---

Jeg er givet en parabel med ligningen:

y = ax² + 2(1-a)x + |a|-2

En delopgave lyder:

Bestem mængden af de reelle tal a for hvilke det gælder, at parablens
skæringspunkter med x-aksen begge har positiv 1-koordinat.

Det må vel "bare" handle om at løse:

-2(1-a) + sqrt(d)
----------------- > 0
2a

og

-2(1-a) - sqrt(d)
----------------- > 0
2a

Jeg har bestemt d til 4a² - 4a|a| + 4, men synes ikke at jeg kan se
hvad kvadratroden af det skulle blive. Kunne jeg dog bare faktorisere
den, men det kan jeg ikke se at jeg kan.

Er der nogen der kan give mig et hint?

---

Lars Stokholm wrote:

> Jeg har bestemt d til 4a² - 4a|a| + 4, men synes ikke at jeg kan se
> hvad kvadratroden af det skulle blive. Kunne jeg dog bare faktorisere
> den, men det kan jeg ikke se at jeg kan.
>
> Er der nogen der kan give mig et hint?

Når |a| er på færde, er det som regel godt at dele op i tilfælde:

Tilfældet a>=0
--------------

d = 4a² - 4a|a| + 4
= 4a² - 4aa + 4
= 4

Tilfældet a<0
--------------
d = 4a² - 4a|a| + 4
= 4a² - 4a(-a) + 4
= 8a² + 4
= 4(2a²+1)

(som ikke kan fatoriseres yderligere)

--
Jens Axel Søgaard

---

On 2006-01-14, Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net> wrote:
> Når |a| er på færde, er det som regel godt at dele op i tilfælde:

Ah ja. Tak. Det skal i øvrigt lige siges at a != 0.

Nu ser opgaven altså sådan ud:

a > 0:

d = 4a² - 4a|a| + 4
= 4a² - 4a² + 4
= 4

-2(1-a) + sqrt(d)
----------------- > 0 <=>
2a

2a - 2 + 2
---------- > 0 <=>
2a

0 > 0

Det skal vel forstås sådan, at denne rods 1-koordinat, som er
uafhængig af a, altid bliver 0(?) Så kan jeg vel ikke bruge
denne delløsning til noget, i min videre færd.

-2(1-a) - sqrt(d)
----------------- > 0 <=>
2a

2a - 2 - 2
---------- > 0 <=>
2a

2
1 - - > 0 <=>
a

a > 2

Delkonklussionen er vel, at jeg ikke for a > 0 kan opnå to
rødder, som begge har positiv 1-koordinat.

a < 0:

d = 4a² - 4a|a| + 4
= 4a² + 4a² + 4
= 8a² + 4
= 4(2a² + 1)

-2(1-a) + sqrt(d)
----------------- > 0 <=>
2a

2a - 2 + 2*sqrt(2a² + 1)
------------------------ > 0 <=>
2a

1 sqrt(2a² + 1)
1 - - + ------------- > 0 <=>
a a

sqrt(2a² + 1) < 1 - a <=>

...

Jah, hvad gør jeg her? Og har jeg lavet nogen fejl?

---

On 2006-01-14, Lars Stokholm <stokholm@despammed.com> wrote:
> Nu ser opgaven altså sådan ud:
>
> a > 0:

[...]

> 0 > 0
>
> Det skal vel forstås sådan, at denne rods 1-koordinat, som er
> uafhængig af a, altid bliver 0(?) Så kan jeg vel ikke bruge
> denne delløsning til noget, i min videre færd.

Og så er der jo engentlig ikke nogen grund til at gå videre med:

> -2(1-a) - sqrt(d)
> ----------------- > 0
> 2a

[...]

> Delkonklussionen er vel, at jeg ikke for a > 0 kan opnå to
> rødder, som begge har positiv 1-koordinat.

---

On 2006-01-14, Lars Stokholm <stokholm@despammed.com> wrote:
> sqrt(2a^2 + 1) < 1 - a <=>
>
> ...
>
> Jah, hvad goer jeg her? Og har jeg lavet nogen fejl?

Jeg ved ikke hvorfor der ikke er nogen der har svaret,
I plejer jo ellers at vaere rimeligt skarpe. ;)

....men jeg ved jo at a er negativ, saa begge sider af
ulighedstegnet maa vaere positive. Derfor kan jeg bruge
denne regel: a < b <=> a^2 < b^2 for a > 0, b > 0
Den havde jeg glemt. Ïv.