---

Man taler om at "løse" en PDE. Det vil sige at man har givet nogle
betingelser og søger at finde den ligning som opfylder det. Dette
illustereres generelt med simple systemer som fint kan løses, men for alle
lidt mere komeplekse problemer kan man vel ikke finde denne ligning, og selv
hvis man kunne så ville den være ekstremt kompleks. Kalder man det så en
"løsning" når man numerisk stepper gennem systemets variabler, x,y,z,t etc?
eller er en løsning her noget andet?

Jeg har flere gange set illustrationer af et fintmasket gitter omkring et
tværsnit af en flyvinge, som illustration af "sample points" for en løsning
af tryk og lufthastighed, men hvordan forholder man sig til irregulære net
hvor afstanden mellem punkterne er markant mindre jo nærmere man kommer
vingen? Jeg troede man var nødt til at sætte sig fast på nogle skridtlængder
for de enkelte variabler, og holde disse konstant hele vejen?

---

Nu da jeg er i gang med at ustille min uvidenhed, så lad mig komme med et
ekstra helt helt grundlæggende spørgsmål.

Jeg bruger herunder d som symbol for partial.
udtrykket du/dx - du/dt = 0

Skal helt simpelt tolkes som at systemet har den egenskab at ændringen i tid
er lig ændringen i rum. du/dx = du/dt

Ligningen
u(x,t) = 10 opfylder dette, da begge de partielt afledede er 0.
u(x,t)=x+t opfylder det også da de her begge er 1

Har man betingelsen (x,0)=0, så er u(x,t)=10 ikke længere gyldig, men det
ville u(x,t)=0 eksempelvis være

Er dette korrekt forstået? En PDE er en samling sammenhænge og betingelser.
En løsning er en ligning som opfylder alle disse? Hvis jeg ikke som herover
havde kunnet finde en løsningsligning, så kunne jeg med kendskab til de
partielt afledte og startsituationen t=0 steppe frem langs t og beregne t+dt
etc, og dette ville så også være en "løsning".

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

> du/dx - du/dt = 0

> Ligningen
> u(x,t) = 10 opfylder dette, da begge de partielt afledede er 0.
> u(x,t)=x+t opfylder det også da de her begge er 1

> Har man betingelsen (x,0)=0, så er u(x,t)=10 ikke længere gyldig, men det
> ville u(x,t)=0 eksempelvis være

Korrekt. Den generelle løsning har formen u(x,t) = f(x+t) for en
vilkårlig funktion f.

> Er dette korrekt forstået?

Ja.

> En PDE er en samling sammenhænge og betingelser. En løsning er en
> ligning som opfylder alle disse?

Nej, en løsning er en FUNKTION der opfylder alle betingelserne. Det er
ikke noget krav at funktionen skal kunne beskrives ved et lukket
udtryk (eller med en ligning der ikke involverer infinitesimalregning).

> Hvis jeg ikke som herover havde kunnet finde en løsningsligning, så
> kunne jeg med kendskab til de partielt afledte og startsituationen
> t=0 steppe frem langs t og beregne t+dt etc, og dette ville så også
> være en "løsning".

Ja - eller i det mindste tilnærme en.

--
Henning Makholm "Det er du nok fandens ene om at
mene. For det ligger i Australien!"

---

Tak til dig og Carsten for jeres svar. Tingene begynder at give mening. Mine
bøger er vist desværre ikke skrevet med selvstudium for øje, så derfor har
jeg disse banale uklarheder, men har jo fået fin hjælp her inde.

Jeg har lige en ekstra "er det her korrekt forstået?".
Jeg sad og skrev eksemplet direkte, og endte ud med at opdage en fejl, tror
jeg, men nu lader jeg det stå som det er, og hvis nogen har lyst til at se
på det, så sigerjeg mange tak. Hvis ingen har lyst til det, så kan jeg
sagtens forstå det. Særligt da der mangler understøttelse for ordentlig
formslskrivning.


