---

Er 1 et primtal? ellers hvorfor ikke?

//Dennis

---

Dennis Nielsen wrote:

> Er 1 et primtal? ellers hvorfor ikke?

Definitionen af et primtal er sædvanligvis, at et primtal er et positivt
heltal større end 1, hvilket tal er deleligt udelukkende med 1 og tallet
selv.

Derfor er 1 ikke et primtal, da primtal skal være større end 1.

---

>
> > Er 1 et primtal? ellers hvorfor ikke?
>
> Definitionen af et primtal er sædvanligvis, at et primtal er et positivt
> heltal større end 1, hvilket tal er deleligt udelukkende med 1 og tallet
> selv.
>
> Derfor er 1 ikke et primtal, da primtal skal være større end 1.

tak for det hurtige svar... det var til min søns skoleopgave. Imidlertid,
jeg kan ikke helt få din definition til at passe, idet tallet 2 jo således
også vil være et primtal - og det er det jo ikke...

---

Dennis Nielsen wrote:

> tak for det hurtige svar... det var til min søns skoleopgave. Imidlertid,
> jeg kan ikke helt få din definition til at passe, idet tallet 2 jo således
> også vil være et primtal - og det er det jo ikke...

Jo, det er det. Det er det eneste lige primtal.

---

"Holst" <newsmar06@shelter.dk> skrev i en meddelelse
news:440dd74e$0$38673$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> Dennis Nielsen wrote:
>
> > tak for det hurtige svar... det var til min søns skoleopgave.
Imidlertid,
> > jeg kan ikke helt få din definition til at passe, idet tallet 2 jo
således
> > også vil være et primtal - og det er det jo ikke...
>
> Jo, det er det. Det er det eneste lige primtal.


Ok... jeg var af den overbevisning, at et primtal også nødvendigvis måtte
være et ulige tal.

//Dennnis

---

On Tue, 7 Mar 2006 20:07:14 +0100, Dennis Nielsen wrote:

> Ok... jeg var af den overbevisning, at et primtal også nødvendigvis måtte
> være et ulige tal.

Det er de jo stort set også alle sammen - lige med undtagelse af ét .
--
Per Erik Rønne

---

"Dennis Nielsen" <Bjerrevej19@privat.dk> writes:

> tak for det hurtige svar... det var til min søns skoleopgave. Imidlertid,
> jeg kan ikke helt få din definition til at passe, idet tallet 2 jo således
> også vil være et primtal - og det er det jo ikke...

Jo det er. 2 er det eneste lige primtal.

--
Peter Makholm | What if:
peter@makholm.net | Tanenbaum had convinced Linus that his
http://hacking.dk | operating system really was obsolete

---

Holst skrev:

> Definitionen af et primtal er sædvanligvis, at et primtal er et positivt
> heltal større end 1, hvilket tal er deleligt udelukkende med 1 og tallet
> selv.

Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
tal der har netop to divisorer.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/      http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen wrote:

> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
> tal der har netop to divisorer.

Findes der en "officiel" formulering?

---

"Holst" <newsmar06@shelter.dk> wrote in message
news:440ddeb9$0$38669$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
>
> Bertel Lund Hansen wrote:
>
>> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
>> tal der har netop to divisorer.
>
> Findes der en "officiel" formulering?

A prime number (or prime integer, often simply called a "prime" for short)
is a positive integer that has no positive integer divisors other than 1
and itself. (More concisely, a prime number is a positive integer having
exactly one positive divisor other than 1.)

http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html


begin 666 inline1.gif
M1TE&.#EA(0`/`( ``````/___RP`````(0`/```",HR/J<OM#^,!L@: K:4I
FYRYQ'2=.)7,:8JJRT[(ZGY+&J*O2+8R_H]MK86R:2+ H1#X*`#L`
`
end

begin 666 inline2.gif
M1TE&.#EA"0`/`( ``````/___RP`````"0`/```"%XR/J<MM``),4Z+X[L$V
+[\=)U;>$VW@4`#L`
`
end

begin 666 inline3.gif
M1TE&.#EA"0`/`( ``````/___RP`````"0`/```"%XR/J<MM``),4Z+X[L$V
+[\=)U;>$VW@4`#L`
`
end

---

Lapzig skrev:

>> Findes der en "officiel" formulering?

