---

I skolen lærte vi at kontinuerte funktioner er funktioner om hvilket gælder:
grænseværdien af f(xo) for x gående mod x0 fra højre = grænseværdien af
f(x0) for x gående mod x0 fra venstre = f(x0), samtidig skulle f(x) være
kontinuert for alle x tilhørende Dm(f).

Er der en mere præcis definition end denne ?

---

Scripsit "Jan Pedersen" <jantheman28@hotmail.com>

> I skolen lærte vi at kontinuerte funktioner er funktioner om hvilket gælder:
> grænseværdien af f(xo) for x gående mod x0 fra højre = grænseværdien af
> f(x0) for x gående mod x0 fra venstre = f(x0), samtidig skulle f(x) være
> kontinuert for alle x tilhørende Dm(f).

> Er der en mere præcis definition end denne ?

Det ville være mere præcist at sige lim[x->x0] f(x) skal eksistere for
alle x0 i definitionsmængden (og da vil grænseværdien nødvendigvis
være f(x)). Med den definition du angiver, kan en funktion kun være
kontinuert hvis man kan gå mod ethvert punkt i definitionsmængden fra
både venstre og højre, men det vil jo være fjollet at påstå at

f(x) = 42 for 0 <= x <= 10

ikke er kontinuert.


I generel topologi bruger man følgende definition. f: A -> B er
kontinuert hvis og kun hvis

for enhver åben delmængde C af B er mængden
{ x i A | f(x) tilhører C }
åben som delmængde af A.

For funktioner mellem metriske rum (fx fra R -> R) er denne definition
ensbetydende med den sædvanlige gymnasiedefinition.

(Bemærk at [0;10] er åben som delmængde af [0;10], selvom [0;10] ikke
er åben som delmængde af R).

Var det noget i den retning du ville vide?

--
Henning Makholm "Jeg mener, at der eksisterer et hemmeligt
selskab med forgreninger i hele verden, som
arbejder i det skjulte for at udsprede det rygte at
der eksisterer en verdensomspændende sammensværgelse."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit "Jan Pedersen" <jantheman28@hotmail.com>
>
>>I skolen lærte vi at kontinuerte funktioner er funktioner om hvilket gælder:
>>grænseværdien af f(xo) for x gående mod x0 fra højre = grænseværdien af
>>f(x0) for x gående mod x0 fra venstre = f(x0),

Ovenstående er definitionen for "kontinuert i punktet x0".

>> samtidig skulle f(x) være kontinuert for alle x tilhørende Dm(f).

Eller "f(x) er kontinuert i punktet x, for alle x punkter i Dm(f)".

>>Er der en mere præcis definition end denne ?
>
> Det ville være mere præcist at sige lim[x->x0] f(x) skal eksistere for
> alle x0 i definitionsmængden (og da vil grænseværdien nødvendigvis
> være f(x)). Med den definition du angiver, kan en funktion kun være
> kontinuert hvis man kan gå mod ethvert punkt i definitionsmængden fra
> både venstre og højre, men det vil jo være fjollet at påstå at
>
> f(x) = 42 for 0 <= x <= 10
>
> ikke er kontinuert.

Der er tradition for i gymnasiebøger, først at definere kontinuitet
for en funktion defineret på et åbent interval. Dernæst at tilføje
som en bemærkning, at en funktion defineret på et lukket interval
kan nøjes med at være kontinuert fra den ene side i et intervalende- punkt.

Hmm - måske er det epsilon-delta-definitionen af kontinuitet i
et punkt, Jan er på jagt efter?

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>
> Henning Makholm wrote:

>> Det ville være mere præcist at sige lim[x->x0] f(x) skal eksistere
>> for alle x0 i definitionsmængden (og da vil grænseværdien
>> nødvendigvis være f(x)).

> Hmm - måske er det epsilon-delta-definitionen af kontinuitet i
> et punkt, Jan er på jagt efter?