Jeg bruger herunder d for partial.
Den endimensionelle bølgeligning er
d^2u/dt^2 = c^2 * (d^2u/dx^2)

For det første; hvorfor angiver man altid udtrykkene på den form og ikke
istedet f(x,t)=noget, så det direkte kan anvendes?

For det andet; hvis jeg skal løse det numerisk vil følgende så være korrekt
(og fornuftigt)
Jeg har startbetingelsen u(x,0)=f(x),altså u for alle x til t=0... burde jeg
også havde u's første afledte? Nå, jeg antager at den er nul.
Nu beregner jeg med "second order central difference" d^2u/dx^2 fordi det
kan give mig d^2u/dt^2 og med denne anden afledte over tiden kan jeg beregne
u(x,t+dt) med kendstab til u(x,t)

For et delinterval af x har jeg eksempelvis
x=0, t=0, u=2
x=1, t=0, u=4
x=2, t=0, u=2

Jeg bruger nu en skridtlængde langs x og t på 1

Det giver
(d^2u/dx^2)u(1,0) = u(1+1,0)-2u(1,0)+u(1-1,0) =
(d^2u/dx^2)u(1,0) = u(2,0)-2u(1,0)+u(0,0) =
(d^2u/dx^2)u(1,0) = 2-2*4+2 = -4

Bølgeligningen var d^2u/dt^2 = c^2 * (d^2u/dx^2), så hvis jeg vælger c til
at være 1, så er c^2=1

Så får jeg den anden afledte over t til at være (d^2u/dt^2) u(1,0) = -4

Med helt simpel numerisk integration bliver det til at (d^2u/dt^2) u(1,1) =
(d^2u/dt^2) u(1,0)-4
Da jeg satte u's afledte til 0, så er (d^2u/dt^2) u(1,1)=-4
I næste skridt vil jeg kunne finde u(1,2) som u(1,1)-4 og så videre...(dt og
dx er jo begge 1)

Er det korrekt opfattet?

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

> Den endimensionelle bølgeligning er
> d^2u/dt^2 = c^2 * (d^2u/dx^2)

> For det første; hvorfor angiver man altid udtrykkene på den form og ikke
> istedet f(x,t)=noget, så det direkte kan anvendes?

Hvad er det du foreslår som alternativ for ovenstående ligning?

> Jeg har startbetingelsen u(x,0)=f(x),altså u for alle x til t=0... burde jeg
> også havde u's første afledte?

Ja.

> Er det korrekt opfattet?

Ja, bortset fra at dine meget store skridtlængder giver anledning til
gevaldige afrundingsfejl.

--
Henning Makholm "Gå ud i solen eller regnen, smil, køb en ny trøje,
slå en sludder af med købmanden, puds dine støvler. Lev!"

---

>> istedet f(x,t)=noget, så det direkte kan anvendes?
>
> Hvad er det du foreslår som alternativ for ovenstående ligning?

Nu er jeg ikke det store geni når det gælder omskrivning af algebra, men som
et helt fiktivt (forkert) eksempel...
u(x,t)=x*t, hvis altså det var korrekt. Hvis man vil simulere en bølge, så
er det vel hvad man skal bruge.
Hvad mener du med dit spørgsmål? Antyder du at en sådan funktion ikke
findes, eller mener du bare at man kunne være intereseret i så meget andet -
så som hastighed eller ligende, og at man så skal have en masse adskildte
udtryk istedet for det ene? Det kræver selvfølgelig også at
grænsebetingelserne skrives ind i udtrykket på en måde.

>> Jeg har startbetingelsen u(x,0)=f(x),altså u for alle x til t=0... burde
>> jeg
>> også havde u's første afledte?
>
> Ja.
>
>> Er det korrekt opfattet?
>
> Ja, bortset fra at dine meget store skridtlængder giver anledning til
> gevaldige afrundingsfejl.

Ja, det var som sagt bare principperne jeg ville forstå. Nøjagtigheden var
ikke vigtig lige her.
Det er vel også lovligt at have den afledte som 0 for alle x? Så er starten
ikke en bølge i bevægelse, men eksempelvis vand der på en eller anden måde
er blevet stillet op i en bølgeform, men som ikke bevæger sig...endnu. Eller
er det en forkert anvendelse af bølgeligningen?

