---

Hvis man har et vektorrum M er følgende så korrekt:

1) span M indeholder kun lineært Afhængige vektorer.
2) basis for span M indeholder kun lineært Uafhængige vektorer.

??

---

1) span M indeholder alle vektorer som udspændes af et sæt af vektorer
x1,x2,....,xN
2) et basis for et rum R er et uafhængigt sæt af vektorer som udspænder R

---

>2) et basis for et rum R er et uafhængigt sæt af vektorer som udspænder R


eller rettere: et _sæt_ af uafhængige vektorer...

---

> Hvis man har et vektorrum M er følgende så korrekt:

> 1) span M indeholder kun lineært Afhængige vektorer.
> 2) basis for span M indeholder kun lineært Uafhængige vektorer.

M er ikke et vektorrum men et sæt af vektorer M = {v1, v2, ..., vn}. Span(M)
er underrummet dannet af alle linære kombinationer af vektorerne {v1, v2,
...., vn}.

Lad M = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} være to vektorer i R^3. Så tilhører både (2,
10, 0) og (0, 7, 0) span(M). For at svare på spørgsmål 1 så er de to
vektorer (2, 10, 0) og (0, 7, 0) ikke linært afhængige så svaret er nej.

For spørgsmål 2: Alle vektorer i en basis er pr definition linært
uafhængige, så ja.

Mvh,

Lasse

---

"blar" <fedevaps@yahoo.dk> writes:

> Følgende er en definition på "span":
>
> "Lad M være en ikke-tom delmængde af V. Mængden af alle
> linearkombinationer af vektorer i M udgør et underrum i V. Det kaldes
> det a M frembragte underrum, og betegnes span M"
>
> Jeg forstår det som at span M kun indeholder linearkombinationer
> altså lineært afhængige vektorer.

span M indeholder trivielt alle vektore i M og M var bare en ikke-tom
delmængde af V. Men vektorene i span M er liniært afhængige af
vektorene i M.

--
Peter Makholm | Ladies and gentlemen, take my advice, pull down your
peter@makholm.net | pants and slide on the ice
http://hacking.dk | -- Sidney Freedman

---

"Peter Makholm" <peter@makholm.net> skrev i en meddelelse
news:87k6g5o0sp.fsf@xyzzy.adsl.dk...
> "blar" <fedevaps@yahoo.dk> writes:
>
>> Følgende er en definition på "span":
>>
>> "Lad M være en ikke-tom delmængde af V. Mængden af alle
>> linearkombinationer af vektorer i M udgør et underrum i V. Det kaldes
>> det a M frembragte underrum, og betegnes span M"
>>
>> Jeg forstår det som at span M kun indeholder linearkombinationer
>> altså lineært afhængige vektorer.
>
> span M indeholder trivielt alle vektore i M og M var bare en ikke-tom
> delmængde af V. Men vektorene i span M er liniært afhængige af
> vektorene i M.

Ok hvis vi tager dette eksempel igen:



Lad M = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} være to vektorer i R^3. Så tilhører både (2,
10, 0) og (0, 7, 0) span(M).





Men ifølge det du skriver så er (1,0,0) og (0,1,0) også i "trivielt" i span
M.

Det blev så påpeget at (2,10,0) og (0,7,0) ikke er lineært afhængige, men
der er de jo netop hvis man foretager følgende:

2*(1,0,0) + 10(0,1,0) = (2,10,0)
7*(0,1,0) = (0,7,0)

Hvorfor kan man så ikke skrive at vektorer i span M (eller i et hvilket som
helst andet span) er lineært Afhængige?

---

"Paminu" <asdad@asd.com> writes:

> Lad M = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} være to vektorer i R^3. Så tilhører både (2,
> 10, 0) og (0, 7, 0) span(M).

Ja.

> Men ifølge det du skriver så er (1,0,0) og (0,1,0) også i "trivielt" i span
> M.

Ja.

span { (1,0,0), (0,1,0) } indeholder alle vektorer der kan skrives på
formen:

a*(1,0,0)+b(0,1,0)

Det gælder for alle fire vektorer du har nævnt.

