---

Hej gruppe

Jeg har siddet og brugt dagen på at kigge på Fourierserien. Det er også
lykkedes mig (jubiii) at udlede Fourierserien for en firkantfunktion. Ganske
interessant. Men nu tænkte jeg så at jeg ville prøve noget forudsigeligt.

Jeg ville prøve at udlede Fourierserien for cos(x). Alle koefficienterne må
vel være 0 bortset fra en enkelt ikke? Men jeg kan kun komme frem til et
udtryk hvor alle sammen bliver 0.

Hvis nogle gider gøre sig den umage at forklare mig om jeg har ret og evt.
hvad jeg gør galt ville det være rart.

Jeg benytter den exponencielle notation fra wikipedia her
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series. Det står lige oven over
"canonical form".

--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside: www.etlivmedsle.dk

---

Jacob Jensen skrev:
> Hej gruppe
>
> Jeg har siddet og brugt dagen på at kigge på Fourierserien. Det er også
> lykkedes mig (jubiii) at udlede Fourierserien for en firkantfunktion. Ganske
> interessant. Men nu tænkte jeg så at jeg ville prøve noget forudsigeligt.
>
> Jeg ville prøve at udlede Fourierserien for cos(x). Alle koefficienterne må
> vel være 0 bortset fra en enkelt ikke? Men jeg kan kun komme frem til et
> udtryk hvor alle sammen bliver 0.
>
> Hvis nogle gider gøre sig den umage at forklare mig om jeg har ret og evt.
> hvad jeg gør galt ville det være rart.

Hvordan ser din udregning ud?

--
Jens Axel Søgaard

---

> Hvordan ser din udregning ud?

Det bliver nok lidt noget rod i tekst, men jeg skal prøve. Hvis det går helt
galt må jeg jo skrive det ind i latex eller noget. Jeg skal prøve at gøre
det udførligt så det er let at følge.

Jeg har fundet resultatet andetsted og kan se at det som forventet skal give
0 for alle koefficienter undtagen -1 og 1 som skal give ½. Jeg kan blot ikke
selv få det resultat.

Lad n være frekvenskoefficienten.
Lad i være den imaginære enhed.
Lad "sum_a^b c" være "sum fra a til b af c"
Lad "int_a^b c" være "integralet fra a til b af c"
Lad "[stamfunktion]_a_b" være "stamfunktionen taget i b minus stamfunktionen
c taget i a"

Så har vi (ifølge wikipedia):

x(t) = sum_n=-infty^infty C_n * e^(i*n*t)

....hvor C_n = 1/(2*pi) * int_0^(2*pi) cos(t)*e^(-i*n*t) dt

Det er C_n'erne jeg er interesseret i.

Så vælger jeg at omskrive cos(t) til (e^(i*t) + e^(-i*t))/2 - Eulers inverse
formel vist nok.

Nu har vi:

C_n = 1/(2*pi) * int_0^(2*pi) (e^(i*t) + e^(-i*t))/2*e^(-i*n*t) dt

Så flytter jeg ½ uden for integralet:

C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) (e^(i*t) + e^(-i*t))*e^(-i*n*t) dt

Så ganger jeg e^(-i*n*t) ind i parentesen:

C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i*t-i*n*t) + e^(-i*t-i*n*t) dt

Så flytter jeg t uden for parentes oppe i eksponenterne.

C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t + e^(-i-i*n)*t dt

Så deler jeg integralet op i to fordi et integrale af en sum er lig med
summen af to integraler:

C_n =
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t dt +
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*n)*t dt

Så udfører jeg integralet ved at bruge stamfunktionen for e^(kx) som er
(1/k)*e^(kx):

1/(2*pi) * (1/2) * [(1/(i-i*n)) * e^(i-i*n)*t]_0^2*pi +
1/(2*pi) * (1/2) * [(1/(-i-i*n)) * e^(-i-i*n)*t]_0^2*pi

Så sætter jeg konstanten som indgår i stamfunktionen uden for []-udtrykket
og regner lidt og kommer frem til følgende:

1/(2*pi) * (1/2) * (1/(i-i*n)) * (e^(i-i*n)*2*pi -1) +
1/(2*pi) * (1/2) * (1/(-i-i*n)) * (e^(-i-i*n)*2*pi -1)

....som så vidt jeg kan se giver 0 for alle n. Det bliver vist
noget*noget*noget*0.

