---

Jeg har hørt, at man kan lave en bijektiv afbildning mellem [0,1] og
([0;1];[0;1]) (eller evt. mellem [0;1[ og ([0;1[;[0;1[) ) - men jeg kan
ikke helt se hvordan.
Det er noget med at man, når man går fra 2D til 1D, fletter decimalerne
fra de to tal sammen - men ligegyldigt hvordan jeg prøver rammer jeg
altid ind i nogle randproblemer fordi f.eks. 0,0999... = 0,1

Hvordan kan den bijektive afbildning konstrueres?

-Rune

---

"Rune Zedeler" <rz@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse news:41c315ff$0$23057$ba624c82@nntp05.dk.telia.net...
> Jeg har hørt, at man kan lave en bijektiv afbildning mellem [0,1] og
> ([0;1];[0;1])
> Hvordan kan den bijektive afbildning konstrueres?
>
Jeg giver blot et eksempel:

0,03 004 5 06 3 5 9 007 6 04 03 1 -->
(0,03 5 3 9 6 03, 0,004 06 5 007 04 1)

Mvh
Martin

---

Martin Larsen skrev:

> Jeg giver blot et eksempel:
>
> 0,03 004 5 06 3 5 9 007 6 04 03 1 -->
> (0,03 5 3 9 6 03, 0,004 06 5 007 04 1)

Sneeedigt
Takker!

-Rune

---

"Rune Zedeler" <rz@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse news:41c32126$0$29432$ba624c82@nntp06.dk.telia.net...
> Martin Larsen skrev:
>
> > Jeg giver blot et eksempel:
> >
> > 0,03 004 5 06 3 5 9 007 6 04 03 1 -->
> > (0,03 5 3 9 6 03, 0,004 06 5 007 04 1)
>
> Sneeedigt

Da Georg Cantor havde bevist dette i 1877, skrev han
til Dedekind: Jeg ser det, men jeg kan ikke tro det.
Og det tog også en del overtalelse at få Kronecker til at
offentliggøre det.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cantor.html

Mvh
Martin

---

Martin Larsen skrev:

> Jeg giver blot et eksempel:
>
> 0,03 004 5 06 3 5 9 007 6 04 03 1 -->
> (0,03 5 3 9 6 03, 0,004 06 5 007 04 1)

Øh, hov, virker det ikke kun for ]0;1] ?

Hvordan rammer man f.eks. (0 ; 0,5) ?

-Rune

---

"Rune Zedeler" <rz@daimi.au.dk> skrev i en meddelelse news:41c59c48$0$15141$ba624c82@nntp06.dk.telia.net...
> Martin Larsen skrev:
>
> > Jeg giver blot et eksempel:
> >
> > 0,03 004 5 06 3 5 9 007 6 04 03 1 -->
> > (0,03 5 3 9 6 03, 0,004 06 5 007 04 1)
>
> Øh, hov, virker det ikke kun for ]0;1] ?
>
Jo.

Mvh
Martin

---

Martin Larsen skrev:

>>Øh, hov, virker det ikke kun for ]0;1] ?
> Jo.

Okay.
Ifølge det link, du postede tidligere (tak for det, i øvrigt), kan det
også lade sig gøre for lukkede intervaller.
Er det en fejl?

-Rune

---

Rune Zedeler <rz@daimi.au.dk> writes:

> Ifølge det link, du postede tidligere (tak for det, i øvrigt), kan det
> også lade sig gøre for lukkede intervaller.

[0,1] er i bijektiv korrespondance med [0,1[ ved afbildningen f, givet
ved f(1/2^n) = f(1/2^(n+1)) og f(x) = x ellers. Og [0,1[ er i bijektiv
korrespondance med ]0,1] ved g:x -> 1-x, så hvis du sammensætter
bijektionerne passende, får du den ønskede.

--
Stefan Holm
"Well, look at me. I'm all fuzzy."

---

Stefan Holm skrev:

> [0,1] er i bijektiv korrespondance med [0,1[ ved afbildningen f, givet
> ved f(1/2^n) = f(1/2^(n+1)) og f(x) = x ellers.

Der var vist lige et f for meget der.
Men jeg kan godt se, at f(1/2^n) = 1/2^(n+1) giver det ønskede.
Sikkedadog en masse ting man lærer.
Takker.

-Rune

---

Rune Zedeler <rz@daimi.au.dk> writes:

> Jeg har hørt, at man kan lave en bijektiv afbildning mellem [0,1] og
> ([0;1];[0;1]) (eller evt. mellem [0;1[ og ([0;1[;[0;1[) ) - men jeg
> kan ikke helt se hvordan. Det er noget med at man, når man går fra
> 2D til 1D, fletter decimalerne fra de to tal sammen - men
> ligegyldigt hvordan jeg prøver rammer jeg altid ind i nogle
> randproblemer fordi f.eks. 0,0999... = 0,1
>
> Hvordan kan den bijektive afbildning konstrueres?

