---

Hej,

Er det korrekt, at kardinaliteten af de komplekse tal er det samme som
kardinaliteten af de reelle tal (som ifølge kontinuumhypotesen er aleph_1)?

Hvis det er korrekt, må man kunne lave en bijektiv afbildning fra de reelle
tal over i de komplekse tal.

Generelt: Hvordan griber man problemet an mht. at vise, at der eksisterer en
bijektiv afbildning mellem to mængder?

Tillægsspørgsmål: Findes der kendte (konstruerbare) mængder, der har større
kardinalitet end aleph_1?

Tak!

---

"Michael Jacobsen" <mjacobsen78@gmail.com> wrote in message
news:enmckv$s3b$1@news.net.uni-c.dk...
> Hej,
>
> Er det korrekt, at kardinaliteten af de komplekse tal er det samme som
> kardinaliteten af de reelle tal (som ifølge kontinuumhypotesen er
> aleph_1)?

Ja.

> Hvis det er korrekt, må man kunne lave en bijektiv afbildning fra de
> reelle tal over i de komplekse tal.

Ja. Men det er simplere at udnytte at C er ækvivalent med RxR.

Det er trivielt at lave en injektion R->RxR. Altså er RxR større end R.
For en injektion RxR->R: Forestil dig at alle talpar (x, y) i RxR er skrevet
i deres binære repræsentation (x', y'). Lad f(x,y) = x'+2*y' (udregnet
decimalt). f(x,y) vil da i hver position være 0, 1, 2 eller 3 afhængig af
hvad x' og y' er i samme position. Man vil derfor givet et tal z, der er
kendt at være i billedmængden for f altid entydigt kunne finde de to tal x
og y der giver f(x,y)=z.

> Generelt: Hvordan griber man problemet an mht. at vise, at der eksisterer
> en bijektiv afbildning mellem to mængder?

Man konstruerer den.
Hvordan? Det varierer. Ovennævnte (som jeg ærlig talt ikke kan huske om jeg
har opfundet på stedet eller genfortalt fra hukommelsen) er en variation
over den klassiske diagonalisering, der viser at N og Q er lige store.

> Tillægsspørgsmål: Findes der kendte (konstruerbare) mængder, der har
> større kardinalitet end aleph_1?

2^R. (Mængden af afbildninger fra R over i {0,1}, eller om du vil: mængden
af delmængder af R.)

Der gælder generelt at kardinaliteten af en mængde M er mindre end
kardinaliteten af 2^M. Hvoraf naturligvis følger at mængden af kardinaltal
er uendelig. (Men *hvor* uendelig? Hvad er kardinaliteten af mængden af
kardinaltal?)

> Tak!

Ingen årsag. Det er et af de sjovere emner.

---

Michael Jacobsen skrev:
> Hej,
>
> Er det korrekt, at kardinaliteten af de komplekse tal er det samme som
> kardinaliteten af de reelle tal
> (som ifølge kontinuumhypotesen er aleph_1)?

Ja - <http://mathworld.wolfram.com/Aleph-1.html>

> Hvis det er korrekt, må man kunne lave en bijektiv afbildning fra de reelle
> tal over i de komplekse tal.

Ja. Tricket ligger i at gå fra 2 dimensioner til 1.
Med et par detaljer udeladt kan man benytte sig af følgende trick:

f : [0,1]x[0,1] -> [0,1]

(0.x x ... ; 0.y y ...) |-> 0.x y x y ...
1 2 1 2 1 1 2 2

Brug dernæst en bijektion h : [0,1] -> R for at udvide til en bijektion
mellem RxR og R.

> Generelt: Hvordan griber man problemet an mht. at vise, at der eksisterer en
> bijektiv afbildning mellem to mængder?

Kald mængderne A og B. Man finder så to funktioner

f : A -> B og g : B -> A

som opfylder

g(f(a))=a for alle a i A
og g(g(b))=b for alle b i B.

> Tillægsspørgsmål: Findes der kendte (konstruerbare) mængder, der har større
> kardinalitet end aleph_1?

Hvad mener du med konstruerbar?

Potensmængen af en mængde A har altid større kardinalitet end A har.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Michael Jacobsen" <mjacobsen78@gmail.com> writes:

> Hej,
>
> Er det korrekt, at kardinaliteten af de komplekse tal er det samme som
> kardinaliteten af de reelle tal (som ifølge kontinuumhypotesen er aleph_1)?
>
> Hvis det er korrekt, må man kunne lave en bijektiv afbildning fra de reelle
> tal over i de komplekse tal.

Andre har vist eksempler på dette, som udnytter en binær- eller
decimalbrøk for tallene. Man skal dog lige være opmærksom på, at
binær- eller decimakbrøker ikke er entydige (0.1000... = 0.0111...
binært, (0.1000... = 0.0999... decimalt), så man skal sikre at ens
bijektion er entydig. Det kan gøres ved at vælge den korteste
repræsentation af tallene.

> Generelt: Hvordan griber man problemet an mht. at vise, at der eksisterer en
> bijektiv afbildning mellem to mængder?

Udover de viste forslag, så kan man vise at der er en bijektion ved at
vise injektion begge veje. Det brugte Kristian implicit i sit bevis
for bijektion mellem RxR og R.

> Tillægsspørgsmål: Findes der kendte (konstruerbare) mængder, der har større
> kardinalitet end aleph_1?

Som andre nævnte, er 2^M større end M. Det giver en sekvens af større
og større kardinaliteter \aleph_0, \aleph = 2^\aleph_0, \aleph_2 =
2^\aleph, ... Men så er spørgsmålet, om der findes større
kardinaliteter end \aleph_n, for et givet n. Og svaret er ja:
Foreningsmængden af \aleph_i for i = 0 til uendeligt har højere
kardinalitet end nogen \aleph_n. Hvis vi kalder denne kardinalitet
\beta, kan vi gentage \beta_2 = 2^\beta, osv.

   Torben