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

>>> istedet f(x,t)=noget, så det direkte kan anvendes?

>> Hvad er det du foreslår som alternativ for ovenstående ligning?

> Hvad mener du med dit spørgsmål?

At jeg ikke forstår hvad det er du foreslår.

Hvis du vil notere bølgeligningen som "noget der direkte kan
anvendes", hvordan ville det så se ud?

> Ja, det var som sagt bare principperne jeg ville forstå. Nøjagtigheden var
> ikke vigtig lige her.
> Det er vel også lovligt at have den afledte som 0 for alle x?

Javist, men det er så en del af den opgave du løser, og du bør da være
bevidst om at du ville finde en anden løsning hvis du havde valgt
andre grænsebetingelser her.

--
Henning Makholm "Wir kommen nun ans Ziel unserer Ausführungen."

---

> At jeg ikke forstår hvad det er du foreslår.

Ny notation. u_x=(du/dx) og u_xx er (d^2u/dx^2)

Jeg har et eksempel som lyder sådan
u_xx-u=0
En løsning er angivet som u(x,y)=A(y)e^x+B(y)e^(-x), hvor A og B er
funktioner af y, eller bare generelle konstanter

Spørgsmålet er så hvorfor man skriver den første form og ikke bare hopper
lige til den anden form, som er direkte anvendelig, da man her har et udtryk
som umidelbart kan give u for valgte værdier af x og t
I sidste indlæg kom jeg med nogle gæt på hvorfor, men om de giver mening,
eller om det er af andre grunde, det ved jeg ikke.

---

Niels wrote:
>>At jeg ikke forstår hvad det er du foreslår.
>
> Ny notation. u_x=(du/dx) og u_xx er (d^2u/dx^2)
>
> Jeg har et eksempel som lyder sådan
> u_xx-u=0
> En løsning er angivet som u(x,y)=A(y)e^x+B(y)e^(-x), hvor A og B er
> funktioner af y, eller bare generelle konstanter
>
> Spørgsmålet er så hvorfor man skriver den første form og ikke bare hopper
> lige til den anden form, som er direkte anvendelig, da man her har et udtryk
> som umidelbart kan give u for valgte værdier af x og t

At u(x,y)=A(y)e^x+B(y)e^(-x) er en løsning udelukker vel ikke,
at der findes andre typer løsninger?

--
Jens Axel Søgaard

---

> At u(x,y)=A(y)e^x+B(y)e^(-x) er en løsning udelukker vel ikke,
> at der findes andre typer løsninger?

Nej, men er løsningen ikke unik med tilstrækkelige grænseværier? Løsningen
vil måske drastisk kunne ændre form med nye grænseværdier, så man ikke kan
skrive løsningen op på en generel måde?

---

Niels wrote:
>>At u(x,y)=A(y)e^x+B(y)e^(-x) er en løsning udelukker vel ikke,
>>at der findes andre typer løsninger?
>
> Nej, men er løsningen ikke unik med tilstrækkelige grænseværier? Løsningen
> vil måske drastisk kunne ændre form med nye grænseværdier, så man ikke kan
> skrive løsningen op på en generel måde?

Tænk på den almindelige andenordsdifferentialligning

d^2 y
----- = k y
dt

Afhængig af om k<0, k=0 eller k>0 findes der tre forskellige typer.

Når man får en ny ligning og opdager en løsningstype, så kan man
ikke være sikker på, at man har fundet alle løsninger før man
har analyseret situationen nærmere.

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

>> At jeg ikke forstår hvad det er du foreslår.

> Jeg har et eksempel som lyder sådan
> u_xx-u=0
> En løsning er angivet som u(x,y)=A(y)e^x+B(y)e^(-x), hvor A og B er
> funktioner af y, eller bare generelle konstanter

> Spørgsmålet er så hvorfor man skriver den første form og ikke bare hopper
> lige til den anden form, som er direkte anvendelig,

Forsøger du at spørge hvorfor man formulerer problemer i stedet for
bare at postulere hvad deres løsninger er?