> Det blev så påpeget at (2,10,0) og (0,7,0) ikke er lineært afhængige, men
> der er de jo netop hvis man foretager følgende:

Nej (2,10,0) og (0,7,0) er ikke linært afhængige da der ikke findes a
og b ghvor begge er forskellige fra 0, således at:

a*(2,10,0) + b (0,7,0) = (0,0,0)

> Hvorfor kan man så ikke skrive at vektorer i span M (eller i et hvilket som
> helst andet span) er lineært Afhængige?

Fordi man betragter *alle* vektorene i span M under et og ikke bare
delmængder af udvalgte vektore. At mængden af vektorer span M er
lineært afhængige betyder at der findes en række vektorer i span M
(v1, v2, v3, ...) hvorom det gælder at

r1*v1 + r2*v2 + r3*v3 + ... = (0,0,0)

hvorr1, r2, r3, ... er forskellige fra 0.

For vores vektorer i span M kunne man vælge (2,0,0), (0,-3,0) og
(4,3,0). (De er alle i span M, ikke?)

(-2)*(2,0,0) + 1*(0,-3,0) + 1* (4,3,0) = (0,0,0)

Altså er span M linært afhængige.

--
Peter Makholm | 'Cause suicide is painless
peter@makholm.net | It brings on many changes
http://hacking.dk | And I can take or leave it if I please
| -- Suicide is painless

---

>> Hvorfor kan man så ikke skrive at vektorer i span M (eller i et hvilket
>> som
>> helst andet span) er lineært Afhængige?
>
> Fordi man betragter *alle* vektorene i span M under et og ikke bare
> delmængder af udvalgte vektore. At mængden af vektorer span M er
> lineært afhængige betyder at der findes en række vektorer i span M
> (v1, v2, v3, ...) hvorom det gælder at
>
> r1*v1 + r2*v2 + r3*v3 + ... = (0,0,0)
>
> hvorr1, r2, r3, ... er forskellige fra 0.
>
> For vores vektorer i span M kunne man vælge (2,0,0), (0,-3,0) og
> (4,3,0). (De er alle i span M, ikke?)
>
> (-2)*(2,0,0) + 1*(0,-3,0) + 1* (4,3,0) = (0,0,0)
>
> Altså er span M linært afhængige.

Jeg tror lige, vi skal have nogle fundamentale ting på plads.

Begrebet "linært afhængig" bruges om en endelig mængde af vektorer uden
reference til andet. Vektormængden {(2,10,0), (0,7,0)} er "linært uafhængig"
fordi man ikke kan skrive (2,10,0) som a*(0,7,0). Så simpelt er det, der er
ikke mere i det end dette.

Man kan hverken sige "span(M) er linært afhængig" eller "span(M) er linært
uafhængig" fordi afhængighed kun bruges om endelige mængder og ikke fx et
plan eller en linje som span(M) godt kan være. Selv hvis afhængighed måtte
bruges om en uendelige mængde, så er "1) span M indeholder kun lineært
Afhængige vektorer." stadig falsk fordi jeg fandt to vektorer i span(M), som
var linært uafhængige.

Skriv hellere, at (2,10,0) og (0,7,0) begge er "linære kombinationer af
vektorer i M" eller mere generelt, at enhver vektor i span(M) er en linær
kombination af vektorer i M.

Mvh,

Lasse

---

"LR" <asda@das.dd> skrev i en meddelelse
news:435a9d7e$0$9184$edfadb0f@dread15.news.tele.dk...
>>> Hvorfor kan man så ikke skrive at vektorer i span M (eller i et hvilket
>>> som
>>> helst andet span) er lineært Afhængige?
>>
>> Fordi man betragter *alle* vektorene i span M under et og ikke bare
>> delmængder af udvalgte vektore. At mængden af vektorer span M er
>> lineært afhængige betyder at der findes en række vektorer i span M
>> (v1, v2, v3, ...) hvorom det gælder at
>>
>> r1*v1 + r2*v2 + r3*v3 + ... = (0,0,0)
>>
>> hvorr1, r2, r3, ... er forskellige fra 0.
>>
>> For vores vektorer i span M kunne man vælge (2,0,0), (0,-3,0) og
>> (4,3,0). (De er alle i span M, ikke?)
>>
>> (-2)*(2,0,0) + 1*(0,-3,0) + 1* (4,3,0) = (0,0,0)
>>
>> Altså er span M linært afhængige.
>
> Jeg tror lige, vi skal have nogle fundamentale ting på plads.
>
> Begrebet "linært afhængig" bruges om en endelig mængde af vektorer uden
> reference til andet. Vektormængden {(2,10,0), (0,7,0)} er "linært
> uafhængig" fordi man ikke kan skrive (2,10,0) som a*(0,7,0). Så simpelt er
> det, der er ikke mere i det end dette.


