke se hvad tid og frekvens har med et "stationært" billede at gøre som
> blot består af kvantificerede intensiteter for en række samples.

Det har du helt ret i.

> Nogen der
> kan give en forklaringer på hvordan et digitalt billede med et diskret
> farvespektrum kan transformeres til frekvenser?

F.eks. til YCbCr:
http://en.wikipedia.org/wiki/YCbCr

hilsen

Glenn

---

glenn wrote:
> saneman wrote:
....
>> Nogen der kan give en forklaringer på hvordan et digitalt billede med
>> et diskret farvespektrum kan transformeres til frekvenser?
>
> F.eks. til YCbCr:
> http://en.wikipedia.org/wiki/YCbCr
>
> hilsen
>
> Glenn

Hej!

I den analoge farvefjernsynsstandard PAL anvendes farverummet:
http://en.wikipedia.org/wiki/YUV

Den kunne man i princippet også anvende inden afbildningen.

hilsen

Glenn

---

saneman wrote:
> Fouriertransformationen ( http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform )
> transformerer typisk et signal fra tid-domænet til frekvens-domænet.
....

Hej!

Herudover er den bedste (tabsfrie) kompression, der fås i dag er Wavelet
kompression, fordi rasterbillederne normalt konvergerer hurtigere i
denne end i fourier-rummet. En af grundene er at denne afbildning
anvender stærkt lokaliserede Wavelet og skaleringsfunktioner som
afbildningsfunktioner:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet_compression

http://en.wikipedia.org/wiki/Snow_%28codec%29
Citat: "... It is open source licensed under the LGPL...."

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_%28codec%29
Citat: "... This implementation is written in C++ and was released at
SourceForge on 11 March 2004..."

http://en.wikipedia.org/wiki/Tarkin_%28codec%29#Ogg_codecs

-

En endnu bedre kompression kan opnås med Curvelet-afbildning, da vores
rasterbilleder konvergerer endnu hurtigere i dette funktionsrum.
http://www.curvelet.org/
http://www.curvelet.org/papers.html

hilsen

Glenn

---

saneman wrote:
> Fouriertransformationen ( http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform )
> transformerer typisk et signal fra tid-domænet til frekvens-domænet.

Fouriertransformation og -analyse beskriver en funktion f som en
superposition af bølger med amplitude g. I stedet for at have en
værdi f(x) har du amplituden g(q), hvor q = 2pi/L hvor L er den
tilsvarende bølgelængde.

Om x og q nu står for tid og frekvens eller position og invers bølgelængde,
eller en vektor og bølgevektor, er underordnet matematikken er den samme.
Hvis f nu ikke er en funktion, men en vektor funktion så ændrer det ikke
noget.

Så hvad med f(i,j) = ( r[i,j], g[i,j], b[i,j] ) hvor r,g,b er rød,grøn,blå
og i,j pixel numret.

Den fourier transformerede er så g( k,l ) = ( ar[k,l], ag[k,l], ab[k,l] ),
hvor ar er den fourier transformerede r, og ditto for grøn og blå.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org softwarepatent database