--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside: www.etlivmedsle.dk

---

Jacob Jensen skrev:
>> Hvordan ser din udregning ud?

> Så udfører jeg integralet ved at bruge stamfunktionen for e^(kx) som er
> (1/k)*e^(kx):

Hvilke k gælder den regel for?

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard skrev:
> Jacob Jensen skrev:
>>> Hvordan ser din udregning ud?
>
>> Så udfører jeg integralet ved at bruge stamfunktionen for e^(kx) som
>> er (1/k)*e^(kx):
>
> Hvilke k gælder den regel for?

Og hvad betyder det for n?

--
Jens Axel Søgaard

---

>>> Så udfører jeg integralet ved at bruge stamfunktionen for e^(kx) som er
>>> (1/k)*e^(kx):
>>
>> Hvilke k gælder den regel for?
>
> Og hvad betyder det for n?

Skal jeg sige sådan noget som at den gælder for k != 0? Hvad fisker du
efter?

Reglen er i øvrigt her (første regel):
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions


--
--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside: www.etlivmedsle.dk

---

>>>> Så udfører jeg integralet ved at bruge stamfunktionen for e^(kx) som er
>>>> (1/k)*e^(kx):
>>>
>>> Hvilke k gælder den regel for?
>>
>> Og hvad betyder det for n?

I bogen "DSP first - a multimedia approach" på s. 63 benytter de reglen
ligesom jeg gør, så vidt jeg kan se.

k er i deres tilfælde "-j*2*pi*k/(T_0)"

Jeg må overse et eller andet...

Jacob

---

Jacob Jensen skrev:
>>>> Så udfører jeg integralet ved at bruge stamfunktionen for e^(kx) som er
>>>> (1/k)*e^(kx):
>>> Hvilke k gælder den regel for?
>> Og hvad betyder det for n?
>
> Skal jeg sige sådan noget som at den gælder for k != 0? Hvad fisker du
> efter?

Ja og i din udregning er

k = i-in

så n må ikke være 1.

Den er du så nødt til at regne ud for sig.

--
Jens Axel Søgaard

---

> Ja og i din udregning er
>
> k = i-in
>
> så n må ikke være 1.
>
> Den er du så nødt til at regne ud for sig.

Det er ikke et problem for mit matematikprogram. Så længe tælleren i en brøk
bliver 0 er det ligemeget om nævneren evt. også er 0. Og i bogen "DSP
first - ..." laver de samme trick. Der står "-j*2*pi*k/(T_0)" i nævneren.
Det giver jo 0 for k=0, men det gør ingenting fordi tælleren også er 0 i det
tilfælde.

Og i mit tilfælde giver tælleren 0 i alle tilfælde.

Jeg tror altså mit problem ligger et andet sted. Omend jeg ikke er ekspert
på området.

Jacob

---

> Jeg tror altså mit problem ligger et andet sted. Omend jeg ikke er ekspert
> på området.

....hvis nu du har ret... Har du så evt. en ide til en anden metode hvormed
man kan regne det ud for alle n på én gang?

Jacob

---

Jacob Jensen skrev:
>> Jeg tror altså mit problem ligger et andet sted. Omend jeg ikke er ekspert
>> på området.
>
> ...hvis nu du har ret... Har du så evt. en ide til en anden metode hvormed
> man kan regne det ud for alle n på én gang?

Kender du ortonomalsystemer?

For nemheds skyld sæt

e_n(x) := e^(inx) for n i Z og x i R

Definer nu et skalarprodukt ved
____
<f,g> = (1/(2pi)) int_0^2pi f(g) * g(x) dx

Så er {e_n | n i Z} et ortonomalsystem. Det vil sige

<e_n, e_m> = 0 hvis n <> m
1 hvis n = m

Så får man:

C_n = <cos(x), e_n>
= < 1/2 (e_1 + e_{-1}) , e_n>
= 1/2 <e_1, e_n> + 1/2 <e_{-1}, e_n>

= 0 hvis n ikke er -1 eller 1
1/2 hvis n=1
1/2 hvis n=-1

Hov, jeg må have lavet en fejl før!

Sørme så, jeg regnede:

> C_1 = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*1)*t dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*1)*t dt

> = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt

Men -i-i*1 er -2i ikke 0, så det skulle være:

C_1 = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt +
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^((-2i)*t) dt

Og kigger vi på

C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t dt +
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*n)*t dt

så opdager, vi fra første led, at n ikke må være 1,
og fra andet led, at n ikke må være -1, når man
fortsætter som du gjorde.