Hvad med Vektormængden M = {(2,10,0), (0,7,0), (1,0,0),(0,1,0)}?

Her kan (2,10,0) skrives som 2(1,0,0)+10(0,1,0)

medfører dette ikke at M er lineært afhængig?

Eller er man nødsaget til at indsætte dem i en matrice og se om løsningen er
en nulvektor hvis systemet sættes lig med 0?

---

Scripsit "blar" <fedevaps@yahoo.dk>

> Jeg forstår det som at span M kun indeholder linearkombinationer
> altså lineært afhængige vektorer.

Det giver ikke mening at sige at en vektor er en "linearkombination"
ud i den blå luft. Begrebet giver kun mening i sammenhængen en
linearkombination AF en vis mængde vektorer.

For *enhver vektor v gælder at v er en linearkombination af {v} -
omvendt er nulvektoren den eneste linearkombination af {0}.

(Det samme gælder naturligvis "lineært afhængig", som er et synonym
for "linearkombination").

--
Henning Makholm "We can hope that this serious deficiency will be
remedied in the final version of BibTeX, 1.0, which is
expected to appear when the LaTeX 3.0 development is completed."

---

> (Det samme gælder naturligvis "lineært afhængig", som er et synonym
> for "linearkombination").

Nej, det er ikke et synonym, og det er vel netop det, der forvirrer.
Afhængigheden bruges om vektorerne i et enkelt sæt og ikke f.eks. om en
vektor fra et sæt i forhold til vektorerne i et andet sæt.

Jeg har i hvert fald aldrig nogen sinde set udsagn som "(5, 6) er linært
afhængigt af {(1, 0), (0, 1)}" eller "{(6, 7), (8, 9)} er linært afhængigt
af {(1, 0), (0, 1)}". I disse tilfælde bruger man ordet "linearkombination".

Mvh,

Lasse

---

Scripsit "LR" <asda@das.dd>

>> (Det samme gælder naturligvis "lineært afhængig", som er et synonym
>> for "linearkombination").

> Nej, det er ikke et synonym, og det er vel netop det, der forvirrer.
> Afhængigheden bruges om vektorerne i et enkelt sæt og ikke f.eks. om en
> vektor fra et sæt i forhold til vektorerne i et andet sæt.

> Jeg har i hvert fald aldrig nogen sinde set udsagn som "(5, 6) er linært
> afhængigt af {(1, 0), (0, 1)}"

Du har ret. Jeg lod mig smitte af "blar"s forvirring.

--
Henning Makholm "The Board views the endemic use of PowerPoint
briefing slides instead of technical papers as an
illustration of the problematic methods of technical communicaion at NASA."

---

Scripsit "LR" <asda@das.dd>

> Begrebet "linært afhængig" bruges om en endelig mængde af vektorer uden
> reference til andet. Vektormængden {(2,10,0), (0,7,0)} er "linært uafhængig"
> fordi man ikke kan skrive (2,10,0) som a*(0,7,0). Så simpelt er det, der er
> ikke mere i det end dette.

Man kan også godt bruge "lineært afhængig" om uendelige mængder af
vektorer.

I vektorrummet af reelle polynomier er {x,x²,x³,...} fx en lineært
_uafhængig_ uendelig mængde, og derfor kan man helt legitimt have brug
for at sige om en uendelig mængde af vektorer at den _ikke_ hører til
klassen af lineært uafhængige mængder.

Men et span er naturligvis aldrig en lineært uafhængig mængde, idet
det altid indeholder nulvektoren og dermed linearkombinationen 1*0=0.

--
Henning Makholm "The great secret, known to internists and
learned early in marriage by internists' wives, but
still hidden from the general public, is that most things get
better by themselves. Most things, in fact, are better by morning."

---

Scripsit "Paminu" <asdad@asd.com>

> Hvad med Vektormængden M = {(2,10,0), (0,7,0), (1,0,0),(0,1,0)}?
> Her kan (2,10,0) skrives som 2(1,0,0)+10(0,1,0)
> medfører dette ikke at M er lineært afhængig?