Det lyder rimeligt. Den får han ved at indsætte definitionen af
grænseværdi:

En funktion f siges at have grænseværdi a for x gående mod x0, hvis

for ethvert epsilon > 0
findes der et delta > 0 således at
for ethvert x i ]x0-delta;x0+delta[ !^! Dom f
gælder der |f(x)-a| < epsilon

Hvis Dom f indeholder punkter vilkårligt tæt på x0 (specielt hvis x0
tilhører Dom f), er der højst ét a der opfylder denne betingelse. I
givet fald skriver vi a = lim[x->x0] f(x).

.... hvor !^! skal forestille et fællesmængdetegn.

--
Henning Makholm "Manden med det store pindsvin er
kommet vel ombord i den grønne dobbeltdækker."

---

Yes! Lige præcis den definition jeg var på jagt efter :) tusind tak......

---

Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

> Det ville være mere præcist at sige lim[x->x0] f(x) skal eksistere for
> alle x0 i definitionsmængden (og da vil grænseværdien nødvendigvis
> være f(x)).

Nej. Tag funktionen:

f(x) = { 1 hvis x = 0
{ 0 ellers

Den har grænseværdi 0 overalt, men grænseværdien er ikke lig med
funktionens værdi i x=0.

(Definitionen af kontinuitet der bruger epsilon/delta virker fordi
f(x0) også skal være højst epsilon væk fra grænseværdien :)

/L
--
Lasse Reichstein Nielsen - lrn@hotpop.com
DHTML Death Colors: <URL:http://www.infimum.dk/HTML/rasterTriangleDOM.html>
'Faith without judgement merely degrades the spirit divine.'

---

Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
> Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:

>> Det ville være mere præcist at sige lim[x->x0] f(x) skal eksistere for
>> alle x0 i definitionsmængden (og da vil grænseværdien nødvendigvis
>> være f(x)).

> Nej. Tag funktionen:

> f(x) = { 1 hvis x = 0
> { 0 ellers

> Den har grænseværdi 0 overalt, men grænseværdien er ikke lig med
> funktionens værdi i x=0.

Den har da ikke nogen grænseværdi for x -> 0. For ethvert delta > 0 er
{ f(x) | |x-0|<delta } = {0,1}, og man kan derfor ikke finde noget
delta der gør diameteren af billedmængden vilkårligt lille.

> (Definitionen af kontinuitet der bruger epsilon/delta virker fordi
> f(x0) også skal være højst epsilon væk fra grænseværdien :)

Hvis f(x0) findes, kan andre tal end f(x0) ikke være grænseværdi.

--
Henning Makholm "And why should I talk slaves' and fools' talk? I
don't want him to live for ever, and I know that he's
not going to live for ever whether I want him to or not."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit Lasse Reichstein Nielsen <lrn@hotpop.com>
>>Henning Makholm <henning@makholm.net> writes:
>>>Det ville være mere præcist at sige lim[x->x0] f(x) skal eksistere for
>>>alle x0 i definitionsmængden (og da vil grænseværdien nødvendigvis
>>>være f(x)).
>
>>Nej. Tag funktionen:
>
>> f(x) = { 1 hvis x = 0
>> { 0 ellers
>
>>Den har grænseværdi 0 overalt, men grænseværdien er ikke lig med
>>funktionens værdi i x=0.
>
> Den har da ikke nogen grænseværdi for x -> 0. For ethvert delta > 0 er
> { f(x) | |x-0|<delta } = {0,1}, og man kan derfor ikke finde noget
> delta der gør diameteren af billedmængden vilkårligt lille.

Har du ikke byttet om på grænseværdi og kontinuitet? For grænseværdi
må det være { f(x) | 0<|x-0|<delta }, der skal kigges på.

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>
> Henning Makholm wrote:

>> Den har da ikke nogen grænseværdi for x -> 0. For ethvert delta > 0
>> er { f(x) | |x-0|<delta } = {0,1}, og man kan derfor ikke finde
>> noget delta der gør diameteren af billedmængden vilkårligt lille.