--
Jens Axel Søgaard

---

> Kender du ortonomalsystemer?

Nej.

> Hov, jeg må have lavet en fejl før!

Ja, sikke noget.

> Men -i-i*1 er -2i ikke 0, så det skulle være:
>
> C_1 = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^((-2i)*t) dt
>
> Og kigger vi på
>
> C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*n)*t dt
>
> så opdager, vi fra første led, at n ikke må være 1,
> og fra andet led, at n ikke må være -1, når man
> fortsætter som du gjorde.

Hmmm, jeg er stadig ikke med på hvorfor de bruger den fremgangsmåde i en
vist nok temmeligt anerkendt bog så. Måske tager jeg fejl.

--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside: www.etlivmedsle.dk

---

> Hmmm, jeg er stadig ikke med på hvorfor de bruger den fremgangsmåde i en
> vist nok temmeligt anerkendt bog så. Måske tager jeg fejl.

Se http://www.etlivmedsle.dk/square.jpg

Er finten at de (oppe i teksten) først regner X_0 ud? Så må de måske gerne
regne videre med den farlige regneregel, bare de ikke bruger den for k=0
bagefter?

--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside: www.etlivmedsle.dk

---

Jacob Jensen skrev:
>> Hmmm, jeg er stadig ikke med på hvorfor de bruger den fremgangsmåde i en
>> vist nok temmeligt anerkendt bog så. Måske tager jeg fejl.
>
> Se http://www.etlivmedsle.dk/square.jpg
>
> Er finten at de (oppe i teksten) først regner X_0 ud? Så må de måske gerne
> regne videre med den farlige regneregel, bare de ikke bruger den for k=0
> bagefter?

Ja - men de kunne godt have gjort det tydeligere.

--
Jens Axel Søgaard

---

> Ja - men de kunne godt have gjort det tydeligere.

Ok.

Kan du overskue hvordan maple får det her:

int_0^(2*pi) e^((i-i*n)*t)

....til det her:

i*(e^(-2*pi*i*n)-1) / (-1+n)

Jeg kan komme meget tæt på, men ikke derhen :)

Det ville hjælpe mig lidt uden om ortogonalsystemener, mens jeg stadig kunne
opnå en generel formel (for alle n).

--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside: www.etlivmedsle.dk

---

Jacob Jensen skrev:
>> Ja - men de kunne godt have gjort det tydeligere.
>
> Ok.
>
> Kan du overskue hvordan maple får det her:
>
> int_0^(2*pi) e^((i-i*n)*t)
>
> ...til det her:
>
> i*(e^(-2*pi*i*n)-1) / (-1+n)
>
> Jeg kan komme meget tæt på, men ikke derhen :)

int_0^(2*pi) e^((i-i*n)*t)

For n<>1 får vi:

= [ 1/(i-in) e^((i-in)t) ]_0^2pi

= 1/(i-in) (e^((i-in)2pi) - e^((i-in)0))

= 1/(i-in) (e^((i-in)2pi) - 1)

= i/(i(i-in)) (e^((i-in)2pi) - 1)

= i/(-1+n) (e^((i-in)2pi) - 1)

= i/(-1+n) (e^((i-in)2pi) - 1)

= i/(-1+n) ( e^(i2pi) * e^(-in2pi) - 1)

= i/(-1+n) ( e^(i2pi) * e^(-in2pi) - 1)

= i/(-1+n) ( 1 * e^(-in2pi) - 1)

= i/(-1+n) ( e^(-in2pi) - 1)

--
Jens Axel Søgaard

---

Jacob Jensen skrev:
>> Ja og i din udregning er
>>
>> k = i-in
>>
>> så n må ikke være 1.
>>
>> Den er du så nødt til at regne ud for sig.
>
> Det er ikke et problem for mit matematikprogram. Så længe tælleren i en brøk
> bliver 0 er det ligemeget om nævneren evt. også er 0.

Hvorfor er det ikke et problem?