Jo.

--
Henning Makholm "Jeg har tydeligt gjort opmærksom på, at man ved at
følge den vej kun bliver gennemsnitligt ca. 48 år gammel,
og at man sætter sin sociale situation ganske overstyr og, så
vidt jeg kan overskue, dør i dybeste ulykkelighed og elendighed."

---

> Hvad med Vektormængden M = {(2,10,0), (0,7,0), (1,0,0),(0,1,0)}?
>
> Her kan (2,10,0) skrives som 2(1,0,0)+10(0,1,0)
>
> medfører dette ikke at M er lineært afhængig?

Rigtigt, her er M er linært afhængigt af den grund.

> Eller er man nødsaget til at indsætte dem i en matrice og se om løsningen
> er en nulvektor hvis systemet sættes lig med 0?

Kun hvis svaret ikke lige springer i øjnene (det samme gælder til eksamen).
Der er mange hurtige tricks. Hvis der for hver vektor i sættet gælder, at
den har et chiffer forskelligt fra 0 på en position hvor samtlige af de
øvrige vektorer har et 0, så er sættet uafhængigt.

Mvh,

Lasse

---

----- Original Message -----
From: "LR" <asda@das.dd>
Newsgroups: dk.videnskab
Sent: Sunday, October 23, 2005 2:31 PM
Subject: Re: Vektorrum og span for et vektorrum


>> Hvad med Vektormængden M = {(2,10,0), (0,7,0), (1,0,0),(0,1,0)}?
>>
>> Her kan (2,10,0) skrives som 2(1,0,0)+10(0,1,0)
>>
>> medfører dette ikke at M er lineært afhængig?
>
> Rigtigt, her er M er linært afhængigt af den grund.


Ok så hvis jeg skal korrigere 1) fra mit oprindelige indlæg så er det vel
noget i stil med:

Givet span M indeholder en endelig MÆNGDE at vektorer så kan man sige om
denne mængde at den er lineært afhængig.
Men man kan ikke sige om to vilkårlige vektorer fra span M at de
nødvendigvis er lineært afhængige.

Ved godt du hellere vil at man siger at en vektor fra span M kan udtrykkes
som en en lineær kombination af vektorer i M, men ovenstående definition er
vel også korrekt?

---

Scripsit "Paminu" <asdad@asd.com>

> Ok så hvis jeg skal korrigere 1) fra mit oprindelige indlæg så er det vel
> noget i stil med:

> Givet span M indeholder en endelig MÆNGDE at vektorer så kan man sige om
> denne mængde at den er lineært afhængig.

Forkert på to punkter.

- I almindelighed er span M en _uendelig_ mængde (bortset i
viderekomne situationer med vektorrum over endelige legemer).

- Man kan godt tale om hvorvidt mængden er lineært (u)afhængig.
Spørgsmålet giver fin mening selvom svaret er "nej".

--
Henning Makholm "Ambiguous cases are defined as those for which the
compiler being used finds a legitimate interpretation
which is different from that which the user had in mind."

---

Ok tror min fejlantagelse bygger på at jeg ikke differentierer imellem
linære kombinationer af vektorer og linært afhængige vektorer.

Hvad er forskellen egentlig?

---

Der er ingen forskel...Hvis en vektor kan skrives som en linear-kombination
af et
sæt af vektorer er den lineært afhængig af disse vektorer.

----------
>"blar" <fedevaps@yahoo.dk> skrev i en meddelelse
>news:1130003023.778570.278460@g47g2000cwa.googlegroups.com...
>Ok tror min fejlantagelse bygger på at jeg ikke differentierer imellem
>linære kombinationer af vektorer og linært afhængige vektorer.

>Hvad er forskellen egentlig?

---

Følgende er en definition på "span":

"Lad M være en ikke-tom delmængde af V. Mængden af alle
linearkombinationer af vektorer i M udgør et underrum i V. Det kaldes
det a M frembragte underrum, og betegnes span M"

Jeg forstår det som at span M kun indeholder linearkombinationer
altså lineært afhængige vektorer.

Men da (2,10, 0) og (0, 7, 0) ikke er lineært afhængige hvordan kan
de så være i span M?