---

Jeg er stillet denne opgave:

-v-------------------------------------------------------------------v-
Givet følgende ligningssystem i de variable x og y:

(k+1)x-y = 2
3x+(1-k)y = k

Lad L_k, hvor k e R, betegne løsningsmængden til ovenstående
ligningssystem.

1) Bestem for ethvert reelt tal k løsningen L_k.
-^-------------------------------------------------------------------^-

Jeg får:

L_k = {x, y e R | (x, y) = (1/(k+2), (k+1)/(k+2)-2)}

(Er det i øvrigt sådan man skriver det op? Og er det rigtigt?)

-v-------------------------------------------------------------------v-
Lad A betegne mængden af reelle tal k, for hvilke ovenstående
ligningssystem har netop én løsning. For ethvert k e R betegnes den
pågældende løsning med (x_k, y_k).

2) Vis, at grafen for mængden

{(x_k, y_k) | k e A}

er en ægte delmængde af en ret linje, og angiv en ligning for denne
linje.
-^-------------------------------------------------------------------^-

Jeg forstår ikke hvad der menes med at ligningssystemet har netop én
løsning. Skal det bare være lineært uafhængigt og have en løsning? I så
fald OK, men så ved jeg ikke hvordan jeg skal komme videre.

Men i x = 1/(k+2) har jeg isoleret k og sat ind i y = (k+1)/(k+2)-2.
Jeg får så y = -x-1. Der er så noget svineri omkring -2, det ved jeg
ikke hvor meget jeg skal gøre ved. Det er i hvert fald en ret linje,
gad vide om punkterne i A skulle være en delmængde af den.

-v-------------------------------------------------------------------v-
3) Bestem mængden af de reelle tal k, hvor k e A, for hvilke det
gælder, at punktet med koordinatsættet (x_k, y_k) ligger i 2.
kvadrant.
-^-------------------------------------------------------------------^-

Det må vel bare betyde at x > 0 og y > 0, og så ville det have været
nemt nok at finde k-værdier der opfyldte dette. Men y = -x-1 kommer jo
aldrig op i 2. kvadrant.

Er der nogen der kan hjælpe mig til at forstå opgaven - det er *måske*
mit største problem.

---

Scripsit Lars Stokholm <stokholm@despammed.com>

> (k+1)x-y = 2
> 3x+(1-k)y = k
> 1) Bestem for ethvert reelt tal k løsningen L_k.

> Jeg får:
> L_k = {x, y e R | (x, y) = (1/(k+2), (k+1)/(k+2)-2)}
> (Er det i øvrigt sådan man skriver det op? Og er det rigtigt?)

Jeg har ikke regnet efter, men det ser ikke helt skævt ud.
Kommentarer:

1. Selvom din notation formelt set er rigtig nok, vil det være kortere
og klarere at skrive blot

L_k = { (1/(k+2), (k+1)/(k+2)-2) }

2. Det vil se pænest ud hvis du sætter på fælles brøkstreg i udtrykket
for y-koordinaten (især fordi tælleren allerede afhænger af k).

3. Løsningen er ikke fuldstændig - fx er
k=2, x=52, y=154
k=2, x=0, y=-2
også løsninger til lingingssystemet.
Du skriver ikke hvordan du er nået frem til din løsning, men jeg
gætter på at du har forkortet med k-2 et sted undervejs. Så gælder
udregningen ikke for k'er hvor k-2=0.

> Lad A betegne mængden af reelle tal k, for hvilke ovenstående
> ligningssystem har netop én løsning.
....
> Jeg forstår ikke hvad der menes med at ligningssystemet har netop én
> løsning.

Når k = 2, er der for eksempel mindst to løsninger, som angivet
ovenfor. Når k = -2 duer din løsning fra første delopgave formel slet
ikke, fordi man ikke kan dividere med nul.

> Men i x = 1/(k+2) har jeg isoleret k og sat ind i y = (k+1)/(k+2)-2.
> Jeg får så y = -x-1. Der er så noget svineri omkring -2, det ved jeg
> ikke hvor meget jeg skal gøre ved. Det er i hvert fald en ret linje,
> gad vide om punkterne i A skulle være en delmængde af den.

