Hej.
Mit svar er lidt langt, og der er mange spoergsmaal, nok mest fordi det
er virkelig interessant det her. Haaber det er i orden.
Kai Birger Nielsen skrev:
> Oftest kigger man også mere på N_uendelig for at blive i din
> sprogbrug, dvs hvilke tal kan man overhovedet frembringe, hvis
> man ellers har tålmodighed nok.
> Fx med (+ - / * og kvadratrod) får man de konstruerbare tal,
> dvs størrelser, der kan laves med passer og lineal.
Behoeves virkelig kun kvadratrod for dette? En anden ting: Er de
konstruerbare tal saa defineret ud fra at de kan frembringes paa denne
maade, eller er det en anden definition, og saa har man vist at de kan
frembringes saadan.
> Med (+ - / * og ligningsløsning) får man de algebraiske tal.
Hvad menes der helt praecist med ligningsloesning - loesning af
ligninger af en ubekendt som kun inkluderer de andre operatorer vi har
til raadighed? Jeg taenker paa om det kun er polynomier eller det ogsaa
inkluderer nogle saerlige ligninger.
Jeg synes det er vildt at den maengde af tal har et navn. Jeg tror ikke
jeg har haft matematik nok til at forstaa det fuldt ud endnu
> Med (+ - / * og potensopløftning) tror jeg at man får noget
> spøjst. Fx tror jeg ikke at (kvadratrod(2)^kvadratrod(2)) er
> et algebraisk tal, men det er med i
> (+ - / * og potensopløftning). Og omvendt er der 5'te-gradsligninger,
> der har rødder, der ikke er i (+ - / * og potensopløftning).
Jeg kan godt se at potens vist forkludrer en hel del, som der ogsaa er
beskrevet i de andre indlaeg, men jeg vidste jo ikke noget om emnet
foer. Nu er jeg lidt klogere.
I oevrigt vil mange komplekse tal kunne frembringes med ^, eftersom
(-1)^(1/2) = i, men ikke alle - da man ikke kan frembringe alle reelle
tal. Hvad er argumentet i oevrigt for det - synes bare det virker
logisk. Det er vel pga. det over-taellige princip - hvis jeg paastar at
have en maengde der er alle de reelle tal, saa kan man altid frembringe
et nyt - osv. Men at det ikke er kommet til udtryk i N_uendelig kan jeg
ikke lige argumentere for.
Generelt kan man vel sige at: 1 og operatoren - (minus) kan frembringe
alle hele tal. Med tilfoejelse af / (division) kan man frembringe alle
de rationelle tal. + og * er paa sin vis unoedvendige, men kan
inkluderes. Maaske er de praktiske i en datalogisk hensyn, da de kan
frembringe flere tal ved det samme antal steps for N_x.
Hvis du nu har en maengde, de konstruerbare tal, som er lavet ud fra de
rationelle tal og kvadratrod. Har man saa ogsaa en veldefineret maengde
af f.eks. de rationelle tal og eksponentialfunktionen e^x eller gaar
den ligesaa galt i byen som at have vilkaarlig potensoploeftning? Hvad
med ln(x)? Eller mere eksotiske funktioner som sin^-1 eller en
talraekke? Kan man konstruere fraktale talmaengder ved brug af en
saerlig funktion f(x), da man jo itererer hen over funktionen? Jeg
synes mine spoergsmaal hober sig op!
Datalogisk set kunne man lave en ny operator. Jeg kalder den O i mangel
af bedre navn. Den tager en talmaengde og en operator og returnerer en
ny talmaengde, nemlig den som kan fremstilles af talmaengden og
operatoren. F.eks.:
O({1}, (-)) = Z
O(Z, (/)) = Q
O(Q, (sqrt)) = K (konstruerbare tal)
O(Q, (ligningsloesning)) = A
Saa er det interessante - synes jeg - hvilke talmaengder kan man opnaa
med O samt givne talmaengder og operatorer.
En anden rigtig interessant ting: Er der tal som vil blive udregnet
flere gange end andre. Hvis man udregner N_x for et eller andet stort x
og laver det paa en saerlig maade saa man kan medtage alle tal flere
gange, vil man maaske opleve at nogle tal har hoejere frekvens i en
tegnet graf af "maengden". Hvilke tal det er, og hvorfor, er meget
interessant - lige indtil jeg finder ud af at det maaske er kedeligt og
trivielt
> Kig efter tallegemer i matematikbøgerne, "reachability trees"
> i datalogibøgerne og måske Stewart: Galois Theory (second edition)
> på boghylderne. Stewart er hård kost selv for universitetsstuderende,
> men læs det du kan forstå og skip resten. Second edition er
> første udgaven tilsat forklarende tekst, så undgå første udgaven
> medmindre du elsker grublekryds
Tak for dem - jeg tror jeg vil kigge naermere paa det.
Mvh.
Bjarke W.