Hvorfor tror du at engelsk er officielt sprog i Danmark?

> A prime number (or prime integer, often simply called a "prime" for short)
> is a positive integer that has no positive integer divisors other than 1
> and itself.

Den definition gør 1 til et primtal.

> (More concisely, a prime number is a positive integer having
> exactly one positive divisor other than 1.)

Og den gør ikke. En 'officiel' definition der modsiger sig selv?

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/      http://fiduso.dk/

---

Bertel Lund Hansen fortalte:

> Lapzig skrev:
>
>>> Findes der en "officiel" formulering?
>
> Hvorfor tror du at engelsk er officielt sprog i Danmark?
>
>> A prime number (or prime integer, often simply called a "prime" for
>> short) is a positive integer that has no positive integer divisors
>> other than 1 and itself.
>
> Den definition gør 1 til et primtal.
>
>> (More concisely, a prime number is a positive integer having
>> exactly one positive divisor other than 1.)
>
> Og den gør ikke. En 'officiel' definition der modsiger sig selv?

Der er smuttet noget grafik under copy/paste (pas på med det):

A prime number (or prime integer, often simply called a "prime" for
short) is a positive integer p > 1 that has no positive integer divisors
other than 1 and p itself. (More concisely, a prime number p is a
positive integer having exactly one positive divisor other than 1.)

Iøvrigt, som der også står i det link, har der både været opfattelser af
at 1 også var primtal. Og også at 2 /ikke/ var primtal.
Den definition som nu er almindelig, er der vist meget bred enighed om.

Mvh
Martin
--
Havde vi livet, behøvede vi ikke kunsten

---

"Bertel Lund Hansen" <nospamfilius@lundhansen.dk> wrote in message
news:440e9a92$0$7637$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...
> Lapzig skrev:
>
>>> Findes der en "officiel" formulering?
>
> Hvorfor tror du at engelsk er officielt sprog i Danmark?

Hvorfor tror du, at jeg tror det? Hvem bad om en dansk forklaring? Dit
gammelmandsbrok hjælper ingen.

>> A prime number (or prime integer, often simply called a "prime" for
>> short)
>> is a positive integer that has no positive integer divisors other than 1
>> and itself.
>
> Den definition gør 1 til et primtal.

p > 1 og p var grafik og kom ikke med i copy/paste.

>> (More concisely, a prime number is a positive integer having
>> exactly one positive divisor other than 1.)

og der forsvandt endnu et p.

> Og den gør ikke. En 'officiel' definition der modsiger sig selv?

Hvis du havde brugt tid på at åbne linket i stedet for at fare i flint med
brokkeri, havde du fået svar.

---

Lapzig skrev:

> p > 1 og p var grafik og kom ikke med i copy/paste.

Det kan umuligt være mit problem.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/      http://fiduso.dk/

---

"Bertel Lund Hansen" <nospamfilius@lundhansen.dk> wrote in message
news:440ee284$0$11170$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...
> Lapzig skrev:
>
>> p > 1 og p var grafik og kom ikke med i copy/paste.
>
> Det kan umuligt være mit problem.

Nej, vorherre bevares. Brok du dig bare uden at krydschecke med den opgivne
kilde.

---

Lapzig wrote:
> "Bertel Lund Hansen" <nospamfilius@lundhansen.dk> wrote in message
> news:440ee284$0$11170$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...
>
>>Lapzig skrev:
>>
>>>p > 1 og p var grafik og kom ikke med i copy/paste.
>>
>>Det kan umuligt være mit problem.
>
> Nej, vorherre bevares. Brok du dig bare uden at krydschecke med den opgivne
> kilde.

Næ nej - det er den, der citerer der skal være omhyggelig. Hvorfor?
Sammenlign de to minutter, du skal bruge på at tjekke det citerede,
med antallet af læsere gange to minutter.