Nej, nej. Mængden A består af k'er, ikke af (x,y)'er. Se definitionen
ovenfor.

> 3) Bestem mængden af de reelle tal k, hvor k e A, for hvilke det
> gælder, at punktet med koordinatsættet (x_k, y_k) ligger i 2.
> kvadrant.

> Det må vel bare betyde at x > 0 og y > 0,

Nej, det er første kvadrant. Andet kvadrant er det der ligger nordvest
for origo.

> og så ville det have været nemt nok at finde k-værdier der opfyldte
> dette. Men y = -x-1 kommer jo aldrig op i 2. kvadrant.

For eksempel ligger (-10,9) i andet kvadrant.

--
Henning Makholm "Punctuation, is? fun!"

---

Henning Makholm wrote:

> 3. Løsningen er ikke fuldstændig - fx er
> k=2, x=52, y=154
> k=2, x=0, y=-2
> også løsninger til lingingssystemet.
> Du skriver ikke hvordan du er nået frem til din løsning, men jeg
> gætter på at du har forkortet med k-2 et sted undervejs. Så gælder
> udregningen ikke for k'er hvor k-2=0.

Jeg er kommet fra:

x = (2-k)/(4-k^2)

Og så har jeg forkortet med 2-k. Det tænkte jeg ikke lige over. Mathcad
gør det i øvrigt også. Faktisk må k jo så ikke være +/-2. Jeg må vel så
dele løsningsmængden op i tre?

Ø for k = -2
.... for k = 2
(1/(k+2), -(k+3)/(k+2)) for resten.

Eller kan jeg slet ikke bruge (1/(k+2), -(k+3)/(k+2)) til noget?
Hvorfor må jeg godt forkorte med k-2, så længe det ikke er 0?

> Nej, nej. Mængden A består af k'er, ikke af (x,y)'er. Se definitionen
> ovenfor.

Det var også det jeg mente, bare ikke det jeg skrev. :)

>> Det må vel bare betyde at x > 0 og y > 0,
>
> Nej, det er første kvadrant. Andet kvadrant er det der ligger nordvest
> for origo.

Ups, det er vist længe siden.

---

Scripsit Lars Stokholm <stokholm@despammed.com>

> Jeg er kommet fra:

> x = (2-k)/(4-k^2)

> Og så har jeg forkortet med 2-k. Det tænkte jeg ikke lige over.

Hvis man skal være helt præcis, gik det galt allerede ved den division
hvor du endte med 4-k² i nævneren. På det tidspunkt bliver du nødt til
at notere dig at den udregning du er i færd med, ikke duer for 4-k²=0,
og så bagefter løse de tilfælde separat ved at sætte henholdsvis
k=2 og k=-2 ind i det oprindelige ligningssystem og starte derfra igen.

> Faktisk må k jo så ikke være +/-2. Jeg må vel så dele
> løsningsmængden op i tre?

Korrekt.

Man kan opfatte problemet geometrisk: Hver gang vi vælger et k, består
ligningssystemet af to ligninger der hver har en linje i planen som
løsning. Løsningen for hele systemet er de punkter de to linjer har
til fælles. I almindelighed har de to linjer forskellige retninger (og
skærer derfor hinanden i netop ét punkt), men når determinanten
(k+1)(1-k) - (-1)*3 = 4-k² er 0, har de to linjer samme retning. De
kan da enten være parallelle (ingen løsninger) eller sammenfaldende
(hele linjen er løsningsmængde).

> Eller kan jeg slet ikke bruge (1/(k+2), -(k+3)/(k+2)) til noget?

Jo, den er vist god nok når bare k ikke er ±2. (Med forbehold for at
jeg stadig ikke har regnet efter).

> Hvorfor må jeg godt forkorte med k-2, så længe det ikke er 0?

Fordi du i almindeligehed har lov til at forkorte og forlænge med tal
der ikke er 0. Det gælder også når du skriver tallet symbolsk.

--
Henning Makholm "Take a sad song, and make it bitter."