Anyways, du kom til:

C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t dt +
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*n)*t dt

Hvis n=1 har du:

C_1 = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*1)*t dt +
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*1)*t dt

= 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt +
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt

= 1/(2*pi) * (1/2) * 2*pi +
1/(2*pi) * (1/2) * 2*pi

= 1

--
Jens Axel Søgaard

---

Jens Axel Søgaard skrev:
> Jacob Jensen skrev:
>>> Ja og i din udregning er
>>>
>>> k = i-in
>>>
>>> så n må ikke være 1.
>>>
>>> Den er du så nødt til at regne ud for sig.
>>
>> Det er ikke et problem for mit matematikprogram. Så længe tælleren i
>> en brøk bliver 0 er det ligemeget om nævneren evt. også er 0.
>
> Hvorfor er det ikke et problem?
>
> Anyways, du kom til:
>
> C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*n)*t dt
>
> Hvis n=1 har du:
>
> C_1 = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*1)*t dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*1)*t dt

> = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt

Hov! Den smuttede, det skulle være:

C_1 = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1*t dt +
1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-2i)*t dt

Se andet senere indlæg.

--
Jens Axel Søgaard

---

> Hvorfor er det ikke et problem?

Jaa, det kan jeg ikke lige argumentere mig ud af, men jeg kan se i mit
maple-program at den også løser problemet til noget med en nævner som giver
0 for n=1. Alligevel svarer den at C_1 = ½.

Samme gør sig gældende i "DSP first - ..." når de udleder Fourierserien af
et firkantsignal.

> Anyways, du kom til:
>
> C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*n)*t dt
>
> Hvis n=1 har du:
>
> C_1 = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*1)*t dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*1)*t dt
>
> = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt +
> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt
>
> = 1/(2*pi) * (1/2) * 2*pi +
> 1/(2*pi) * (1/2) * 2*pi
>
> = 1

....hvilket er lidt mystisk for det skal give ½ for C_1 og for C_(-1)

--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside: www.etlivmedsle.dk

---

> Jaa, det kan jeg ikke lige argumentere mig ud af, men jeg kan se i mit
> maple-program at den også løser problemet til noget med en nævner som
> giver
> 0 for n=1. Alligevel svarer den at C_1 = ½.
>
> Samme gør sig gældende i "DSP first - ..." når de udleder Fourierserien af
> et firkantsignal.

Hov, jeg tog vist fejl i maple så bare glem den del af det.

--
Jacob
E-mail: jacob@etlivmedsle.dk
Hjemmeside: www.etlivmedsle.dk

---

Jacob Jensen skrev:
>> Hvorfor er det ikke et problem?
>
> Jaa, det kan jeg ikke lige argumentere mig ud af, men jeg kan se i mit
> maple-program at den også løser problemet til noget med en nævner som giver
> 0 for n=1.

Man skal passe på med Maple. (Kigger over skulderen) Kender du
Bodarenko? (Nej? - du er heldig)

<http://maple.bug-list.org/>

> Alligevel svarer den at C_1 = ½.
>
> Samme gør sig gældende i "DSP first - ..." når de udleder Fourierserien af
> et firkantsignal.
>
>> Anyways, du kom til:
>>
>> C_n = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*n)*t dt +
>> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*n)*t dt
>>
>> Hvis n=1 har du:
>>
>> C_1 = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(i-i*1)*t dt +
>> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) e^(-i-i*1)*t dt
>>
>> = 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt +
>> 1/(2*pi) * (1/2) * int_0^(2*pi) 1 dt
>>
>> = 1/(2*pi) * (1/2) * 2*pi +
>> 1/(2*pi) * (1/2) * 2*pi
>>
>> = 1
>
> ...hvilket er lidt mystisk for det skal give ½ for C_1 og for C_(-1)

Ja - sådan går det, når man får -i-i til at give 0.

--
Jens Axel Søgaard

---

> Ja og i din udregning er
>
> k = i-in
>
> så n må ikke være 1.
>
> Den er du så nødt til at regne ud for sig.

Er der nogle der kan finde en udledning på nettet? Jeg kan finde den for
alle mulige andre signaler (firkant, trekant, osv.) men ikke for cos(x).

Jacob

---

Jacob Jensen skrev:
> > Ja og i din udregning er
> >
> > k = i-in
> >
> > så n må ikke være 1.
> >
> > Den er du så nødt til at regne ud for sig.
>
> Er der nogle der kan finde en udledning på nettet? Jeg kan finde den for
> alle mulige andre signaler (firkant, trekant, osv.) men ikke for cos(x).
>
Cosinus er en *lige* funktion, så det må være en cosinus-serie.
Bidraget fra a_0 = 0 og a_1 = 1 og resten er 0 - så det er ret simpelt


Mvh
Martin