Jeg er ikke sikker på om jeg forstår notationen, ([0;1];[0;1]), men
der er en længere forklaring om Cantor sets og space filing curves på
Wikipedia. Jeg må indrømme at jeg aldrig har fået teorien gennemgået
selv, men det ser troværdigt ud ved første øjekast :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve

---

Niels L. Ellegaard skrev:

> Jeg er ikke sikker på om jeg forstår notationen, ([0;1];[0;1])

Ups, så prøver vi med [0;1]x[0;1] - det er lidt lang tid siden, jeg har
haft matematik.

> http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve

Huha, det er sørme fjernt.
Men jeg skal kigge på det.

-Rune (hvis intuition har lidt svært ved at acceptere, at hilbert-kurven
går gennem f.eks. (1/3;1/3)

---

Rune Zedeler <rz@daimi.au.dk> writes:

> -Rune (hvis intuition har lidt svært ved at acceptere, at
> hilbert-kurven går gennem f.eks. (1/3;1/3)

Jeg tror at pointen er at man skal tænke på punktet (1/3,1/3) som en
grænseværdi. I det følgende vil jeg beskrive en funktion fra [0,1] ind
i [0,1]x[0,1], men jeg vil ikke vise at den er bijektiv (eller
surjektiv for den dags skyld)

Vælg et positivt reelt tal z\in[0,1].

Tegn den første iteration af Hilbertkurven og afsæt et punkt der deler
kurven på i to dele. Punktet skal vælges således at første del af
kurven er z gange så stor som hele kurven. (Husk z<1) Vi kan kalde
dette punkt a1

Nu kan du fortsætte med at tegne de næste iterationer af
Hilbertkurven. På hver kurve kan du afsætte et punkt der deler kurven
op i todele således at den første del af kurven er z gange så stor som
hele kurven (huske z<1).

Dette giver dig en serie af punkter a1,a2,a3.. osv. der konvergerer
mod et punkt i [0,1]x[0,1], og konvergenspunktet er en funktion af
z. Spørgsmålet er altså om man kan vælge et tal z således at rækken
a1,a2,a3.. konvergerer mod punktet (1/3,1/3).

Min definition er lidt forsimplet i forhold til Hilberts. Jeg har
arbejdet med et serie af kurvepunkter, der konvergerer mod
(1/3,1/3). Hilbert arbejdede så vidt jeg kan se med en serie af
hjørner på Hilbertkurver, men det tager jeg ikke så tungt.

Men Hilberts definition gør det muligt at finde det z, der løser dit
problem. Start med at lave et program der finder (og numererer)
hjørnerne i en iteration af Hilbertkurven. For hver iteration kan du
finde det hjørne der ligge tættest på punktet (1/3,1/3). Dette hjørne
giver dig et godt bud på z. Jo mere indviklede kurbe du tegner desto
bedre gæt vil du få.

---

Niels L. Ellegaard skrev:

> Jeg tror at pointen er at man skal tænke på punktet (1/3,1/3) som en
> grænseværdi. I det følgende vil jeg beskrive en funktion fra [0,1] ind
> i [0,1]x[0,1], men jeg vil ikke vise at den er bijektiv (eller
> surjektiv for den dags skyld)

Okay, 1000 tak.
Så vidt jeg kan se vil funktionen dog ikke være injektiv.

Hvis vi f.eks. vælger punktet x = (0,5 ; 0) :

+---+ +---+
| | | |
| +---+ |
| |
+---+ +---+
| |
----+ x +----

så vil kurven både gå mod x fra venstre og højre - og de to steder på
kurven vil være "lige gode kandidater".

-Rune

---

Scripsit Rune Zedeler <rz@daimi.au.dk>

> Så vidt jeg kan se vil funktionen dog ikke være injektiv.

> Hvis vi f.eks. vælger punktet x = (0,5 ; 0) :
> så vil kurven både gå mod x fra venstre og højre - og de to steder på
> kurven vil være "lige gode kandidater".

Korrekt. Det er imidlertid i sig selv opsigtsvækkende at der findes en
*surjektiv* afbilding fra enhedsintervallet til enhedskvadratet.

Ved at foretage et passende udvalg (med udvalgsaksiomet) kan man deraf
få en injektiv funktion fra I×I til I, og eftersom det er trivielt at
finde en injektiv funktion fra I til I×I, giver Löwenheim-Skolems
sætning den ønskede bijektion mellem I og I×I.

Bijektionen er dog ikke kontinuert; så vidt jeg husker kan der ikke
findes kontinuerte bijektioner mellem mangfoldigheder af forskellig
dimension. Men dét er et dybt resultat.

--
Henning Makholm "Okay, okay, life's a beach."