---

Lars Stokholm fortalte:
>
> Jeg får:
>
> L_k = {x, y e R | (x, y) = (1/(k+2), (k+1)/(k+2)-2)}
>
> (Er det i øvrigt sådan man skriver det op? Og er det rigtigt?)
>
y = -(k+3)/(k+2)
>
> Er der nogen der kan hjælpe mig til at forstå opgaven - det er *måske*
> mit største problem.

Hmm

Mvh
Martin
--
Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem

---

Lars Stokholm wrote:

> Jeg er stillet denne opgave:
>
> -v-------------------------------------------------------------------v-
> Givet følgende ligningssystem i de variable x og y:
>
> (k+1)x-y = 2
> 3x+(1-k)y = k
>
> Lad L_k, hvor k e R, betegne løsningsmængden til ovenstående
> ligningssystem.
>
> 1) Bestem for ethvert reelt tal k løsningen L_k.
> -^-------------------------------------------------------------------^-
>
> Jeg får:
>
> L_k = {x, y e R | (x, y) = (1/(k+2), (k+1)/(k+2)-2)}
>
> (Er det i øvrigt sådan man skriver det op? Og er det rigtigt?)
>

Ligningssystemet har determinanten d = (k+1)*(1-k) - 3*(-1) = 4 - k^2.
Denne determinant er nul, netop når k = -2 eller k = +2.

For k = -2 lyder ligningssystemet
   -x - y = 2   eller 3x + 3y = -6
   3x + 3y = -2    eller 3x + 3y = -2
Dette svarer til paralelle linier. Løsningsmængden er tom: L_-2 = Ø.

For k = +2 lyder ligningssystemet
   3x - y = 2
   3x - y = 2
Dette svarer til sammenfaldende linier. Løsningsmængden er alle tal:
L_+2 = R.

For alle øvrige k bliver der netop én løsning (svarende til to
ikke-paralelle liniers skæringspunkt):
   x = (2 - k)/(4 - k^2) = (2 - k)/(2 - k)/(2 + k) = 1/(k + 2)
   y = (k^2+k-6)/(4-k^2) = (-k+2)*(-k-3)/(2-k)/(2+k) = (-k-3)/(k+2)
Derfor er
   L_k = {1/(k + 2), (-k - 3)/(k+2)}
Og det er også den løsning, du er nået frem til.

Venlig hilsen
Holger Nielsen

---

Scripsit Holger Nielsen <Holger.Nielsen@skolekom.dk>

> For k = +2 lyder ligningssystemet
>    3x - y = 2
>    3x - y = 2
> Dette svarer til sammenfaldende linier. Løsningsmængden er alle tal:
> L_+2 = R.

R duer ikke. Løsningsmængden skal være en mængde af tal_par_, ikke en
mængde af tal.

--
Henning Makholm "Dukken løb sin vej."

---

Lars Stokholm wrote:

> Jeg er stillet denne opgave:
>
> -v-------------------------------------------------------------------v-
> Givet følgende ligningssystem i de variable x og y:
>
> (k+1)x-y = 2
> 3x+(1-k)y = k
>
> Lad L_k, hvor k e R, betegne løsningsmængden til ovenstående
> ligningssystem.

....

> Er der nogen der kan hjælpe mig til at forstå opgaven - det er *måske*
> mit største problem.

Prøv at opfatte parameteren k som tiden! Til et bestemt "tidspunkt",
f.eks. k = 3 lyder ligningerne

   4x - y = 2
   3x -2y = 3

Disse to linier ligger på en bestemt måde i koordinatsystemet og skærer
hinanden et eller andet sted.

Du skal nu for dit indre blik lave en animation af linierne, der flytter
sig rundt i koordinatsystemet, når "tiden" k ændrer sig fra minus
uendelig til plus uendelig! Pånær til to tidspunkter vil de to linier
skære hinanden og skæringspunktet flytter sig også rundt på en eller
anden kurve; til tiden k = -2 er linierne paralelle og til k = +2 er de
sammenfaldende.
Ved at eliminere k fra løsningen, kan man se, at skæringspunktet i dette
tilfælde vil ligge på linien med ligningen y = -x - 1

Venlig hilsen
Holger Nielsen

---

Lars Stokholm wrote:

> Jeg er stillet denne opgave:

Og mange tak for jeres hjælp.