--
Henning Makholm "De er da bare dumme. Det skal du bare sige til dem."

---

> Forsøger du at spørge hvorfor man formulerer problemer i stedet for
> bare at postulere hvad deres løsninger er?

Ja

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

>> Forsøger du at spørge hvorfor man formulerer problemer i stedet for
>> bare at postulere hvad deres løsninger er?

> Ja

Så er svaret at hvis man ikke kan tale om hvad problemet er, hvordan
skulle man så kunne vide om løsningen er rigtig?

--
Henning Makholm "- Or hast thee (perverted) designs
to attempt (strange, hybrid) procreation
experiments with this (virginal female) self?"

---

> Så er svaret at hvis man ikke kan tale om hvad problemet er, hvordan
> skulle man så kunne vide om løsningen er rigtig?

Enten taler vi helt forbi hinanden, eller også spiller du mystisk.

For at tage noget banalt, så vil man generelt skrive A=Pi*r^2 eller
r=sqrt(A/Pi) eller Pi=A/r^2 og ikke postulere at
A/r=Pi*r og derefter foreslå at folk selv finder en løsning, selvom det
naturligvis giver en muligheden for at udlede de andre udtryk.

---

> Enten taler vi helt forbi hinanden, eller også spiller du mystisk.

Nå, vi kan også glemme det. Vil helst ikke trække for store veksler på folks
tålmodighed med uvigtige spørgsmål, når der sikkert kommer mere væsentlige
ting at spørge om senere

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

>> Så er svaret at hvis man ikke kan tale om hvad problemet er, hvordan
>> skulle man så kunne vide om løsningen er rigtig?

> Enten taler vi helt forbi hinanden, eller også spiller du mystisk.

Jeg tror vi taler helt forbi hinanden.

Det virker på mig som om at du opponerer mod at man overhovedet har en
måde at nedskrive de egenskaber man vil have sin løsning til at
opfyldte. Og det forstår jeg ikke at du gør, for hvis man slet ikke
kan tale om hvilke egenskaber funktionen skal have for at have noget
med det fysiske problem man står med, at gøre, hvordan kan du så på
nogen måde være sikker på at den har disse egenskaber?

--
Henning Makholm "Jeg forstår mig på at anvende sådanne midler på
folks legemer, at jeg kan varme eller afkøle dem,
som jeg vil, og få dem til at kaste op, hvis det er det,
jeg vil, eller give afføring og meget andet af den slags."

---

> Det virker på mig som om at du opponerer mod at man overhovedet har en
> måde at nedskrive de egenskaber man vil have sin løsning til at
> opfyldte. Og det forstår jeg ikke at du gør, for hvis man slet ikke
> kan tale om hvilke egenskaber funktionen skal have for at have noget
> med det fysiske problem man står med, at gøre, hvordan kan du så på
> nogen måde være sikker på at den har disse egenskaber?

Det skyldes at jeg er vandt til matematik på en anden måde. a=b*c og så ved
man hvad a er når man kender b og c. Jeg har tænkt lidt mere over det i dag,
og tror egentlig godt jeg kan se meningen med den anden notation nu. Jeg
tror at det der forvirrede mig lidt var at snart sagt alle opgaver, jeg har
regnet på den sidste tid, er af typen: her er en pde. Løs den for u(x,t).
Det virkede så lidt underligt på mig at man ikke bare fra starten havde
udtrkket u(x,t) istedet for at skulle være kryptisk.
Jeg ser nu, tror jeg da, at man dels kan ønskte andre løsningstyper, og dels
at der kan være en mængde udtryk som opfylder ens pde, og at de alle er lige
gyldige til man angiver tilstrækeligt mange betingelser til at lave en unik
løsning.

Jeg skal nok bare have lidt mere praktisk erfaring med det her.

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

>> At u(x,y)=A(y)e^x+B(y)e^(-x) er en løsning udelukker vel ikke,
>> at der findes andre typer løsninger?

> Nej, men er løsningen ikke unik med tilstrækkelige grænseværier?