--
Jens Axel Søgaard

---

"Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> wrote in message
news:440f1c35$0$38624$edfadb0f@dread12.news.tele.dk...
> Lapzig wrote:
>> "Bertel Lund Hansen" <nospamfilius@lundhansen.dk> wrote in message
>> news:440ee284$0$11170$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...
>>
>>>Lapzig skrev:
>>>
>>>>p > 1 og p var grafik og kom ikke med i copy/paste.
>>>
>>>Det kan umuligt være mit problem.
>>
>> Nej, vorherre bevares. Brok du dig bare uden at krydschecke med den
>> opgivne kilde.
>
> Næ nej - det er den, der citerer der skal være omhyggelig. Hvorfor?
> Sammenlign de to minutter, du skal bruge på at tjekke det citerede,
> med antallet af læsere gange to minutter.

Omhyggelig? Vorherre bevares. Inden man brokker sig, krydschecker man lige
med kilden. Det tager max 1. min, og det lader ellers til at Bertel har
masser af tid. Stoler du blindt på alt, hvad du læser? Sagen var anderledes,
hvis jeg ikke høfligt havde angivet kilde.

Bertels gå-efter-mand-ej-bold-metalitet, som Bo Warming ville have udtrykt
det, er ikke konstruktiv. Og hvad var pointen med, at den officielle
forklaring, hvis sådan en endelig findes, ikke må være på engelsk? Brok brok
brok.

---

Lapzig wrote:
> "Jens Axel Søgaard" <usenet@soegaard.net> wrote in message

>>>Nej, vorherre bevares. Brok du dig bare uden at krydschecke med den
>>>opgivne kilde.
>>
>>Næ nej - det er den, der citerer der skal være omhyggelig. Hvorfor?
>>Sammenlign de to minutter, du skal bruge på at tjekke det citerede,
>>med antallet af læsere gange to minutter.
>
> Omhyggelig? Vorherre bevares.

Jeg mener det skam. Hvis man citerer forkert går det jo også
ud over den, der bliver citeret.

--
Jens Axel Søgaard

---

Holst skrev:

>> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
>> tal der har netop to divisorer.

> Findes der en "officiel" formulering?

Næ, hvis blot indholdet er præcist, kan man formulere det som man
vil. Min formulering er blot kortere.

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/      http://fiduso.dk/

---

"Bertel Lund Hansen" <nospamfilius@lundhansen.dk> skrev i en meddelelse
news:440ddc5b$0$11698$ba624c82@nntp02.dk.telia.net...
> Holst skrev:
>
>> Definitionen af et primtal er sædvanligvis, at et primtal er et positivt
>> heltal større end 1, hvilket tal er deleligt udelukkende med 1 og tallet
>> selv.
>
> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
> tal der har netop to divisorer.

Betyder "netop" "kun"? Og skal man specificere at divisorerne skal være
positive?
(fx 7 kunne have -7 & -1 som divisorer).

---

Peter Kirk skrev:

>> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
>> tal der har netop to divisorer.

> Og skal man specificere at divisorerne skal være
> positive?

De naturlige tal er alle positive.

Tager du negative tal med, hedder mængden "hele tal".

--
Bertel
http://bertel.lundhansen.dk/      http://fiduso.dk/

---

Scripsit Holst <newsmar06@shelter.dk>
> Bertel Lund Hansen wrote:

>> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
>> tal der har netop to divisorer.

> Findes der en "officiel" formulering?

Det er de færreste matematiske begreber der har officielt saktionerede
definitioner. Det tætteste man kan komme er hvis "alle" lærebøger
har ensbetydende definitioner, men det vil ikke sige at disse
definitioner har samme ordlyd.

--
Henning Makholm "De kan rejse hid og did i verden nok så flot
Og er helt fortrolig med alverdens militær"

---

Henning Makholm wrote:
>>> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
>>> tal der har netop to divisorer.
>
>> Findes der en "officiel" formulering?
>
> Det er de færreste matematiske begreber der har officielt saktionerede
> definitioner. Det tætteste man kan komme er hvis "alle" lærebøger
> har ensbetydende definitioner, men det vil ikke sige at disse
> definitioner har samme ordlyd.