> Har du ikke byttet om på grænseværdi og kontinuitet? For grænseværdi
> må det være { f(x) | 0<|x-0|<delta }, der skal kigges på.

Nu du stiller spørgsmålet kan jeg godt se at definitionerne af
grænseværdi på fx mathworld undtager x=x0. Det forekommer mig
imidlertid lidt arbitrært. Hvornår er sådan en definition mere
praktisk end den ligefremme hvor man ser på hele K(x0,delta)?

--
Henning Makholm "Y'know, I don't want to seem like one of those
hackneyed Jews that you see in heartwarming movies.
But at times like this, all I can say is 'Oy, gevalt!'"

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>
>
>>Henning Makholm wrote:
>
>>>Den har da ikke nogen grænseværdi for x -> 0. For ethvert delta > 0
>>>er { f(x) | |x-0|<delta } = {0,1}, og man kan derfor ikke finde
>>>noget delta der gør diameteren af billedmængden vilkårligt lille.
>
>>Har du ikke byttet om på grænseværdi og kontinuitet? For grænseværdi
>>må det være { f(x) | 0<|x-0|<delta }, der skal kigges på.
>
> Nu du stiller spørgsmålet kan jeg godt se at definitionerne af
> grænseværdi på fx mathworld undtager x=x0. Det forekommer mig
> imidlertid lidt arbitrært. Hvornår er sådan en definition mere
> praktisk end den ligefremme hvor man ser på hele K(x0,delta)?

Den er praktisk i den situation, hvor f ikke er defineret i x0. På
trods af at være udefineret i x0, kan f godt have en grænseværdi
for x->x0 alligevel.

Den muliggør også, at den samtidige eksistens af grænseværdi fra
venstre og højre mod x0 for f medfører, at grænseværdien for f
for x->x0 eksisterer.

Apropos, kalder man i enkelte bøger {x | 0<|x-x0|<delta} for en
udprikket omegn.

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>
> Henning Makholm wrote:

>> Nu du stiller spørgsmålet kan jeg godt se at definitionerne af
>> grænseværdi på fx mathworld undtager x=x0. Det forekommer mig
>> imidlertid lidt arbitrært. Hvornår er sådan en definition mere
>> praktisk end den ligefremme hvor man ser på hele K(x0,delta)?

> Den er praktisk i den situation, hvor f ikke er defineret i x0. På
> trods af at være udefineret i x0, kan f godt have en grænseværdi
> for x->x0 alligevel.

Det kan den også med min definition.

--
Henning Makholm "My fate? Servitude to the Embodiment of Whoops."

---

Henning Makholm wrote:
> Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>
>>Henning Makholm wrote:

>>>Nu du stiller spørgsmålet kan jeg godt se at definitionerne af
>>>grænseværdi på fx mathworld undtager x=x0. Det forekommer mig
>>>imidlertid lidt arbitrært. Hvornår er sådan en definition mere
>>>praktisk end den ligefremme hvor man ser på hele K(x0,delta)?

>>Den er praktisk i den situation, hvor f ikke er defineret i x0. På
>>trods af at være udefineret i x0, kan f godt have en grænseværdi
>>for x->x0 alligevel.

> Det kan den også med min definition.

Men x0 er jo med i K(x0,delta) ?

--
Jens Axel Søgaard

---

Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>
> Henning Makholm wrote:
>> Scripsit Jens Axel Søgaard <usenet@soegaard.net>

>>>Den er praktisk i den situation, hvor f ikke er defineret i x0. På
>>>trods af at være udefineret i x0, kan f godt have en grænseværdi
>>>for x->x0 alligevel.

>> Det kan den også med min definition.

> Men x0 er jo med i K(x0,delta) ?

x0 er kun med i { x i Dom f | |x-x0|<delta } hvis f er defineret i x0.

--
Henning Makholm "Jeg mener, at der eksisterer et hemmeligt
selskab med forgreninger i hele verden, som
arbejder i det skjulte for at udsprede det rygte at
der eksisterer en verdensomspændende sammensværgelse."