Hvordan vil du kunne vide om løsningen er unik eller ej, hvis du ikke
engang vil opstille den ligning den måske og måske ikke er en unik
løsning til?

--
Henning Makholm "However, the fact that the utterance by
Epimenides of that false sentence could imply the
existence of some Cretan who is not a liar is rather unsettling."

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

> Jeg tror at det der forvirrede mig lidt var at snart sagt alle
> opgaver, jeg har regnet på den sidste tid, er af typen: her er en
> pde. Løs den for u(x,t). Det virkede så lidt underligt på mig at
> man ikke bare fra starten havde udtrkket u(x,t) istedet for at
> skulle være kryptisk.

Hvis man fra starten havde givet løsningen, ville der jo ikke være
nogen opgave tilbage, og hvad ville pointen så være i det hele taget?


--
Henning Makholm "I didn't even know you *could* kill chocolate ice-cream!"

---

> Hvis man fra starten havde givet løsningen, ville der jo ikke være
> nogen opgave tilbage, og hvad ville pointen så være i det hele taget?

Hvis man slår bølgeligningen eller varmediffusion op, så står det også på
den form.

---

Scripsit "Niels" <nej@tak.du>

>> Hvis man fra starten havde givet løsningen, ville der jo ikke være
>> nogen opgave tilbage, og hvad ville pointen så være i det hele taget?

> Hvis man slår bølgeligningen eller varmediffusion op, så står det også på
> den form.

ad 1. Det er meget mere praktisk at man kan genkende en bølgeligning
så snart man når frem til den efter en fysisk analyse af en
eller anden situation, end at man først skal til at løse den i
hvert enkelt tilfælde og DEREFTER kan genkende løsningen og slå
sig for panden og tænke "det besvær kunne jeg have undgået hvis
bare jeg havde lært hvad en bølgeligning er".

ad 2. Hvilken form vil du da ellers skrive en varmediffusionsligning
på, så det er klart er det er samme fænomen der er tale om
uanset hvilken facon og dimension emnet har og hvordan
grænsebetingelserne bliver specificeret?

--
Henning Makholm "Det er jo svært at vide noget når man ikke ved det, ikke?"

---

Dine argumenter giver mening nu. Som sagt har det for mig været en
kombination af et nyt emne og opgaver der har ledt mig lidt på vildspor.

> Henning Makholm "Det er jo svært at vide noget når man ikke ved det,
> ikke?"

Det er jo netop det!

---

Scripsit Henning Makholm <henning@makholm.net>

> ad 1. Det er meget mere praktisk at man kan genkende en bølgeligning
> så snart man når frem til den efter en fysisk analyse af en
> eller anden situation,

Samt (1a): Den generelle løsning af bølgeligningen i mere end én
dimension er noget ulækkert noget med uendelige summer over arbitrære
indeksmængder.

--
Henning Makholm "Monarki, er ikke noget materielt ... Borger!"

---

Niels wrote:
> Kalder man det så en "løsning" når man numerisk stepper gennem
> systemets variabler, x,y,z,t etc? eller er en løsning her noget andet?

Løsning eller simulation, forskellen er vel den samme at det er numerisk
og ikke analytisk løsning.


> irregulære net hvor afstanden mellem punkterne er markant mindre jo
> nærmere man kommer vingen?

I hvert knudepunkt i gitteret har du en værdi (eller en vektor), og du
kan interpolere disse for at definerer en kontinuert funktion, der har
en veldefineret værdi/vektor i ethvert punkt i domænet.

Algoritmerne går så ud på at pille ved værdien (evt. opløsningen af gitret)
så den kontinuerte interpolerede funktion ender med at være løsningen
af PDE'en.

Du kan forestille dig at sådan en interpolation er usikker hvis den
kontinuerte funktion varierer hurtigt mellem nabogitterpunkter, hvorfor
det er formålstjeneligt at have en størrer tæthed af gitterpunkter her.

På den anden side koster det jo også CPU tid per gitterpunkt, så hvor
funktionen er næsten konstant kan man slippe med en grovere inddeling.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org softwarepatent database