Men er der sammenhænge hvor det er "væsentligt" om 1 medregnes til
primtallene eller ej ? Kan man sige at det er praktisk hvis 1 udelades
(eller omvendt) ?
Er primtal ikke lidt en ad-hoc-gruppe, som man kan beskæftige sig med
hvis man har masser af tid ?
Jeg ved der er krypteringsalgoritmer og lignende hvor det er meget
praktisk at benytte primtal, men jeg forestiller mig at man i princippet
kunne have valgt en anden lignede gruppe tal. F.eks gruppen af naturlige
tal som har netop 41 naturlige divisorer.

/Klaus

---

NEWS wrote:

> Men er der sammenhænge hvor det er "væsentligt" om 1 medregnes til
> primtallene eller ej ? Kan man sige at det er praktisk hvis 1 udelades
> (eller omvendt) ?

De fleste egenskaber som gælder for primtal gælder ikke for 1. Hvis man
tager 1 med som et primtal vil der så være en masse steder hvor man skal
bruge formuleringen "for ethvert primtal forskellig fra 1". F.eks. ryger
entydig faktorisering hvis man tager 1 med som et primtal.

Entydig faktorisering er den egenskab ved ethvert naturligt tal at det
kan skrives som et produkt af et antal primtal på en og kun en måde
(bortset fra rækkefølgen af primtallene).

> Er primtal ikke lidt en ad-hoc-gruppe, som man kan beskæftige sig med
> hvis man har masser af tid ?
> Jeg ved der er krypteringsalgoritmer og lignende hvor det er meget
> praktisk at benytte primtal, men jeg forestiller mig at man i princippet
> kunne have valgt en anden lignede gruppe tal. F.eks gruppen af naturlige
> tal som har netop 41 naturlige divisorer.

Der tror jeg så nok at du tager fejl. For RSA er det meget vigtigt at
der er tale om primtal. Jeg kan selvfølgelig ikke udelukke at man kunne
lave en algoritme der var ligeså så god, og som byggede på en anden
mængde af tal. Men jeg tvivler.



Søren

---

Scripsit "Peter Kirk" <xdzgor@hotmail.com>
> "Bertel Lund Hansen" <nospamfilius@lundhansen.dk> skrev i en meddelelse

>> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
>> tal der har netop to divisorer.

> Betyder "netop" "kun"?

Det betyder "hverken flere eller færre".

> Og skal man specificere at divisorerne skal være positive?

Det er underforstået i Bertels definition, men det skader naturligvis
ikke at specificere det for at forebygge tvivl.

> (fx 7 kunne have -7 & -1 som divisorer).

I ringalgebra, hvor man udvider primtalsbegrebet til andre
talsystemer, vil man typisk opfatte 7 og -7 som "samme" divisor, idet
-7 = h*7 hvor h er et tal der har en multiplikativ invers (indenfor
det relevante talsystem, her heltallene).

--
Henning Makholm "We can hope that this serious deficiency will be
remedied in the final version of BibTeX, 1.0, which is
expected to appear when the LaTeX 3.0 development is completed."

---

"NEWS" <ingolf@superFJERNtel.dk> writes:

> Men er der sammenhænge hvor det er "væsentligt" om 1 medregnes til
> primtallene eller ej ? Kan man sige at det er praktisk hvis 1 udelades
> (eller omvendt) ?

Som allerede nævnt.
Den egenskab at alle tal på entydig måde kan skrives som et produkt af
primtal er meget nyttig. Hvis man lod 1 være et primtal ville det ikke
være entydigt.

> Jeg ved der er krypteringsalgoritmer og lignende hvor det er meget
> praktisk at benytte primtal, men jeg forestiller mig at man i princippet
> kunne have valgt en anden lignede gruppe tal. F.eks gruppen af naturlige
> tal som har netop 41 naturlige divisorer.

Du kan ikke på unik vis skrive 46410 som et produkt af tal der har netop
8 naturlige divisorer.

46410 = 30*1547
46410 = 105*442
46410 = 182*255

30 har netop divisorene 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 og 30
105 har netop divisorene 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 og 105
182 har netop divisorene 1, 2, 7, 13, 14, 26, 91 og 182
255 har netop divisorene 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85 og 255
442 har netop divisorene 1, 2, 13, 17, 26, 34, 221 og 442
1547 har netop divisorene 1, 7, 13, 17, 91, 119, 221 og 1547

Derimod er der kun en måde 46410 kan skrives som et produkt af
primtal:

46410 = 2*3*5*7*13*17

Entydigheden er en egenskab der kan bruges.

--
Peter Makholm | I laugh in the face of danger. Then I hide until
peter@makholm.net | it goes away
http://hacking.dk | -- Xander

---

Holst <newsmar06@shelter.dk> writes:

> Bertel Lund Hansen wrote:
>
>> Jeg kan bedre lide formuleringen at et primtal er et naturligt
>> tal der har netop to divisorer.
>
> Findes der en "officiel" formulering?

Der er flere forskellige formuleringer der alle beskriver den samme
delmængde af de naturlige tal.

Nogle definitioner er mere generelle, og kan bruges på andre mængder
der har plus og gange defineret. Fx:

Et tal (forskelligt fra 0 og ikke en enhed) er et primisk hvis når
det går op i et produkt, så går det op i en af faktorerne.
(En enhed er et tal der går op i 1)

Et tal (forskelligt fra 0 og ikke en enhed) er irreducerbart hvis,
når det skrives som et produkt vil en af faktorerne være en enhed.

(definitioner der fx kan ses i Allenby's "Rings, Fields and Groups")

På det naturlige tal er de primiske og de irreducerbare tal samme
mængde, og netop primtallene. Hvis man bruger definitionerne på de
hele tal, hvor de også beskriver identiske delmængder, så er -1 en
enhed og -2 er et primtal.

Der findes ringe hvor de to definitioner ikke er ækvivalente (ikke at
jeg kender dem).

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>

> Der findes ringe hvor de to definitioner ikke er ækvivalente (ikke at
> jeg kender dem).

Et ekesempel fra M. Artin _Algebra_:

Betragt ringen bestående af komplekse tal på formen a + b*sqrt(5)*i,
hvor a og b er hele tal. I denne ring er 2 irreducibel, men ikke
primisk, idet (1+sqrt(5)*i)*(1-sqrt(5)*i)=6 er delelig med 2, mens
ingen af de to faktorer er det.

--
Henning Makholm "Det er trolddom og terror
og jeg får en værre
ballade når jeg kommer hjem!"

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
>
>> Der findes ringe hvor de to definitioner ikke er ækvivalente (ikke at
>> jeg kender dem).
>
> Et ekesempel fra M. Artin _Algebra_:

For fuldstændighedens skyld bør man nok lige nævne at selvom irreducible
elementer ikke behøver være primiske, gælder det omvendte i
integritetsområder:

Antag p er primisk, og at p=ab. Vi har så p|ab, og dermed enten p|a eller
p|b. Hvis vi antager p|a, har vi altså at der findes c, så a=pc, men så
gælder p=pbc, og dermed 1=bc, hvormed b er en enhed.

--
Stefan Holm
"It's like David and Goliath, only this time David won!"

---

Scripsit "Dennis Nielsen" <Bjerrevej19@privat.dk>

> Er 1 et primtal? ellers hvorfor ikke?

Andre har forklaret *at* 1 ikke anses for at være et primtal.

*Grunden* til at man bruger en definition der gør 1 til et
ikke-primtal er at man gerne vil bevare følgende fundamentale
egenskab ("entydig primfaktorisering"):

Ethvert positivt heltal kan på én og kun én måde skrives som et
produkt af primtal. I denne sammenhæng tæller produkter med samme
primtal i forskellig rækkefølge tæller kun som én måde.

(For at få dette til at give mening må man definere at produktet af
ingen tal er 1, og at produktet af et enkelt tal er tallet selv, men
det giver god mening).

Hvis man anså 1 for at være et primtal, ville egenskaben have masser
af undtagelser, fx ville 7 både være 7, og 7 gange 1, og 7 gange 1
gange 1 ...

Så at gøre 1 til et primtal ville bare føre til at en masse
talteoretiske sætninger skulle formuleres med undtagelser ("... et
primtal som ikke er 1 ..."), hvorimod der er meget få sætninger der
har brug for at udtale sig under ét om "1 eller et primtal".

--
Henning Makholm "The compile-time type checker for this
language has proved to be a valuable filter which
traps a significant proportion of programming errors."